Calcule o valor aproximado de x na equação

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Calcule o valor aproximado de x na equação √x+√x−1=3x+x−1=3, utilizando o método de Newton com chute inicial igual a 6 e com 5 iterações.
	
	
	
	1.7777
	
	
	0,2777
	
	
	0,1777
	
	
	0,32000
	
	
	2.7777
	Data Resp.: 06/04/2022 20:00:19
		Explicação:
Gabarito: 2.7777
Justificativa:
Substituindo os dados da questão e fazendo a i=xi=x, temos a seguinte função, na qual desejamos encontrar a raiz:
f(x)=√x+√x−1−3f(x)=x+x−1−3
Aplicando o método de Newton:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
return np.sqrt(x) + np.sqrt(x-1) -3
def df(x):
return 1/2*((1/np.sqrt(x)) + (1/np.sqrt(x-1)))
x= np.linspace(1,10,1001)
y= f(x)
plt.plot(x,y)
def newton(chute, iteracoes=10):
raiz = chute
for i in range(iteracoes):
raiz = raiz - f(raiz)/df(raiz)
return raiz
print(`x=¿,newton(6,5)) 
 
x=2.777777777777777
	
	
	 
		
	
		2.
		Suponha que um computador arredonde para 2 casas decimais os números escritos na notação de ponto flutuante e considere a função:
f(x)=(cosx)21+senxf(x)=(cosx)21+senx
Sabendo que o valor exato de f(1,5)=0,002505013f(1,5)=0,002505013, determine o erro relativo no cálculo de f(x)f(x), onde sen(1.5)sen(1.5) e cos(1.5)cos(1.5) são, aproximadamente, igual a 1 e 0,071.
	
	
	
	0,02
	
	
	0,03
	
	
	0,003
	
	
	0,002
	
	
	1
	Data Resp.: 06/04/2022 20:00:25
		Explicação:
Gabarito: 0,002
Justificativa: Tem-se: (cos(1,5))2=0,005(cos(1,5))2=0,005 e sen(1.5)+1=2sen(1.5)+1=2, logo g(1.5)=0,005/2=0,0025g(1.5)=0,005/2=0,0025
e=0,002505013−0,00250,002505013=0,002e=0,002505013−0,00250,002505013=0,002
	
	
	 
		
	
		3.
		O método de Gauss-Jordan transforma a matriz A do sistema Ax=b, em uma matriz:
	
	
	
	Triangular superior.
	
	
	Tridiagonal.
	
	
	Pentadiagonal.
	
	
	Triangular inferior.
	
	
	Identidade.
	Data Resp.: 06/04/2022 19:57:00
		Explicação:
Por definição o método Gauss Jordan transforma a matriz A numa matriz identidade.
	
	
	 
		
	
		4.
		Dado o sistema:
∣∣
∣
∣
∣∣224−2132131311342∣∣
∣
∣
∣∣|224−2132131311342|∣∣
∣
∣
∣∣x1x2x3x4∣∣
∣
∣
∣∣|x1x2x3x4|= ∣∣
∣
∣
∣∣10171827∣∣
∣
∣
∣∣|10171827|
Calcule a soma x1+x2+x3+x4 usando o método Gauss-Jordan
	
	
	
	9
	
	
	10
	
	
	12
	
	
	11
	
	
	13
	Data Resp.: 06/04/2022 20:00:03
		Explicação:
No Python usando método Gauss Jordan:
	
	
	 
		
	
		5.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2:
	
	
	
	1,47217
	
	
	1,43217
	
	
	1,45217
	
	
	1,49217
	
	
	1,41217
	Data Resp.: 06/04/2022 19:57:21
		Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- A técnica de integração a ser utilizada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de partições (n)
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x);
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg;
- O valor inicial do intervalo de integração é 1;
- O valor final do intervalo de integração é 2; e
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2.
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir:
 
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: x - sp.cos(x)
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True)
	
	
	 
		
	
		6.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - sen(x) no intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 2:
	
	
	
	0,50355
	
	
	0,58355
	
	
	0,54355
	
	
	0,56355
	
	
	0,52355
	Data Resp.: 06/04/2022 19:57:33
		Explicação:
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A função a ser integrada;
- A técnica de integração a ser utilizada;
- O valor inicial do intervalo de integração;
- O valor final do intervalo de integração; e
- A quantidade de partições (n)
Neste exemplo, temos que:
- A função a ser integrada é f(x) = x - sen(x);
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg;
- O valor inicial do intervalo de integração é 1;
- O valor final do intervalo de integração é 2; e
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2.
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o código em Python indicado a seguir:
 
import scipy as sp
from scipy import integrate
func = lambda x: x - sp.sin(x)
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True)
 
	
	
	 
		
	
		7.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(2) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,20. Utilize o método de Runge-Kutta:
	
	
	
	0,81
	
	
	0,83
	
	
	0,77
	
	
	0,79
	
	
	0,75
	Data Resp.: 06/04/2022 19:57:53
		Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2;
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 2;
- O tamanho de cada intervalo é 0,2; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.74
	
	
	 
		
	
		8.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y'  = 2y, sendo y(0) = 3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta:
	
	
	
	22,567
	
	
	22,167
	
	
	22,957
	
	
	22,757
	
	
	22,367
	Data Resp.: 06/04/2022 19:58:12
		Explicação:
A Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 2y;
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 1;
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e
- O valor da função no ponto inicial é 3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 22.16.
	
	
	 
		
	
		9.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,30. Utilize o método de Runge-Kutta:
	
	
	
	2,509
	
	
	2,709
	
	
	2,609
	
	
	2,409
	
	
	2,309
	Data Resp.: 06/04/2022 19:58:25
		Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = cos(y) + sen(y);
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 3;
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir:
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.308
	
	
	 
		
	
		10.
		Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(1) em face da resoluçãoda EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,10. Utilize o método de Runge-Kutta:
	
	
	
	0,509
	
	
	0,489
	
	
	0,469
	
	
	0,429
	
	
	0,449
	Data Resp.: 06/04/2022 19:58:42
		Explicação:
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, como:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita;
- O ponto inicial;
- O ponto final;
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e
- O valor da função no ponto inicial.
Neste exemplo, temos que:
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2;
- O ponto inicial é 0;
- O ponto final é 1;
- O tamanho de cada intervalo é 0,1; e
- O valor da função no ponto inicial é 0,3.
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: