Cálculo de Integrais

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Utilizando integração por partes temos:
Substituindo na formula 
É preciso aplicar novamente integração por partes para a integral , assim:
Substituindo:
Agora substituindo na equação principal temos 
A integral principal e a última são iguais, daí passamos a última integral somando:
Substituindo 
Contudo temos:
Utilizando os conceitos de integração por funções parciais, temos:
Simplificando tudo por ):
Para a=2
Para a=-2 
Substituindo:
Por fim
Como , temos:
Realizando algumas mudanças algébricas temos 
Usando a propriedade das integrais definidas temos:
Resolvendo primeiro a integral 
Agora aplicando os limites de integração:
Analisando os limites laterais é possível constatar que a integral converge para 0
Para facilitar o calculo, faz a divisão dos polinômios 
Assim:
Primeiramente resolvemos a 1 integral e para simplificar os cálculos fazemos algumas transformações
Separando em duas integrais 
Resolvendo a 1 integral 
Resolvendo a 2 integral 
Por fim resolvendo as integrais restantes
Assim:
Aplicando as propriedades 
Daí:
F(X)= F(B)-F(A) 
O limite não existe.
a) Em t=0
Integral no intervalo de 0 a 1 min
b) S(t)=0
Em t=1, pois 
Em t=1, a gotícula chega ao chão
c) 
A velocidade média é nula pois nesse intervalo de tempo a partícula já está no chão
Ao fazer gráfico é possível observar que os pontos de intersecção são em x=0 e x=1
Assim:
A(x)=F(b)-F(a)
Resolvendo a outra integral
Daí:
A rotação em torno do eixo x resultara em limites de integração são 0 e 1 e como o solido não está bem definido o volume será obtido através do método das cascas
Aplicando os limites de integração