2019-1 AP2-AII-Gabarito

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Álgebra II
AP1 - Gabarito
Questão 1: (2,0 pontos) Utilize o algoritmo de Briot-Ruffini sucessivamente para escrever
o polinômio p(x) = 2x3 + x2 − 2x− 1 como um produto de três polinômios de grau 1.
Solução: Como x = 1 e x = −1 são ráızes de p(x), vamos escrevê-lo da seguinte forma:
p(x) = (x− 1) q1(x) = (x− 1) (x+ 1) q2(x).
Para isso, vamos aplicar o algoritmo para efetuar a divisão de p(x) por (x− 1) e, em seguida,
de q1(x) por (x+ 1).
coeficientes de p(x) −→
coeficientes de q1(x) −→
coeficientes de q2(x) −→
2 1 −2 −1 1
2 3 1 0 −1
2 1 0
Dessa forma, segue-se que
p(x) = (x− 1)
(
2x2 + 3x+ 1
)
= (x− 1) (x+ 1) (2x+ 1) .
Questão 2: (2,5 pontos) Determine MMC {p(x), g(x)}, onde p(x) = x4 − 1 e g(x) = x3 +
x2 − x− 1.
Solução:
Temos que
MMC {p(x), g(x)} = p(x)g(x)
MDC {p(x), g(x)}
=
p(x)
MDC {p(x), g(x)}
· g(x)
Dessa forma, precisamos primeiro calcular MDC {p(x), g(x)}:
x− 1 1
2
x+
1
2
x4 − 1 x3 + x2 − x− 1 2x2 − 2
2x2 − 2 0
1
Logo, MDC {p(x), g(x)} = 2x2 − 2 ou x2 − 1 ou ...
Assim, segue que
MMC {p(x), g(x)} = x
4 − 1
x2 − 1
(x3 + x2 − x− 1) =
(x2 + 1) (x3 + x2 − x− 1) = x5 + x4 − x− 1.
Questão 3: (3,0 pontos) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e
justifique sua resposta.
(a) (1,0 ponto) O polinômio p(x) = 2x3 − x2 + 2x− 1 é redut́ıvel em Q [x].
(b) (1,0 ponto) G = (Zp, ·), com p primo, é um grupo abeliano.
(c) (1,0 ponto) O grupo multiplicativo (Z∗10, ·) é ćıclico.
Observação: Z∗10 = {a ∈ Z10; mdc(a, 10) = 1} =
{
1, 3, 7, 9
}
.
Solução:
(a) Verdadeiro
Como p(x) possui grau 3, então será redut́ıvel se, e somente se, possuir uma raiz em Q.
Por outro lado, visto que p(x) ∈ Z[x], sabemos que se α = p
q
∈ Q é raiz de p(x), então
devemos ter p | 1 e q | 2. Logo as únicas ráızes racionais posśıveis para p(x) são 1, −1, 1
2
e −1
2
. Calculando o valor de p(x) em cada uma das candidatas à raiz obtemos p(1) = 2,
p(−1) = −6, p
(
1
2
)
= 0 e p
(
−1
2
)
= −5
2
. Dessa forma, x =
1
2
é raiz racional e, portanto,
p(x) é redut́ıvel em Q [x].
(b) Falso
G não é um grupo, pois o elemento 0 ∈ G não possui inverso multiplicativo, visto que
0 · a = 0 6= 1, ∀a ∈ Zp.
(c) Verdadeiro
(Z∗10, ·) =
〈
3
〉
, pois 3
1
= 3, 3
2
= 9, 3
3
= 7 e 3
4
= 1.
Questão 4: (2,5 pontos) Dado o grupo dos complexos (C, ·), considere o subgrupo dado por
S = {1,−1, i,−i}.
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(a) (1,0 pontos) Determine o inverso de cada elemento de S.
(b) (1,5 pontos) Verifique se S é ćıclico e, em caso afirmativo, determine os seus geradores.
Solução:
(a) Para determinar os inversos, vamos montar a tabela produto para S
· 1 −1 i −i
1 1 −1 i −i
−1 −1 1 −i i
i i −i −1 1
−i −i i 1 −1
Conclusão: 1−1 = 1, (−1)−1 = −1, i−1 = −i e (−i)−1 = i.
(b) 1 não é gerador, pois é o elemento neutro. Além disso:
• (−1)2 = 1
• i2 = −1 =⇒ i3 = −i =⇒ i4 = 1
• (−i)2 = −1 =⇒ (−i)3 = i =⇒ (−i)4 = 1
Conclusão: S é ćıclico e seus geradores são i e −i (são os únicos elementos de ordem 4).
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