AP1 - A2 e PNC - 2022-2 - gabarito

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Álgebra II / Polinômios e Números Complexos
AP1 - Gabarito
Questão 1: (1,0 ponto) Determine a unidade do corpo A = (R,⊕,⊙), munido das seguintes
operações:
x⊕ y = x+ y − 2 e x⊙ y = x+ y − 1
2
xy.
Solução:
Se x é um inteiro qualquer, então
x⊙ 1A = x ⇐⇒ x+ 1A −
1
2
x · 1A = x ⇐⇒ 1A ·
(
1− x
2
)
= 0.
Como x é qualquer, então 1− x
2
não é necessariamente igual a 0 e, portanto, 1A = 0.
Questão 2: (1,0 ponto) Determine o inverso do elemento 6 no corpo A = (R,⊕,⊙), munido
das seguintes operações:
x⊕ y = x+ y − 2 e x⊙ y = x+ y − 1
2
xy.
Solução:
6⊙ x′ = 1A ⇐⇒ 6 + x′ −
1
2
6x′ = 0 ⇐⇒ −2x′ = −6 ⇐⇒ x′ = 3
Questão 3: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
”O conjunto dos números irracionais é um subanel dos reais.”
Solução: Falsa
Não é fechado para o produto pois, por exemplo,
√
2 e
√
8 são irracionais, mas
√
2·
√
8 = 4
não é.
Questão 4: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
1
”Se (A,+, ·) é um anel e a, b, c ∈ A são tais que a · b = a · c e a ̸= 0, então b = c.”
Solução: Falsa
Considere A = Z6, a = 3, b = 2 e c = 4. Nesse caso,
a · b = a · c = 0 e a ̸= 0, mas b ̸= c.
Questão 5: (1,0 ponto) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para a afirmação abaixo.
Demonstre se julgá-la verdadeira e apresente um contra-exemplo se julgá-la falsa.
”Se φ : Z6 −→ Z6 é um homomorfismo tal que φ
(
5
)
= 2, então φ
(
1
)
= 4”
Solução: Verdadeira
Como φ é um homomorfismo, temos
φ
(
1
)
= φ
(
5 · 5
)
= φ
(
5
)
· φ
(
5
)
= 2 · 2 = 4.
Questão 6: (1,0 ponto) Efetue a divisão e simplifique a expressão
1 +
√
3i√
3− i
Solução:
z1
z2
= z1
z2
|z2|2
= (1 +
√
3i)
(√
3
4
+
1
4
i
)
=
(
1 ·
√
3
4
−
√
3 · 1
4
)
+
(
1 · 1
4
+
√
3 ·
√
3
4
)
i = i
Questão 7: (1,5 pontos) Escreva o complexo z =
√
3 + i na forma polar e, em seguida,
determine z7.
Solução: Inicialmente, vamos escrever z =
√
3 + i na forma polar. Note que
ρ =
√(√
3
)2
+ 12 =
√
4 = 2
e 
cos(θ) =
Re(z)
ρ
=
√
3
2
sin(θ) =
Im(z)
ρ
=
1
2
=⇒ θ = π
6
.
Logo
z = 2
(
cos
(π
6
)
+ i sin
(π
6
))
.
2
Pela Fórmula de De Moivre, tem-se que:
z7 = 27
(
cos
(
7 · π
6
)
+ i sin
(
7 · π
6
))
= 128
(
−
√
3
2
− 1
2
i
)
= −64
√
3− 64i.
Questão 8: (2,0 pontos) Determine as ráızes da equação x3 + i = 0.
Solução: Note inicialmente que
x3 + i = 0 ⇐⇒ x = 3
√
−i
Escrevendo −i na Forma Polar, temos:
−i = cos
(
3π
2
)
+ i sin
(
3π
2
)
e, portanto,
3
√
−i = cos
( 3π
2
+ 2kπ
3
)
+ i sin
( 3π
2
+ 2kπ
3
)
= cos
(
π
2
+
2kπ
3
)
+ i sin
(
π
2
+
2kπ
3
)
com k = 0, 1, 2.
� k = 0: cos
(π
2
)
+ i sin
(π
2
)
= i
� k = 1: cos
(
7π
6
)
+ i sin
(
7π
6
)
= −
√
3
2
− 1
2
i
� k = 2: cos
(
11π
6
)
+ i sin
(
11π
6
)
=
√
3
2
− 1
2
i
Questão 9: (0,5 pontos) Esboce o poĺıgono cujos vértices representam as ráızes da equação
x3 + i = 0.
Solução:
As ráızes da equação são os vértices de um triângulo equilátero, inscrito na circunferência
centrada na origem e de raio 1, de modo que um desses vértices corresponde ao arco de medida
i, conforme figura abaixo:
3
4