Questão resolvida - Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região compreendida por f(x)x, g(x)2-x e x0, rotacionando em torno do eixo y - Cálculo II

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região 
compreendida por , e , rotacionadando em torno do f x = x( ) 2 g(x) = 2 - x2 x = 0
eixo , usando o método das cascas cilíndricas.y
 
Resolução:
Primeiro, é preciso encontrar a intercesão entre as curvas, isso é feito como na sequência;
x = 2 - x x + x = 2 2x = 2 x = x = 1 x = ± x = ±12 2 → 2 2 → 2 → 2
2
2
→
2
→ 1 →
 
Se x = 1 f 1 = 1 f 1 = 1 ponto 1, 1→ ( ) ( )2 → ( ) → ( )
 
Se x = -1 f -1 = -1 f -1 = 1 ponto -1, 1→ ( ) ( )2 → ( ) → ( )
 
A parábola f x tem concavidade voltada para cima e a parábola g(x) tem concavidade voltada( )
para baixo e toca o eixo y em 2.
Com essas informações, é possível montar o gráfico com a região a ser rotacionada:
 
 
Usando o método das cascas cilíndricas, o volume é dado pela fórmula:
 
V = 2𝜋 xf x dx
b
a
∫ ( )
 
Veja, pelo gráfico, que o limite de integração vai, em x, de 0 a 1. Dessa forma, o volume é 
dado pelo volume gerado pela curva menos o volume gerado pela curva , g(x) f x( )
matematicamente fica;
 
V = 2𝜋 x 2 - x dx - 2𝜋 xx dx V = 2𝜋 x 2 - x - x dx
1
0
∫ 2
1
0
∫ 2 →
1
0
∫ 2 2
 
V = 2𝜋 x 2 - 2x dx = 2𝜋 2 x - x dx = 4𝜋 -
1
0
∫ 2
1
0
∫ 3 x
2
2 x
4
4 1
0
 
V = 4𝜋 - - - = 4𝜋 - - 0 = 4𝜋 = 4𝜋
1
2
( )2 1
4
( )4 0
2
( )2 0
4
( )4 1
2
1
4
2 - 1
4
1
4
 
V = 𝜋 u. v.
 
 
(Resposta )