Questão resolvida - 1 Verifique por diferenciação que a fórmula está correta 1 3 1_(x(xa))-(ax)_a x c - Cálculo II - CEUNSP

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1. Verifique por diferenciação que a fórmula está correta.
 
1.3 dx = - + c∫ 1
x2 x + a2 2 a x
a + x2 2
2
 
Resolução:
 
Temos das relações trigonométricas que : tan 𝜃 + 1 = sec 𝜃2( ) 2( )
 
Substituindo a intgeral fica;
 
 
dx, usando a ubstituição : x = atan 𝜃 dx = asec 𝜃 d𝜃∫ 1
x2 x + a2 2
( ) → 2( )
 
Com essa substituição, a integral fica;
 
dx = asec 𝜃 d𝜃 = d𝜃∫ 1
x2 x + a2 2
∫ 1
atan 𝜃( ( ))2 atan 𝜃 + a( ( ))2 2
2( ) ∫ asec 𝜃
a tan 𝜃
2( )
2 2( ) a tan 𝜃 + a2 2( ) 2
 
= d𝜃 = d𝜃∫ sec 𝜃
atan 𝜃
2( )
2( ) a tan 𝜃 + 12 2( )
∫ sec 𝜃
atan 𝜃 ⋅
2( )
2( ) a2 tan 𝜃 + 12( )
 
= d𝜃 = d𝜃 =∫ sec 𝜃
atan 𝜃 ⋅
2( )
2( ) a2 tan 𝜃 + 12( )
∫ sec 𝜃
atan 𝜃 a
2( )
2( ) tan 𝜃 + 12( )
∫ sec 𝜃
a tan 𝜃
2( )
2 2( ) tan 𝜃 + 12( )
= d𝜃
1
a2
∫ sec 𝜃
tan 𝜃
2( )
2( ) tan 𝜃 + 12( )
d𝜃 = d𝜃
1
a2
∫ sec 𝜃
tan 𝜃
2( )
2( ) tan 𝜃 + 12( )
1
a2
∫ sec 𝜃
tan 𝜃
2( )
2( ) sec 𝜃2( )
 
= d𝜃 = d𝜃
1
a2
∫ sec 𝜃
tan 𝜃 sec 𝜃
2( )
2( ) ( )
1
a2
∫ sec 𝜃
tan 𝜃
( )
2( )
Agora, é possível fazer a integral usando a técnica de intgeração por partes;
 
d𝜃; u = sen 𝜃 du = cos 𝜃
1
a2
∫ cos 𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
( ) → ( )
 
d𝜃 = = = u du = + c
1
a2
∫ cos 𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
1
a2
∫cos 𝜃 d𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
1
a2
∫du
u2
1
a2
∫ -2 1
a2
u
-2 + 1
-2+1( )
= + c = - + c = - + c
1
a2
u
-1
-1 1
a2
1
u
1
ua2
 
d𝜃 = - + c∫ cos 𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
1
a sen 𝜃2 ( )
 
Devemos voltar para variável x, para isso, temos a seguinte relação:
 
Com a relação obtida anteriormente, o resutado final da integração fica;
 
d𝜃 = - + c = - + c∫ cos 𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
1
a sen 𝜃2 ( )
1
a2
x
a + x2 2
 
dx = - + c∫ 1
x2 x + a2 2 a x
a + x2 2
2
 
 
 Vamos reescrever a integral de forma a permitir sua integração;
 
d𝜃 = d𝜃 = ⋅ d𝜃
1
a2
∫ sec 𝜃
tan 𝜃
( )
2( )
1
a2
∫ 1
cos 𝜃( )
1
sen 𝜃
cos 𝜃
( )
( )
2
1
a2
∫ 1
cos 𝜃( )
1
sen 𝜃
cos 𝜃
2( )
2( )
= ⋅ d𝜃 = d𝜃
1
a2
∫ 1
cos 𝜃( )
cos 𝜃
sen 𝜃
2( )
2( )
1
a2
∫ cos 𝜃
sen 𝜃
( )
2( )
𝜃
x
a
a + x2 2 Hipotenusa : h = 1 + x2 ( )2 2
 h = 1 + x2 2
 h = 1 + x2
(Resposta )