Metodologia do ensino da matemática

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Matemática na educação infantil
Nesta parte introdutória, apresentaremos a estrutura do conteúdo a ser
abordado pela disciplina, além dos recursos metodológicos que poderão ser
utilizados pelos alunos em suas futuras aulas.
Esta disciplina compreende a discussão dos conceitos fundamentais da área
da Matemática: desde a Educação Infantil (de 0 a 5 anos) até o 5º ano do
Ensino Fundamental I (já considerando o Ensino Fundamental de 9 anos). Ela
parte da construção dos conceitos fundamentais pelas crianças da Educação
Infantil, chegando até a utilização e aplicação destes na vida escolar e
cotidiana de todos.
Ainda, esta disciplina tem como objetivo discutir e elencar os conteúdos da
referida área de conhecimento. Ela aborda a importância da compreensão
desses conteúdos e seu processo de construção conceitual para a formação
do futuro educador, e também possibilita o acesso a diferentes concepções e
métodos de trabalho para a área. Ao fazer uso de todos esses
conhecimentos, o educador poderá combinar os pressupostos teóricos às
suas práticas.
A seleção do conteúdo desta disciplina, em sua maioria, partiu dos dois
documentos oficiais que existem atualmente para o direcionamento dos
conteúdos curriculares no Brasil, o RCN1 – Referencial Curricular Nacional
para a Educação Infantil –, para o segmento da Educação Infantil, e o PCN2 –
Parâmetros Curriculares Nacionais – área de Matemática, para o segmento
do Ensino Fundamental I.
Matemática na Educação Infantil
Podemos dizer que "aprender" Matemática passa pelo caminho do "fazer
Matemática", "viver a Matemática".
Esse fazer e viver Matemática significaria possibilitar às crianças condições
para que elas exponham suas próprias ideias e escutem as ideias das outras
crianças em situações que envolvam pensamentos matemáticos, ou
raciocínios matemáticos. Também que elas formulem e comuniquem quais
foram seus procedimentos de resolução de problemas, de modo a
confrontarem, argumentarem e procurarem validar seu ponto de vista quando
da chegada a um determinado resultado. E, ainda, antecipem resultados
(cálculo mental), busquem dados que faltam para resolver problemas e
aceitem erros quando houver, entre outras coisas.
Dessa forma, as crianças poderão tomar decisões,
agindo como produtoras de conhecimento, e não
apenas como executoras de instruções. Portanto, o
trabalho com a Matemática pode contribuir para a
formação de cidadãos autônomos, capazes de pensar
por conta própria, sabendo resolver problemas.
Nessa perspectiva, a instituição de Educação Infantil
pode ajudar as crianças a organizarem melhor as suas
informações e estratégias, bem como proporcionar
condições para a aquisição de novos conhecimentos
matemáticos. O trabalho com noções matemáticas na
Educação Infantil atende, por um lado, às
necessidades das próprias crianças de construírem
conhecimentos que incidam nos mais variados
domínios do pensamento; por outro, corresponde a
uma necessidade social de instrumentalizá-las melhor
para viver, participar e compreender um mundo que
exige diferentes conhecimentos e habilidades. (RCN,
1998, p. 207)
()
A instituição de Educação Infantil deve ajudar a criança a organizar melhor
esses conhecimentos.
O trabalho com noções matemáticas no espaço da Educação Infantil atende a
dois focos: a criança e a sociedade.
A sociedade deve possibilitar a instrumentalização da criança. Na atual
sociedade, e considerando-se a história desse espaço da Educação Infantil,
no RCN, encontramos quatro concepções matemáticas presentes nas
escolas de hoje: repetição, memorização e associação; do concreto ao
abstrato; atividades pré-numéricas; jogos e aprendizagem de noções
matemáticas. E eu acrescentaria mais uma: resolução de problemas, atrelada
aos jogos e aprendizagem de noções matemáticas.
Concepções presentes
A primeira concepção é a repetição, memorização e associação; para que se
possa entender melhor faremos a utilização de imagem/ilustração.
A partir da ilustração dessa concepção presente nas escolas de Educação
Infantil, ficará muito fácil compreendê-la; mesmo quem nunca trabalhou com
crianças dessa faixa etária, já deve ter presenciado algo parecido:
Para entender o processo de Concepção presente, assista ao
vídeo/animação abaixo. Este vídeo/animação faz parte da sequência desta
aula e, portanto, é essencial para a aprendizagem.
A segunda concepção presente nas salas de aula da Educação Infantil está
relacionada com uma interpretação equivocada, ou, pelo menos, teoria mal
interpretada em sua aplicação, de que a criança aprende a partir do concreto.
IMPORTANTE: não estou dizendo que o concreto não seja importante para a
aprendizagem e construção de conhecimentos por parte da criança. Ele é sim
parte importante e integrante desse processo, mas a maneira pela qual
alguns professores têm feito uso, ou, ainda, "aplicado" essa ideia em sala de
aula, é que seria equivocada.
Pois bem, voltando aos exemplos dados, a ideia equivocada de concreto
seria: a professora utilizar os palitos de sorvete para a manipulação da
criança, pensando que apenas essa ação, de pegar algo nas mãos, garantiria
à criança chegar ao abstrato – o significado de tudo isso. Ou seja, a
professora consideraria que o fato de a criança manipular objetos, em
determinada quantidade, já seria o suficiente para que ela compreendesse e
se apropriasse do conhecimento, no caso ilustrado, dos numerais, com suas
respectivas quantidades e representações gráficas.
Essa concepção resulta da ideia de que primeiro
trabalha-se o conceito no concreto para depois
trabalhá-lo no abstrato. O concreto e o abstrato se
caracterizam como duas realidades dissociadas, em
que o concreto é identificado com o manipulável e o
abstrato com as representações formais, com as
definições e sistematizações. (RCN, 1998, p. 209)
()
Para que o trabalho desenvolvido em sala de aula seja de qualidade, o
professor precisa compreender a relação entre ações físicas e intelectuais.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura sobre
Concepções Presentes. A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Aprendizado
A terceira concepção também está relacionada à interpretação seguida da
aplicação equivocada nos estudos psicogenéticos. Nesse caso, "ações de
classificar, ordenar/seriar e comparar objetos em função de diferentes
critérios" (RCN, 1998, p. 210); ou, ainda, a transformação das provas
piagetianas em conteúdos de ensino.
Na maioria das vezes essas ações de ordenar, seriar e classificar se
transformam em atividades desconexas, sem sentido, montadas para serem
realizadas pelas crianças, apenas. Essas situações precisam estar presentes
em sala de aula, mas não como atividades no "papel".
Essas operações lógicas são fundamentais em qualquer área de
conhecimento, por isso, não devem constituir atividades construídas com
esse fim.
A quarta concepção apresentada pelo RCN também discute "como" está
sendo compreendida a ideia de que a criança aprende brincando. Essa ideia
em parte é correta; realmente, a criança, em situação estimuladora,
desafiante, é motivada a pensar e a buscar respostas, mas, quando falamos
do uso de jogos em algumas situações de sala de aula na Educação Infantil,
o que ganha espaço é a espontaneidade; criou-se a ilusão de que, porque a
criança brinca, ela aprende. Ou seja, os jogos, sozinhos, assumiram a
possibilidade de ensinar todos os conteúdos matemáticos às crianças. E não
é bem isso o que acontece.
Apesar de a natureza do jogo propiciar também um
trabalho com noções matemáticas, cabe lembrar que
seu uso como instrumento não significa,
necessariamente, a realização de um trabalho
matemático. A livre manipulação de peças e regras por
si só não garante a aprendizagem. (RCN, 1998, p. 211)
()
Os jogos podem sim ser grandes aliados dos professores. Eles devem sim
estar presentes nas salas de aula da Educação Infantil, mas é necessário que
haja intencionalidade, objetivos clarose intervenções adequadas para que as
crianças sejam desafiadas e transponham os possíveis obstáculos que
encontrarem. Os alunos devem usar seus conhecimentos prévios, colocá-los
em "jogo" e transformá-los em outros mais avançados.
O jogo pode tornar-se uma estratégia didática quando
as situações são planejadas e orientadas pelo adulto
visando a uma finalidade de aprendizagem, isto é,
proporcionar à criança algum tipo de conhecimento,
alguma relação ou atitude. Para que isso ocorra, é
necessário haver uma intencionalidade educativa, o
que implica planejamento e previsão de etapas pelo
professor, a fim de que sejam alcançados objetivos
pré-determinados e extraídas do jogo atividades que
lhe são decorrentes. (RCN, 1998, p. 211)
()
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura sobre
Concepções Presentes. A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Figura 02 ? Concepções presentes (jogos - estratégia didática)
A quinta concepção indicada está relacionada com a resolução de problemas;
no texto do RCN sua discussão ocorre com os jogos. Fiz a opção de
considerá-la uma quinta concepção, porque a resolução de problemas vem
ganhando destaque nas discussões sobre as metodologias ou didáticas
utilizadas para o desenvolvimento de conteúdos matemáticos. Vários
estudiosos têm se dedicado a esse estudo, por isso, considerei que ele
mereceria essa distinção.
A utilização da resolução de problemas não é algo novo na Matemática, a
novidade é a maneira como isso vem sendo concebido. As
situações-problema, como são chamadas, não têm nenhuma relação com a
experiência que muitos de nós tiveram com listas de problemas – todos
iguais, em que precisávamos colocar em prática e treinar uma operação ou
equação que aprendemos.
As situações-problema:
[...] possibilitam a produção de novos conhecimentos a
partir dos conhecimentos que já se tem e em interação
com novos desafios. Essas situações-problema devem
ser criteriosamente planejadas, a fim de que estejam
contextualizadas, remetendo a conhecimentos prévios
das crianças, possibilitando a ampliação de repertórios
de estratégias no que se refere à resolução de
operações, notação numérica, formas de
representação e comunicação etc. e mostrando-se
como uma necessidade que justifique a busca de
novas informações.
(RCN, 1998, p. 212)
()
Segundo Smole (2000), a resolução de problemas ou as situações-problema
envolvem todas as situações que permitem à criança ou ao adulto algum
questionamento ou investigação. Ou seja, bem diferente daquilo a que
estávamos acostumados: localizávamos no problema os números, na ordem
em que apareciam, depois procurávamos algo que indicasse a operação
pedida e finalmente chegávamos ou não ao resultado mediante algo
pré-estabelecido.
Mais uma vez, o conhecimento do professor é muito importante para que as
ações e atividades matemáticas na Educação Infantil ou no Ensino
Fundamental sejam significativas e enriquecedoras. Precisamos deixar de
lado ações repetitivas e descontextualizadas, sem significado para as
crianças e pouco produtivas no sentido de construção de conhecimentos.
O conhecimento será o responsável pela transformação!
Matemática no ensino fundamental - Concepções
presentes
Dar continuidade à discussão sobre as concepções matemáticas presentes nas
salas de aula, mas agora do Ensino Fundamental.
Apesar de a área de Matemática ser considerada muito difícil, existe o consenso
de que ela é importante para a vida cotidiana, e também para a construção de
conhecimentos em outras áreas.
O PCN1, além de considerar e discutir a ideia difundida de dificuldade nessa área
de conhecimento, apresenta-a considerando alguns princípios que
caracterizariam sua importância. Destacaremos alguns:
● A matemática é importante para a cidadania das pessoas,
pois a construção e apropriação de um conhecimento
servirão para a transformação da realidade.
● No ensino da matemática dois aspectos devem ser
considerados: o primeiro seria a possibilidade de as
pessoas relacionarem suas observações com as
representações; e o segundo seria a possibilidade de as
pessoas relacionarem essas representações com os
princípios e conceitos matemáticos, deixando assim as
pessoas mais próximas dos conteúdos matemáticos.
● Os conteúdos matemáticos devem estabelecer relações
com a história social, possibilitando conexões com as
outras áreas de conhecimento e a compreensão do lugar
em que ela ocupa no mundo, deixando de ser algo
inatingível e difícil.
Mesmo sendo consenso essa importância, não é identificada coesão entre as
ações dos professores em sala de aula; dependendo da formação e das
concepções desses professores, encontraremos alguns tipos de "matemática".
Uma delas está pautada na chamada Matemática Moderna, que de moderna não
tem mais nada, datada das décadas de 1960 e 70. É considerada a matemática
lógica, que privilegia o pensamento científico e tecnológico; "compreendida a
partir das estruturas, conferia papel fundamental à linguagem matemática" (PCN,
v.3, 2001, p. 21).
Sabemos que:
Antes de o homem conhecer o simbolismo matemático, ele
faz cálculos mentais, e isso mostra que consegue
desenvolver sua compreensão, interpretação e
comunicação mediante as relações que estabelece no seu
cotidiano. (Santos, 2004, p. 1)
()
Porém, em nossa sociedade isso não é o suficiente, nela exige-se o domínio dos
códigos matemáticos, visando ao seu uso autônomo e consciente. Podemos dizer
que essa é a matemática considerada difícil, incompreensível e, ainda, muito
presente em nossas salas de aula.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura sobre
Matemática no ensino fundamental – concepções presentes. A figura faz parte do
conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
Figura 01 - Matemática no ensino fundamental ? concepções presentes
Outra possibilidade é a concepção da Matemática das resoluções de problemas,
datada das décadas de 1980 e 90, que vem ganhando espaço nas salas de aula.
Nesse caso, a Matemática é explorada a partir de problemas reais ou próximos à
realidade, ampliando a gama de conteúdos, com visão não linear, considerando a
demanda social e a necessidade e importância do uso das novas tecnologias.
É uma proposta bastante interessante, já indicada como uma possibilidade de
trabalho na Educação Infantil. No PCN recebe destaque com a apresentação de
cinco princípios a serem considerados:faz parte da sequência desta aula e,
portanto, é essencial para a aprendizagem.
• O ponto de partida da atividade matemática não é a
definição, mas o problema. No processo de ensino e
aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos
devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos
precisem desenvolver algum tipo de estratégia para
resolvê-las.
• O problema certamente não é um exercício em que o
aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou
um processo operatório. Só há problema se o aluno for
levado a interpretar e a estruturar a situação que lhe é
apresentada.
• Aproximações sucessivas ao conceito são construídas
para resolver certo tipo de problema; num momento
posterior, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver
outros, o que exige transferências, retificações e rupturas,
segundo um processo análogo ao que se pode observar na
história da Matemática.
• O aluno não constrói um conceito em resposta a um
problema, mas constrói um campo de conceitos que
tomam sentido num campo de problemas. Um conceito
matemático se constrói articulado com outros conceitos,
por meio de uma série de retificações e generalizações.
• A resolução de problemas não é uma atividade para ser
desenvolvida em paralelo ou como aplicação da
aprendizagem, mas como uma orientação para a
aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se
pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes
matemáticas.
(PCN, v. 3, 2001, p. 43-44)
()
Como complemento e ilustraçãodesta parte da aula, visualize a figura sobre
Matemática no ensino fundamental – concepções presentes. A figura faz parte do
conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
Na década de 1990, a Etnomatemática2 ganhou destaque, partindo da realidade
para a ação pedagógica. "Do ponto de vista educacional, procura entender os
processos de pensamento, os modos de explicar, de entender e de atuar na
realidade, dentro do contexto cultural do próprio indivíduo" (PCN, v.3, 2001, p.
23). Tem enfoque cognitivo, e a contextualização é fator fundamental.
O homem produz códigos próprios de linguagem e de
interpretação. Esses códigos pertencem ao indivíduo em
particular ou mesmo a comunidades específicas, cabendo
a estes a compreensão deles. Dentre esses códigos com
os quais o homem na sua comunidade compreende e
interpreta o mundo, está a Matemática. Essa linguagem
matemática com a qual a comunidade se expressa em
códigos é chamada de Matemática Cultural, da qual a
Etnomatemática tenta dar conta. O termo Etnomatemática
foi proposto em 1975 por Ubiratan D?Ambrósio, para
descrever as práticas matemáticas de grupos culturais.
Etno = contexto cultural próprio. Etnomatemática =
matemática cultural. Na Etnomatemática, a
contextualização é fundamental. Portanto, é preciso que o
alfabetizador aprenda primeiro a Matemática Cultural para
poder estabelecer vínculos entre os conhecimentos
intuitivos ou espontâneos que se tem sobre a Matemática
com base em sua experiência cotidiana. (Santos, 2004, p.
4)
()
Mas ainda não podemos dizer que seja algo muito presente nas salas de aula.
Assumir novas posturas, novos modelos, ainda está distante da realidade das
salas de aulas. Isso se dá apesar das indicações e reflexões travadas, inclusive,
na esfera dos documentos oficiais, que apontam o problema e indicam caminhos,
mas que, em sua maioria, são desacreditados pelos professores.
Parte dos problemas referentes ao ensino de matemática
estão relacionados ao processo de formação do
magistério, tanto em relação à formação inicial como à
formação continuada. Por causa dos problemas de
formação dos professores, as práticas na sala de aula
tomam por base os livros didáticos, que, infelizmente, são
muitas vezes de qualidade insatisfatória. A implantação de
propostas inovadoras, por sua vez, esbarra na falta de uma
formação profissional qualificada, na existência de
concepções pedagógicas inadequadas e, ainda, nas
restrições ligadas às condições de trabalho.
Tais problemas acabam sendo responsáveis por muitos
equívocos e distorções em relação aos fundamentos
norteadores e ideias básicas que aparecem em diferentes
propostas. (PCN, v. 3, 2001, p. 24)
()
A superação dessa situação acontecerá com o professor trabalhando a História
da Matemática, por exemplo, envolvendo seus alunos com o processo de
construção e evolução dos conceitos matemáticos; contando aos alunos como
ocorreu essa evolução, partindo da busca por respostas aos problemas antigos
de ordem prática do cotidiano das pessoas, como: soma da quantidade de
cabeças de gado, cálculo e divisão de terras, registro dessas quantidades,
equivalências de quantidades em momentos de troca etc. Assim, se chegará ao
que entendemos como Matemática e a aplicação de seus conceitos hoje.
Outro bom exemplo seria a produção de textos nas aulas de Matemática.
[...] a produção de textos em Matemática auxilia a
direcionar a comunicação entre todos os alunos da classe;
a obter dados sobre os erros, as incompreensões, os
hábitos e as crenças dos alunos; a perceber concepções
de vários alunos sobre uma mesma ideia e a obter
evidências e indícios sobre o conhecimento dos alunos.
(Smole e Diniz, 2001, p. 31).
()
Esses textos demonstrariam principalmente a compreensão dos alunos em
relação aos conceitos matemáticos, utilizando o registro por escrito das atividades
realizadas na aula, expondo suas explicações quanto aos processos realizados
para se chegar a determinado resultado ou ainda as dificuldades de
compreensão. Esse se revelará um momento extremamente rico para os alunos e
para a avaliação, reflexão e redirecionamento, se for o caso, das ações do
professor.
Além do que já foi citado, o PCN destaca ainda as tecnologias de informação, os
jogos e o trabalho em grupos cooperativos como meios que podem ser utilizados;
são recursos simples, mas que em sua maioria são ignorados pelos professores,
são pouco ou não são utilizados, e que, se estivessem presentes nas escolas,
trariam ganhos enormes aos alunos.
Nosso conteúdo será a contagem, por estar relacionado aos objetivos a
serem atingidos, na Educação Infantil, com crianças de 0 a 3 anos e 4 a 6
anos.
Com as crianças pequenas, nosso objetivo será aproximá-las da contagem
oral até que façam uso dela com propriedade. Isso não acontece do dia para
a noite, trata-se de um processo árduo, mas muito importante. Para crianças
maiores, fazer uso da contagem oral facilita a compreensão do nosso sistema
de numeração.
Contar não é apenas o ato de recitar a sequência numérica; é estabelecer
muitas relações até que se atinja a compreensão desse conhecimento.
Recitar a sequência numérica é um ato de imitação ao adulto; apesar desse
ato não garantir a contagem efetivamente, é o primeiro passo para que esse
objetivo seja atingido.
Para ilustrar o que está sendo dito, podemos utilizar, como exemplo, uma
criança muito pequena que inicia esse ato de imitação já em seu primeiro ano
de aniversário.
O adulto ensina (saiba mais sobre o assunto ao final da aula) para a criança
que ela completará um aninho, mostrando muitas vezes um dedo e dizendo
"um".
A criança, por sua vez, quando perguntada quantos anos irá fazer, reproduz o
que aprendeu: mostrando um dedinho e verbalizando "um".
Sabemos que a criança não faz esse ato de maneira consciente; esse gesto
não é realizado com seu significado real, por isso é apenas uma imitação.
Mas, como já indicado, uma imitação necessária.
Por ser uma imitação necessária, essa ação deve ser estimulada; as crianças
precisam ouvir a contagem de seus brinquedos, de suas roupas, inclusive
para o aumento de repertório linguístico. Assim, mais uma vez por imitação,
"aprenderão" os nomes dos números, chegando a um degrau acima desse
processo, chamado de nomeação.
Na nomeação as crianças utilizam-se de parte dos nomes dos números, mas
sem a apropriação da sequência numérica; o uso desses nomes é aleatório.
É comum encontrarmos crianças pequenas contando assim:
— Um, dois, três, cinco, nove, dez!
Nesse momento, utilizarmos como recurso pedagógico as músicas e as
histórias infantis, principalmente as que apresentam a sequência numérica; é
um processo muito interessante.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura sobre
Contagem. A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Figura 01 - Brincadeira de esconde-esconde (contagem)
A contagem em brincadeiras como esconde-esconde também pode ser
explorada.
Identificamos o avanço da criança quando ela relaciona os "nomes" aos
objetos em si, ou seja, ela utiliza-se da contagem oral em situação real e
concreta, ligando um nome a um objeto da coleção. Nesse caso, ela se
apropriou da sequência numérica.
Isso significa dizer que a criança avançou muito em seus conhecimentos, pois
essa ação demonstra que ela passou a estabelecer uma correspondência
biunívoca e recíproca (saiba mais sobre o assunto ao final da aula), com
vistas à equivalência entre duas coleções.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura sobre
Contagem. A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Figura 02 - Explicando (contagem)
Utilizar a contagem de tempo em brincadeiras pode ajudá-las nesse processo
de aprendizagem. Como exemplo, poderíamos contar os pulos dados na
brincadeira de pular corda, ou, ainda, contarmos vinte vezes o movimento da
balança para a troca das crianças nesse brinquedo.
A evoluçãodesse processo se reflete no fato de a criança passar a fazer uso
de uma "única" palavra para expressar a quantidade de uma coleção.
Quando perguntarmos a ela: "Quantos tem?", ela responderá: "Cinco".
Como ela conseguiu esse avanço? Apoiando-se nas coordenações de ordem
espacial e temporal; o último nome dito foi "cinco", então o total é "cinco".
Assim, sua resposta ainda não atende à compreensão numérica.
Se perguntarmos: "Onde está o cinco?", sua resposta indicará o último
elemento da coleção, como se cada objeto recebesse um nome. Isso
demonstra que ela ainda não apresenta a inclusão hierárquica de classes
(saiba mais sobre o assunto ao final da aula).
A conduta de contar os elementos de uma coleção,
expressando a quantidade total com uma única palavra
sem ter atingido o número operatório, corresponde ao
que no desenvolvimento da estrutura de classificação
chamamos de coleções não figurais e, no
desenvolvimento da estrutura de seriação, chamamos
de série intuitiva. Nesse nível semioperatório, tanto
para a classificação e a seriação quanto para o
número, a criança realiza uma série de coordenações
de ações, ainda favorecidas, contudo, pelos fatores
perceptivos. (Rangel, 1991, p. 118)
()
Então, quando ela realizará a contagem efetivamente?
A criança realizará uma contagem quando estabelecer uma síntese entre a
contagem de elementos e a quantidade total representada. Ou seja, sendo a
quantidade total numérica, a criança compreende que naquela coleção, por
exemplo, com cinco elementos, o cinco não está em nenhum elemento do
grupo, mas sim na síntese mental das informações anteriores.
Essa quantidade numérica será definida por uma coordenação operatória da
cardinação1 e da ordenação2, assegurada pela síntese da classe e da série,
que significa dizer que a invariância numérica é(saiba mais sobre o assunto
ao final da aula) concebida pela criança.
O trabalho com diferentes coleções de objetos pode auxiliar em muito a
evolução da criança, abrindo caminho para a classificação, seriação e
ordenação de maneira lúdica.
Quando estimulo na criança a habilidade de classificar
e de dar um nome àquele todo, estou favorecendo as
condições para que ela construa o número cardinal.
Quando estimulo a habilidade de seriar, procurando o
lugar de cada elemento em uma ordem, estou
favorecendo que ela construa o número ordinal.
(Ramos, 2009, p. 27)
()
Quando pedimos à criança que conte quantos objetos tem, mesmo que não
estejam espacialmente dispostos de maneira ordenada, ela consegue
estabelecer, mentalmente, uma relação e separação entre contados e não
contados, enumerando a todos os elementos sem repeti-los, ou deixando de
considerar algum.
Sistema de
numeração
decimal
Apresentar como a criança se apropria do sistema de numeração.
NESTE TÓPICO
NESTE TÓPICO
Conceito
Referências
Marcar
tópico
Como vimos, a Matemática é uma linguagem, e "o sistema de numeração
decimal é uma linguagem matemática que usamos no dia a dia. É uma linguagem
estruturada, organizada e formalizada para expressar quantidades, posições,
medidas, espaços, formas, relações etc." (Ramos, 2009, p.39).
Compreender que o sistema é formado de símbolos, e que esses símbolos
podem receber valores diferentes, conforme o "lugar", "posição" que ocupam, é
algo bastante complexo. Ou seja, compreender o sistema de numeração é
compreender que, além de constituir-se a partir da base 10, ele é posicional. Por
isso, ler, comparar e ordenar números são procedimentos indispensáveis para
essa compreensão.
Considerando-se a nova estruturação do Ensino Fundamental com duração de
nove anos, Ramos (2009) sugere:
No 1º ano (ciclo de nove anos) do Ensino Fundamental, as
crianças já devem quantificar e numerar quantidades de 1
a 9, e progressivamente até 20 e 30. Algumas
compreendem quantidades e números maiores. Lembro
que, nessa fase, elas ainda estão em processo de atingir
plena conservação de quantidade, e que a consolidação do
conceito de número vai ocorrer de forma progressiva. [...]
()
[...] O 2º ano será o momento para iniciar a construção do
sistema de numeração decimal
()
Conceito
Nosso sistema de numeração foi construído pela sociedade ocidental. Ele é
denominado hindu-arábico, e sua organização é decimal, ou seja, de base 10.
O que isso quer dizer?
Que ele é composto por 10 símbolos, que, combinados, constroem infinitos
números. Além disso, apresenta uma regularidade e uma mudança determinada
de 10 em 10.
Assim, como o conceito de número, a construção desse sistema e o atendimento
às regularidades apresentam uma lógica a ser instituída pelo próprio indivíduo.
Pesquisas (Panizza, 2006) demonstram que as crianças não aprendem os
números um a um, como já indicamos anteriormente, nem segundo a ordem de
classe, primeiro as unidades, depois dezenas e centenas. Elas "constroem
diferentes critérios que lhes permitem comparar números mesmo desconhecendo
sua denominação convencional" (Panizza, 2006, p.98).
Situações reais e concretas são grandes aliadas dos professores: colecionar
figurinhas e colocá-las em um álbum é um exemplo interessante. A criança tem a
possibilidade de identificar a sequência numérica, relacionar o número do álbum
ao número da figurinha, separar figurinhas repetidas, verificar os números das
figurinhas faltantes.
Se o álbum não apresentar uma tabela numérica no início ou no final, o professor
pode construí-la com vistas a proporcionar à criança uma situação de registro da
sequência numérica e dos dados que obtém de sua coleção.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura "Álbum de
figurinhas". A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
Figura 01 - Álbum de figurinhas
Como complemento desta parte da aula, visualize a tabela. A tabela faz parte do
conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
A criança passa a acompanhar os dias do calendário para compreender sua
sequência e regularidade. Ela pode utilizar diferentes tipos de calendário, das
folhinhas com os meses individuais aos calendários que apresentam todos os
meses juntos.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura
"Calendário". A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
Figura 02 - Calendário
Esse calendário pode ser usado como uma agenda, ou a criança pode usar
agendas escolares mesmo, indicando atividades diferentes, datas importantes.
Além disso, pode ser realizada uma pesquisa sobre onde encontramos os
números, para quais situações são empregados. Jogos de baralho e situações de
faz de conta podem auxiliar na compreensão e apreensão do sistema de
numeração.
Exemplos: número do sapato, número da roupa, número das casas.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura sobre
número de sapato. A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Figura 03 - Número do sapato, número da roupa, número das casas
Nossas escolas ainda trabalham com critérios considerados tradicionais e pouco
eficientes para o ensino do sistema de numeração.
Em estudo realizado por Quaranta, Tarasow e Wolman (1994), foram discutidos
três desses critérios que são muito utilizados nas escolas e apresentados os
resultados de pesquisas, além dos argumentos para que os professores
assumam posturas, critérios e procedimentos diferentes dos que veem sendo
utilizados em sala de aula. A saber:
• As crianças aprendem os números de um em um e
respeitando a ordem da série numérica. Nessa perspectiva,
para aprender um número determinado, se deveria
conhecer a série que o antecede. Além disso, não se dá
importância aos conhecimentos que as crianças puderam
ter construído sobre os números maiores.
• O conhecimento do valor posicional de cada algarismo
em termos de "unidades", de "dezenas" etc. constrói-se no
principal acesso válido para a aprendizagem dos números.
Portanto, parte-se do ensino da base dez – utilizando
variados recursos, como "trouxinhas",figuras geométricas,
papel com bolinhas – e a consequente identificação dos
agrupamentos resultantes.
• Os erros que as crianças cometem ao ler ou ao escrever
os números são atribuídos principalmente a uma ausência
de conhecimentos.
()
Esses três critérios analisados de alguma maneira já foram apontados
anteriormente, e agora o que se visa é elucidar um pouco mais cada um deles,
indicando os saberes das crianças para que os professores não se esqueçam e
assumam novas posturas diante desses conhecimentos. Essas novas posturas
estão relacionadas a propostas mais interessantes de atividades de intervenções,
perguntas, questionamentos e discussões em sala de aula.
Como já dito anteriormente, as crianças não aprendem os números de modo
dosado um a um e segundo a ordem da série, primeiro unidades e dezenas,
depois centenas. Elas constroem critérios próprios para a comparação de
números mesmo não conhecendo a denominação convencional. Quando se
apropriam desse conhecimento, passam a utilizar o recurso da numeração falada
para suas interpretações das escritas numéricas. As escritas numéricas partem
dos números "rasos–redondos" para a chegada aos números pertencentes aos
intervalos.
As crianças utilizam-se dos conhecimentos dos números "rasos e das relações
que vão estabelecendo com a numeração falada para tentar escrever números
cuja notação convencional desconhecem" (Panizza, 2006, p.96).
Por exemplo: uma criança não conhece o número 48, mas conhece os algarismos
e seus nomes "quatro" e "oito", busca seus conhecimentos prévios, estabelece as
relações que lhe permitem ler números que antes não conhecia. Então "saber o
nome dos dígitos ajuda a ler um número de dois algarismos" (Panizza, 2006,
p.97).
Continuando, a afirmação "os rasos ajudam a interpretar os números escritos"
(Panizza, 2006, p.97) significa que o conhecimento dos números 10, 20, 30, 100
também ajuda as crianças a escreverem e lerem convencionalmente números
que até então não sabiam. O jogo do bingo pode ser um grande aliado. Ou
mesmo um ditado de números, que aparentemente seria uma atividade
tradicional, convencional, pode se tornar um bom momento para discussão entre
duplas, sobre interpretações e escritas, com as intervenções adequadas dos
professores.
Assim, as crianças podem se apoiar na escrita do raso
imediatamente anterior: por exemplo, para cantar 63, um
aluno marca 60 na cartela e depois lê: "sessenta e três".
Esse procedimento e outros semelhantes mostram que as
crianças estão vinculando fortemente cada raso com o
resto da dezena. Mostram igualmente que estão
considerando que uma parte das notações de certos
números corresponderá a uma parte também comum com
suas denominações orais.
()
Exemplos como as tabelas e o próprio bingo podem auxiliar o professor em
atividades interessantes.
Outra conclusão e interpretação que a criança faz sobre o sistema é que "se o
nome dos números começa igual, sua escrita também" (Panizza, 2006, p.97).
Identificar as regularidades a auxilia nessa construção, por isso a importância do
trabalho com diferentes categorias de dezenas e classes numéricas.
Atreladas à discussão desses critérios, existem as hipóteses de que as crianças
constroem sobre esse sistema. Assim como em relação às hipóteses de escrita,
as crianças têm hipóteses sobre a organização do sistema de numeração;
identificá-las também auxiliará o professor. Veja essa questão na próxima aula.
Hipóteses das
crianças
Apresentar as hipóteses das crianças diante do sistema de numeração e as
possíveis
atividades que poderão ser desenvolvidas.
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As crianças têm hipóteses sobre o sistema de numeração e as demonstram em
situações desafiadoras.
Uma dessas hipóteses está relacionada à quantidade de algarismos que um
número tem: "quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o
número"(Parra e Saiz, p.77).
Se perguntarmos à criança qual é o maior número, ela responderá: "123". Essa
afirmação ocorrerá mesmo que a criança não conheça e não saiba o quanto essa
quantidade representa, mas ela se apoiará na quantidade de algarismos que
esses números têm.
Outra hipótese está relacionada à comparação de posição desses números: "o
primeiro é quem manda".
Ao comparar números de igual quantidade de algarismos, as crianças
apresentam argumentos por meio dos quais se evidencia que elas já descobriram
que a posição dos algarismos cumpre uma função relevante em nosso sistema de
numeração (Parra e Saiz, p.81).
Exemplo: comparando-se 12 e 21, qual é o maior?
A resposta da criança possivelmente será 21, por causa da posição dos números;
dois é maior que um e está na frente, então ele é o maior número por isso, e não
por ela realmente saber que 21 é maior que 12. Por meio da utilização e
comparação entre quantidades, a compreensão do valor posicional vai se
consolidando. As crianças vão estabelecendo relações entre a quantidade de
algarismos e a magnitude do número. Passam a compreender características
importantes dos sistemas numéricos posicionais.
A síntese da compreensão de que nosso sistema de numeração é de base 10 e
posicional demonstra um grande avanço desse indivíduo diante dos desafios da
área de conhecimento da matemática. Por isso que as crianças desde muito cedo
devem apropriarse dos números como um todo, unidades, dezenas, centenas,
milhares, e não em doses homeopáticas: primeiro os números pequenos –
unidades – e, depois que já "aprenderam" esses, os números maiores – dezenas
–, e assim sucessivamente. Se assim o fizermos, não proporcionaremos ricas
experiências para a construção do conhecimento que queremos que elas tenham
e utilizem.
Ainda considerando esse processo, alguns números são especiais: os chamados
"nós": 10, 100, 1000...
A apropriação da escrita convencional dos números não segue a ordem da série
numérica; as crianças manipulam em primeiro lugar a escrita dos nós – quer
dizer, das dezenas, centenas, unidades de milhar... – e só depois elaboram a
escrita dos números que posicionam nos intervalos entre esses nós (Parra e Saiz,
p.87).
Além disso, a numeração falada também exerce um papel importante e auxiliador
nesse processo.
É muito comum encontrarmos escritas numéricas assim
para a escrita do número 835, ou ainda, para a
escrita do número 5520.
Isso ocorre porque "para produzir os números cuja escritura convencional ainda
não adquiriram, elas misturam os símbolos que conhecem, colocando-os de
maneira tal que se correspondam com a ordenação dos termos na numeração
falada" (Parra e Saiz, p.87).
Esse momento é importante e decisivo para que a criança compreenda que a
numeração falada não é posicional, mas a escrita sim. Essa diferença, que
"falando" parece óbvia e simplista, faz toda a diferença na compreensão e
apropriação de nosso sistema numérico. Esse conflito ajudará a criança a
construir a notação convencional.
Como o professor pode auxiliar o aluno?
Em sala de aula ele pode propor atividades que comparem números, por
exemplo, fazendo listas de preços e ordenando-os, entre os maiores e menores,
de modo que os alunos possam interpretar essa relação de ordem.
Uma atividade para a criança identificar as regularidades do sistema, os nós, é a
utilização de tabelas numéricas. É possível partir de questionamentos às crianças
como:
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a tabela "1- Tabela
numérica - regularidade - leitura e escrita numérica". A tabela faz parte do
conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
Tabela 1
● Encontre um número depois do nove e antes do onze.
● Assinale todos os números que têm nove. Assinale todos
os números que
tem um.
● O que aconteceu? (A criança encontrará números da
mesma dezena e várias
dezenas que contêm esse número.)
● Essa é uma discussão interessante de se fazer para a
identificação das regularidades.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualizea tabela "2 -
Completar a tabela". A tabela faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Tabela 2
O professor pode ainda utilizar cartões com números e pedir às crianças que os
coloque em ordem "crescente e decrescente". É interessante empregar cartões
com diferentes números e dezenas. O objetivo é atingir a ordenação. Para
aumentar a brincadeira, as crianças podem receber esses números – cartões –
como crachás e organizar-se na sequência correta.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a tabela "3- Cartões –
ordenação". A tabela faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a tabela "4- Cadê o
intruso – questões de ordenação". A tabela faz parte do conteúdo da aula e
facilita a sua compreensão.
Tabela 3
Outra atividade seria dar para a criança três cartões com unidades, por exemplo,
um cartão com o sete, outro cartão com o cinco e outro cartão com o nove.
Então, pedir à criança que construa tantos números quantos forem possíveis. Por
exemplo: 579, 957, 975, 597.
O jogo do bingo também é interessante nesse processo.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura "Cartela de
Bingo". A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua compreensão.
Tabela 4
Cálculo mental
Mostrar que procedimentos de cálculo mental podem auxiliar na compreensão da
concepção do número e, principalmente, na realização das contas.
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O cálculo mental é outro conteúdo a ser trabalhado na Educação Infantil e
aprimorado nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Sendo assim, será nosso
objetivo mostrar que o cálculo mental pode auxiliar na compreensão da
concepção do número e da realização das contas e discutir um pouco as
concepções em vigor no cotidiano escolar e os procedimentos mais adequados
para serem adotados.
O cálculo mental ajuda a compreender o sistema de numeração e as
propriedades das operações, por isso será trabalhado antes do conteúdo que
discutirá propriamente as operações. O cálculo é considerado como parte
integrante e importante delas.
Podemos apontar que na Educação Infantil o cálculo mental é considerado
ferramenta primordial para a resolução de situações-problema, já no Ensino
Fundamental é um conteúdo a ser desenvolvido e ampliado em situações de
operações com números naturais, devendo ser trabalhado tanto em cálculos de
adição e subtração quanto de multiplicação e divisão.
Para que a criança adquira a habilidade de calcular mentalmente, o domínio da
contagem é fundamental; além disso, a compreensão das regularidades do
sistema facilita a apreensão das regularidades também existentes nas operações.
Segundo o texto do Encarte Especial sobre Matemática da revista Nova Escola:
[...] existem quatro maneiras de resolver as contas que
diariamente aparecem na nossa frente: usando a
calculadora, estimando o resultado com base em
referências e em experiências anteriores, fazendo a conta
ou usando o cálculo mental. Em atividades profissionais,
geralmente os adultos usam a calculadora ou outras
máquinas afins. No dia a dia, porém, o mais comum é as
pessoas chegarem mentalmente ao resultado ou estimar
um valor aproximado. Mas na escola essas estratégias não
são valorizadas e a atenção está no ensino da conta
armada
()
Na escola, na maioria das vezes, as estratégias pessoais são desconsideradas,
visa-se "ensinar" o como fazer, os procedimentos a ser cumpridos de modo a se
atingir um objetivo dado, claro e pouco discutido.
Ensina-se a fazer as contas, os procedimentos, o cálculo é deixado para segundo
plano. Talvez seja esse o motivo para que muitos alunos tenham dificuldades de
compreensão. E não é raro encontrarmos aqueles que decoraram o
procedimento, conseguem resolver as contas todas daquele jeitinho ensinado e,
em um próximo momento, quando algo é modificado, já não conseguem
realizá-las, até que decorem o novo procedimento.
Ao pedirmos para que uma dessas crianças explique o que está fazendo, também
não será raro que ela dê uma "explicação" como se estivesse recitando as
palavras de um professor, demonstrando assim sua incompreensão das ações e
sua pura repetição e memorização de um procedimento.
Por que isso ocorre?
Segundo o Encarte Especial sobre Matemática da revista Nova Escola:
Durante muito tempo, se acreditou que a economia de
etapas
e a rapidez na resolução de problemas fossem os objetivos
máximos a serem alcançados na disciplina de Matemática.
Nesse sentido, ensinar algoritmos para fazer as contas
parecia o mais indicado. Se por um lado o uso de fórmulas
permite organizar o raciocínio, registrá-lo, lê-lo e chegar à
resposta exata, por outro, fixa o aprendizado somente
nessa estratégia e leva o estudante a conhecer apenas
uma prática cada vez menos usada e, pior, a realizar de
modo automático o que está fazendo. Já fazer contas de
cabeça sempre foi considerada uma prática inadequada.
Porém, para saber quanto vai gastar na cantina ou somar
os pontos dos campeonatos esportivos, o estudante não
usa o algoritmo; sem lápis e papel, ele faz aproximações,
decompõe e aproxima números e alcança o resultado com
bastante segurança. Além de ser um procedimento ágil, ele
permiteà criança ser ativa e criativa na escolha dos
caminhos para chegar ao valor final
()
Como alterar essa situação?
Oferecendo aos nossos alunos situações em que eles possam construir
repertórios que os auxiliem na realização de cálculos mentais.
Segundo o PCN (2001):
Ao construírem e organizarem um repertório básico, os
alunos
começam a perceber, intuitivamente, algumas
propriedades das operações, tais como a associativa e a
comutativa, na adição e multiplicação. A comutativa na
adição é geralmente identificada antes de qualquer
apresentação pelo professor. Isso pode ser notado em
situações em que, ao adicionarem 4 + 7, invertem os
termos para começar a contagem pelo maior
número.Também algumas regularidades, presentes nas
operações, começam a ser percebidas, tais como:
observar que, nas multiplicações por 2, todos os resultados
são pares; que, na tabuada do cinco, os resultados
terminam em zero ou em cinco etc.
()
Mas quais seriam esses repertórios básicos?
Um exemplo: contar de dois em dois ou de três em três.
Como?
Construindo um quadro numérico diferente, considerando essa regularidade
indicada: contagem de tantos em tantos números. Ressalta-se que essa será a
base também para o trabalho a ser desenvolvido com as tabuadas,
posteriormente.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a tabela sobre
"Números pares e Ímpares". A tabela faz parte do conteúdo da aula e facilita a
sua compreensão.
Tabela 1
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a tabela sobre
"Agrupamentos". A tabela faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Tabela 2
Parece, no entanto, algo muito "tradicional", com pouco sentido, escrever
números de dois em dois assim, para a construção de um quadro numérico.
Realmente, se o quadro for construído do "nada", isso pode ser, mas, se
considerarmos a busca por descobrir quantas rodas temos em uma bicicleta e na
sequência a relação de rodas em duas, três, quatro, cinco, seis bicicletas, deixa
de ser apenas a construção do quadro.
Como complemento e ilustração desta parte da aula, visualize a figura sobre
"Cálculo Mental". A figura faz parte do conteúdo da aula e facilita a sua
compreensão.
Tabela 3
Outro procedimento (saiba mais sobre o assunto ao final da aula) é utilizar a
adição de números considerados baixos – 4, 5, 8 – iguais para a realização de
cálculos com números iguais considerados maiores, como 80 + 80, ou 70 + 70,
ou 500 + 500.
Todo esse trabalho terá sentido e significado se o professor propuser a seus
alunos situações desafiadoras e complemente cada uma delas com
sistematizações e discussões sobre esses procedimentos.
O foco do trabalho deconstrução de um repertório básico
para o desenvolvimento do cálculo consiste em identificar
as estratégias pessoais utilizadas pelos alunos e fazer com
que eles evidenciem sua compreensão por meio de
análises e comparações, explicitando- as oralmente. Já a
organização desse repertório dá-se por meio da exploração
das escritas numéricas e apóia-se na contagem, no uso de
materiais didáticos e da reta numérica
()
Não devemos parar na construção de repertórios básicos. O estudo do cálculo
deve ocorrer em suas diferentes modalidades, pois:
- possibilita o exercício de capacidades mentais como
memória,
dedução, análise, síntese, analogia e generalização;
- permite a descoberta de princípios matemáticos como a
equivalência, a decomposição, a igualdade e a
desigualdade;
- propicia o desenvolvimento de conceitos e habilidade
fundamentais para aprofundar os conhecimentos
matemáticos;
- favorece o desenvolvimento da criatividade, da
capacidade
para tomar decisões e de atitudes de segurança para
resolver
problemas numéricos cotidianos.
()
Assim, o professor tem uma considerável importância, mais uma vez, na
organização e proposição de atividades que possibilitem aos alunos a utilização
de cálculos mentais e escritos, mesclando a busca por resultados exatos e
aproximados; discutindo com os alunos em quais situações cotidianas
precisamos de cada um deles, ou seja, quando podemos fazer cálculos com
resultado aproximado e quando necessitamos de um cálculo com resultado exato.
O professor precisa ter clareza de objetivos, fazendo intervenções de modo a
auxiliar o aluno na percepção dessas relações e, com isso, fazer uso desses
cálculos em seu cotidiano.
No cálculo mental, a reflexão centra-se no significado dos
cálculos intermediários, e isso facilita a compreensão das
regras do cálculo escrito. O exercício e a sistematização
dos procedimentos de cálculo mental, ao longo do tempo,
levam-no a ser utilizado como estratégia de controle do
cálculo escrito
()
Cálculo por estimativa
O que é cálculo por estimativa?
É a possibilidade de fazer cálculo aproximado a partir de uma informação já
conhecida ou de um determinado ponto de referência.
E para que ele pode ser utilizado?
Para uma situação em que não precisamos de valores exatos, mas sim de
cálculos aproximados rápidos realizados por meio de conhecimentos prévios
auxiliares, como metade, dobro, triplo... É muito próximo e acontece de modo
concomitante ao cálculo mental.
O cálculo por estimativas apoia-se em aspectos
conceituais referentes aos números e às operações (ordem
de grandeza, valor posicional, proporcionalidade e
equivalência), em procedimentos (como decompor,
substituir, arredondar, compensar), na aplicação de
estratégias de cálculo mental
()
A apropriação dos cálculos por estimativa auxilia o aluno a perceber se seus
cálculos são razoáveis ou não; se os resultados obtidos são coerentes ou
absurdos. Por exemplo, ao realizar uma conta com o auxílio de uma calculadora,
12 + 78, e obter o resultado 1278, o aluno identifica que o resultado está acima
do razoável e logo conclui que se esqueceu de colocar o sinal da operação
desejada.
Mas, quando falamos de cálculos, existem também os cálculos escritos,
relacionados às nossas conhecidas contas, assunto importante que será
desenvolvido na próxima aula – relação das contas com as operações.