Geometria Plana_Unidade III

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Unidade III
7 GEOMETRIA PLANA EM UM APLICATIVO COMPUTACIONAL LIVRE 
SOfTwARE LIVRE1
Entendemos que um software seja livre quando ele é licenciado por termos que respeitam as 
seguintes liberdades de seus usuários:
• a liberdade de executar o programa para qualquer propósito (liberdade nº 0);
• a liberdade de estudar como o programa funciona e adaptá-lo às suas necessidades (liberdade 
nº 1). Acesso ao código fonte é um pré-requisito para essa liberdade;
• a liberdade de redistribuir cópias de modo que você possa ajudar ao seu próximo (liberdade nº 2);
• a liberdade de aperfeiçoar o programa e distribuir os seus aperfeiçoamentos, de modo que toda a 
comunidade se beneficie (liberdade nº 3). Acesso ao código fonte é um pré-requisito para essa liberdade.
8 wINGEOM: INSTALAÇÃO E RECURSOS BÁSICOS
Para baixar o software Wingeom, acesse o site: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. 
Neste endereço eletrônico, o aluno encontrará a seguinte frase em negrito: foreign-language versions, 
que nada mais é do que as versões do Wingeon em outras línguas (o padrão é o inglês). Então, o aluno 
deve escolher: Portuguese (prepared with the help of Franciele Cristine Mielke, who has also translated 
two tutorials) e clicando sobre a palavra, poderá baixar o programa no computador. Em uma pasta 
previamente criada, aparecerá um ícone de arquivo compactado com o nome Wgpr32z.exe. Clique 
com o botão direito do mouse sobre a imagem e escolha a opção extrair aqui e depois arraste o 
ícone para área de trabalho do computador. Clicando sobre esse ícone, o programa abrirá e, no 
comando janela, o aluno terá em sua tela a seguinte imagem:
Figura 121
1 Oliva e Rezende (2008). 
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Na sequência, escolha a modalidade e o seu tema de estudo. O Wingeom oferece recursos nos 
espaços bidimensional e tridimensional, bem como a possibilidade de construir animações de forma 
simples e direta. 
Apresentaremos, neste texto, algumas tabelas que sintetizam os principais comandos e 
opções do menu do Wingeom, tais como criar, editar, realçar e medir figuras geométricas. Caso 
o aluno deseje aplicações para além dos conteúdos presentes no Ensino Fundamental e Médio, 
recomendamos a utilização do Wingeom no estudo dos poliedros e na ilustração do estudo das 
geometrias esféricas e hiperbólicas. Mais especificamente, o aluno pode explorar os seguintes 
conteúdos no Wingeom: geometria euclidiana plana (no programa, identificada como 2-dim); 
geometria euclidiana espacial (identificada como 3-dim); outras geometrias (geometria hiperbólica 
e geometria esférica); voronoi (divisões do plano); adivinhe (transformações no plano); mosaico 
(modelos de preenchimento/ladrilhamento do plano); RVA demo (composição de cores utilizando 
o mouse).
No que se referem ao foco do estudo da disciplina de geometria plana, os recursos 
bidimensionais apresentados pelo Wingeom são: construções geométricas e analíticas (pontos, 
reta, ângulo, circunferência, elipse etc.); construções (divisão de segmentos, divisão de ângulos, 
paralelas, pontos notáveis num triângulo, circunferências inscritas e circunscritas, equação, 
entre outros); unidades (triângulos, segmentos, polígonos, cônicas etc.); transformações 
(translação, rotação, dilatação, contração, reflexão, entre outras); medidas (comprimento, 
perímetro, ângulo, área etc.). Em movimentos, o aluno poderá movimentar os objetos 
geométricos criados (aproximar, afastar, girar etc.); em edições, manipula legendas, realce, 
coordenada, cor, espessura, estilo etc., e os objetos geométricos criados podem ser animados, 
usando o comando animações. 
Para iniciarmos o estudo de alguns elementos desta disciplina, geometria plana, optamos por 
selecionar 2–dim na janela do Wingeom já aberta, como ilustramos na figura 114, e o aluno irá visualizar 
a seguinte janela:
Figura 122 - Barra de ferramentas da janela gráfica
Muitas vezes, a barra de ferramentas (veja a figura 116) não está visível na janela de trabalho (figura 
115).
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Figura 123 - Imagem da barra de ferramentas
Para visualizar a barra de ferramentas, basta dar dois cliques, como ilustramos na figura 117. Primeiro 
clique em Botões e na sequência clique em Barra de ferramentas. 
Figura 124 - Inserindo a barra de ferramentas
A seguir, apresentaremos um exemplo de construção de figuras geométricas planas no Wingeom.
 Lembrete
O Wingeom oferece recursos nos espaços bidimensional e tridimensional, 
bem como a possibilidade de construir animações de forma simples e direta.
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8.1 Construindo triângulos
Se a intenção é construir um triângulo, o Wingeom oferece quatro métodos diferentes de fazê-lo: 
1 ALA: é preciso fornecer dois ângulos e um lado.
2 LAL: é preciso fornecer um ângulo e dois lados.
3 LLL: é preciso fornecer os três lados.
4 HC: é preciso fornecer a hipotenusa2 H e um lado ou cateto C.
Essa região cinza é chamada de 
região da janela gráfica.
Figura 125 - Construindo triângulos
Por exemplo, se quisermos construir um triângulo pelo método 4 HC, devemos clicar sobre HC e 
uma nova janela se abrirá (figura 117). Veja que precisamos entrar com duas informações. À hipotenusa 
H, vamos atribuir o valor 5 e a um dos catetos, atribuiremos 4; ao clicarmos em ok, teremos a imagem 
de um triângulo retângulo com hipotenusa igual a 5 e um dos catetos medindo 4, como ilustrado na 
figura 120.
Figura 126 - Construção de um triangulo retângulo
2 Hipotenusa é o nome dado a um dos lados de um triângulo retângulo, que tem um dos ângulos medindo noventa 
graus. Hipotenusa é exatamente o lado oposto a esse ângulo. 
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Na figura a seguir, é possível observar que a hipotenusa é o lado AB do triângulo ABC.
Figura 127 - Imagem do triângulo solicitado
Caso se deseje apagar alguma informação da figura que acabou de ser feita, clique sobre a região 
da janela gráfica. Na barra de ferramentas, selecione Apagar e escolha os itens que deseja apagar. No 
exercício, apagaremos todas as retas. 
Figura 128 - Apagando conteúdos da janela gráfica
8.2 Construindo pontos
Para construir um ou mais pontos na região da janela gráfica do Wingeom, basta escolher o local 
onde se deseja representar o ponto e dar um clique com o botão direito do mouse. A cada novo clique, 
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um novo ponto aparecerá na região da janela gráfica. O programa nomeia os pontos seguindo a ordem 
alfabética; sempre que um novo ponto for inserido, ele legendará esse ponto com a próxima letra 
disponível do alfabeto.
8.3 Construindo retas, semirretas e segmentos de retas
Construindo segmentos de reta usando a opção Botão da barra de ferramentas 
Para representar um segmento, primeiro, é preciso construir dois pontos; na sequência, selecione a 
opção Segmentos (BE) na barra de ferramentas (figura 116). Depois, clique com o mouse em um dos 
pontos que deseja unir com o segmento; pressionando o botão esquerdo, arraste o ponto inicial até o 
ponto final do segmento que deseja construir. 
Se desejar construir dois segmentos, AB e BC, por exemplo, primeiramente o aluno precisa 
construir os três pontos: clicar três vezes, em lugares diferentes, com o botão direito do mouse 
sobre a região da janela gráfica. Como são os três primeiros pontos da janela gráfica, a legendas 
desses pontos será A, B e C. 
Feito isso, posicione a seta do mouse sobre a bolinha que delimita um ponto (pode ser o ponto A) e 
pressione o botão esquerdo. Com esse botão pressionado,arraste o mouse até à bolinha que delimita o 
outro ponto (por exemplo, o ponto B) e solte o botão que estava pressionado. Obteve-se o segmento AB. 
De modo semelhante, se obtém o segmento BC.
Figura 129 - Construção de dois segmentos
Construindo semirretas e retas usando a opção Botão da barra de ferramentas 
A construção de semirretas, assim como de retas, no Wingeom, é semelhante à que realizamos 
para construir segmentos: precisamos ir ao item Botão na barra de ferramentas e em vez de optarmos 
por selecionar o tema segmento, como fizemos anteriormente na atividade de construir os pontos, 
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selecionamos a opção semirretas (BE)3, se desejamos construir uma semirreta, ou pelo tema retas (BE), 
se desejamos construir uma reta. 
Exemplo de aplicação
Abra um novo arquivo do Wingeom, marque cinco pontos aleatórios na região gráfica e os una com 
semirretas. 
Comentário: se fôssemos realizar essa construção com régua e lápis, primeiramente deveríamos 
representar os pontos e posicionar a régua passando por dois deles, para, com o traço do grafite, obter 
a representação da semirreta. 
As construções no Wingeom apresentam aspectos semelhantes às construções feitas com régua e 
compasso. A diferença é que, ao selecionar o primeiro ponto a ser ligado, já haverá a imagem do traço 
da semirreta. Para obter a semirreta, é preciso soltar o botão do mouse (que permanecia pressionado 
desde quando o primeiro ponto foi selecionado) ao encontrar o segundo ponto que define a semirreta. 
Figura 130 - Cinco pontos unidos por semirretas
8.4 Construindo circunferências
Construindo circunferências usando a opção Botão da barra de ferramentas 
Construa um ponto num local qualquer da região da janela gráfica. Por ser o primeiro ponto dessa 
região, ele será rotulado de A. Na barra de ferramentas da janela gráfica, clique em Botão e selecione a opção 
Circunferência (BE). Isso feito, clique com o botão esquerdo do mouse sobre a região delimitada do ponto A 
3 BE: abreviação para botão esquerdo do mouse.
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e, com o botão pressionado, arraste a seta do mouse para longe do ponto A. Nesse processo, será vista uma 
circunferência de centro em A se expandindo. Pare quando a ela tiver atingido o tamanho desejado.
Figura 131 - Uma circunferência com centro em um ponto qualquer
Exemplo de aplicação
Construir a representação de uma bicicleta usando os comandos até aqui apresentados
Para garantir a proporção do desenho, use o recurso de vê-lo em um sistema de coordenadas 
cartesianas. Para tanto, selecione a opção Ver da barra de ferramentas da janela gráfica e clique na opção 
Eixos. Procedendo dessa forma, será possível ter maior controle sobre as dimensões e o posicionamento 
dos objetos geométricos construídos.
 Observação
Na figura 125, uma bicicleta representada no Wingeom. Com o tempo, 
o aluno verá que suas habilidades artísticas e computacionais melhorarão. 
Deve-se planejar o desenho, ou seja, fazer o projeto em uma folha de papel 
antes de construí-lo no Wingeom.
Figura 132 - Representação de bike no Wingeom
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Explore os comandos estudados e descubra outros recursos do Wingeom fazendo mais de um 
objeto. Represente, por exemplo, um carro, uma casa, uma igreja etc.
Para que o aluno tenha noção dos recursos do Wingeom e possa utilizá-los em seu projeto, 
mostraremos algumas tabelas explicativas de comandos que podem ser usados nas construções feitas 
no Wingeom.
8.5 Tabelas de comandos no wingeom
Os comandos presentes no quadro a seguir têm uso semelhante em outros pacotes computacionais 
que não sejam do Wingeom.
Quadro 1 - Comandos que permitem execução direta pelo teclado
Ação desejada Comando Detalhe
Mostrar e/ou esconder eixos (Axes) Ctrl A
Mostrar e/ou esconder todas as legendas dos pontos Ctrl L
Visualizar os tipos de pontos (º, X, +, ...) Ctrl D
Abrir um menu de Grade (eixos, marcas, setas, pontos, 
rótulos, tamanho, intervalo, escalas, decimais, frequencias, 
pi, pontilhado, polar, retangular.
Ctrl G
Desfazer a construção mais recente Ctrl Z
Refazer o que acabou de ser desfeito Ctrl Y
Centralizar desenho Ctrl W
Visualizar centro Ctrl V
Salvar desenho construído Ctrl S
Afastar todas as legendas sobre pontos Ctrl Home
Posicionar todas as legendas sobre os pontos Home
Aproximar a figura (+ zoom) Pg Up Page Up
Afastar a figura (- zoom) Pg Dn Page Down
Movimentar o desenho, visualizando a parte superior ↑ Seta para baixo*
Movimentar o desenho, visualizando a parte inferior ↓ Seta para cima*
Movimentar o desenho, visualizando o lado direito → Seta para esquerda*
Movimentar o desenho, visualizando o lado esquerdo ← Seta para direita*
Fechar a caixa de diálogo ativa Esc
Mover para diferentes partes de uma caixa de diálogo ativa Tab
(*): Dependendo da versão que você usar, as setas do teclado lhe fornecem exatamente pra onde 
a figura se desloca. Exemplo: para cima desloca a figura para cima.
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No próximo quadro, apresentamos a função do botão esquerdo (BE) e botão direito (BD) do mouse 
na opção barra de ferramentas (2–dim) no Wingeom.
Quadro 2 - Usando o mouse na opção 2-dim do Wingeom
Comando ou 
tema BE BD
Segmentos Criar novos segmentos ao conectar dois pontos Criar novos pontos
Semirretas Criar novas semirretas ao conectar dois pontos Criar novos pontos
Retas Criar novas retas ao conectar dois pontos Criar novos pontos
Círculos Criar novos círculos a partir de um ponto como centro Criar novos pontos
Arrastar pontos Movimentar um ponto Alterar o tipo de ponto
Editar texto Deslocar a posição da legenda de um ponto
Mudar a legenda de um 
ponto; inserir/formatar texto
Colar da área de 
transferência
Arrastar imagens inseridas 
do clipboard (provenientes 
do Word, por exemplo)
Colar imagens (equações ou 
gráficos vetoriais) que estão 
na área de transferência – 
clipboard.
Remover ou modificar o fundo 
(transparente ou opaco) de uma 
imagem inserida
Coordenadas Visualizar as coordenadas dos pontos
Ajustar o quadro centralizando 
um ponto selecionado
Rotacionar
Arrastar um ponto (ou 
conjunto) em torno do 
centro de rotação
Fixar um centro (ponto) de 
rotação
 Saiba mais
O quadro anterior tem sua origem no material do minicurso 
Utilização do software Wingeom no Ensino Fundamental, Médio e 
Superior, do professor Valter Locci, páginas 7 e 8. O material encontra-
se no site: <http://wwwp.fc.unesp.br/~valocci/UtilizdoWingeom.pdf>. 
Acesso em: 06 ago. 2012.
8.6 Construindo polígonos regulares
Construindo polígonos regulares usando a opção Unidade da barra de ferramentas 
Um polígono regular é aquele que possui todos os lados iguais e, consequentemente, seus ângulos 
internos também são iguais. Logo, para construirmos um polígono regular, basta informarmos o número 
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de lados e a medida de um lado da forma geométrica que desejamos. Os passos para a construção de 
um hexágono regular são:
1º - clique sobre o item Unidades na barra de ferramentas da janela gráfica.
2º - com a seta do mouse sobre a palavra polígono, escorregue-a até a opção Regular e clique (veja 
figura 126).
3º - a caixa da figura 127 se abrirá e será possível definir o número de lados e a medida dos lados do 
polígono regular. No exemplo, escolhemos um hexágono de lado igual a uma unidade de medida. 
4º - Clique em ok e a forma geométrica escolhida, no caso, um hexágono, ficará visível na região da 
janela gráfica.
Figura 133 - Construindo um polígono regular
Figura 134 - Construindo um hexágono regular
Exemplo de aplicação
Estudando a teoria degeometria plana e aplicando os conceitos no Wingeom, complete a tabela a 
seguir:
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Tabela 1
Número 
de lados Nome da figura
Medida dos 
ângulos internos
Soma dos 
ângulos internos
3 triângulo equilátero 60º 180º
4
5
6
7
8
9
10
12
Número de diagonais de um polígono qualquer.
 
Atenção: essa atividade deve ser tema de debate no fórum da disciplina.
Tabela 2
Número 
de lados Nome da figura
Número máximo 
de diagonais de 
um vértice
Número total 
de diagonais do 
poligono
3
4 quadrado 1 2
5
6
7
8
n xxxxxxxxxxxxxxxxxx
Use o Wingeom para construir cada polígono da tabela anterior e traçar todas as diagonais para um 
vértice. Conforme for traçando as diagonais de um vértice, conte-as e avalie:
1. será que existe algum modelo matemático para a relação entre o número de lados e o número de 
diagonais de cada vértice? 
2. será que existe algum modelo matemático para o padrão encontrado entre o número de lados e 
o número de diagonais de cada polígono? 
Escreva na última linha da tabela os algoritmos encontrados, se existirem.
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8.7 Medindo ângulos 
Medindo ângulos entre dois segmentos ou lados de um polígono
O Wingeom mede o ângulo interno entre dois segmentos de retas. Para realizar tal procedimento, 
mediremos alguns dos ângulos internos do hexágono construído na atividade anterior - Construindo 
polígonos regulares usando a opção Unidade da barra de ferramentas. 
Vimos que, para termos dois segmentos, necessitamos de três pontos. Para medirmos o ângulo, 
clicamos em Medidas na barra de ferramentas da janela gráfica, e outra janela com o nome Medidas 
se abrirá. Posicione o cursor no primeiro retângulo, abaixo da palavra medida, e digite o símbolo “<” 
para indicar ângulo e ABC na sequência. Procedendo dessa forma, saberemos qual o ângulo formado 
entre as semirretas AB e AC. Lembre-se de pressionar a tecla Enter do teclado do computador após ter 
digitado <ABC. 
Figuras 135 - Medindo ângulos de um hexágono regular
A figura 128 ilustra algumas medidas de ângulos realizadas. Note que 120.00000 indica precisão de 
cinco casas depois da vírgula (nesse software, a vírgula é representada por um ponto), e a medida do 
ângulo é de 120º. 
 Observação
Caso os pontos sejam inseridos em letras minúsculas, o Wingeom 
efetuará o cálculo da mesma forma. Entretanto, lembre-se de que o padrão 
matemático para representar um ponto é usar maiúsculas. Na janela 
Medidas, também é possível calcular a soma ou a subtração de ângulos. 
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1. Para somar, basta digitar <ABC + <CDE e, na sequência, teclar Enter.
2. Para subtrair, basta digitar 180 - <ABC e, na sequência, teclar Enter. Perceba que não é preciso 
entrar com o símbolo de graus, pois esse é o padrão do Wingeom.
O aluno pode se apoiar nesse recurso de medir ângulos do Wingeon para conferir a tabela que 
preencheu na atividade Construindo semirretas e retas usando a opção Botão da barra de ferramentas.
8.8 Construindo retas paralelas e transversais
Vamos construir duas retas AB e CD paralelas. Em seguida, tracemos uma reta AC transversal nas 
duas primeiras retas. Passos das construções:
1º - Clique no item Botões, na barra de ferramentas da janela gráfica, e depois selecione o tema 
Retas (BE). 
2º - Na região da janela gráfica, construa três pontos. Como a janela está sem nada construído, os 
pontos serão automaticamente denominados A, B e C. 
3º - Clique na região delimitada do ponto A e arraste (BD) até a região do ponto B. Teremos a reta AB.
4º - Clique no item Reta na barra de ferramentas da janela gráfica e depois selecione o tema. Abrir-
se-á a janela desenhar reta como ilustra a figura 129. Clique em desenhar.
 
Figura 136 - Construindo reta paralela 
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5º - Clique em fechar. Agora, já temos retas paralelas. Vamos construir a transversal.
6º - Clique novamente no item Botões na barra de ferramentas da janela gráfica, depois selecione o 
tema Retas (BE). Posicione o cursor do mouse e clique na região delimitada do ponto A e arraste 
(BD) até a região do ponto C (figura 130).
Figura 137 – Construindo a transversal AC
Exemplo de aplicação
Ângulos congruentes, suplementares e ponto de interseção de duas retas 
Atenção: essa atividade deve ser tema de debate no fórum da disciplina.
Este exercício encontra-se dividido em quatro partes. Na primeira, realizamos a construção 
geométrica e, na segunda parte, o aluno deve realizar as medidas dos ângulos solicitados e assinalar V 
(verdadeiro) ou F (falso) para as assertivas apresentadas. Na terceira parte, o aluno movimentará apenas 
a transversal e fará nova análise, como realizado na unidade II e avaliará o que acontece com as medidas 
dos ângulos e com as assertivas. Na quarta e última parte, o aluno movimentará a transversal e uma 
paralela e avaliará o que acontece.
Parte I
Trace duas retas paralelas (AB e CB) e uma transversal (EF), sendo E e F pontos fora das retas 
AB e CD. 
Construção geométrica: a construção de retas paralelas e transversal já foi aprendida. O detalhe é 
que os pontos E e F em que o aluno irá construir a reta transversal têm que ser criados, o que é bem fácil. 
A novidade é fazer o Wingeom marcar o ponto de interseção entre a transversal e as paralelas. Vamos 
fazer um passo a passo acelerado, até marcarmos a interseção.
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1º - Construir A, B e traçar a reta AB.
2º - Construir o ponto C e traçar CD paralela à AB.
3º - Construir os pontos E e F e traçar EF.
4º - O ponto G será a interseção entre AB e EF. Para obter G, o aluno deve: (i) clicar na opção Ponto 
da barra de ferramentas da janela gráfica; (ii) selecionar Interseção; (iii) e clicar em 1 Reta-reta 
(figura 131). 
 
Figura 138 - Marcar interseção de duas retas
5o - A janela Interseção abrirá (figura 132): (i) no retângulo da primeira reta, digite AB; (ii) no 
retângulo da segunda reta, digite EF; (iii) opte por marcar, repita o procedimento para obter o 
ponto H, depois clique em fechar; (iv) opte por fechar e o aluno terá a figura 133.
Figura 139 - Janela interseção 
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Figura 140 - Duas retas paralelas e uma transversal com as interseções marcadas
Parte II
Para preencher o quadro a seguir, o aluno precisa ter realizado a parte I dessa atividade no Wingeom. 
Após construir suas paralelas e a perpendicular, calcule as medidas dos ângulos pedidos.
Tabela 3
ângulo medida ângulo medida
EGA EGB
BGH AGH
CHG GHD
DHF CHF
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as assertivas:
(I) Os ângulos agudos são congruentes. ( )
(II) Os ângulos obtusos são congruentes. ( )
(III) Os ângulos agudos e obtusos são suplementares. ( )
Parte III
Movimentando apenas a transversal
Vamos clicar em Botões na barra de ferramentas da janela gráfica e selecionar Arrastar vértice 
(BE). Feito isso, será possível mover a posição dos vértices E e F da reta EF. Em seguida, preencha o 
quadro. Atenção para não alterar a posição de outros vértices agora. 
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Tabela 4
ângulo medida ângulo medida
EGA EGB
BGH AGH
CHG GHD
DHF CHF
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as assertivas:
(I) Os ângulos agudos são congruentes. ( )
(II) Os ângulos obtusos são congruentes. ( )
(III) Os ângulos agudos e obtusos são suplementares. ( )
Parte IV
Movimentando a transversal e uma paralela
Vamos clicar em Botões na barrade ferramentas da janela gráfica e selecionar Arrastar vértice (BE). Feito 
isso, será possível mover a posição dos vértices que quiser. Após essa atividade, preencha o quadro a seguir.
Tabela 5
ângulo medida ângulo medida
EGA EGB
BGH AGH
CHG GHD
DHF CHF
Assinale V (verdadeiro) ou F (falso) para as assertivas:
(I) Os ângulos agudos são congruentes. ( )
(II) Os ângulos obtusos são congruentes. ( )
(III) Os ângulos agudos e obtusos são suplementares. ( )
8.9 Construindo circunferência: raio-centro 
Para usarmos essa técnica, precisamos de um ponto para ser o centro da circunferência e um valor 
para ser seu raio. Veja o passo a passo:
1º - Clique no item Botões na barra de ferramentas da janela gráfica; depois, selecione o tema 
Circunferência (BE).
2º - Na região da janela gráfica, construa um ponto. 
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3º - Clique no item Circunferência, na barra de ferramentas da janela gráfica; em seguida, clique 
na opção raio-centro, e a janela da figura 134 se abrirá.
Figura 141 - Circunferência raio-centro
4º - Escolha uma circunferência (nesse exemplo: centro em A e raio igual a 2 u.m).
5º - Clique em desenhar e depois, em fechar.
 Lembrete
Para construirmos uma circunferência usando o Wingeom e aplicando 
a técnica Raio-centro, precisamos de um ponto para ser o centro da 
circunferência e um valor para ser seu raio.
Exemplo de aplicação
Explore o Wingeom e reproduza a figura 135. Note que o fundo dela é branco e existem círculos 
azuis.
H
D
B
C
E
I
A
Figura 142 - Interseção azul entre circunferências com fundo branco
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Dicas: 
1. Para colocar o fundo branco, usamos a barra de ferramentas da janela gráfica e buscamos as 
seguintes opções: outros -> cores -> fundo. 
2. Para desenhar as circunferências e traçar as interseções, usamos as janelas das figuras 134 e 135.
Figura 143 - Construindo circunferências passando por um ponto
Figura 144 - Marcar a interseção entre duas circunferências
O desafio é investigar o Wingeom para saber como mudar a cor do traço da forma geométrica a 
construir ou já construída. Nesse caso, as circunferências em azul.
 Saiba mais
Existem disponíveis outros programas de computação para o ensino 
da matemática. Visite o link a seguir: <http://www.inf.ufsc.br/~edla/
publicacoes/Geoart.pdf>. Acesso em 7 ago. 2012.
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Geometria Plana
 Resumo
Nesta unidade, apresentamos um software livre para ser usado no estudo 
pessoal das geometrias, bem como para servir de ferramenta de futuro 
trabalho docente na preparação de aulas, de exercícios e de atividades. 
O software aqui apresentado foi o Wingeom, que oferece recursos nos 
espaços bidimensional e tridimensional, bem como a possibilidade de 
construir animações de forma simples e direta. 
No que se refere ao foco do estudo da disciplina de geometria plana, 
os recursos bidimensionais apresentados pelo Wingeom são: construções 
geométricas e analíticas (pontos, reta, ângulo, circunferência, elipse etc.); 
construções (divisão de segmentos, divisão de ângulos, paralelas, pontos 
notáveis num triângulo, circunferências inscritas e circunscritas, equação, 
entre outros); unidades (triângulos, segmentos, polígonos, cônicas etc.); 
transformações (translação, rotação, dilatação, contração, reflexão, 
entre outras); medidas (comprimento, perímetro, ângulo, área etc.). Em 
movimentos, o aluno pode movimentar os objetos geométricos criados 
(aproximar, afastar, girar etc.), e em edições, é possível manipular legendas, 
realce, coordenada, cor, espessura, estilo etc. Além disso, os objetos 
geométricos criados podem ser animados, usando o comando animações. 
 Exercícios
Questão 1. (prova de Matemática, Enade 2005). Observe a seguinte atividade de construções geométricas.
• Construir um triângulo ABC qualquer.
• Traçar a bissetriz do ângulo BAC e, em seguida, a do ângulo ABC .
• Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes.
• Traçar a bissetriz do ângulo ACB .
O que observa? Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará à 
mesma observação?
O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de outras similares:
A) Pode mostrar que o estudo das construções com régua e compasso é desnecessário.
B) Dispensa a demonstração dos resultados encontrados pelos alunos.
C) Prejudica o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo.
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D) Dificulta o desenvolvimento do pensamento geométrico.
E) Pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos.
Resposta correta: Alternativa E.
Análise das alternativas:
Com base nos conhecimentos sobre softwares educacionais, softwares de geometria dinâmica e 
geometria básica, podemos analisar as alternativas da questão, conforme segue.
A – Alternativa incorreta.
Justificativa: as construções feitas com o auxílio de régua e compasso e o uso de softwares são 
complementares, envolvem diferentes tipos de mediações e mobilizam funções cognitivas distintas.
B – Alternativa incorreta.
Justificativa: os softwares de geometria dinâmica reforçam a necessidade da demonstração dos 
resultados encontrados pelos alunos.
C – Alternativa incorreta.
Justificativa: os softwares de geometria dinâmica auxiliam no desenvolvimento lógico-dedutivo.
D – Alternativa incorreta.
Justificativa: os softwares de geometria dinâmica auxiliam no desenvolvimento do pensamento 
geométrico.
E – Alternativa correta.
Justificativa: o uso de softwares de geometria dinâmica pode contribuir para a elaboração de 
conjecturas pelos alunos, fazendo com que cheguem às comprovações de suas hipóteses.
Questão 2. Sobre os softwares livres, o Wingeom e os conceitos de Geometria Plana, pode-se 
afirmar, exceto:
A) Um software livre é licenciado por termos que respeitam as liberdades do usuário de executar 
o programa para qualquer propósito, de estudar como o programa funciona e adaptá-lo às suas 
necessidades, de redistribuir cópias de modo que isso possa ajudar ao próximo e de aperfeiçoar o 
programa e distribuir os aperfeiçoamentos de modo que toda a comunidade se beneficie.
B) O Wingeom é um software livre que permite construções geométricas em duas ou três dimensões 
e por meio de animação, possibilitando a verificação de diversas propriedades geométricas. Além 
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Geometria Plana
disso, é um programa de fácil utilização, sendo que cada menu dele tem seu próprio arquivo de 
ajuda.
C) O Wingeom pode ser utilizado para o estudo de conceitos de Geometria Plana e Geometria 
Espacial.
D) A função Rotacionar do Wingeom é uma das mais importantes funções auxiliares em 3-D, 
pois é fundamental para uma melhor visualização de determinadas características das figuras 
geométricas.
E) Por meio do Wingeom, podemos verificar que o polígono de 10 lados apresenta 40 diagonais.
Resolução desta questão na plataforma.
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FIgURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 5
Monica_biljard copy.jpg. Disponível em: < http://www.morguefile.com/archive/display/746904>. 
Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 64
Boisko wirtualne.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/632065>. Acesso 
em: 04 jul. 2012.
Figura 76
GA_National_Fair_2006_022b.jpg. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/
display/142927>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 82
coinsCN_0762.jpg. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive/display/109778>. Acesso em: 
04 jul. 2012.
Figura 121
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 122 
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em:04 jul. 2012.
Figura 123
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 124
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 125
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 126
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
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Figura 127
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 128
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 129
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 130
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 131 
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 132
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 133
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 134
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 135
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 136
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 137
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
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Figura 138
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 139
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 140
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 141
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 142
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
Figura 143
Disponível em: <http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. Acesso em: 04 jul. 2012.
REFERêNCIAS BIBLIogRáFICAS
Textuais
BANCO INTERNACIONAL DE DE OBJETOS EDUCACIONAIS. In: BRASIL. MEC. Área e perímetro de 
retângulos. Disponível em: <http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/5385>. Acesso em: 03 
ago. 2012.
BROLEZZI, A.; SALLUM, E.; MONTEIRO, M.- Geometria plana. São Paulo: USP, 2005. Disponível em: 
<http://200.144.189.54/tudo/exibir.php?midia=pru&cod=_geometriaplana>. Acesso em: 03 ago. 2012.
DIAS, J. A. R.; DANTAS, C.; VAREJO, T. J. Pitágoras. Urcamp, 2000. Disponível em: <http://www.urcamp.
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DOLCE, O.; NICOLAU. J. Fundamentos de matemática elementar. V.9 Geometria Plana. São Paulo: Atual 
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FUVEST. Programa de vestibular 2003: matemática. Disponível em: <http://www.fuvest.br/vest2003/
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GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. 3 ed. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
GRAVINA, M. A. EDUMATEC – Educação matemática e tecnologia. Disponível em: <http:// www.
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IMENES, L. M.; LELLIS, M. Geometria de mosaicos. São Paulo: Scipione, 2000.
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SItes
<http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html>. 
Exercícios
Unidade I. Questão 1. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
15. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 19 ago. 2012. 
Unidade I. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO TEIXEIRA (INEP). 
Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Matemática. Questão 37. Disponível 
em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 19 
ago. 2012.
Unidade II. Questão 1. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Matemática. Questão 
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16. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 19 ago. 2012.
Unidade II. Questão 2. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Matemática. Questão 
31. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 19 ago. 2012.
Unidade III. Questão 1. INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
34. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 20 ago. 2012.
95
96
Informações:
www.sepi.unip.br ou 0800 010 9000