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Álgebra II / Polinômios e Números Complexos AP3 - Gabarito Questão 1: (2,0 pontos) Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada afirmação abaixo. (a) Seja (A,+, ·) um anel com elemento neutro 0 e unidade 1. Se a ∈ A é tal que a2 = a, então a = 0 ou a = 1 (b) O conjunto dos números imaginários puros A = {z = a+ bi ∈ C; a = 0} é um subcorpo dos complexos, considerando as operações usuais de soma e produto. (c) A função φ : Z2 → Z2, definida por φ(n) = n4 é um homomorfismo de anéis. (d) Todo Domı́nio de Integridade é um Corpo. Solução: (a) (Falsa) Por exemplo, Z6 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } é um anel com elemento neutro 0 e unidade 1. No entanto, temos que: 3 2 = 3 e 4 2 = 4. (b) (Falsa) Dados z1 = ai e z2 = bi, tem-se que: z1 · z−12 = z1 · z2 |z2|2 = ai · −bi b2 = ai · −1 b i = a b /∈ A Conclusão: A é um subcorpo de C. (c) (Verdadeira) ϕ(a+ b) = (a+ b)4 = a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + b4 = a4 + b4 = ϕ(a) + ϕ(b) e ϕ(a · b) = (a · b)4 = a4 · b4 = ϕ(a) · ϕ(b) (d) (Falsa) O conjunto dos inteiros Z é um Domı́nio de Integridade e não é um Corpo. Questão 2: (2,0 pontos) 1 Se 2 √ 3 + 2i√ 3− 3i = a+ bi e (− √ 3 + i)9 = c+ di, então: (a) a = 0, b = −2 √ 3 3 , c = 0, d = 512 (b) a = √ 3 6 , b = −2 √ 3 3 , c = 512, d = 0 (c) a = √ 3, b = 2 √ 3 3 , c = 0, d = 512 (d) a = 0, b = 2 √ 3 3 , c = 0, d = −512 Solução: Letra (d) z1 z2 = z1 z2 |z2|2 = (2 √ 3 + 2i) (√ 3 12 + 1 4 i ) = ( 2 √ 3 · √ 3 12 − 2 · ( 1 4 )) + ( 2 √ 3 · ( 1 4 ) + (2) · √ 3 12 ) i = 2 √ 3 3 i Para calcular a potência pedida, vamos escrever z = − √ 3 + i na forma polar. Note que ρ = √( − √ 3 )2 + 12 = √ 4 = 2 e cos(θ) = Re(z) ρ = − √ 3 2 sin(θ) = Im(z) ρ = 1 2 =⇒ θ = 5π 6 . Logo z = 2 ( cos ( 5π 6 ) + i sin ( 5π 6 )) e, portanto, pela Fórmula de De Moivre, segue que: z9 = 29 ( cos ( 9 · 5π 6 ) + i sin ( 9 · 5π 6 )) = 512 ( cos ( 15π 2 ) + i sin ( 15π 2 )) = −512i. 2 Questão 3: (2,0 pontos) Qual dos complexos abaixo não é solução da equação: 1 + x+ x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 + x11 = 0. (a) √ 3 2 + 1 2 i (b) −i (c) √ 2 2 + √ 2 2 i (d) −1 2 + √ 3 2 i Solução: Letra (c) Usando a fórmula da soma de PG, obtém-se x12 − 1 x− 1 = 0 Assim, as ráızes de p(x) são, a menos da unidade (que anularia seu denominador), as ráızes décimas segundas da unidade, isto é, são os vértices do dodecágono regular inscrito na circunferência de centro (0, 0) e raio 1, exceto o vértice (1, 0). Dessa forma, dividimos 2π por 12, obtendo π 6 e as ráızes são: � cos (π 6 ) + i sin (π 6 ) = √ 3 2 + 1 2 i � cos (π 3 ) + i sin (π 3 ) = 1 2 + √ 3 2 i � cos (π 2 ) + i sin (π 2 ) = i � cos ( 2π 3 ) + i sin ( 2π 3 ) = −1 2 + √ 3 2 i � cos ( 5π 6 ) + i sin ( 5π 6 ) = − √ 3 2 + 1 2 i � cos (π) + i sin (π) = −1 3 � cos ( 7π 6 ) + i sin ( 7π 6 ) = − √ 3 2 − 1 2 i � cos ( 4π 3 ) + i sin ( 4π 3 ) = −1 2 − √ 3 2 i � cos ( 3π 2 ) + i sin ( 3π 2 ) = −i � cos ( 5π 3 ) + i sin ( 5π 3 ) = 1 2 − √ 3 2 i � cos ( 11π 6 ) + i sin ( 11π 6 ) = √ 3 2 − 1 2 i Questão 4: (2,0 pontos) Dados f(x) = 2x3 − 2x2 + x − 1 e g(x) = 2x3 + 4x2 + x + 2, um mdc(f(x), g(x)) e um mmc(f(x), g(x)) são, respectivamente: (a) 2x2 + 1 e 2x4 + 2x3 − 3x2 + x− 2 (b) −6x2 − 3 e 4x6 + 4x5 − 4x4 + 4x3 − 7x2 + x− 2 (c) 2x2 + 1 e 4x6 + 4x5 − 4x4 + 4x3 − 7x2 + x− 2 (d) x+ 2 e 2x4 + 2x3 − 3x2 + x− 2 Solução: Letra (a) 1 −1 3 x− 2 3 2x3 − 2x2 + x− 1 2x3 + 4x2 + x+ 2 −6x2 − 3 −6x2 − 3 0 Conclusão: mdc(f(x), g(x)) = −6x2 − 3 ou 2x2 + 1 ou ... Além disso: mmc(f(x), g(x)) = f(x)g(x) mdc(f(x), g(x)) = (2x3 − 2x2 + x− 1) (2x3 + 4x2 + x+ 2) 2x2 + 1 = 2x4 + 2x3 − 3x2 + x− 2 Questão 5: (2,0 pontos) Determine se os polinômios abaixo são redut́ıveis ou irredut́ıves em Q [x]. 4 (a) p(x) = x4 − 2x (b) p(x) = 3x3 − 2x2 + 2x+ 1 (c) p(x) = x2 + 2x− 1 (d) p(x) = 2x4 + 6x3 + 12x2 + 18x+ 24 Solução: (a) p(x) é redut́ıvel, pois p(x) = x(x3 − 2) (b) p(x) é redut́ıvel em Q[x], pois possui raiz racional. De fato, p ( −1 3 ) = 0. (c) p(x) é irredut́ıvel em Q[x], pois suas ráızes −1 + √ 2 e −1 + √ 2 não são racionais. (d) Aplicando Critério de Eisenstein com o primo p = 3, obtemos: � 3 | 6, 3 | 12, 3 | 18 e 3 | 24 � 3 - 2 � 32 = 9 - 24 e, portanto, p(x) é irredut́ıvel em Q [x] 5
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