APX1 - A2 e PNC - 2022-1 - gabarito

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Álgebra II / Polinômios e Números Complexos
APX1 - Gabarito
Questão 1: (2,0 pontos)
Considere o corpo A = (R,⊕,�), munido das seguintes operações:
x⊕ y = x+ y + 1 e x� y = x+ y + xy.
O simétrico e o inverso de 3 são, respectivamente:
(a) − 3 e 1
3
(b) − 5 e − 3
4
(c) − 4 e − 1
2
(d)
1
3
e − 3
Solução: Letra (b)
Precisamos, inicialmente determinar o elemento neutro e a unidade de A
Elemento Neutro: Se x um inteiro qualquer, então
x⊕ 0A = x ⇐⇒ x+ 0A + 1 = x ⇐⇒ 0A = −1.
Unidade:
Se x um inteiro qualquer, então
x� 1A = x ⇐⇒ x+ 1A + x · 1A = x ⇐⇒ 1A · (x+ 1) = 0.
Como x é qualquer, então x+ 1 não é necessariamente igual a 0 e, portanto, 1A = 0.
� Simétrico x′
3⊕ x′ = 0A ⇐⇒ 3 + x′ + 1 = −1 ⇐⇒ x′ = −5
� Inverso x′′
3� x′′ = 1A ⇐⇒ 3 + x′′ + 3x′′ = 0 ⇐⇒ 4x′′ = −3 ⇐⇒ x′′ =
−3
4
1
Questão 2: (2,0 pontos)
Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada afirmação abaixo.
(a) Seja (A,+, ·) um anel com elemento neutro 0 e unidade 1. Se a ∈ A é tal que a2 = a,
então a = 0 ou a = 1
(b) O conjunto dos números imaginários puros
A = {z = a+ bi ∈ C; a = 0}
é um subcorpo dos complexos, considerando as operações usuais de soma e produto.
(c) A função φ : Z2 → Z2, definida por φ(n) = n4 é um homomorfismo de anéis.
(d) Todo Domı́nio de Integridade é um Corpo.
Solução:
(a) (Falsa) Por exemplo, Z6 =
{
0, 1, 2, 3, 4, 5
}
é um anel com elemento neutro 0 e unidade
1. No entanto, temos que:
3
2
= 3 e 4
2
= 4.
(b) (Falsa) Dados z1 = ai e z2 = bi, tem-se que:
z1 · z−12 = z1 ·
z2
|z2|2
= ai · −bi
b2
= ai · −1
b
i =
a
b
/∈ A
Conclusão: A é um subcorpo de C.
(c) (Verdadeira)
ϕ(a+ b) = (a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 = a4 + b4 = ϕ(a) + ϕ(b)
e
ϕ(a · b) = (a · b)4 = a4 · b4 = ϕ(a) · ϕ(b)
(d) (Falsa) O conjunto dos inteiros Z é um Domı́nio de Integridade e não é um Corpo.
Questão 3: (2,0 pontos)
Se
2
√
3 + 2i√
3− 3i
= a+ bi e (−
√
3 + i)9 = c+ di, então:
(a) a = 0, b = −2
√
3
3
, c = 0, d = 512
2
(b) a =
√
3
6
, b = −2
√
3
3
, c = 512, d = 0
(c) a =
√
3, b =
2
√
3
3
, c = 0, d = 512
(d) a = 0, b =
2
√
3
3
, c = 0, d = −512
Solução: Letra (d)
z1
z2
= z1
z2
|z2|2
= (2
√
3 + 2i)
(√
3
12
+
1
4
i
)
=
(
2
√
3 ·
√
3
12
− 2 ·
(
1
4
))
+
(
2
√
3 ·
(
1
4
)
+ (2) ·
√
3
12
)
i =
2
√
3
3
i
Para calcular a potência pedida, vamos escrever z = −
√
3 + i na forma polar. Note que
ρ =
√(
−
√
3
)2
+ 12 =
√
4 = 2
e 
cos(θ) =
Re(z)
ρ
= −
√
3
2
sin(θ) =
Im(z)
ρ
=
1
2
=⇒ θ = 5π
6
.
Logo
z = 2
(
cos
(
5π
6
)
+ i sin
(
5π
6
))
e, portanto, pela Fórmula de De Moivre, segue que:
z9 = 29
(
cos
(
9 · 5π
6
)
+ i sin
(
9 · 5π
6
))
= 512
(
cos
(
15π
2
)
+ i sin
(
15π
2
))
= −512i.
Questão 4: (2,0 pontos)
Se x4 + 4 = (x2 + ax+ b) (x2 + cx+ d), calcule a+ b+ c+ d.
(a) 0 (c) 4
(b) 2 (d) 8
3
Solução: Letra (c)
Inicialmente, vamos calcular 4
√
−4. Escrevendo −4 na Forma Polar, temos:
−4 = 4 (cos (π) + i sin (π))
e, portanto,
4
√
−4 = 4
√
4
(
cos
(
π + 2kπ
4
)
+ i sin
(
π + 2kπ
4
))
=
√
2
(
cos
(
π
4
+
kπ
2
)
+ i sin
(
π
4
+
kπ
2
))
com k = 0, 1, 2, 3.
� k = 0:
√
2
(
cos
(π
4
)
+ i sin
(π
4
))
= 1 + i = w
� k = 1:
√
2
(
cos
(
3π
4
)
+ i sin
(
3π
4
))
= −1 + i = −w
� k = 2:
√
2
(
cos
(
5π
4
)
+ i sin
(
5π
4
))
= −1− i = −w
� k = 3:
√
2
(
cos
(
7π
4
)
+ i sin
(
7π
4
))
= 1− i = w
Dessa forma, tem-se que:
x4 + 4 = (x− w) (x− w) (x+ w) (x+ w) = (x2 − x(w + w) + |w|2) (x2 + x(w + w) + |w|2)
= (x2 − 2x+ 2) (x2 + 2x+ 2)
Logo, a+ b+ c+ d = −2 + 2 + 2 + 2 = 4
Questão 5: (2,0 pontos)
Qual dos complexos abaixo não é solução da equação:
1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 = 0.
(a)
√
3
2
+
1
2
i
(b) −i
4
(c)
√
2
2
+
√
2
2
i
(d) −1
2
+
√
3
2
i
Solução: Letra (c)
Usando a fórmula da soma de PG, obtém-se
x12 − 1
x− 1
= 0
Assim, as ráızes de p(x) são, a menos da unidade (que anularia seu denominador), as ráızes
décimas segundas da unidade, isto é, são os vértices do dodecágono regular inscrito na
circunferência de centro (0, 0) e raio 1, exceto o vértice (1, 0).
Dessa forma, dividimos 2π por 12, obtendo
π
6
e as ráızes são:
� cos
(π
6
)
+ i sin
(π
6
)
=
√
3
2
+
1
2
i
� cos
(π
3
)
+ i sin
(π
3
)
=
1
2
+
√
3
2
i
� cos
(π
2
)
+ i sin
(π
2
)
= i
� cos
(
2π
3
)
+ i sin
(
2π
3
)
= −1
2
+
√
3
2
i
� cos
(
5π
6
)
+ i sin
(
5π
6
)
= −
√
3
2
+
1
2
i
� cos (π) + i sin (π) = −1
� cos
(
7π
6
)
+ i sin
(
7π
6
)
= −
√
3
2
− 1
2
i
� cos
(
4π
3
)
+ i sin
(
4π
3
)
= −1
2
−
√
3
2
i
� cos
(
3π
2
)
+ i sin
(
3π
2
)
= −i
� cos
(
5π
3
)
+ i sin
(
5π
3
)
=
1
2
−
√
3
2
i
� cos
(
11π
6
)
+ i sin
(
11π
6
)
=
√
3
2
− 1
2
i
5