AULAS DE CÁLCULO I II III IV NÍVEL SUPERIOR (64)

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MA22 - Unidade 20 - Parte 1
Outras técnicas de integração
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
14 de junho de 2013
Substituições Trigonométricas
As identidades trigonométricas
sen 2t + cos2 t = 1 e sec2 t = 1 + tan2 t
são particularmente adequadas para lidar com integrandos
com fatores tais como√
a2 − x2,
√
a2 + x2 e
√
x2 − a2 .
Em geral, estas integrais podem ser resolvidas por
substituições do tipo
x = a sen t, x = a tan t ou x = a sec t
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Exemplo 1
calcular
∫ √
1− x2 dx .
Fazemos x = sen t. Portanto, 1− x2 = 1− sen 2t = cos2 t.
Para x ∈ [−1, 1] podemos escolher o doḿınio
t ∈ [−π/2, π/2]⇒ cos t ≥ 0 e, portanto√
1− x2 =
√
1− sen 2t =
√
cos2 t = cos t.
Usando x = sen t ⇒ dx = cos tdt, calculamos∫ √
1− x2 dx =
∫
cos t cos t dt =
∫
cos2 t dt
=
t + sen t cos t
2
+ C
=
arcsen x + x
√
1− x2
2
+ C .
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Área do ćırculo
Se y =
√
1− x2 então x2 + y2 = 1. Portanto o gráfico de
f (x) =
√
1− x2 é a parte contida no semiplano y > 0 do
ćırculo de centro na origem e raio 1.
A fórmula obtida para a integral
∫ √
1− x2 dx permite
calcular a área do semi-ćırculo:∫ 1
−1
√
1− x2 dx = arcsen x + x
√
1− x2
2
∣∣∣∣∣
1
−1
=
π
4
+
π
4
=
π
2
.
1−1
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Exemplo 2
calcular
∫ √
x2 + 16 dx .
Fazemos x = 4 tan t. Assim,
16 + x2 = 16 + 16 tan2 t = 16 sec2 t.
f (x) =
√
16 + x2 está definida em toda a reta real.
Restringindo y = 4 tan t ao intervalo aberto
(
− π2 ,
π
2
)
, a
imagem deste intervalo por y = 4 tan t é toda a reta real.
Se t ∈
(
− π2 ,
π
2
)
, então sec t ≥ 0 e√
16 + 16 tan2 t =
√
16 sec2 t = 4 sec t .
Como x = 4 tan t, então dx = 4 sec2 t dt e podemos calcular∫ √
16 + x2 dx =
∫
(4 sec t) (4 sec2 t) dt = 16
∫
sec3 t dt.
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Exemplo 2 - continuação
Para integrar
∫
sec3 t dt podemos usar a integração por
partes. Fazendo u = sec t e dv = sec2 t dt, resulta em
du = sec t tan t dt e v = tan t. Logo:∫
sec3 t dt = sec t tan t −
∫
tan2 t sec t dt∫
sec3 t dt = sec t tan t −
∫
(sec2 t − 1) sec t dt∫
sec3 t dt = sec t tan t −
∫
sec3 t dt +
∫
sec t dt
2
∫
sec3 t dt = sec t tan t +
∫
sec t dt∫
sec3 t dt =
sec t tan t
2
+
ln | sec t + tan t|
2
+ C .
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Exemplo 2 - continuação
Retomando a integração original, lembrando que tan t =
x
4
e
sec t =
√
x2 + 164, temos∫ √
16 + x2 dx = 16
∫
sec3 t dt
= 8 sec t tan t + 8 ln | sec t + tan t| + C
=
x
√
16 + x2
2
+ 8 ln
∣∣∣√16 + x2 + x
4
∣∣∣ + C .
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Exemplo 3
Calcular
∫
x2√
16− x2
dx , supondo que x > 4.
Fazendo a substituição x = 4 sec t, temos dx = 4 sec t tan t dt
e
√
x2 − 16 = 4 tan t. Portanto,∫
x2√
16− x2
dx =
∫
16 sec2 t
4 tan t
4 sec t tan t dt
= 16
∫
sec3 t dt
= 8 sec t tan t + 8 ln | sec t + tan t| + C
=
x
√
x2 − 16
2
+ 8 ln
∣∣∣x +√x2 − 16
4
∣∣∣ + C .
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Os casos envolvendo o radical
√
x2 − a2 demandam uma atenção
especial, pois o seu doḿınio não é um intervalo, mas a união
disjunta de dois intervalos: (−∞, −a] ∪ [a, +∞).
A identidade sec2 t = 1 + tan2 t continua sendo apropriada, mas
é preciso levar em conta em qual intervalo estamos integrando.
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