Relatório Exp 01 - Densimetria (corrigido)

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Volta Redonda, 
Março de 2014. 
UFF – Universidade Federal Fluminense 
EEIMVR – Escola de Engenharia Industrial Metalúrgica de 
Volta Redonda 
 
 
 
 
PRÁTICA Nº. 01: Densimetria 
 
 
 
Disciplina: Física Experimental III 
Professor: Sebastian Ujevic Tonino 
Turma: VB 
Alunos: Bianca Chaves __________________________________________ 
Christian Almeida __________________________________________ 
Daniella Lopes __________________________________________ 
Juliana Tjäder __________________________________________ 
Nathan Fernandes __________________________________________ 
Sérgio Felipe __________________________________________ 
Thaysa Lima __________________________________________ 
 
INTRODUÇÃO 
O estudo da flutuação de um corpo é de suma importância, principalmente no projeto de boias 
e embarcações. Para se estudar a flutuação de um corpo é necessário conhecer a densidade do 
fluido e do corpo que estão sendo estudados, o que nos leva ao estudo da Densimetria, ou seja, 
medida da densidade. 
OBJETIVO 
Analisar experimentalmente a flutuação de um corpo (no caso deste experiência, um copo 
cilíndrico) e, a partir disso, determinar a densidade de um líquido, neste caso, água. Comparar 
valor obtido experimentalmente com o valor esperado, obtido com a utilização de um 
densímetro. 
FUNDAMENTOS TEÓRICOS 
O experimento foi basicamente fundamentado a partir do Princípio de Arquimedes, 
caracterizador da força mais significativa abordada no processo: o empuxo. Presente quando 
um corpo está total ou parcialmente imerso em um fluido, o empuxo é definido como a força 
resultante gerada pelo somatório das forças exercidas pelo líquido sobre todos os pontos do 
corpo, sendo esta dirigida de baixo para cima e de módulo igual e sentido contrário ao peso da 
porção de líquido deslocada pelo corpo e aplicada no centro de gravidade do mesmo, conforme 
exemplifica Figura 1. 
 
Figura 1: Esquema de forças sobre um corpo, em equilíbrio, imerso num fluido. (1) 
Excepcionalmente quando se trata de um sistema em equilíbrio, isto é, no qual o corpo em 
estudo encontra-se em repouso ou com velocidade constante, pode-se afirmar que o empuxo, 
apesar de contrário à força da gravidade, é igual ao peso do corpo (eq. 1). 
 
 𝐸 = 𝑃 ( 1 ) 
Como o sistema analisado no experimento satisfaz essa condição devido à periódica adição de 
areia para estabilizá-lo, isto é, mantê-lo boiando em equilíbrio estável, pôde-se utilizar a relação 
de igualdade da eq. 1, da qual foi deduzida a relação entre a profundidade de ℎ e a massa do 
copo com areia 𝑚 a seguir. 
 𝜌𝑙í𝑞𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙𝑔 = 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜𝑔 
 𝜌𝑙í𝑞 =
𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑉𝑑𝑒𝑠𝑙
=
𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝐴ℎ
 
 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 = 𝜌𝑙í𝑞𝐴ℎ ( 2 ) 
Para ajuste da melhor reta que se adapta a um conjunto de valores, utiliza-se o método dos 
mínimos quadrados, cujas equações se encontram abaixo. 
 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 ( 3 ) 
 𝑤 =
1
𝜎𝑦2
 ( 4 ) 
 𝑎 =
(∑ 𝑤)(∑ 𝑤𝑦𝑥) − (∑ 𝑤𝑦)(∑ 𝑤𝑥)
∆
 ( 5 ) 
 𝑏 =
(∑ 𝑤𝑦)(∑ 𝑤𝑥2) − (∑ 𝑤𝑦𝑥)(∑ 𝑤𝑥)
∆
 ( 6 ) 
 𝜎𝑎 = √
(∑ 𝑤)
∆
 ( 7 ) 
 𝜎𝑏 = √
(∑ 𝑤𝑥2)
∆
 ( 8 ) 
 ∆= (∑ 𝑤) (∑ 𝑤𝑥2) − (∑ 𝑤𝑥)
2
 ( 9 ) 
No caso em que 𝜎𝑦 é o mesmo para cada medida 𝑦𝑖, pode se utilizar as seguintes equações 
simplificadas do método dos mínimos quadrados. 
 
 𝑎 =
𝑁(∑ 𝑦𝑥) − (∑ 𝑦)(∑ 𝑥)
∆
 ( 10 ) 
 𝑏 =
(∑ 𝑦)(∑ 𝑥2) − (∑ 𝑦𝑥)(∑ 𝑥)
∆
 ( 11 ) 
 𝜎𝑎 = √
𝑁
∆
𝜎2 ( 12 ) 
 𝜎𝑏 = √
(∑ 𝑥2)
∆
𝜎2 ( 13 ) 
 ∆= 𝑁 (∑ 𝑥2) − (∑ 𝑥)
2
 ( 14 ) 
 
𝜎2 =
∑(ΔY𝑖)
2
𝑁 − 2
 
onde Δ𝑌𝑖 = 𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏) 
( 15 ) 
 
Para um conjunto finito de medidas, o melhor estimador para a medida correta dos valores é a 
média, dada pela seguinte equação: 
 �̅� = ∑
𝑥𝑖
𝑁
𝑁
𝑖=1
 ( 16 ) 
Para estimar seu erro, tem-se que, de antemão, calcular o desvio padrão dos valores pela 
seguinte equação: 
 𝑠 = √
∑ (�̅� − 𝑥𝑖)2
𝑁
𝑖=1
𝑁 − 1
 ( 17 ) 
Daí, pode-se calcular o erro estatístico da medida, dado por: 
 Δ𝑥𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 =
𝑠
√𝑁
 ( 18 ) 
O erro instrumental (ou sistemático) depende do seu tipo de medição. Sendo o aparelho digital, 
o erro pode vir especificado em seu manual. Caso isso não ocorra, o erro será dado por uma 
 
unidade do dígito menos significativo mostrado no visor do instrumento de medição. Se o 
instrumento for analógico, seu erro é a metade da menor medida. 
Por fim, o erro total associado à média dos valores é dado por: 
 Δ𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √(Δ𝑥𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜)2 + (Δ𝑥𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑙)2 ( 19 ) 
De uma forma geral, o erro total pode ser dado pela seguinte expressão: 
 Δ𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √(Δ𝑥𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜)2 + (∑ Δ𝑥𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑖𝑠)
2
 ( 20 ) 
Onde os erros adicionais geralmente são instrumentais, humanos, ou quaisquer outros fatores 
que influem na medição. 
Seja uma função f, dada em função das variáveis x, y, z, (...). Seu erro propagado é dado por: 
 𝜎𝑓(𝑥,𝑦,𝑧,… ) = ±√|
𝜕𝑓
𝜕𝑥
|
2
𝜎𝑥
2 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑦
|
2
𝜎𝑦
2 + |
𝜕𝑓
𝜕𝑧
|
2
𝜎𝑧
2 + ⋯ ( 21 ) 
Para comparação de duas medidas, geralmente a esperada e a obtida experimentalmente, usa-
se a exatidão, cuja expressão, em termos de porcentagem, é dada por: 
 𝐸𝑥𝑎𝑡𝑖𝑑ã𝑜 = |
𝑀𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑎 − 𝑀𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚.
𝑀𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚.
| ∙ 100% ( 22 ) 
Para apontar a precisão de uma medida, divide-se o seu erro pela própria medida. Quanto menor 
o valor obtido, maior a precisão da medida. O mesmo raciocínio vale para a exatidão, ou seja, 
quanto menor seu valor, mais exata é a medida. 
 𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜 = |
Δ𝑥
𝑥
| ∙ 100% ( 23 ) 
 
 
 
MATERIAIS E EQUIPAMENTOS 
 1 béquer, 1 copo cilíndrico com escala, 1 balança, 1 paquímetro, 1 proveta, 1 
densímetro, areia, água, 1 pano seco. 
 
 
Figura 3: Equipamentos utilizados para obter a medida esperada. (3) 
Figura 2: Equipamentos utilizados para obter a medida experimental. (2) 
 
MONTAGEM DA EXPERIÊNCIA 
1. Medir o diâmetro do copo cilíndrico com o paquímetro; 
2. Colocar pouca quantidade de areia no copo cilíndrico para promover o nivelamento da 
escala no béquer [Figura 4(a)]; 
3. Anotar a profundidade que o copo afundar, retirá-lo do béquer, secá-lo bem e medir a 
sua massa; 
4. Adicionar areia até que o copo afunde mais 1 cm [Figura 4(b)]; 
5. Verificar a nova profundidade e medir novamente a massa do copo com areia, com o 
copo seco; 
6. Repetir os dois passos anteriores até quantificar o número de profundidades desejadas; 
7. Medir a densidade esperada da água que foi usada com o densímetro. 
 
RESULTADOS 
A tabela 1 mostra os valores obtidos para o diâmetro do copo cilíndrico. Cada medida foi feita 
girando a base do copo em aproximadamente 45º. Como foi utilizado um paquímetro, o erro 
instrumental das medidas foi metade da menor medida, ou seja, Δ𝑥𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚. = ± 0,05 2⁄ =
± 0,025 ≅ ± 0,02 𝑚𝑚. 
 Tabela 1: Valores do diâmetro do copo. 
𝒊 (𝒅𝒊 ± 𝟎, 𝟎𝟐) 𝒎𝒎 
1 75,55 
2 75,55 
3 75,55 
Figura 4: Esquema de montagem da experiência. (4) 
 
4 75,55 
Através da expressão 16, obteve-se o diâmetro médio. 
�̅� = 75,55 𝑚𝑚 
Como os valores são exatamente iguais, não houve dispersão dos valores em torno da média. 
Sendo assim, pelas equações 17 e 18, 
𝑠 = 0 
Δ𝑑𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡. = 0 
Com isso, levando em consideração que o copo cilíndrico é rígido o suficiente de modo que a 
deformação seja desprezível quando pressionado pelo paquímetro, o erro total do diâmetro é o 
próprio erro instrumental (equação 19). 
Δ𝑑𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √Δ𝑑𝑖𝑛𝑠𝑡.
2 = ±0,02 𝑚𝑚 
Com isso, a medida do diâmetro na forma padrão é 
𝐷 = (75,55 ± 0,02) 𝑚𝑚 
Os valores de massa obtidos para a respectiva profundidade são mostrados na tabela 2. Como 
a balança utilizada foi digital, seu erro é Δ𝑚 = ± 0,01 𝑔; porém, para a profundidade, a 
graduação do copo é milimetrada, sendo, pois, seu erro de Δℎ = ± 1 2⁄ 𝑚𝑚 = ± 0,5 𝑚𝑚 =
± 0,05 𝑐𝑚. 
Tabela 2: Valores de massa do copo para respectiva profundidade. 
(𝒎𝒊 ± 𝟎, 𝟎𝟏)𝒈 (𝒉𝒊 ± 𝟎, 𝟎𝟓)𝒄𝒎95,44 2,00 
133,80 3,00 
171,99 4,00 
223,58 5,00 
266,38 6,00 
 
A partir dos valores de 𝑚 e ℎ, foi construído o gráfico 1, em anexo. 
Ao comparar-se as equações 2 (linear) e 3, obtêm-se as seguintes relações: 
 
𝑦 = 𝑚𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 
𝑥 = ℎ 
𝑎 = 𝜌𝑙í𝑞𝐴 
Como os erros de 𝑦 são iguais para todas as medidas, pôde-se usar as fórmulas simplificadas 
dos mínimos quadrados. 
Tabela 3: Dados iniciais para aplicação dos Mínimos Quadrados. 
(𝒚𝒊 ± 𝟎, 𝟎𝟏) (𝒙𝒊 ± 𝟎, 𝟎𝟓) (𝒚𝒊 ∙ 𝒙𝒊) (𝒙𝒊
𝟐) 
95,44 2,00 190,88 4,00 
133,80 3,00 401,40 9,00 
171,99 4,00 687,96 16,00 
223,58 5,00 1117,90 25,00 
266,38 6,00 1598,28 36,00 
 
 Tabela 4: Dados para aplicação direta aos Mínimos Quadrados (erros iguais). 
∑ 𝒚𝒊 ∑ 𝒙𝒊 ∑ 𝒚𝒊𝒙𝒊 ∑ 𝒙𝒊
𝟐 
891,19 20,00 3996,42 90,00 
A partir dos dados da tabela 3 e, posteriormente, da tabela 4, pôde-se obter os valores dos 
coeficientes da equação reta ajustada através da expressões 10 e 11, respectivamente. 
𝑎 = 43,166 
𝑏 = 5,574 
Para cálculo dos respectivos erros, obteve-se a tabela 5. 
Tabela 5: Resíduos das medidas. 
𝚫𝒀𝒊 𝚫𝒀𝒊
𝟐
 
3,534 12,489156 
-1,272 1,617984 
-6,248 39,037504 
2,176 4,734976 
1,810 3,276100 
Com tais dados, usando a equação 15 e, posteriormente, as equações 12 e 13, obteve-se 
𝜎2 = 20,38524 
 
𝜎𝑎 = ± 1,427768888861 
𝜎𝑏 = ± 6,057510379686 
Assim, na forma padrão, tem-se: 
𝑎 = (43,2 ± 1,4) 𝑔 𝑐𝑚⁄ 
𝑏 = (5,6 ± 6,0) 𝑔 
Sabendo que 
𝐴 = 𝜋𝑅2 = 𝜋 (
𝐷
2
)
2
=
𝜋
4
𝐷2 =
𝜋
4
7,5552 = 44,82897600535 𝑐𝑚2 
E seu erro propagado pela equação 21, 
Δ𝐴 = √|
𝜕𝐴
𝜕𝐷
|
2
Δ𝐷2 = √|
𝜋
4
∙ 2𝐷2−1|
2
Δ𝐷2 
= ± 0,02966841562 𝑐𝑚2 
Daí, 
𝐴 = (44,83 ± 0,03) 𝑐𝑚2 
Por fim, obtem-se a densidade experimental, 
𝜌 =
𝑎
𝐴
= 0,962903993 𝑔 𝑐𝑚3⁄ 
E seu erro propagado pelo equação 21, 
Δ𝜌 = √|
𝜕𝜌
𝜕𝑎
|
2
Δ𝑎2 + |
𝜕𝜌
𝜕𝐴
|
2
Δ𝐴2 = √|
1
𝐴
|
2
Δ𝑎2 + |
−𝑎
𝐴2
|
2
Δ𝐴2 
= 0,031855616 𝑔 𝑐𝑚3⁄ 
Por fim, na forma padrão, 
𝜌𝑒𝑥𝑝 = (0,96 ± 0,03) 𝑔 𝑐𝑚
3⁄ 
 
A precisão dessa medida, obtida a partir da eq. 23, resulta em: 
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚 = |
0,03
0,96
| ∙ 100% ≅ 3,1% 
O valor esperado para a densidade da água foi obtida com o uso de um densímetro. O valor 
encontrado foi 𝜌𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = 1,000 𝑔 𝑐𝑚
3⁄ . O erro associado foi uma combinação do erro do 
densímetro e do erro humano, estimado em Δ𝜌ℎ𝑢𝑚𝑎𝑛𝑜 = ±0,002 𝑔 𝑐𝑚
3⁄ em virtude do 
paralaxe e do alinhamento do densímetro no interior da proveta. Como foi feita somente uma 
medida da densidade esperada, não houve erro estatístico, sendo assim, pela equação 20, 
Δ𝜌𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = √Δ𝜌𝑒𝑠𝑡𝑎𝑡.
2 + (Δ𝜌𝑖𝑛𝑠𝑡𝑟𝑢𝑚. + Δ𝜌ℎ𝑢𝑚𝑎𝑛𝑜)2 = √02 + (0,002 + 0,002)2 
= 0,004 𝑔 𝑐𝑚3⁄ 
Assim, na forma padrão, 
𝜌𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = (1,000 ± 0,004) 𝑔 𝑐𝑚
3⁄ 
A precisão dessa medida, obtida a partir da eq. 23, resulta em: 
𝑃𝑟𝑒𝑐𝑖𝑠ã𝑜𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 = |
0,004
1,000
| ∙ 100% = 0,4% 
A exatidão da medida obtida experimentalmente é, a partir da eq. 22: 
𝐸𝑥𝑎𝑡𝑖𝑑ã𝑜 =
1 − 0,96
0,96
∙ 100% ≅ 4,2% 
DISCUSSÃO 
Com os resultados obtidos, pôde-se observar que a relação entre o afundamento ℎ e a massa do 
copo com areia 𝑚 é linear, já que, pelo gráfico, a disposição dos pontos se assemelha muito à 
uma reta. Essa dependência observada entre massa e profundidade está de acordo com o 
esperado, pois, segundo a relação expressa pela eq. 2, essa mesma pode ser escrita na forma 
linear da eq. 3, onde o coeficiente angular da reta, 𝑎, é dado pelo produto da densidade do 
líquido pela área, neste caso, da seção transversal do copo. 
 
Além disso, observou-se que o resultado da densidade foi mais preciso com o uso do densímetro 
do que o obtido experimentalmente, já que foi menor que este, com uma diferença de 2,7% 
entre elas. A exatidão da medida esperada resultou em 4,2%. 
Analisando agora os valores numéricos das densidades num campo experimental de 3𝜎 para 
ambas a densidades, tem-se a Figura 5. 
Figura 5: Campo experimental de cada densidade. (5) 
Fazendo uma análise do esquema, nota-se que a densidade experimental pode chegar aos 
valores da densidade esperada, obtida com o densímetro. Com isso, pode-se afirmar que o valor 
encontrado é bom, apesar da diferença de valores. 
Fisicamente, essa diferença entre os valores encontrados para a densidade da água ocorre devido 
à vários fatores externos que influenciaram nos resultados do experimento, tais como possíveis 
erros de medição (caracterizado pelo erro humano em alguns cálculos), o fato do copo cilíndrico 
utilizado não ser perfeitamente homogêneo, e da distribuição de areia no copo não ser uniforme, 
o que impossibilitou o nivelamento correto do copo no béquer. Há também a influência da força 
de atrito entre o copo e o furo na tampa do béquer que continha a água. 
CONCLUSÃO 
A partir do experimento realizado, pode-se concluir que quando o corpo está em equilíbrio, ou 
seja, em repouso ou com velocidade constante, o empuxo é igual ao peso e, portanto, pode-se 
estabelecer uma relação linear entre a massa e a altura, o que de fato foi comprovado pelo 
gráfico 𝑚 𝑥 ℎ. 
intervalo experimental
intervalo esperado densidade (g/cm³)
0,87 0,96 1,05
0,988 1 1,012
(𝜌𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚 − 3𝜎𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚) (𝜌𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚 + 3𝜎𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚)(𝜌𝑒𝑥𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚)
(𝜌𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜)
(𝜌𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 + 3𝜎𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜)(𝜌𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜 − 3𝜎𝑒𝑠𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜)
 
O valor experimental obtido foi bom, pois seu valor, sendo bem próximo do esperado, no 
entanto, ainda assim, o valor encontrado com a utilização do densímetro foi mais exato e 
preciso. 
A experiência poderia ser melhorada se fossem feitas mais medições de massa e altura, além da 
utilização de instrumentos com erros instrumentais menores, ou seja, mais precisos. Além disso, 
o fato de o cilindro e a areia utilizados não serem homogêneos, ocasionou um erro no 
experimento, influenciando assim o resultado. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
RESNICK, Robert; HALLIDAY, David. Fundamentos de Física, vol. 2, 8. ed.: LTC, 2011. 
(1) Imagem feita no programa Photoscape, disponível para download em 
http://www.photoscape.org/. 
(2) Foto tirada pelo estudante Sérgio Felipe F. Silva. 
(3) Imagens buscadas no portal Google Imagens, https://www.google.com/imghp, tags 
“densímetro” e “proveta”. 
(4) Roteiro do experimento disponível no site de Física Experimental 3 – VCE, disponível em 
https://sites.google.com/site/fisvce/fisexp3, seção “Roteiros de experimentos”, 1. Roteiro de 
Densimetria. Acesso em 08/03/2014. 
(5) Esquema feito no programa Microsoft Excel, colado como imagem no relatório. 
 
 
ANEXO 1: 
Gráfico 𝑚 𝑥 ℎ: 
 
 
 
0,00
50,00
100,00
150,00
200,00
250,00
300,00
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00
m (g) x h (cm)