Simulado - 2022 1 - modelagem matematica- Estácio de Sá

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Disc.: MODELAGEM MATEMÁTICA 
Aluno(a): 
Acertos: 9,0 de 10,0 **/05/2022 
 
 
1a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Calcule o valor aproximado de x na equação √ x +√x−1=3 
, utilizando o método de Newton com chute inicial igual a 6 e com 5 iterações. 
 
 
2.7777 
 
1.7777 
 
0,2777 
 
0,1777 
 
0,32000 
 
 
Explicação: 
Gabarito: 2.7777 
Justificativa: 
Substituindo os dados da questão e fazendo a i=x 
 
, temos a seguinte função, na qual desejamos encontrar a raiz: 
f(x)=√ x +√x−1−3 
Aplicando o método de Newton: 
import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt 
 
def f(x): 
return np.sqrt(x) + np.sqrt(x-1) -3 
 
def df(x): 
return 1/2*((1/np.sqrt(x)) + (1/np.sqrt(x-1))) 
 
x= np.linspace(1,10,1001) 
y= f(x) 
plt.plot(x,y) 
 
def newton(chute, iteracoes=10): 
raiz = chute 
 
for i in range(iteracoes): 
raiz = raiz - f(raiz)/df(raiz) 
return raiz 
 
print(`x=¿,newton(6,5)) 
 
x=2.777777777777777 
 
 
2a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Suponha que um computador arredonde para 2 casas decimais os números 
escritos na notação de ponto flutuante e considere a função: 
f(x)=(cosx)21+senx 
Sabendo que o valor exato de f(1,5)=0,002505013 
, determine o erro relativo no cálculo de f(x), onde sen(1.5) e cos(1.5) 
são, aproximadamente, igual a 1 e 0,071. 
 
 
0,002 
 
0,02 
 
0,03 
 
1 
 
0,003 
 
 
Explicação: 
Gabarito: 0,002 
Justificativa: Tem-se: (cos(1,5))2=0,005 
 
 e sen(1.5)+1=2, logo g(1.5)=0,005/2=0,0025 
e=0,002505013−0,00250,002505013=0,002 
 
 
3a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Durante um experimento físico em um laboratório foram obtidos os seguintes 
dados: 
 
Determine a função qf(x)=m1log(x)+m2cos(x)+m3 e
x ue melhor se ajuste aos 
dados e calcule f(5.1) 
 
 
5.41 
 
7.41 
 
4.41 
 
6.41 
 
8.41 
 
 
Explicação: 
Executando o seguinte script: 
 
 
 
4a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Durante um experimento físico em um laboratório foram obtidos os seguintes 
dados: 
 
Determine a função f(x)=m0(1+ e 
m1x)que melhor se ajuste aos dados e calcule 
f(3.1) 
 
 
5.04 
 
1.04 
 
3.04 
 
2.04 
 
4.04 
 
 
Explicação: 
Executando o seguinte script: 
 
 
 
5a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - cos(x) 
no intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 
2: 
 
 
1,45217 
 
1,43217 
 
1,47217 
 
1,41217 
 
1,49217 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo 
definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - cos(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 1; 
- O valor final do intervalo de integração é 2; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o 
código em Python indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.cos(x) 
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 
 
 
6a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor da integral de x - sen(x) 
no intervalo de 1 a 2. Utilize o método de Romberg, com aproximação até n = 
2: 
 
 
0,52355 
 
0,54355 
 
0,50355 
 
0,56355 
 
0,58355 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de integração numérica em um intervalo 
definido requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A função a ser integrada; 
- A técnica de integração a ser utilizada; 
- O valor inicial do intervalo de integração; 
- O valor final do intervalo de integração; e 
- A quantidade de partições (n) 
Neste exemplo, temos que: 
- A função a ser integrada é f(x) = x - sen(x); 
- A técnica de integração a ser utilizada é a Extrapolação de Romberg; 
- O valor inicial do intervalo de integração é 1; 
- O valor final do intervalo de integração é 2; e 
- A quantidade de partições é dada por 2n, sendo n = 2. 
Assim, aplicando os conceitos para o método de Romberg, temos o 
código em Python indicado a seguir: 
 
import scipy as sp 
from scipy import integrate 
func = lambda x: x - sp.sin(x) 
result = integrate.romberg(func, 1, 2, show=True) 
 
 
 
7a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução 
da EDO de 1ª ordem y' = cos(y) + sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. 
Utilize o método de Runge-Kutta: 
 
 
2,403 
 
2,303 
 
2,603 
 
2,703 
 
2,503 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias 
de primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos 
importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 
cos(y) + sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.30. 
 
 
8a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(2) em face da resolução 
da EDO de 1ª ordem y' = y2, sendo y(0) = 0,3. Considere h = 0,20. Utilize o método 
de Runge-Kutta: 
 
 
0,81 
 
0,83 
 
0,77 
 
0,79 
 
0,75 
 
 
Explicação: 
A resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = y2; 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 2; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,2; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 0.74 
 
 
9a 
 Questão 
Acerto: 0,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativa que apresenta o valor de y(3) em face da resolução 
da EDO de 1ª ordem y' = sen(y), sendo y(0) = 0,2. Considere h = 0,30. Utilize o 
método de Runge-Kutta: 
 
 
2,42 
 
2,62 
 
2,52 
 
2,22 
 
2,32 
 
 
Explicação: 
Aa resolução do problema de valor inicial em equações diferenciais ordinárias de 
primeira ordem requer que o enunciado forneça alguns elementos importantes, 
como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
- O ponto inicial; 
- O ponto final; 
- A quantidade de intervalos (ou o tamanho de cada intervalo); e 
- O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é y' = 
sen(y); 
- O ponto inicial é 0; 
- O ponto final é 3; 
- O tamanho de cada intervalo é 0,3; e 
- O valor da função no ponto inicial é 0,2. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: 
 
Executando o código indicado, você obterá a resposta 2.22. 
 
 
10a 
 Questão 
Acerto: 1,0 / 1,0 
 
Assinale a ÚNICA alternativaque apresenta o valor de y(0,4) em face da 
resolução da EDO de 1ª ordem y' = 2.cos(y), sendo y(0) = 3. Considere h = 
0,1. Utilize o método de Euler: 
 
 
2,388 
 
2,288 
 
2,588 
 
2,488 
 
2,688 
 
 
Explicação: 
Como vimos neste tema, a resolução do problema de valor inicial em 
equações diferenciais ordinárias de primeira ordem requer que o 
enunciado forneça alguns elementos importantes, como: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita; 
O ponto inicial; O ponto final; A quantidade de intervalos (ou o 
tamanho de cada intervalo); e O valor da função no ponto inicial. 
Neste exemplo, temos que: 
- A equação diferencial ordinária de primeira ordem propriamente dita é 
y' = 2.cos(y); O ponto inicial é 0; O ponto final é 0,4; O tamanho de 
cada intervalo é 0,1; e O valor da função no ponto inicial é 3. 
Isso posto, utilize o método indicado a seguir: