AULA-1-de-Trigonometria-

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COMPRIMENTO DO ARCO 
 
 
Se queremos calcular o comprimento da circunferência inteira, usamos a fórmula 
 
 2. .C r 
 
onde r é o raio da circunferência e π = 3,14 com aproximação de duas casa decimais. 
 
Se queremos calcular o comprimento apenas do arco AB(representado pela letra l) 
uma parte (uma fração) da circunferência que está em frente ao ângulo central α (em graus), 
usamos a fórmula 
 
 
2. . .
360º
r
l
 
 
 
A unidade de comprimento (no SI é o metro) usada no cálculo tanto do comprimento da circunferência 
quanto do arco será a mesma do raio ou diâmetro (D = 2.r). 
 
AULA 1 DE TRIGONOMETRIA – 1º ANO – EM 
Essa fórmula envolve três variáveis: r (raio), l (comprimento do arco) e α (ângulo central em graus) 
o que nos permite explorá-la de três maneiras diferentes: 
 
1º) Determinar o comprimento de um arco dado o ângulo central e o raio. 
 
2º) Determinar o ângulo central dado o comprimento do arco e o raio. 
 
3º) Determinar o raio dado o ângulo central e o comprimento do arco. 
 
 
PROBLEMA DO RELÓGIO 
 
Resolver o problema do relógio nada mais é do que determinar o menor ângulo central formado 
entre os ponteiros de um relógio em determinada hora. Vamos chamar esse ângulo de α. 
É fundamental desenharmos o relógio com seus ponteiros indicando a hora determinada no 
exercício. 
 
Observemos que um relógio pode ser comparado a um círculo dividido em 12 partes iguais. 
Como uma volta completa no círculo (ou na circunferência) mede 360º, temos que cada uma 
dessas 12 partes mede 30º. (360º/12 = 30º) 
 
Lembrando que o ponteiro dos minutos é o maior e o das horas é o menor. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
a) Calcular o menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio às 9h. 
 
Temos três partes do relógio entre os ponteiros cada uma com 30º. Assim, o menor ângulo será 
igual a α = 3.30º = 90º, ou seja, o ângulo reto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Calcular o menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio às 9:30h. 
 
Os ponteiros do relógio andam no seguinte ritmo: 
 
enquanto o maior (minutos) dá uma volta inteira (360º) a cada hora, 
 
o pequeno (horas) anda apenas uma das 12 partes (30º). 
 
O ponteiro pequeno não pula de uma hora para a outra quando vê que o grande está se 
aproximando de completar a volta. Ele respeita o ritmo. 
 
O que significa isto? 
 
Significa que se o ponteiro grande andou a metade de seu caminho, no exemplo, 180º e o 
ponteiro pequeno também andou a metade de seu caminho x = 15º. Assim, a medida que 
queremos será igual a α = 90º + 15º = 105º. 
 
 
c) Calcular o menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio às 14:20h. 
 
 
 
O ponteiro grande andou 4 partes (4.30º = 120º) o corresponde a 1/3 da volta completa 
(120º/360º = 1/3) 
Sendo assim, o ponteiro pequeno andou 1/3 da sua caminhada (30º/3 = 10º). 
Isto significa que o ponteiro pequeno passou 10º do número 2 do relógio. Entre os números 2 e 
4 temos duas partes de 30º totalizando 60º. Subtraindo os 10º que o ponteiro pequeno 
passou do número 2 temos que α = 2.30º - 10º = 50º. 
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