10Regra de Três Composta

Prévia do material em texto

Matemática
Elementar I
Autor 
Leonardo Brodbeck Chaves
Matemática
Elementar I
Caderno de Atividades
2009
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
© 2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor 
dos direitos autorais.
Todos os direitos reservados
IESDE Brasil S.A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel 
80730-200 • Curitiba • PR
www.iesde.com.br
C512 Chaves, Leonardo Brodbeck.
Matemática Elementar I. Leonardo Brodbeck Chaves. — Curitiba: 
IESDE Brasil S.A., 2009.
196 p.
ISBN: 978-85-7638-798-5
1. Matemática. 2. Matemática – Estudo e ensino. I. Título.
 CDD 510
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
 Leonardo Brodbeck Chaves
Mestre em Informática na área de Engenharia de Software pela Universidade 
Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Engenharia Elétrica com ênfase em 
Eletrônica também pela UFPR.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Sumário
Contagem | 11
1. A noção básica da Matemática: a contagem | 11
2. O sistema de numeração decimal | 13
Adição e subtração | 17
1. A adição | 17
2. A subtração | 18
Multiplicação e divisão | 21
1. A multiplicação | 21
2. A divisão | 23
Frações (I) | 25
1. As frações | 25
2. Resolução de problemas com frações | 28
3. Frações próprias e impróprias | 30
4. Simplificação de frações | 31
Frações (II) | 35
1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c) | 35
2. Adição e subtração de fração com o mesmo denominador | 36
3. Adição e subtração de frações com denominadores diferentes | 37
4. Multiplicação com frações | 40
5. Divisão com frações | 41
Potenciação | 43
1. Potenciação | 43
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Expressões numéricas | 47
1. Introdução | 47
2. Regras para a resolução de expressões numéricas | 47
Geometria (I) | 53
1. Polígono | 53
2. Ângulos | 55
3. Triângulo | 55
4. Quadrilátero | 56
5. Perímetro de um polígono | 57
6. Medida do comprimento da circunferência | 62
Geometria (II) | 65
1. Unidade de área | 65
2. Áreas de figuras planas | 66
3. Volumes | 70
Razão e proporção | 75
1. Razão | 75
2. Proporção | 79
3. Aplicando razão e proporção para calcular densidade volumétrica | 80
Grandezas proporcionais (I): regra de três simples | 85
1. Grandezas diretamente proporcionais | 85
2. Grandezas inversamente proporcionais | 88
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta | 95
1. Proporcionalidade composta | 95
2. Regra de três composta | 97
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Porcentagem e juro | 105
1. Porcentagem | 105
2. Juro | 111
Equações do 1.o grau | 117
1. Introdução | 117
Equações do 2.o grau | 125
1. Noção de equação do 2.o grau | 125
2. Forma geral | 125
3. Solução de uma equação do 2.o grau | 127
4. Resolução de problemas do 2.o grau | 137
5. Problemas que envolvem equações do 2.o grau | 138
Sistemas lineares 2 x 2 | 143
1. Introdução | 143
2. Sistema de equações lineares 2 x 2 | 144
3. Solução de um sistema linear 2 x 2: método gráfico | 144
4. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da substituição | 146
5. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da comparação | 151
6. Solução de um sistema linear 2 x 2: método da adição | 153
Radiciação | 159
1. Introdução | 159
2. Quadrados perfeitos | 160
3. Raiz quadrada | 161
Gráfico e função | 163
1. Plano cartesiano | 163
2. Função afim | 164
3. Função quadrática | 168
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Apresentação
O mundo moderno está repleto de idéias, modelos e aplicações matemáticas. E 
desde o surgimento do homem foi dessa forma.
Quando vislumbramos o céu, a terra e o mar, encontramos inúmeras aplicações 
matemáticas:
a) as colméias com os seus prismas hexagonais de seus favos;
b) o círculo da lua cheia;
c) um cristal de gelo com angulação precisa;
d) as ondas, que trazem consigo o conceito de periodicidade;
e) o sistema solar, que nos traz uma riqueza sem fim de relações geométricas, entre 
outros.
Várias atividades do nosso cotidiano necessitam de ações que envolvam idéias 
matemáticas, como a aquisição de um plano adequado de financiamento (com 
menores taxas de juros do mercado), o controle do orçamento familiar (mediante 
a relação salário X gastos), a compreensão das escalas próprias de fenômenos da 
natureza (por exemplo, a escala Ritchter dos terremotos).
Buscando um breve histórico, o homem, desde a época das cavernas, tem usado 
a Matemática para contar, medir e calcular. Ele dividia a caça em partes iguais 
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
(conceito de frações), media um pedaço de pele com a finalidade de 
comparar comprimentos (idéias de menor e maior) e fabricava utensílios 
de barro que eram seus padrões de medida (idéia de volume). Desse modo, 
percebemos que o homem primitivo utilizava a Matemática para sua 
sobrevivência e transcendência como espécie humana, a partir de ações 
que demonstravam novas estratégias geradas pelo seu raciocínio lógico, 
frente às situações da realidade.
A capacidade de desenvolvimento, a criatividade e a necessidade de 
adaptação do homem fizeram com que fossem desenvolvidas ferramentas 
de apoio com a finalidade de auxiliar a resolução de problemas com 
agilidade, assim surgiram os computadores. O computador é uma 
máquina que executa operações matemáticas construindo seqüências 
lógicas, resolvendo problemas e executando operações matemáticas com 
maior eficiência e rapidez, por sua capacidade de memória.
Percebemos assim, que a Matemática nos ajuda a estruturar idéias 
e definições, nos auxilia no desenvolvimento do raciocínio por meio 
de modelos matemáticos com a resolução de problemas, promove a 
concentração e desenvolve a memorização. Assim, a Matemática é uma 
ciência dinâmica que se constitui como produto cultural do homem, 
que está em constante evolução, e estudar Matemática traz benefícios e 
desenvolvimento para a sociedade.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Grandezas proporcionais (II): 
regra de três composta
1. Proporcionalidade composta
Observe as figuras:
B C
A
4
5
C’B’
A’
10
8
x2
Triângulo
Base Altura Área
5 4
A = 5 . 4
2
 = 10
10 8 A = 
10 . 8
2
 = 40
x 2 x 2x2 x2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades96
B
2
6
12
4 CA
C’
B’
A’
8
x3
Triângulo
Base Altura Área
4 2 A = 4 . 2
2
 = 4
12 6 A = 
12 . 6
2
 = 36
x 3 x 3x3 x3
Pelas figuras anteriores observamos que:
Se uma grandeza é proporcional a outras, então os valores de suas medidas são 
proporcionais ao produto dos valores das medidas das outras.
Vamos ver como funciona:
a)
Triângulo
Base Altura Área
10 5 25
20 10 100
x2 x2 x2 x2
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 97
b)
TriânguloBase Altura Área
7 6 21
14 3 21
x2 x½ x 2 x½
c)
Triângulo
Base Altura Área
4 3 6
8 1,5 6
x2 x½ x 2 x½
Agora, vamos seguir a resolução de um problema passo a passo, estudando a regra de 
três composta.
2. Regra de três composta
Problemas que envolvem várias grandezas, direta ou inversamente proporcionais, são 
resolvidos com o auxílio de uma regra chamada regra	de	três	composta.
Vejamos alguns exemplos:
a) Dois operários, depois de 8 dias de serviço, receberam R$400,00. Quanto receberão 5 
operários por 12 dias de trabalho?
Operários Tempo Valor
2 8 dias R$400,00
5 12 dias x
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Izabelly Gomes
Realce
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades98
Analise, isoladamente e com cada uma das outras, a grandeza que contém o valor 
desconhecido. Assim:
Operários Valor
2 R$400,00
5 x
aumenta também 
aumenta
Se 2 operários recebem R$400,00, 5 operários deverão receber mais. Então, as grandezas 
operário e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é:
2
5
 e 400
x
Tempo Valor
8 dias R$400,00
12 dias x
aumenta
também 
aumenta
Se em 8 dias os operários recebem R$400,00, em 12 dias deverão receber mais. Então, as 
grandezas tempo e valor são diretamente proporcionais. Portanto, a ordem das razões é:
8
12
 e 400
x
Para as três grandezas, a ordem das razões é: 2
5
, 
400
x
 e 
8
12
.
Podemos concluir então que: 400
x
= 
2
5
 . 
8
12
400
x
4
15
x
400 . 15
4
1 500.⇒ = ⇒ = =
Resposta: 5 operários receberão por 12 dias de trabalho R$1.500,00.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 99
b) Um carro com a velocidade média de 80km/h percorre, em 2 dias de viagem, 1 800km. 
Se a velocidade for alterada para 60km/h, quanto tempo ele levará para percorrer 
3 375km?
Velocidade Tempo Percurso
80km/h 2 dias 1 800km
60km/h x 3 375km
Velocidade Tempo
diminui 
80km/h 2 dias
 aumenta
60km/h x
Se a velocidade do carro for de 80km/h o tempo necessário é de 2 dias. Quando a 
velocidade for de 60km/h o carro precisará de mais tempo. Então, velocidade e tempo são 
grandezas inversamente proporcionais. Logo, a ordem das razões é:
60 e 2
80 x
Tempo Percurso
aumenta 
2 dias 1 800km
 aumenta
x 3 375km
Se para percorrer 1 800km o carro leva 2 dias, para percorrer 3 375km o carro vai precisar 
de mais tempo. Então, máquinas e tempo são grandezas diretamente proporcionais. Logo, a 
ordem das razões é:
2 e 1 800
x 3 375
Para as três grandezas, a ordem das razões é: 60
80
 , 2
x
 e 1 800
3 375
Então podemos concluir que: 2 = 60 . 1 800 ⇒ 2 = 2 ⇒ x = 5
x 80 3 375 x 5
Resposta: Serão necessários 5 dias.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Izabelly Gomes
Sublinhado
Izabelly Gomes
Sublinhado
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades100
c) 6 máquinas trabalhando 4 horas produzem 200m de um tecido. Quantas máquinas 
serão necessárias para, em 3 horas, produzir 800m desse tecido?
Máquinas Tempo Comprimento
6 4h 200m
x 3h 800m
inversa
direta
6
x
 = 
3
4
 .
200
800
5
x
1
3 
x = 15⇒ = ⇒
Resposta: Serão necessárias 15 máquinas.
d) Uma turma de 20 pessoas foi acampar, levando alimentos suficientes para 21 dias, com 
3 refeições diárias. Chegando ao local, encontraram mais 15 pessoas. Por quantos dias 
terão alimento, se fizerem apenas 2 refeições diárias?
Pessoas Tempo Refeições/dia
20 21 dias 3
35 x 2
inversa inversa
21
x
= 
2
3
 .
35
20
 
21
x
=
14
12 
 x = 18 dias⇒ ⇒
Resposta: Terão alimento por apenas 18 dias.
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 101
Exercícios
Tente resolver os seguintes problemas:
1. Cinco operários demoram 9 horas para retirar 1 000 tijolos da carroceria de um caminhão. 
Quantos tijolos 6 operários, com a mesma capacidade dos anteriores, conseguirão retirar 
em 5 horas?
2. Cinco grupos de estudo com 4 alunos em cada grupo resolvem, em 2 horas, 36 problemas. 
Em quanto tempo 10 grupos de 8 alunos resolverão 72 problemas?
3. Uma perfuradora de cartões, trabalhando 12 horas por dia, perfura 3 200 cartões em 8 dias. 
Quantas horas por dia deverá trabalhar para perfurar 5 000 cartões em 15 dias?
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades102
4. Dezesseis operários fazem 720 peças em 6 dias. Quantos operários são necessários para 
fazer 2 160 peças em 24 dias?
5. Um aluno efetua 200 operações em 2 dias, estudando 8 horas por dia. Em quantos dias esse 
aluno, estudando 2 horas por dia, efetuará 100 operações?
6. Quantos homens são necessários para construir um muro de 150m de comprimento por 
10m de altura em 30 dias, sabendo que, nas mesmas condições, 25 homens constroem um 
muro de 50m de comprimento por 8m de altura, em 8 dias?
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta 103
7. Andando 14 horas por dia, com uma velocidade média de 30km/h, um carro leva 6 dias 
para percorrer 2 520km. Qual deve ser a velocidade média desse carro para ele percorrer 
essa mesma distância em 7 dias, andando 10 horas por dia?
8. Numa indústria, 4 máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Quantos dias serão 
necessários para que apenas 2 máquinas produzam 900 peças?
9. Cinco operários trabalhando 6 horas por dia durante 10 dias produzem 200 objetos. 
Quantos objetos serão produzidos por 8 operários trabalhando 4 horas por dia durante 15 
dias?
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades104
Anotações
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Gabarito
Grandezas proporcionais (II): regra de três composta
1. 2 160 tijolos
2. 1h
3. 10h/dia
4. 12 operários
5. 4 dias
6. 25 homens
7. 36km/h
8. 24 dias
9. 320 objetos
Gabarito
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
Matemática Elementar I – Caderno de Atividades
Anotações
Esse material é parte integrante do Aulas Particulares on-line do IESDE BRASIL S/A, 
mais informações www.aulasparticularesiesde.com.br
	matematica-elementar-cap-12
	matematica-elementar-cap-00
	matematica-elementar-cap-12
	z12