Viscosidade da glicerina pela Lei de Stokes

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Obtenção da viscosidade da glicerina pela Lei de Stokes
Higor Oliveira1 Jônatas de Oliveira2 e Jeovan Batista 3
Física Experimental II, 6N23, Turma A
9 de abril de 2022
Neste relatório reporta-se a obtenção da viscosidade da glicerina através da Lei de Stokes com uma otimização feita
pela regressão linear. Foram realizadas medições do tempo de queda de 5 esferas de aço distintas que foram abandonadas
em um cilindro com glicerina. O resultado obtido através do método utilizado foi de 𝜂 = (0, 86 ± 0, 13) Pa.s para a
temperatura local de 27 ◦𝐶. As principais fontes de erro se devem ao tempo de reação dos operadores dos cronômetros e
ao local em que o tubo foi colocado. Um teste de compatibilidade foi feito entre o valor experimental e o de referência
considerado e concluiu-se que o modelo se mostrou adequado.
1 Introdução
George. G. Stokes(1819-1903) físico e matemático ir-
landês foi de grande importância dentro das suas áreas. Uma
de suas contribuições a qual recebeu o nome em sua home-
nagem é a Lei de Stokes, que é a resolução de um caso
particular das equações de Navier-Stokes para qual se aplica
a corpos esféricos, em um fluído em regime laminar[1].
Para esse experimento serão abandonadas esferas de aço
em um tubo cheio de fluído com objetivo de obter suas
velocidades limite, permitindo assim, com a lei de Stokes
determinar a viscosidade desse fluído considerando as velo-
cidades das esferas e dos raios das mesmas.
Em tal situação a Lei de Stokes pode ser expressa como:
𝑉𝑙𝑖𝑚 =
2
9
𝑔(𝜌𝑠 − 𝜌 𝑓 )
𝜂
𝑟2 (1)
Onde 𝑉𝑙𝑖𝑚 é a velocidade do corpo após o equilíbrio entre a
força peso e as forças de empuxo e atrito se tornando cons-
tante. A gravidade é 𝑔, 𝜌𝑠 e 𝜌 𝑓 são as densidades do sólido
e do fluído respectivamente, 𝜂 é a viscosidade do fluído e, 𝑟
é o raio da esfera (sólido)
No caso do experimento mencionado o modelo foi ade-
quado para a medição, ficando:
𝑆
𝑡
=
2
9
𝑔(𝜌𝑠 − 𝜌 𝑓 )
𝜂
𝑑2
4
(2)
Onde 𝑆 é o deslocamento da esfera no fluído, 𝑡 é o tempo
necessário pra se mover uma determinada distância e 𝑑 é o
diâmetro da esfera.
Através deste modelo é realizada a determinação da vis-
cosidade da glicerina com o uso de uma esfera de aço inox.
2 Materiais e métodos
Para a determinação experimental da viscosidade de um
fluído foram usados os seguintes materiais: um tubo cilín-
drico que foi preenchido com glicerina, esferas de aço, um
termômetro de álcool de resolução Δ𝑟 = 1◦𝐶, um cronô-
metro de celular de resolução Δ𝑟 = 0, 01𝑠, um paquíme-
tro de resolução Δ𝑟 = 0, 02𝑚𝑚 e uma trena de resolução
Δ𝑟 = 1𝑚𝑚. Foram então escolhidas 5 esferas com dife-
rentes diâmetros medidos com auxílio do paquímetro. 7
marcações com intervalos de 10cm foram feitas no exterior
do tubo cilíndrico com a trena, e então foi registrado com o
cronômetro o tempo que levou para as esferas atravessarem
cada um dos 7 intervalos .
A partir do maior e do menor valor de cada grandeza
medida, obtém-se a flutuação
(
Δ 𝑓 = (𝑦𝑚𝑎𝑥 − 𝑦𝑚𝑖𝑛) /2
)
que
será comparada com a resolução do instrumento para clas-
sificar a incerteza associada como: Tipo A se Δ𝑟 > Δ 𝑓 ou
Tipo B se Δ𝑟 ≤ Δ 𝑓 . Para o Tipo A[2], o valor principal será
dado pela média dos valores obtidos, enquanto a sua incer-
teza pelo desvio padrão da média desses valores, corrigida
pela distribuição t de student.
Entretanto, o fabricante especificou que a distribuição
do paquímetro é do Tipo B triangular, logo sua incerteza
será dada por:
𝑢𝑝 =
Δ𝑟
√
6
(3)
O fabricante também especificou a função densidade de pro-
babilidade do termômetro e então foi feita uma linearização
e a sua incerteza será dada por[3]:
𝑢𝑡 =
√︄
3𝑥20Δ𝑥2 + Δ𝑥2
9Δ𝑥2
(4)
Onde a resolução do instrumento foi considerado como
sendo Δ𝑥 e o valor médio das medições foi 𝑥0 .
O fabricante não forneceu a distribuição de incerteza da
trena, então ela foi tratada como uma distribuição uniforme
e a sua incerteza é dada por:
𝑢𝑡𝑟 =
Δ𝑟
√
3
(5)
Para o cálculo da viscosidade 𝜂 será feita uma regressão
linear a partir da equação (2) resultando em:
𝑌 = 𝐵𝑋 + 𝐴 (6)
𝑉𝑙𝑖𝑚 = 𝑌, 𝐵 =
𝑔(𝜌𝑠 − 𝜌 𝑓 )
18𝜂
, 𝑋 = 𝑟2, 𝐴 = 0 (7)
As incertezas das medições indiretas e dos coeficientes A
e B da regressão linear serão calculados pelo método de
1
propagação de incerteza dada pela equação abaixo[3]:
𝑢𝑦 =
√√√ 𝑛∑︁
𝑘=1
(
𝜕𝑦
𝜕𝑥𝑘
)2
𝑢2𝑥𝑘 (8)
Através desses métodos descritos acima, os dados obtidos
serão discutidos na próximas seções. Um teste de compati-
bilidade entre o valor experimental e o de referência consi-
derado será aplicado dada a seguinte equação, considerando
um 𝑘 ≤ 1:
| �̄� − �̄� |√︃
𝑢2
𝐴
+ 𝑢2
𝐵
≤ 𝑘 (9)
3 Resultados
Com base nos valores medidos, verificou-se uma flutu-
ação do tempo de Δ 𝑓 = 0, 31𝑠, que é maior que a resolução
do cronômetro. Portanto, recebeu avaliação do Tipo A cor-
rigida pela distribuição t de student considerando 𝜈 = 4,
sendo assim uma correção de incerteza de 14%. O valor
do diâmetro foi medido apenas uma vez com o paquíme-
tro para cada esfera, recebendo então avaliação do Tipo B
seguindo a distribuição triangular(3). Para as medidas rea-
lizadas com a trena, também foi feita apenas uma medição
para cada distância diferente no tubo, recebendo então ava-
liação do Tipo B com uma distribuição uniforme. O valor
da temperatura da glicerina foi medido apenas uma vez, re-
cebendo uma avaliação Tipo B e seguindo a distribuição
de probabilidade descrita na seção anterior(4). As demais
incertezas foram avaliadas como Tipo C. Na Tabela 1 estão
apresentados os dados obtidos a partir da regressão linear(7)
e seguirá em anexo um gráfico contendo os pontos e a reta
de ajuste. Na Tabela 2 estão apresentados os diâmetros das
esferas e tempos de queda. Os intervalos considerados para
as médias dos tempos de queda foram entre 50cm e 70cm,
onde os tempos medidos se aproximaram, sugerindo que a
velocidade se tornou constante.
𝑉𝑙𝑖𝑚 (𝑚/𝑠) 𝑢𝑉 (𝑚/𝑠) 𝑑2 (𝑚2) 𝑢𝑑2 (𝑚2)
0,1724 0,0092 0,000022372 0,000000039
0,187 0,011 0,000023232 0,000000039
0,189 0,011 0,000024010 0,000000040
0,220 0,013 0,000037210 0,000000050
0,274 0,015 0,000040960 0,000000052
Tabela 1: Tabela da regressão linear
𝑑 (𝑚) 𝑢𝑑 (𝑚) 𝑡 (𝑠) 𝑢𝑡 (𝑠)
0,0047300 0,0000082 0,580 0,095
0,0048200 0,0000082 0,535 0,040
0,0049000 0,0000082 0,530 0,035
0,0061000 0,0000082 0,455 0,013
0,0064000 0,0000082 0,365 0,043
Tabela 2: Diâmetro das esferas e seus tempos de queda a
cada 10cm
O coeficiente de correlação de Pearson encontrado para
os 5 pares de valores foi de 𝑟 = 0, 94, que indica uma
probabilidade menor que 3,7% desses pares não se correla-
cionarem linearmente, justificando o uso da regressão linear.
Obteve-se os seguintes A e B para a regressão linear:
𝐴 = (0, 085 ± 0, 020) 𝑚/𝑠 e 𝐵 = (41, 4𝑥102 ± 7, 1𝑥102) 𝑚−1𝑠−1
Relacionando os coeficientes A e B encontrados da regressão com
a equação(7), torna-se possível a determinação da viscosidade da
glicerina e a sua incerteza será avaliada como Tipo C utilizando a
equação(8), obtendo assim um 𝜂 igual a:
𝜂 = (0, 86 ± 0, 13) Pa.s
4 Discussão
Através dos procedimentos especificados obtivemos resulta-
dos que dependem das condições de temperatura, que apesar de
não aparecer diretamente no modelo possuí grande interferência
sobre os valores dos resultados.
𝑆 foi o tempo para a esfera percorrer a distância predefinida e
esse tempo foi baixo, o que causou dificuldades durante o processo
de medição do mesmo, tais como a própria em se marcar o tempo
corretamente, desde que estavam dentro de uma escala onde o
tempo de reação da pessoa que mediu interfira no resultado. Outro
ponto a ser considerado é o posicionamento do cilindro de glice-
rina, que não estava em um alinhamento adequado para uma boa
visualização.
Considerando como referência para a viscosidade da glicerina
a relação encontrada no artigo de CHENG,N.S.[4] dada por:
𝜂𝑟 = 12100 exp
(
(−1233 + 𝑇)𝑇
9900 + 70𝑇
)
(10)
Onde a temperatura é levada em consideração, o 𝜂𝑟 encontrado para
a temperaturade (27, 00± 0, 58)◦𝐶 da glicerina foi de 𝜂𝑟 = 0, 746
Pa.s. Então foi realizado um teste de compatibilidade(9) entre o
resultado experimental e o usado como referência, obtendo um
𝑘 ≈ 0, 83, mostrando que os dois resultados encontrados são com-
patíveis.
5 Conclusão
O método experimental para a determinação da viscosidade
da glicerina se mostrou adequado, com uma boa compatibilidade
entre o valor de referência da equação(10).
O valor experimental para a viscosidade da glicerina obtida no
laboratório foi 𝜂 = (0, 86 ± 0, 13) Pa.s. No entanto, houve uma
incompatibilidade entre o valor teórico esperado para o coefici-
ente linear A e o valor encontrado experimentalmente do mesmo,
sugerindo a presença de erros.
As possíveis fontes de erro estão ligadas ao tempo de resposta
na cronometragem, bem como a dificuldade de enxergar as esferas
atravessando as marcações do tubo.
A utilização de um tubo maior implicaria na redução das in-
certezas e o registro dos tempos poderia ser feito através de um
vídeo para que a partir dele ser feita a analise dos dados. Tendo
o video e com a ajuda de um software seria mais eficaz saber o
instante em que as esferas cruzam as marcações.
6 Referências
[1] BRUNETTI, Franco. Mecânica dos fluidos. 2. ed. São
Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008
[2] GUM. Guia para expressão de incerteza de medição. 1ª
Edição Brasileira da 1ª Edição do BIPM de 2008
[3] Taylor, J. R. Introdução à análise de erros: O estudo de
incertezas em medições físicas, Editora Bookman. Porto Alegre
(2012) .
[4] CHENG, Nian-Sheng. Formula for the Viscosity of a
GlycerolWater Mixture. Industrial and Engineering Chemistry
Research 47.9 (2008): 3285–3288. Web.
2
Relação velocidade X diametro ao quadrado
V
lim
(m
/s)
0,16
0,18
0,2
0,22
0,24
0,26
0,28
0,3
d2(m2)
2e-05 2,5e-05 3e-05 3,5e-05 4e-05 4,5e-05
Y = 4137,08X + 0,08
A = 0,084 +- 0,020 m/s
B = 41,3 10 2+-7,1 . 10 2m -1s-1
Figura 1: grafico
3