Material de derivadas

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Cálculo Diferencial e Integral I – Química – Prof.ª Ivete Baraldi 1 
Derivadas Sucessivas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos 
 
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Derivada de uma função na forma implícita 
 
 
 
 
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Derivada de uma função na forma paramétrica 
1 – Função na forma paramétrica 
Sejam 



=
=
)(
)(
tyy
txx
 duas funções da mesma variável t, ],[ bat∈ . Então, a cada valor de t 
correspondem dois valores x e y. Considerando estes valores como as coordenadas de um ponto P, 
podemos dizer que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado no plano xy. Se as 
funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P(x(t), y(t)) descreve 
uma curva no plano, como mostra a figura. As equações acima são chamadas de equações 
paramétricas da curva e t é chamado de parâmetro. 
Vamos supor que a função x = x(t) admite uma função inversa t = t(x). Então, podemos escrever 
y = y[t(x)] e dizemos que as equações acima definem y como função de x na forma paramétrica. 
Eliminando o t nas equações anteriores, temos y = y(x) na forma analítica usual. 
Muitas curvas importantes são representadas na forma paramétrica, pois, em geral, as equações 
paramétricas, em diversas situações, simplificam os cálculos. 
Exemplos: 
a) 



+=
+=
34
12
ty
tx
 
 
 
 b) 



∈=
=
]2,0[,
cos
πtasenty
tax
 
 
 
 
c) 



∈=
=
]2,0[,
cos
πtbsenty
tax
 onde a e b são constantes positivas, representam uma elipse de centro na 
origem e semi-eixos a e b, como mostra a figura. Neste caso, o parâmetro t também representa um 
ângulo e pode ser visualizado na segunda figura. 
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d) 




≤≤=
=
π20,
cos
3
3
ttaseny
tax
, onde a é uma 
constante positiva. Esta curva é chamada de 
astróide ou hipociclóide de 4 cúspides e pode ser 
definida como a trajetória descrita por um ponto 
fixo P de uma circunferência de raio a/4, quando 
esta gira, sem escorregar, dentro de uma 
circunferência fixa de raio a. 
 
2 – Derivada de uma função na forma paramétrica 
Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas 



=
=
)(
)(
tyy
txx
, ],[ bat∈ . Supomos que as 
funções y = y(t) e x = x(t) e sua inversa t = t(x) são deriváveis. Podemos ver a função y = y(x) como 
uma função composta y = y[t(x)] e aplicar a regra da cadeia. Temos, então: ).(').(' xtty
dx
dy
= Temos 
que 
)('
1)('
tx
xt = , pelo teorema da derivada da inversa. 
Sendo assim, teremos: 
)('
)('
tx
ty
dx
dy
= . 
Exemplos: 
1 – Calcular a derivada da função definida na forma paramétrica pelas equações: 




≤≤=
=



−=
−=



+=
+=
20,4
cos4
)
69
13
)
34
12
) 3
3
2 πttseny
ty
c
tty
tx
b
ty
tx
a 
 
2 – Determinar a equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 = 4, no ponto P ( )2,2 . 
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Teoremas sobre derivadas 
I – Teorema de Rolle 
“Seja f diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b]. Se f(a) = f(b) = 0, então há pelo menos um 
ponto c em (a, b) tal que f’(c) = 0.” 
Em outras palavras, se a curva de f(x) cruza Ox em dois pontos (ou é paralela ao eixo), há pelo 
menos um ponto dessa curva onde a reta tangente seja horizontal. A prova desse teorema pode ser 
encontrado em Flemming, p. 197 ou 263 (edição antiga). 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) seja f(x) = senx. Em [0, 2π], f(x) tem raízes em x = 0 e x = 2π. Como é diferenciável e contínua 
em toda parte, pelo teorema de Rolle, teremos pelo 
menos um ponto c em (0, 2π) onde a reta tangente ao 
gráfico é horizontal. 
y’= cos x 
cos x = 0 para x = π/2 ou para x = 3π/2 
Observemos o gráfico 
 
II – Teorema do Valor Médio (TVM) 
“Seja f diferenciável em (a, b) e contínua em [a, b], então existe pelo 
menos um ponto c em (a, b) onde 
ab
afbfcf
−
−
=
)()()(' ”. 
Geometricamente, esse teorema estabelece que entre dois pontos 
quaisquer A e B sobre um gráfico de uma função diferenciável, deve 
haver pelo menos um ponto onde a reta tangente à curva é paralela à 
reta secante que passa por A e B (ou seja, f’(c) é o coeficiente 
angular da secante e, conseqüentemente, da tangente). 
Exemplo: 
a) Gere o gráfico de 1
4
)(
3
+=
xxf no intervalo [0, 2]; use-o para determinar o número de reta 
tangentes ao gráfico de f em (0, 2) que são paralelas à secante que liga os extremos do gráfico. 
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b) Mostre que f satisfaz as hipóteses do TVM em [0, 2] e ache todos os valores de c no intervalo 
(0, 2) cuja existências estão garantidas pelo teorema. 
 
III – Teorema da diferença constante (Fórmula de Cauchy) 
“Se f e g são contínuas em um intervalo [a, b] e de f’(x) = g’(x) para todo x em um intervalo (a, b), 
então f e g diferem por uma constante em [a, b]; isto é, há uma constante k tal que f(x) – g(x) = k 
para todo x ∈ [a, b].” (a prova pode ser encontrada na p. 226 da versão nova de Flemming). 
Graficamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: seja g(x) = x3 – 4x + 6. Ache f(x) tal que f’(x) = g’(x) e f(1) = 2. 
Se f’(x) = g’(x), então f(x) – g(x) = k 
x3 – 4x + c – (x3 – 4x + 6) = k → k = c – 6 
usando x = 1, temos f(1) – g(1) = k → 2 – 1 + 4 – 6 = k → k = - 1 
então, c = 5 e f(x) = x3 – 4x + 5 
 
IV – Teorema de L’Hospital 
Veremos um método geral para determinar os limites que apresentam indeterminações dos tipos 0/0 
e ∞/∞. 
“Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em a ∈ I. Supomos 
que g’(x) ≠ 0, .axeIx ≠∈∀ 
(i) se .
)('
)('lim
)(
)(lim,
)('
)('lim0)(lim)(lim L
xg
xf
xg
xfentãoL
xg
xfexgxf
axaxaxaxax
=====
→→→→→
 
(ii) se .
)('
)('lim
)(
)(lim,
)('
)('lim)(lim)(lim L
xg
xf
xg
xfentãoL
xg
xfexgxf
axaxaxaxax
===∞==
→→→→→
” 
Exemplos: 
0
1
0
2
2
)93(lim)
lim).01lim)
0
0
2
lim)
0
0
2
4lim)
∞=+
∞
∞
=∞=
=
−+
−
=
−
−
∞→
∞→+∞→
−→→
x
x
xxx
xxxx
xe
e
xd
x
xsenc
ee
xsenxb
x
xa
 
 
 
 0 x 
y 
 
 k 
 y = f(x) = g(x) + k 
 
 
 y = g(x) 
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4ª Lista de Exercícios – Teoremas 
1 – Verifique que as hipóteses do teorema de Rolle estão satisfeitas no intervalo dado e ache todos 
os valores de c naquele intervalo que satisfazem a conclusão do teorema: 
a) f(x) = x2 – 6x + 8 [2, 4] 
b) f(x) = cos x [π/2; 3 π/2] 
c) f(x) = xx −
2
1 [0, 4] 
 
2 – Verifique que as hipóteses do TVM estão satisfeitas no intervalo dado e encontre todos os 
valores de c que naquele intervalo, satisfazem a conclusão: 
]3,5[25)()
]3,0[1)()
]6,4[)()
2
2
−−=
+=
−+=
xxfc
xxfb
xxxfa
 
 
3 – Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital: 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
f) 
 
 
g) 
 
 
 
h)resp.: a) 0; b) 5/2; c)+∞; d) 0; e) 1; f) -1; g) 1/e; h) e2. 
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Aplicação das derivadas no estudo das funções 
1 – Crescimento e decrescimento de funções 
Definição: dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é crescente neste intervalo se para 
quaisquer x1, x2 ∈ I, x1 < x2 temos f(x1) ≤ f(x2). 
Definição: dizemos que uma função f, definida num intervalo I, é decrescente neste intervalo se 
para quaisquer x1, x2 ∈ I, x1 > x2 temos f(x1) ≥ f(x2). 
 
Se uma função é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que é monótona neste intervalo. 
Analisando geometricamente o sinal da derivada podemos determinar os intervalos onde uma 
função derivável é crescente ou decrescente. Temos a seguinte proposição. 
Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável no intervalo (a,b). 
(i) se f ’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) então f é crescente em [a, b]. 
(ii) se f ‘(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) então f é decrescente em [a, b]. 
 
Exemplos: 
a) y = x2 ]0,1[ 
 y’= 2x y’ > 0 ∀x ∈ ]0,1[ 
 
 + + + + + 
 0 1 
b) y = 2x + 1 
 y’ = 2 y’> 0 ∀x ∈ R 
 
 + + + + + 
 R 
E.C. 
E.C. 
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c) y = -5x + 1 
 y’ = -5 < 0 ∀x ∈ R 
 
 
 
d) f(x) = x3 + 1 
f ‘(x) = 3x2 
f’(x) > 0 para todo x ≠ 0, concluímos que a função é sempre crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
e) f(x) = x2 – x + 5 
f’(x) = 2x – 1. 
2x – 1 > 0 ou x > ½ a função é crescente. 
2x – 1 < 0 ou x < ½ a função é decrescente 
 
 
 
 
f) 



≥−−
≤−
=
.1,1
1,42
)(
2
xsex
xsex
xf 
- se x < 1, então f ‘(x) = 4x. Temos, 
4x > 0 para todo x ∈ (0, 1); 
4x < 0 para todo x ∈ (- ∞, 0). 
- se x > 1, temos f’(x) = -1. Então, f ‘(x) < 0 para todo x ∈ 
(1, + ∞). 
Concluímos que f é crescente em [0, 1] e decrescente em 
(- ∞, 0) ∪ (1, + ∞). 
 
 
 
 
 
 
 EC 
 
 
 + + + + 
 
 
 
 y 
 
 2 
 
 1 
 
 -1 0 1 x 
 
 ED EC 
 
 - - - - + + + + 
 
 x = ½ 
 
 
 
 
 
 ED EC ED 
 
 - - - - - + + + + - - - - 
 0 1 x 
 
E.D 
 - - - - - 
 
 
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2 – Critérios para determinar os extremos de uma função 
A figura ao lado nos mostra o gráfico de uma função 
y = f(x). 
Os pontos marcados x1, x2, x3 e x4 são chamados de 
pontos extremos da função. Os valores de f(x1) e f(x3) são 
chamados de máximos relativos e f(x2) e f(x4) são 
chamados de mínimos relativos. 
 
 
Podemos formalizar as definições: 
Seja uma função definida em D (Domínio da função) e c um ponto de D. Teremos: 
• A função f tem um valor máximo relativo em c, pertencente a um intervalo aberto I, se 
f(c) ≥ f(x), para todo x desse intervalo. 
• A função f tem um valor mínimo relativo em c, pertencente a um intervalo aberto I, se 
f(c) ≤ f(x), para todo x desse intervalo. 
 
EXEMPLO: A função f(x) = 3x4 – 12x2 tem um máximo relativo em 
x = 0, pois existe o intervalo (-2, 2), tal que f(0) ≥ f(x) para todo x no 
intervalo (-2, 2). 
 
 
 
Proposição: Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de 
),( bax∈ e que f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se 
f’(c) existe, então f’(c) = 0. (demonstração p. 195 do Cálculo A). 
Esta proposição pode ser interpretada geometricamente. Se f tem um extremo relativo em c e se 
f’(c) existe, então o gráfico de y = f(x) tem uma reta tangente horizontal no ponto onde x = c. 
 
Da proposição podemos concluir que quando f’(c) existe, a condição f’(c) = 0 é necessária para a 
existência de um extremo relativo em c. Esta condição NÃO é suficiente. Isto é, se f’(c) = 0, a 
função pode ter ou não um extremo relativo no ponto c. 
Da mesma forma, a figura b e c nos mostram que, quando f’(c) não existe, f(x) pode ter ou não um 
extremo relativo em c. 
 
 
 
 
 
O ponto )( fDc∈ c tal que f’(c) = 0 ou não existe, é chamado de ponto crítico de f. 
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Se a função for contínua e definida em um intervalo [a, b]. Então, f assume máximo ou mínimo 
absoluto em [a, b]. 
Por exemplo: f(x) = x2 + 6x – 3 e f(x) = - x2 + 6x – 3: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I – Critério da derivada primeira para determinação de extremos 
Teorema: Seja uma função contínua num intervalo fechado [a, b] que possui derivada em todo o 
ponto do intervalo (a, b) exceto possivelmente num ponto c. 
i) se f’(x) > 0 para todo x < c e f’(x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo relativo 
em c. 
ii) se f’(x) < 0 para todo x < c e f’(x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo relativo 
em c. 
 
Exemplos: 
(i) Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento e os 
máximos e mínimos relativos da função f(x) = x3 – 7x + 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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(ii) Seja 



>+
≤−−
=
.5),7(2/1
5,3)2(
)(
2
xsex
xsex
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO: Estudar o crescimento e o decrescimento das funções, apontando os possíveis pontos 
extremos: 
a) y = 10x + 5 b) y = 1 – x2 c) y = x2 + 2x – 1 d) y = 2
1
x
 
e) y = 24 x− -2 ≤ x ≤ 2 f) g(x) = x.ex g) 



−≥−
−<+
=
1,1
1,1
)( 2 xx
xx
xf 
 
II – Critério da derivada segunda para determinação de extremos de uma função 
Teorema: Sejam f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto crítico de f neste 
intervalo, isto é, f’(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f” em (a, b), temos: 
i) se f”(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c. 
ii) se f”(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c. 
Obs: se f ”(x0) = 0, nada se pode dizer sobre c. 
Exemplos: encontre os máximos e os mínimos relativos de f aplicando o critério da derivada 
segunda: 
a) y = 18x + 3x2 – 4x3. 
b) f(x) = x(x – 1)2. 
c) y = ex 
 
3 – Concavidade de uma função 
O conceito de concavidade é muito útil no esboço do gráfico de uma curva. 
Observemos na figura que, dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontos próximos de c o 
gráfico de f está acima da tangente à curva no ponto P (c, f(c)). Dizemos que a curva tem 
concavidade voltada para cima no intervalo (a, b). 
 
 
 
 
 
 
 
Como f’(x) é a inclinação da reta tangente à curva, observa-se na figura (b) que podemos descrever 
essa mesma situação afirmando que no intervalo (a, b) a derivada f’(x) é crescente. 
 
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Geometricamente, isto significa que a reta tangente gira no sentido anti-horário à medida que 
avançamos sobre a curva da esquerda para a direita. 
 
Na figura a seguir, vemos que a tangente gira no sentidohorário quando nos deslocamos sobre a 
curva da esquerda para a direita. A derivada f’(x) é decrescente em (a, b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para determinarmos a concavidade temos: 
“Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a, b) se f ‘(x) é crescente neste intervalo.” 
“Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo (a, b) se f ‘(x) é decrescente neste intervalo.” 
 
Para reconhecermos os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada para cima ou para 
baixo, analisamos o sinal da derivada f ’’(x). 
 
Proposição: seja f uma função contínua no intervalo [a, b] e derivável até 2ª ordem no intervalo 
(a, b): 
• Se f ”(x) >0 ∀x ∈ (a, b) então f tem concavidade voltada para cima (CVC) em (a, b). 
 
• Se f ”(x) < 0 ∀x ∈ (a, b) então f tem concavidade voltada para cima (CVB) em (a, b). 
 
4 – Pontos de inflexão – PI 
Os pontos de inflexão marcam os lugares sobre a curva y = f(x) nos quais a taxa de variação de y 
em relação a x muda de crescente para decrescente ou vice-versa; ainda onde há inversão na 
concavidade de y = f(x). 
Para determiná-los usamos: 
“Se f ”(x) tem sinais distintos nos intervalos (a, c) e (c, b) e se f é contínua em c, então c é um ponto 
de inflexão (PI) da função f.” 
 
 
 
 - - - - + + + + x 
 a c (PI) b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplos: 
1) y = 1 – x2 ; x ∈ R 
y ’= -2x 
y ”= -2 < 0 ∀x ∈ R 
A concavidade da função é voltada para baixo e, portanto, não há P.I.. 
 
2) f(x) = (x – 1)3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) f(x) = x4 – x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) 




>−−
≤
=
1,)1(1
1,
)(
2
2
xparax
xparax
xf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO: Estudar as funções quanto a concavidade e o ponto de inflexão: 
a) y = x2 + 1 b) y = x5 – 10 c) y = 
x
1 x ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
 
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5 – Representação gráfica de uma função 
 
É necessário determinar: 
1. o domínio de f (quando não especificado); 
2. os pontos de intersecção com os eixos. (quando não requer muito cálculo); 
3. encontrar os pontos críticos; 
4. os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x); 
5. os máximos e mínimos relativos; 
6. a concavidade (CVC ou CVB) e os PI; 
7. assíntotas verticais e horizontais se existirem 
8. Alguns pontos adicionais para ajudar a identificar a forma do gráfico e esboce o gráfico. 
 
Exemplos: 
A) y = 
x
1 
1. D(f) = { x∈ℜ/ x ≠ 0 } 
2. Não é possível. 
3. y’= - 1/x2 y’ ≠ 0 ∀x ∈ ℜ e será sempre negativa; como em x = 0 a derivada não 
existe, então x = 0 é um ponto crítico. 
4. A função é estritamente decrescente em todo seu domínio. 
5. não tem valores extremos. 
6. y’’ = 2/x3 
A função apresenta CVB para x < 0 e CVC para x >0. 
Não tem PI, pois a função não está definida para x = 0, mas há mudança de concavidade nesse 
ponto . 
7. x = 0 é o ponto de descontinuidade. (assíntota vertical em x = 0) 
+∞=
+→ xx
1lim
0
 −∞=
−→ xx
1lim
0
 
 
(assíntota horizontal em y = 0) 
01lim +=
+∞→ xx
 01lim −=
−∞→ xx
 
 
8. gráfico 
x y 
-2 - ½ 
-1 -1 
1 1 
2 ½ 
 
B) y = 3x4 – 8x3 + 6x2 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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C) 
3
)(
2
−
=
x
xxf 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D) f(x) = (x + 1)1/3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO: Representar graficamente as funções seguintes segundo o procedimento dos 
exemplos anteriores: 
a) y = 2
1
x
 c) y = x d) y = x3 – 6x2 + 9x + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5ª Lista de Exercícios: estudo de funções 
 
1 – Determinar os pontos críticos das seguintes funções, se existirem: 
a) y = 3x + 4 b) y = x2 – 3x + 8 c) y = 2 + 2x – x2 d) y = (x – 2)(x +4) 
e) y = 3 – x3 f) y = x3 + 2x2 +5x + 3 g) y = x4 + 4x3 h) y = senx 
i) y = cosx j) y = senx – cosx k) y = ex – x l) y = (x2 – 9)2/3 
m) 



≥
<
=−=
−
=
0,
0,
)()|32|)
4 22 xx
xx
xfoxyn
x
xy 
2 – Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e mínimos relativos das 
seguintes funções: 



−>−
−≤+
=−=
==≠+=≠
+
−
=
+−+=−=++=+=
2,2
2,4
)()|62|)()
1)().)()0,1)()1,
1
1)()
56
2
1
3
1)()84)()163)()52)
2
23232
xx
xx
xgjxxfi
x
xhhexxggt
t
ttfft
t
ttfe
xxxxhdxxxgcxxxfbxya
x 
 
3 – Mostrar que 
x
xy alog= tem seu valor máximo em x = e para todos os números a > 1. 
 
4 – Encontrar a, b, c e d tal que a função f(x) = 2ax3 + bx2 – cx + d tenha pontos críticos em x = 0 e 
x = 1. Se a > 0, qual deles é de máximo, qual é de mínimo? 
 
5 – Seguindo as etapas propostas, fazer um esboço do gráfico das seguintes funções: 
a) y = x2 + 4x + 2 b) 
6
52
2
3
3
23
+−+
−
= xxxy c) 
x
xy 2+= 
 
d) )32ln())
2
4)
)3)(2(
13 23 +==
+
=
−+
+
= xygxyf
x
ye
xx
xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Química – Prof.ª Ivete Baraldi 20 
Problemas de Maximização e Minimização – Otimização 
A seguir discutiremos alguns problemas “práticos” em diversas áreas, onde aplicamos o que foi 
estudado sobre máximos e mínimos. 
O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente a função que deverá ser 
analisada. Esta função poderá ser escrita em função de uma ou mais variáveis. Quando a função é 
de mais de uma variável devemos procuras expressar uma das variáveis em função da outra. 
Com a função bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado e então realizar uma 
rotina matemática aplicando definições e teoremas. 
VEJAMOS ALGUNS EXEMPLOS: 
 
1 – Ache as dimensões de um retângulo com perímetro de 100m, cuja área é a maior possível. 
 
2 – Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se 
quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se 
obter uma caixa com o maior volume? 
 
 
 
 
3 – Um galpão deve ser construído tendo uma área retangular de 12100 m2. A prefeitura exige que 
exista um espaço livre de 25 m na frente, 20 m atrás e 12 m em cada lado. Encontre as dimensões 
do lote que tenha a área mínima na qual possa ser construído este galpão. A figura ajuda a definir a 
função que vamos minimizar. 
 
 
 
 
4 – Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendia a granel a um 
preço de $200 por unidade. Se o custo total de produção (em dólares) para x unidades for 
C(x) = 500.000 +80x + 0,003x2. E se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30.000 
unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e 
vendidas naquele tempo para maximizar o lucro? 
 
5 – Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$ 38000,00 para 
criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois aumentam de peso 
a uma razão de 1,5kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o kg., mas o preço cai 5 
centavos por dia. Quantosdias deveria o fazendeiro aguardar para maximizar o seu lucro? 
 
 
 
 x x 
 
 16 cm 
 x x 
 
 
 
 30 cm 
 
 x 
 
 16 –2x 
 
 30 – 2x 
 
 
 20 m 
 
 
 
 12 m 12 m 
 
 
 25 m 
Cálculo Diferencial e Integral I – Química – Prof.ª Ivete Baraldi 21 
6 – Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada à margem de um rio de 
500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na outra margem do rio, 2000 metros 
abaixo da central. O custo da obra através do rio é de R$ 64 por metro, enquanto, em terra, custa R$ 
31,20. Qual é a forma mais econômica de se instalar a rede de água potável? 
 
 
 
 
7 – Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construída de forma que o seu volume seja 
2500 m3. O material da base vai custar R$ 12,00 por m2 e o material dos lados R$ 9,80 por m2. 
Encontre as dimensões da caixa de modo que o custo do material seja mínimo. 
 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Química – Prof.ª Ivete Baraldi 22 
6ª Lista de Exercícios: problemas de otimização 
 
1) A subsidiária mexicana da Companhia Thermo-Master produz um termômetro de uso interno e 
externo. A gerência estima que o lucro realizável (em dólares) pela companhia pela produção e 
venda de x unidades de termômetros por semana é L(x) = - 0,001x2 + 8x – 5000. Encontre os 
intervalos onde a função lucro L(x) é crescente e os intervalos onde L(x) é decrescente. 
R: (0, 4000); (4000,∞) 
 
2) Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada 
caixa seja 2 m e o volume 23 m3. Para gastar a menor quantidade de material possível na fabricação 
das caixas, quais devem ser suas dimensões? OBS.: V = C.L.H R.: x = y = 2
6 m) 
 
3) Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm, destacando-se 
quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados para se 
obter uma caixa com o maior volume? R.: V = 480x – 92x2 + 4x3; ptos críticos: x = 10/3; V≅ 726 cm3 
 
4) A altitude (em pés) de um foguete após t segundos de vôo é dada por f(t) = - t3 + 96t2 + 195t + 5 
( t ≥ 0). Determine a altitude máxima alcançada pelo foguete. R.: 143.655 
 
5) Uma firma monopolista produz, mensalmente, x computadores ao custo de CT = x2 + 10x + 120. 
Sendo a demanda do mercado definida pela função x = 10000 – p (onde p é o preço em reais de um 
computador), calcule o preço e a quantidade de computadores que maximizem o lucro da firma. 
(2498; $ 7502) 
6) O custo total da produção de x unidades de um produto é dado por C(x) = 3x2 + x + 3. 
Determine: 
a) a função custo médio; 
b) a função custo marginal; 
c) o custo unitário médio mínimo absoluto; (1; $ 7,00) 
d) os esboços das curvas de custo total, custo médio e custo marginal no mesmo conjunto de eixos. 
Observe que o custo médio e o custo marginal são iguais quando o custo médio assume o seu menor 
valor. 
 
7) A equação de demanda de um certo produto é 2p + x = 12. Calcule a quantidade x com que o 
produtor deve trabalhar para que tenha lucro máximo, sabendo que o custo de produção é dado por 
C(x) = 1103
3
2
3
++− xxx . (x = 4) 
 
8) Duas indústrias A e B necessitam de água potável. A figura a seguir esquematiza a posição das 
indústrias, bem como a posição de um encanamento retilíneo l, já existente. Em que ponto do 
encanamento deve ser instalado um reservatório de modo que a metragem de cano a ser utilizada 
seja mínima? 
Resp.: 8 km do encontro da canalização l com a perpendicular que passa por A. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Química – Prof.ª Ivete Baraldi 23 
9) Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km de 
uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir. Se a barca 
tem uma velocidade de 18 km por hora e os carros têm uma velocidade média de 50 km/h, onde 
deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem mais rápida possível?