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Cap 13 1 - Flambagem de Colunas

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24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 1
FLAMBAGEM 
DE COLUNAS
13
As colunas devem ser 
projetadas para resistir à 
possibilidade de flambagem. 
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 2
Objetivos:
Inicialmente faremos uma discussão geral 
sobre flambagem, seguida pela determinação 
da carga axial necessária para que ocorra a 
flambagem em uma coluna ideal.
Depois, faremos uma abordagem mais realista 
considerando qualquer flexão na coluna.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 3
13.1 Carga Crítica
13.2 Coluna Ideal com 
Apoios de Pinos
13.3 Colunas com Vários 
Tipos de Apoios
13.4 Fórmula da Secante
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 4
13.1 Carga Crítica
Quando se projeta um elemento, é necessário que ele 
satisfaça requisitos específicos de tensão, deflexão e 
estabilidade. Portanto o Engenheiro deve projetar uma 
estrutura baseado nos seguintes requisitos:
Resistência: capacidade da estrutura suportar o 
carregamento externo sem romper.
Rigidez: capacidade da estrutura suportar o 
carregamento externo sem se deformar exageradamente.
Estabilidade: capacidade da estrutura permanecer 
em equilíbrio em sua configuração original.
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 5
O conceito de estabilidade do equilíbrio pode ser 
facilmente compreendido através do estado de 
equilíbrio de uma esfera.
Equilíbrio Estável: após uma pequena 
perturbação, a esfera voltará para a sua 
posição inicial de repouso em equilíbrio.
Equilíbrio Instável: após uma pequena 
perturbação, a esfera deixará a posição de 
repouso em equilíbrio e entrará em movimento.
Equilíbrio Neutro: após uma pequena 
perturbação, a esfera se manterá em 
repouso, em equilíbrio, na nova posição.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 6
Elementos estruturais submetidos a uma carga de 
compressão, caso sejam compridos e esbeltos, podem 
sofrer uma deflexão lateral devido a uma instabilidade 
do equilíbrio, se esta carga for suficientemente elevada.
Especificamente, elementos 
compridos e esbeltos sujeitos a 
uma força axial de compressão 
são chamados de colunas e a 
deflexão lateral que sofrem é 
chamada flambagem.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 7
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 8
Por conta disso, as colunas devem 
ser projetadas com atenção 
especial para que possam suportar 
com segurança as cargas 
pretendidas, sem que ocorra o 
fenômeno da flambagem.
Em geral, a flambagem de 
uma coluna leva a uma falha 
súbita da estrutura ou do 
mecanismo, devido às 
grandes deflexões sofridas.
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 9
A carga axial máxima que 
uma coluna pode suportar 
quando está no limite da 
flambagem é chamada 
carga crítica (Pcr).
Qualquer carga adicional 
provocará flambagem da 
coluna, ou seja, causará uma 
grande deflexão lateral.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 10
É importante destacar que 
a flambagem ocorre para 
uma carga menor que 
aquela correspondente ao 
escoamento do material
por compressão axial.
Por isso, o projeto de 
colunas esbeltas deve ser 
feito com o máximo cuidado.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 11
Para compreendermos melhor 
a natureza dessa instabilidade 
(a flambagem), vamos 
considerar um mecanismo 
formado por uma mola e duas 
barras sem peso, rígidas e 
acopladas por pinos nas suas 
extremidades.
Quando as barras estão na 
posição vertical, a mola, com 
rigidez k, está sem 
deformação e uma pequena 
força vertical P é aplicada no 
topo de uma das barras.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 12
Podemos alterar a posição de 
equilíbrio deslocando o pino em 
A uma pequena quantidade D.
Como mostra o diagrama de 
corpo livre do pino, quando as 
barras são deslocadas, a mola 
produzirá uma força de 
recuperação F=k.D, enquanto a 
carga aplicada P desenvolverá 
duas componentes horizontais 
Px=P.tgq, que tendem a empurrar 
o pino (e as barras) ainda mais 
para fora do equilíbrio.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 13
Se q for pequeno:
Assim, a força de 
restauração da mola será:
 
2.
tan( )sen
L
q q q
D
  
2
.L
kF
q

E a força perturbadora:
q.22 PPx 
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 14
Se a força de restauração 
superar a perturbadora:
então, resolvendo 
em P, obtemos:
que é uma condição de 
equilíbrio estável.
2
2
L
k P
q
q
4
kL
P 
Neste caso, se for aplicado um 
pequeno deslocamento D ao 
mecanismo, o mesmo retornará para 
a configuração de equilíbrio original
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 15
Por outro lado, se:
ou:
então o mecanismo estaria 
em equilíbrio instável.
2
2
L
k P
q
q
4
kL
P 
Neste caso, se for aplicado um 
pequeno deslocamento D ao 
mecanismo, o mesmo não
retornará para a configuração de 
equilíbrio original.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 16
E, o valor intermediário de 
P, definido por:
é a carga crítica:
Essa carga representa o caso de um 
mecanismo em equilíbrio neutro.
2
2
L
k P
q
q
4
cr
kL
P 
Neste caso, se for aplicado um 
pequeno deslocamento D ao 
mecanismo, o mesmo 
permanecerá em equilíbrio na 
configuração deformada.
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 17
Esses 3 estados de equilíbrio estão representados 
graficamente na figura abaixo. O ponto de transição 
onde a carga é igual ao valor crítico é chamado de 
ponto de bifurcação, sendo:
crPP 
crPP 
crPP 
4
kL
PP cr 
equilíbrio neutro
equilíbrio estável
equilíbrio instável
Teoria válida para pequenos 
deslocamentos D.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 18
13.2 Coluna Ideal com Apoios de Pino
Aqui vamos determinar a carga crítica de 
flambagem para uma coluna apoiada em pino.
Perfeitamente reta antes da carga;
Material homogêneo e linear-elástico; 
Força normal P aplicada no centróide 
da seção transversal;
A coluna flete em um único plano.
A coluna a ser considerada 
é uma coluna ideal:
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 19
Então, a carga P poderia ser aumentada até que o limite 
de escoamento ou ruptura do material fosse alcançado.
Entretanto, quando a carga 
crítica Pcr é atingida, a 
coluna está no limite de 
tornar-se instável.
Qualquer pequena redução de 
P para menos de Pcr permite 
que a coluna fique reta e 
qualquer aumento de P, além 
de Pcr, provoca aumento 
adicional da deflexão lateral.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 20
Então, para determinar a carga 
crítica e a forma de flambagem
da coluna, aplicaremos a 
equação diferencial da linha 
elástica, que relaciona o 
momento interno da coluna e 
sua forma fletida:
2
2
( )
d v
EI M x
dx

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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 21
Pelo diagrama de corpo 
livre de um segmento da 
coluna, obtemos o valor 
do momento M(x):
( )M x Pv 
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 22
Assim, a equação diferencial da linha 
elástica pode ser reescrita como:
2
2
d v
EI Pv
dx
 
2
2
0
d v Pv
dx EI
 
Essa é uma equação diferencial 
homogênea de segunda ordem 
com coeficientes constantes. Sua 
soluçãogeral é dada por:
1 2 cos
P P
v C sen x C x
EI EI
   
       
   
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 23
As duas constantes de integração da 
equação anterior são determinadas 
pelas condições de contorno nas 
extremidades da coluna.
0x  0v Em então: 2 0C 
x L 0v E, em então:
1 0
P
C sen L
EI
 
  
 
A solução trivial seria C1 = 0. 
Porém, neste caso, teríamos v = 0 
para qualquer valor da carga P.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 24
0
P
sen L
EI
 
  
 
O menor valor de P é obtido 
quando n=1, e a carga crítica 
para coluna é, portanto:
que é satisfeita se:
Por isso, devemos forçar 
uma solução não trivial:
P
L n
EI

ou:
2 2
2
n EI
P
L

 1,2,3,...n 
2
2cr
EI
P
L


24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 25
Essa carga é denominada carga 
de Euler, em homenagem ao 
matemático suíço Leonhard 
Euler, que solucionou o 
problema em 1757.
A forma fletida correspondente 
é definida pela equação:
1
x
v C sen
L


onde C1 representa a deflexão máxima, vmax, que ocorre 
no ponto médio da coluna (ver figura no slide anterior). 
Seu valor não pode ser obtido pois se desconhece a 
forma fletida exata da coluna que sofreu flambagem.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 26
2
2
2
L
EI
nP


2
2cr
EI
P P
L

 
crP
L
EI
P 44
2
2


É importante destacar que o número n 
corresponde ao número de semi-ondas da 
configuração deformada da coluna.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 27
2
2
L
EI
Pcr


Novamente o ponto de bifurcação representa o estado de 
equilíbrio neutro, no qual a carga crítica atua sobre a 
coluna, estando a mesma em iminência de flambagem.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 28
É independente da tensão de 
escoamento do material (E).
Colunas mais eficientes são as 
que possuem o maior momento 
de inércia (I).
Para uma mesma seção, quanto 
maior o vão L, menor será a carga 
crítica Pcr.
2
2
L
EI
Pcr


Observações sobre a Carga Crítica
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 29
A flambagem ocorrerá sempre na direção 
de menor momento de inércia (I).
2
2
L
EI
Pcr

 bbaa II  
Os melhores perfis são aqueles 
que possuem momentos de 
inércia semelhantes nas 
direções principais.
Sob este aspecto, os tubos de 
seção circular vazada são os 
mais indicados.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 30
Resumo: Carga Crítica da Coluna Ideal
Pcr  máxima carga axial que a coluna pode 
suportar antes que ocorra a flambagem;
E  módulo de elasticidade do material;
I  o menor momento de inércia da seção 
transversal; 
L  comprimento da coluna birrotulada.
2
2
L
EI
Pcr


A equação de flambagem de uma coluna 
esbelta comprida apoiada por pino 
(birrotulada) pode ser reescrita e seus 
termos definidos como segue:
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 31
2
2
L
EI
Pcr


2.rAI 
2
2












r
L
E
A
P
cr

Para fins de projeto, a equação 
anterior será mais conveniente se 
expressar o momento de inércia por:
onde r é o raio de giração da seção 
transversal, resultando em:
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 32
cr  tensão normal média que corresponde à 
carga crítica de flambagem;
E  módulo de elasticidade do material;
L  comprimento da coluna birrotulada;
r  raio de giração da seção transversal, dado por:
2
2







r
L
E
cr


A equação anterior pode ser reescrita como:
que é a fórmula da 
tensão crítica, onde:
I
r
A
 sendo I o menor momento de inércia da 
área de seção transversal A da coluna.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 33
Por exemplo, considerando 
uma determinada área que 
tem um momento de Inércia 
Ix em relação ao eixo x. Se 
concentrarmos esta área em 
uma faixa estreita, paralela ao 
eixo x, e com o mesmo 
momento de inércia Ix, a 
distância rx dessa faixa ao 
eixo x, é o raio de giração.
O raio de giração representa a distância ao eixo de referência na 
qual se pode concentrar toda a área da superfície, de modo que 
se tenha o mesmo momento de inércia.
x
x
I
r
A

24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 34
Na fórmula da tensão crítica, a relação geométrica L/r 
é denominada índice de esbeltez. É representado pela 
letra l, e mede a flexibilidade das colunas.
Com isso, é possível 
traçarmos um 
gráfico da fórmula 
da tensão crítica, 
com eixos que 
representam a 
tensão crítica e o 
índice de esbeltez.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 35
Observar que as curvas valem apenas para tensões 
críticas abaixo do ponto de escoamento (limite de 
proporcionalidade) do material, ou seja: 
Assim, é possível 
determinarmos o 
menor índice de 
esbeltez admissível, 
ou índice de esbeltez 
limite, dado por: 
lim
lim E
L E
r
l 

 
  
 
Ecr  
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Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 36
É possível ainda, através da equação exata da curvatura, 
calcular as deflexões v após a carga crítica Pcr:
 
2
2
3
2 2
1
d v
M xdx
EI
dv
dx

  
  
   
obtendo assim, a solução 
exata do problema:
1,05 crP P 0,20v L
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 37
Observar que para um 
acréscimo de carga de apenas 
5% além da carga crítica, a 
deflexão no centro da coluna 
chega a 20% do vão L!
1,05 crP P 0,20v L
Então, a carga crítica é 
considerada como a carga limite 
para colunas esbeltas.
Este estado excessivo de 
deformação acabará por 
provocar a ruptura do material.
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 38
O elemento estrutural A-36 W200 X 46 de 
aço mostrado na figura ao lado deve ser 
usado como uma coluna acoplada por 
pinos. Determine a maior carga axial que 
ele pode suportar antes de começar a 
sofrer flambagem ou antes que o aço 
escoe.
Exemplo 13.2
24/05/2019
Resistência dos Materiais II 
Prof. Thiago da Silveira 39
Do apêndice B,
442 mm mm mm 66 103,15,105,45,5890  yx IIA
Por inspeção, ocorrerá flambagem em torno do eixo y–y.
Quando totalmente carregada, a tensão de compressão média 
na coluna é
Visto que a tensão ultrapassa a tensão de escoamento,
Solução:

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