Cap 13 1 - Flambagem de Colunas

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24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
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FLAMBAGEM 
DE COLUNAS
13
As colunas devem ser 
projetadas para resistir à 
possibilidade de flambagem. 
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Objetivos:
Inicialmente faremos uma discussão geral 
sobre flambagem, seguida pela determinação 
da carga axial necessária para que ocorra a 
flambagem em uma coluna ideal.
Depois, faremos uma abordagem mais realista 
considerando qualquer flexão na coluna.
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13.1 Carga Crítica
13.2 Coluna Ideal com 
Apoios de Pinos
13.3 Colunas com Vários 
Tipos de Apoios
13.4 Fórmula da Secante
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13.1 Carga Crítica
Quando se projeta um elemento, é necessário que ele 
satisfaça requisitos específicos de tensão, deflexão e 
estabilidade. Portanto o Engenheiro deve projetar uma 
estrutura baseado nos seguintes requisitos:
Resistência: capacidade da estrutura suportar o 
carregamento externo sem romper.
Rigidez: capacidade da estrutura suportar o 
carregamento externo sem se deformar exageradamente.
Estabilidade: capacidade da estrutura permanecer 
em equilíbrio em sua configuração original.
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O conceito de estabilidade do equilíbrio pode ser 
facilmente compreendido através do estado de 
equilíbrio de uma esfera.
Equilíbrio Estável: após uma pequena 
perturbação, a esfera voltará para a sua 
posição inicial de repouso em equilíbrio.
Equilíbrio Instável: após uma pequena 
perturbação, a esfera deixará a posição de 
repouso em equilíbrio e entrará em movimento.
Equilíbrio Neutro: após uma pequena 
perturbação, a esfera se manterá em 
repouso, em equilíbrio, na nova posição.
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Elementos estruturais submetidos a uma carga de 
compressão, caso sejam compridos e esbeltos, podem 
sofrer uma deflexão lateral devido a uma instabilidade 
do equilíbrio, se esta carga for suficientemente elevada.
Especificamente, elementos 
compridos e esbeltos sujeitos a 
uma força axial de compressão 
são chamados de colunas e a 
deflexão lateral que sofrem é 
chamada flambagem.
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Por conta disso, as colunas devem 
ser projetadas com atenção 
especial para que possam suportar 
com segurança as cargas 
pretendidas, sem que ocorra o 
fenômeno da flambagem.
Em geral, a flambagem de 
uma coluna leva a uma falha 
súbita da estrutura ou do 
mecanismo, devido às 
grandes deflexões sofridas.
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A carga axial máxima que 
uma coluna pode suportar 
quando está no limite da 
flambagem é chamada 
carga crítica (Pcr).
Qualquer carga adicional 
provocará flambagem da 
coluna, ou seja, causará uma 
grande deflexão lateral.
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É importante destacar que 
a flambagem ocorre para 
uma carga menor que 
aquela correspondente ao 
escoamento do material
por compressão axial.
Por isso, o projeto de 
colunas esbeltas deve ser 
feito com o máximo cuidado.
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Para compreendermos melhor 
a natureza dessa instabilidade 
(a flambagem), vamos 
considerar um mecanismo 
formado por uma mola e duas 
barras sem peso, rígidas e 
acopladas por pinos nas suas 
extremidades.
Quando as barras estão na 
posição vertical, a mola, com 
rigidez k, está sem 
deformação e uma pequena 
força vertical P é aplicada no 
topo de uma das barras.
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Podemos alterar a posição de 
equilíbrio deslocando o pino em 
A uma pequena quantidade D.
Como mostra o diagrama de 
corpo livre do pino, quando as 
barras são deslocadas, a mola 
produzirá uma força de 
recuperação F=k.D, enquanto a 
carga aplicada P desenvolverá 
duas componentes horizontais 
Px=P.tgq, que tendem a empurrar 
o pino (e as barras) ainda mais 
para fora do equilíbrio.
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Se q for pequeno:
Assim, a força de 
restauração da mola será:
 
2.
tan( )sen
L
q q q
D
  
2
.L
kF
q

E a força perturbadora:
q.22 PPx 
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Se a força de restauração 
superar a perturbadora:
então, resolvendo 
em P, obtemos:
que é uma condição de 
equilíbrio estável.
2
2
L
k P
q
q
4
kL
P 
Neste caso, se for aplicado um 
pequeno deslocamento D ao 
mecanismo, o mesmo retornará para 
a configuração de equilíbrio original
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Por outro lado, se:
ou:
então o mecanismo estaria 
em equilíbrio instável.
2
2
L
k P
q
q
4
kL
P 
Neste caso, se for aplicado um 
pequeno deslocamento D ao 
mecanismo, o mesmo não
retornará para a configuração de 
equilíbrio original.
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E, o valor intermediário de 
P, definido por:
é a carga crítica:
Essa carga representa o caso de um 
mecanismo em equilíbrio neutro.
2
2
L
k P
q
q
4
cr
kL
P 
Neste caso, se for aplicado um 
pequeno deslocamento D ao 
mecanismo, o mesmo 
permanecerá em equilíbrio na 
configuração deformada.
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Esses 3 estados de equilíbrio estão representados 
graficamente na figura abaixo. O ponto de transição 
onde a carga é igual ao valor crítico é chamado de 
ponto de bifurcação, sendo:
crPP 
crPP 
crPP 
4
kL
PP cr 
equilíbrio neutro
equilíbrio estável
equilíbrio instável
Teoria válida para pequenos 
deslocamentos D.
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13.2 Coluna Ideal com Apoios de Pino
Aqui vamos determinar a carga crítica de 
flambagem para uma coluna apoiada em pino.
Perfeitamente reta antes da carga;
Material homogêneo e linear-elástico; 
Força normal P aplicada no centróide 
da seção transversal;
A coluna flete em um único plano.
A coluna a ser considerada 
é uma coluna ideal:
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Então, a carga P poderia ser aumentada até que o limite 
de escoamento ou ruptura do material fosse alcançado.
Entretanto, quando a carga 
crítica Pcr é atingida, a 
coluna está no limite de 
tornar-se instável.
Qualquer pequena redução de 
P para menos de Pcr permite 
que a coluna fique reta e 
qualquer aumento de P, além 
de Pcr, provoca aumento 
adicional da deflexão lateral.
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Então, para determinar a carga 
crítica e a forma de flambagem
da coluna, aplicaremos a 
equação diferencial da linha 
elástica, que relaciona o 
momento interno da coluna e 
sua forma fletida:
2
2
( )
d v
EI M x
dx

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Pelo diagrama de corpo 
livre de um segmento da 
coluna, obtemos o valor 
do momento M(x):
( )M x Pv 
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Assim, a equação diferencial da linha 
elástica pode ser reescrita como:
2
2
d v
EI Pv
dx
 
2
2
0
d v Pv
dx EI
 
Essa é uma equação diferencial 
homogênea de segunda ordem 
com coeficientes constantes. Sua 
soluçãogeral é dada por:
1 2 cos
P P
v C sen x C x
EI EI
   
       
   
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As duas constantes de integração da 
equação anterior são determinadas 
pelas condições de contorno nas 
extremidades da coluna.
0x  0v Em então: 2 0C 
x L 0v E, em então:
1 0
P
C sen L
EI
 
  
 
A solução trivial seria C1 = 0. 
Porém, neste caso, teríamos v = 0 
para qualquer valor da carga P.
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0
P
sen L
EI
 
  
 
O menor valor de P é obtido 
quando n=1, e a carga crítica 
para coluna é, portanto:
que é satisfeita se:
Por isso, devemos forçar 
uma solução não trivial:
P
L n
EI

ou:
2 2
2
n EI
P
L

 1,2,3,...n 
2
2cr
EI
P
L


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Essa carga é denominada carga 
de Euler, em homenagem ao 
matemático suíço Leonhard 
Euler, que solucionou o 
problema em 1757.
A forma fletida correspondente 
é definida pela equação:
1
x
v C sen
L


onde C1 representa a deflexão máxima, vmax, que ocorre 
no ponto médio da coluna (ver figura no slide anterior). 
Seu valor não pode ser obtido pois se desconhece a 
forma fletida exata da coluna que sofreu flambagem.
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2
2
2
L
EI
nP


2
2cr
EI
P P
L

 
crP
L
EI
P 44
2
2


É importante destacar que o número n 
corresponde ao número de semi-ondas da 
configuração deformada da coluna.
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2
2
L
EI
Pcr


Novamente o ponto de bifurcação representa o estado de 
equilíbrio neutro, no qual a carga crítica atua sobre a 
coluna, estando a mesma em iminência de flambagem.
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É independente da tensão de 
escoamento do material (E).
Colunas mais eficientes são as 
que possuem o maior momento 
de inércia (I).
Para uma mesma seção, quanto 
maior o vão L, menor será a carga 
crítica Pcr.
2
2
L
EI
Pcr


Observações sobre a Carga Crítica
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A flambagem ocorrerá sempre na direção 
de menor momento de inércia (I).
2
2
L
EI
Pcr

 bbaa II  
Os melhores perfis são aqueles 
que possuem momentos de 
inércia semelhantes nas 
direções principais.
Sob este aspecto, os tubos de 
seção circular vazada são os 
mais indicados.
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Resumo: Carga Crítica da Coluna Ideal
Pcr  máxima carga axial que a coluna pode 
suportar antes que ocorra a flambagem;
E  módulo de elasticidade do material;
I  o menor momento de inércia da seção 
transversal; 
L  comprimento da coluna birrotulada.
2
2
L
EI
Pcr


A equação de flambagem de uma coluna 
esbelta comprida apoiada por pino 
(birrotulada) pode ser reescrita e seus 
termos definidos como segue:
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2
2
L
EI
Pcr


2.rAI 
2
2












r
L
E
A
P
cr

Para fins de projeto, a equação 
anterior será mais conveniente se 
expressar o momento de inércia por:
onde r é o raio de giração da seção 
transversal, resultando em:
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cr  tensão normal média que corresponde à 
carga crítica de flambagem;
E  módulo de elasticidade do material;
L  comprimento da coluna birrotulada;
r  raio de giração da seção transversal, dado por:
2
2







r
L
E
cr


A equação anterior pode ser reescrita como:
que é a fórmula da 
tensão crítica, onde:
I
r
A
 sendo I o menor momento de inércia da 
área de seção transversal A da coluna.
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Por exemplo, considerando 
uma determinada área que 
tem um momento de Inércia 
Ix em relação ao eixo x. Se 
concentrarmos esta área em 
uma faixa estreita, paralela ao 
eixo x, e com o mesmo 
momento de inércia Ix, a 
distância rx dessa faixa ao 
eixo x, é o raio de giração.
O raio de giração representa a distância ao eixo de referência na 
qual se pode concentrar toda a área da superfície, de modo que 
se tenha o mesmo momento de inércia.
x
x
I
r
A

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Na fórmula da tensão crítica, a relação geométrica L/r 
é denominada índice de esbeltez. É representado pela 
letra l, e mede a flexibilidade das colunas.
Com isso, é possível 
traçarmos um 
gráfico da fórmula 
da tensão crítica, 
com eixos que 
representam a 
tensão crítica e o 
índice de esbeltez.
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Observar que as curvas valem apenas para tensões 
críticas abaixo do ponto de escoamento (limite de 
proporcionalidade) do material, ou seja: 
Assim, é possível 
determinarmos o 
menor índice de 
esbeltez admissível, 
ou índice de esbeltez 
limite, dado por: 
lim
lim E
L E
r
l 

 
  
 
Ecr  
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É possível ainda, através da equação exata da curvatura, 
calcular as deflexões v após a carga crítica Pcr:
 
2
2
3
2 2
1
d v
M xdx
EI
dv
dx

  
  
   
obtendo assim, a solução 
exata do problema:
1,05 crP P 0,20v L
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Observar que para um 
acréscimo de carga de apenas 
5% além da carga crítica, a 
deflexão no centro da coluna 
chega a 20% do vão L!
1,05 crP P 0,20v L
Então, a carga crítica é 
considerada como a carga limite 
para colunas esbeltas.
Este estado excessivo de 
deformação acabará por 
provocar a ruptura do material.
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O elemento estrutural A-36 W200 X 46 de 
aço mostrado na figura ao lado deve ser 
usado como uma coluna acoplada por 
pinos. Determine a maior carga axial que 
ele pode suportar antes de começar a 
sofrer flambagem ou antes que o aço 
escoe.
Exemplo 13.2
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Do apêndice B,
442 mm mm mm 66 103,15,105,45,5890  yx IIA
Por inspeção, ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y.
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média 
na coluna é
Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento,
Solução: