Integração de potências de funções trigonométricas| Resumo Exercícios com gabarito

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Integração de potências de
funções trigonométricas
1. Seno ou cosseno em grau ı́mpar:
∫
sen2n+1xdx =
∣∣∣∣∣∣
u = cosx
du = −senxdx
sen2nx = (1− u2)n
∣∣∣∣∣∣ = −
∫
(1− u2)ndu
∫
cos2n+1xdx =
∣∣∣∣∣∣
u = senx
du = cosxdx
cos2nx = (1− u2)n
∣∣∣∣∣∣ =
∫
(1− u2)ndu
2. Seno ou cosseno em grau par:∫
sen2nxdx =
∣∣∣∣sen2x = 1− cos2x2
∣∣∣∣ = 12n
∫
(1− cos2x)ndu
∫
cos2nxdx =
∣∣∣∣cos2x = 1 + cos2x2
∣∣∣∣ = 12n
∫
(1 + cos2x)ndu
3. Produto de seno e cosseno com pelo menos um grau ı́mpar:
∫
sen2n+1xcosmxdx =
∣∣∣∣∣∣∣∣
u = cosx
du = −senxdx
sen2nx = (1− u2)n
cosmx = um
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −
∫
(1− u2)numdu
∫
senmxcos2n+1xdx =
∣∣∣∣∣∣∣∣
u = senx
du = cosxdx
cos2nx = (1− u2)n
senmx = um
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
∫
um(1− u2)ndu
4. Produto de seno e cosseno em graus pares:
∫
sen2nxcos2mxdx =
∣∣∣∣∣∣∣
sen2x =
1− cos2x
2
cos2x =
1 + cos2x
2
∣∣∣∣∣∣∣ =
∫ (
1− cos2x
2
)n(
1 + cos2x
2
)m
dx
5. Produto de seno e cosseno com graus iguais:∫
sennxcosnxdx = |2senxcosx = sen2x| = 1
2n
∫
senn2xdx
1
6. Tangente e cotangente com grau qualquer:∫
tgnxdx =
∣∣tgnx = tgn−2x(sec2x− 1)∣∣ = ∫ tgn−2xd(tgx)−∫ tgn−2xdx∫
cotgnxdx =
∣∣cotgnx = cotgn−2x(cosec2x− 1)∣∣ = −∫ cotgn−2xd(cotgx)−∫ cotgn−2xdx
7. Secante e cossecante com grau par:∫
sec2nxdx =
∣∣∣∣ sec2nx = sec2n−2xsec2x == (tg2x+ 1)n−1sec2x
∣∣∣∣ = ∫ (tg2x+1)n−1d(tgx) = ∫ (u2+1)n−1du∫
cosec2nxdx =
∣∣∣∣ cosec2nx = cosec2n−2xcosec2x == (cotg2x+ 1)n−1cosec2x
∣∣∣∣ =
= −
∫
(cotg2x+ 1)n−1d(cotgx) = −
∫
(u2 + 1)n−1du
8. Secante e cossecante com grau ı́par:∫
sec2n+1xdx =
1
2n
(
sec2n−1xtgx+ (2n− 1)
∫
sec2n−1xdx
)
∫
cosec2n+1xdx =
1
2n
(
−cosec2n−1xcotgx+ (2n− 1)
∫
cosec2n−1xdx
)
9. Produto do tangente (cotangente) com grau qualquer e secante (cosse-
cante) em grau par:∫
tgmxsec2nxdx =
∫
tgmx(tg2x+ 1)n−1d(tgx) =
∫
um(u2 + 1)n−1du∫
cotgmxcosec2nxdx = −
∫
cotgmx(cotg2x+1)n−1d(cotgx) = −
∫
um(u2+1)n−1du
10. Produto do tangente (cotangente) com grau ı́mpar e secante (cossecante)
em grau qualquer:∫
tg2m+1xsecnxdx =
∫
(sec2x−1)msecn−1xd(secx) =
∫
(u2−1)mun−1du∫
cotg2m+1xsecnxdx = −
∫
(cosec2x−1)mcosecn−1xd(cosecx) = −
∫
(u2−1)mun−1du
11. Produto do tangente (cotangente) com grau par e secante (cossecante) em
grau ı́mpar:∫
tg2mxsec2n+1xdx =
∫
(sec2x− 1)msec2n+1xdx∫
cotg2mxsec2n+1xdx =
∫
(cosec2x− 1)mcosec2n+1xdx
2
12. Produto de seno e/ou cosseno de ângulos múltiplos:∫
senαx cosβxdx =
1
2
∫
(sen(α+ β)x+ sen(α− β)x) dx
∫
senαx senβxdx =
1
2
∫
(cos(α− β)x− cos(α+ β)x) dx∫
cosαx cosβxdx =
1
2
∫
(cos(α− β)x+ cos(α+ β)x) dx
Fórmulas básicas da trigonometria
sen2x+ cos2x = 1 sec2x− tg2x = 1
cosec2x− cotg2x = 1
sen(2x) = 2senxcosx tg(2x) =
2tgx
1 + tg2x
cos(2x) = cos2x− sen2x
sen2x =
1− cos(2x)
2
cos2x =
1 + cos(2x)
2
sen(a± b) = sena · cosb± senb · cosa tg(a± b) = tga± tgb
1∓ tga · tgb
cos(a± b) = cosa · cosb∓ sena · senb
3
Lista de exerćıcios
1. Calcule a integral:
(a)
∫ π/4
−π/4
sec6x dx
(b)
∫ π/3
0
tg3x
secx
dx
(c)
∫ π/2
π/4
cos4t
sen6t
dt
(d)
∫
tg3(lnx)sec6(lnx)
x
dx
(e)
∫
cosec4x
cotg2x
dx
(f)
∫
2senw − 1
cos2w
dw
(g)
∫ sen2πx
cos6πx
dx
(h)
∫
extg4(ex)dx
(i)
∫
cos5x√
senx
dx
(j)
∫ 3π/4
π/2
sen5xcos3xdx
2. Demonstre: ∫ π
−π
sen mx sen nx dx =
{
0 , se m 6= n
π , se m = n
3. Prove: ∫
tgnx dx =
tgn−1x
n− 1
−
∫
tgn−2xdx
para n natural maior que 1.
4. Uma part́ıcula se move em linha reta com função velocidade v(t) = sen wt cos2 wt.
Encontre sua função posição s = f(t) se f(0) = 0.
Respostas
1. (a) 56/15
(b) 1/2
(c) 1/5
(d)
1
8
tg8(lnx) +
1
3
tg6(lnx) +
1
4
tg4(lnx) + C
(e) tgx− cotgx+ C
(f)
2
cosw
− tgw + C
(g)
1
5π
tg5πx+
1
3π
tg3πx+ C
(h)
1
3
tg3(ex)− tg(ex) + ex + C
4
(i) 2
√
senx− 4
5
√
sen5x+
2
9
√
sen9x+ C
(j) −11/384
2.
3.
4.
1
3w
(1− cos3wt)
5