Delineamento em Quadrado Latino

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Delineamento em Quadrado Latino (DQL) 
 Introdução 
No Delineamento em Quadrado Latino (DQL), além dos princípios da repetição e da casualização, é utilizado 
também duas vezes o princípio do controle na casualização para controlar o efeito de dois fatores perturbadores que 
causam variabilidade entre as unidades experimentais. Para controlar esta variabilidade, é necessário dividir as unidades 
experimentais em blocos homogêneos de unidades experimentais em relação a cada fator perturbador. O número de blocos 
para cada fator perturbador deve ser igual ao número de tratamentos. Por exemplo, se no experimento estão sendo avaliados 
k tratamentos, deve ser formado para cada fator perturbador k blocos e cada um destes blocos deve conter k unidades 
experimentais. Ao final são necessários k2 unidades experimentais. Cada uma destas k 2 unidades experimentais é 
classificada segundo cada um dos dois fatores perturbadores. 
Uma vez formados os blocos, distribui-se os tratamentos ao acaso com a restrição que cada tratamento seja designado 
uma única vez em cada um dos blocos dos dois fatores perturbadores. 
Geralmente, na configuração de um experimento instalado segundo o DQL, os níveis de um fator perturbador são 
identificados por linhas em uma tabela de dupla entrada e os níveis do outro fator perturbador são identificados por colunas 
na tabela. Alguns exemplos ilustrativos 
 
Exemplo 1: Num laboratório devem ser comparados 5 métodos de análise (A, B, C, D e E), programados em 5 dias úteis 
e, em cada dia, é feita uma análise a cada hora, num período de 5 horas. O quadrado latino assegura que todos os métodos 
sejam processados, uma vez em cada período e em cada dia. O croqui abaixo ilustra a configuração a ser adotada. 
Período Dia 
1 2 3 4 5 
1 A E C D B 
2 C B E A D 
3 D C A B E 
4 E D B C A 
5 B A D E C 
Note que os períodos formam as linhas e os dias formam as colunas 
 
 
Exemplo 2: Um experimento de competição de 6 variedades de cana-de-açúcar em que a área experimental apresenta 
gradiente de fertilidade do solo em duas direções. O quadrado latino possibilita a formação de blocos nas duas direções, 
ou seja, procedemos a um duplo controle local. O croqui seguinte ilustra a distribuição das variedades (A, B, C, D, E, F) nas 
parcelas. 
Período Colunas 
1 2 3 4 5 6 
1 F B C E D A 
2 B D E A F C 
3 D F A C B E 
4 A C D F E B 
5 C E F B A D 
6 E A B D C F 
 
 Características do DQL 
a) O número total de unidades experimentais necessárias para um experimento nesse delineamento é igual a k2, sendo k 
o número de tratamentos; 
b) Cada tratamento é representado uma única vez e ao acaso em cada linha e em cada coluna; 
c) O número de tratamentos é igual ao número de repetições; 
d) Este delineamento é aconselhável quando o número de tratamentos oscila entre 3 e 10. 
 
 Casualização no delineamento em quadrado latino 
Consideremos 5 tratamentos: A, B, C, D, E. 
1°) Faz-se a distribuição sistemática dos tratamentos dentro das linhas, de maneira que cada coluna contenha também todos 
os tratamentos; 
Linhas Colunas 
 1 2 3 4 5 
1 A B C D E 
2 E A B C D 
3 D E A B C 
4 C D E A B 
5 B C D E A 
 
2°) Em seguida distribui-se ao acaso as linhas entre si, e depois as colunas, podendo-se obter um quadrado final 
semelhante ao apresentado abaixo. 
 Casualizando as linhas (2, 4, 5, 1, 3) 
 
1 2 3 4 5 
E A B C D 
C D E A B 
B C D E A 
A B C D E 
D E A B C 
 
 Casualizando as colunas (3, 5, 1, 4, 2) 
 
B D E C A 
E B C A D 
D A B E C 
C E A D B 
A C D B E 
 
 Tabela de Análise de Variância 
A tabela Anova para um experimento em DQL com k tratamentos e r repetições é dada por: 
 
Fonte de 
Variação 
Graus de 
Liberdade 
Soma de 
Quadrados 
Quadrado 
Médio 
F 
Linha k - 1 SQL --- 
Coluna k - 1 SQCol --- 
Tratamentos k - 1 SQTrat QMTrat QMTrat 
Erro (k – 1)( k – 2) SQE QME QME 
Total k2 - 1 SQT --- 
 
 
As fórmulas para os cálculos são basicamente as mesmas utilizadas anteriormente para DIC e DBC. Acrescentaremos as 
fórmulas para os cálculos das Somas de Quadrados das Linhas e das Colunas como mostradas a seguir. 
 L2 
 Soma de Quadrados das Linhas: SQL 
k 
cada linha considerada; 
 C ; onde L corresponde ao total das observações pertencentes à 
 


 
 
 Soma de Quadrados das Colunas: 
 
SQCol 
Col 
2
 
k 
 
 C ; onde Col corresponde ao total das observações 
pertencentes à cada coluna considerada. 
 
 y2 
Lembrando mais uma vez que C  e SQE  SQT  SQTrat  SQCol  SQL . Além disso, rejeita-se H0 (não 
n 
existe efeito dos tratamentos, ou seja, os tratamentos possuem o mesmo efeito) se o Fcalculado  Ftabelado . O Ftabelado 
dependerá dos graus de liberdade dos tratamentos e dos graus de liberdade do erro, além é claro do nível de significância 
estabelecido para o teste. 
Exemplo: O objetivo de um experimento foi estudar o efeito da época de castração no desenvolvimento e produção de suínos. 
Dispunha-se para esse estudo, de 5 matrizes da mesma raça, que foram submetidas à mesma alimentação e manejo durante o 
período de gestação. Os tratamentos foram: (A) Castração aos 56 dias de idade; (B) Castração aos 7 dias de idade; (C) Castração 
aos 36 dias de idade; (D) Inteiros; (E) Castração aos 21 dias de idade. Foi utilizado o delineamento em quadrado latino buscando 
controlar a variação entre leitegadas (linhas) e a variação no peso inicial dos leitões (colunas), sendo a unidade (parcela) 
experimental constituída de um leitão. Os ganhos de pesos, em kg, após o período experimental (28 semanas), estão 
apresentados no quadro abaixo. 
 
Leitegadas 
Faixas de Peso Inicial 
 
Totais 
1 2 3 4 5 
1 93,0(A) 115,4(C) 116,9(E) 110,2(D) 110,4(B) 545,9 
2 110,6(C) 96,5(E) 108,9(B) 97,6(A) 112,0(D) 525,6 
3 102,1(B) 108,6(D) 77,9(A) 102,0(E) 111,7(C) 502,3 
4 115,4(D) 94,9(A) 114,0(C) 100,2(B) 118,5(E) 543,0 
5 117,6(E) 114,1(B) 118,7(D) 108,8(C) 80,2(A) 539,4 
Totais 538,7 529,5 536,4 518,8 532,8 2656,2 
 
k = 5 tratamentos r = 5 repetições k = r = 5 = número de linhas = número de colunas 
n  k 2  52  25 unidades experimentais 
 y2 
C 
n 
 
2656,22 
25 
 
 282215,94 
SQT   y 
2 
 C  93,0
2 
 115,4
2 
…  80,22  282215,94  285214,42  282215,94  2998,48 
 
SQL 
 L2 
k 
 
 C 
545,9
2 
 525,6
2 
 502,3
2 
 543,0
2 
 539,4
2
 
5 
 
 C  282473,76  C  48,49 
 
SQCol 
Col 
2
 
k 
 
 C 
538,7
2 
 529,5
2 
 536,4
2 
 518,8
2 
 532,8
2
 
5 
 
 C  282273,76  C  257,83 
 
Antes de calcular a soma de quadrados de tratamentos devemos primeiramente calcular os totais de cada 
tratamento. Para isso devemos agrupar os valores que se encontram nas tabelas ao lado das letras que identificam 
os respectivos tratamentos. Note que para os delineamentos DIC e DBC nós já tínhamos esses totais organizados. 
Faremos da seguinte maneira: 
TA  93,0  94,9  77,9  97,6  80,2  443,6 
TB  102,1114,1108,9 100,2 110,4  535,7 
TC  110,6  115,4  114,0  108,8  111,7  560,5 
TD  115,4 108,6 118,7 110,2 112,0  564,9 
TE  117,6  96,5 116,9 102,0 118,5  551,5 
Veja que da mesma forma que para DIC e para DBC a soma dos tratamentos corresponderá a soma de todas as observações, 
ou seja,  y  T  2656,2 . 
 
SQTrat 
T 
2 
r 
 
 C 
443,6
2 
 535,7
2 
 560,5
2 
 564,9
2 
 551,5
2
 
5 
 
 C  284235,99  C  2020,05 
SQE  SQT  SQTrat  SQCol  SQL  SQE  2998,48  2020,05  257,83  48,49  672,10 
 
Fonte de 
Variação 
Graus de 
Liberdade 
Soma de 
Quadrados 
Quadrado 
Médio 
F 
Linhas 4 48,49 --- --- 
Colunas 4 257,83 --- --- 
Tratamentos 4 2020,05 505,01 505,01 
 9,017
 
56,01 Erro 12 672,10 56,01 
Total 24 2998,48 --- --- 
 
Como Fcalculado  Ftabelado  F5%;4;12  3,259devemos rejeitar H0 e concluir os tratamentos diferem entre si.