Aula 7 - Momento estático

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Prática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Analise a situação do bloco da figura. 
 
Desprezando os efeitos de peso próprio, vamos construir um esboço da distribuição 
de tensões na seção produzida no elemento pelo plano a-a. 
 
Inicialmente, para simplificar, vamos reduzir as ações ao centroide da seção. 
 
1. Força de 250 N 
 
 
Posicionando um sistema de eixos no centroide da seção, o ponto 
de aplicação da força está em (-25, 37,5), produzindo um 
momento negativo em torno de x e negativo em torno de y (regra 
da mão direita). 
 
 
 
Mx = - 250 . 3,75 = -937,5Ncm 
My = - 250 . 2,5 = -625,0Ncm 
 
 
 
 
 
 2 
2. Força de 500 N 
 
Repetindo o mesmo processo, podemos dizer que a força está posicionada em (25,-
37.5), gerando momento positivo nas duas direções. 
 
Mx = 500 . 3,75 = 1875,0Ncm 
My = 500 . 2.5 = 1250,0Ncm 
 
Efeito resultante no centroide: 
 
N = -750N 
Mx = 937,5Ncm 
My = 625,0Ncm 
 
Propriedades da seção: 
 
A = 5 . 7,5 = 37,5cm2 
Ix = 5 . 7.53/12 = 175.78125cm4 
Iy = 7,5 . 53/12 = 78.125cm4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C D 
 
 
 
 3 
 
Tensão em A: 
 
𝜎𝐴 = −
750
37,5
−
937,5 . 3,75
175,78125
+
625 . 2,5 
78,125
= −20 − 20 + 20 = −20 𝑁 𝑐𝑚2⁄ 
𝜎𝐴 = −0,20𝑀𝑃𝑎 
: 
𝜎𝐵 = −
750
37,5
−
937,5 . 3,75
175,78125
−
625 . 2,5 
78,125
= −60 𝑁 𝑐𝑚2⁄ 
𝜎𝐵 = −0,60𝑀𝑃𝑎 
: 
𝜎𝐶 = −
750
37,5
+
937,5 . 3,75
175,78125
−
625 . 2,5 
78,125
= −20 𝑁 𝑐𝑚2⁄ 
𝜎𝐶 = −0,20𝑀𝑃𝑎 
 
𝜎𝐷 = −
750
37,5
+
937,5 . 3,75
175,78125
+
625 . 2,5 
78,125
= 20 𝑁 𝑐𝑚2⁄ 
𝜎𝐷 = 0,20𝑀𝑃𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ATIVIDADES 
 
Considere uma carga de 600kN, um momento de 100kNm e outro de 50kNm e um 
tensão admissível do solo de 180kN/m2. Supondo base quadrada, verifique se uma 
sapata de 2m x 2m é adequada. 
 
 
 
 
 4 
Em seguida, encontre as dimensões adequadas (econômicas) para o caso de base 
quadrada e para o caso de base retangular, considerando um lado sendo como o 
dobro do outro. 
 
1. Base de 2m x 2m 
 
Área: 4m2 
Inércia: 24/12 = 2m4 
Distância da borda até o centroide: 1m 
 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −
600
4
+
100
2
+
50
2
= −150 + 50 + 25 = −75𝑘𝑁/𝑚2 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −
600
4
−
100
2
−
50
2
= −150 − 50 − 25 = −225𝑘𝑁/𝑚2 
 
 
 
Comentários: 
 
 Estamos considerando a terminologia de máximo e mínimo pelo ponto de vista do 
solo estar mais ou menos solicitado pela sapata, por ser a forma usual, e não sob o 
ponto de vista matemático; 
 A sapata está comprimindo o solo em toda a sua área; 
 A tensão máxima é superior à admitida pelo solo; 
 As dimensões não são adequadas. 
 
2. Agora vamos especificar uma base quadrada que seja adequada e econômica 
 
Primeiramente, vamos impor que a tensão máxima seja exatamente a tensão 
admissível do solo. 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −
600
𝑙2
−
100 . 𝑙 2⁄
𝑙4 12⁄
−
50 . 𝑙 2⁄
𝑙4 12⁄
= −
600
𝑙2
−
600
𝑙3
−
300
𝑙3
= −180𝑘𝑁/𝑚2 
 
 
 
 5 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −
600𝑙 
𝑙3
−
600
𝑙3
−
300
𝑙3
= −180𝑘𝑁/𝑚2 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −600𝑙
 − 600 − 300 = −180𝑙3𝑘𝑁/𝑚2 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 180 𝑙
3 − 600𝑙 − 900 = 0 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 3 𝑙
3 − 10𝑙 − 15 = 0 
𝑙 = 2,339𝑚 
 
Com esse valor de lado, a tensão máxima é igual à tensão admissível do solo. 
 
Vamos verificar a tensão mínima: 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −
600
2,3392
+
100 . 2,339 2⁄
2,3394 12⁄
+
50 . 2,339 2⁄
 2,3394 12⁄
= −39,34𝑘𝑁/𝑚2 
 
Dessa forma, temos uma base toda comprimida com tensões em níveis que o solo 
suporta. 
 
Como a tensão máxima imposta ao solo é igual à tensão admissível, estamos em 
uma situação econômica, pois não podemos diminuir a base, mantendo-a 
quadrada. 
 
3. Agora vamos analisar a base retangular com base igual à b e altura igual à 2b 
 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −
600
𝑏 . 2𝑏
−
100 . 𝑏
𝑏 (2𝑏)3 12⁄
−
50 . 𝑏 2⁄
2𝑏 . 𝑏3 12⁄
= −
600
2𝑏2
−
1200
8𝑏3
−
300
2𝑏3
= −180𝑘𝑁/𝑚2 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −
600
𝑏 . 2𝑏
−
100 . 𝑏
𝑏 (2𝑏)3 12⁄
−
50 . 𝑏 2⁄
2𝑏 . 𝑏3 12⁄
= −
300
𝑏2
−
150
𝑏3
−
150
𝑏3
= −180𝑘𝑁/𝑚2 
𝜎𝑚𝑎𝑥 = −300𝑏 − 300 = −180 𝑏
3𝑘𝑁/𝑚2 
−180 𝑏3 + 300𝑏 + 300 = 0 
−3 𝑏3 + 5𝑏 + 5 = 0 
𝑏 = 1,6383𝑚 
 
 
Aqui vamos verificar a tensão mínima com essa base: 
 
 
 
 6 
 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −
600
1,6383 . 1,6383 . 2
+
100 . 1,6383
1,6383 (2 . 1.6383)3 12⁄
+
50 . 1,6383 2⁄
 2 . 1,6383(1,6383)3 12⁄
 
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −
600
5,368
+
100 . 12
(2 . 1.6383)3
+
50 . 3
 (1,6383)3
= −43,55 𝑘𝑁/𝑚2 
 
 
Base toda comprimida, ok! 
 
Vamos, então, comparar a área das bases: 
 
Base quadrada: 𝐴 = 2,339 , 2,339 = 5,47𝑚2 
Base retangular: 𝐴 = 1,6383 . 2 . 1,6383 = 5,368𝑚2 (𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑒𝑐𝑜𝑛ô𝑚𝑖𝑐𝑎)