2019-2 AP2-AII-Gabarito

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Álgebra II
AP2 - Gabarito
Questão 1: (2,5 pontos) Dados f(x) = x4 − 1 e g(x) = x3 + x2 − x − 1 ∈ Q[x], determine
d(x) = mdc(f(x), g(x)). Em seguida, encontre u(x) e v(x) tais que
d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x).
Solução:.Vamos utilizar o algoritmo visto no EP8.
x− 1 1
2
x+
1
2
x4 − 1 x3 + x2 − x− 1 2x2 − 2
2x2 − 2 0
Conclusão: mdc(f(x), g(x)) = 2x2 − 2 ou x2 − 1 ou ....
Para determinar u(x) e v(x), observe que, da primeira divisão, tem-se
x4 − 1 =
(
x3 + x2 − x− 1
)
(x− 1) + 2x2 − 2
e, portanto,
2x2 − 2 =
(
x4 − 1
)
− (x− 1)
(
x3 + x2 − x− 1
)
.
Conclusão: u(x) = 1 e v(x) = − (x− 1)
Questão 2: (2,0 pontos) Determine se os polinômios abaixo são irredut́ıveis em Q[x].
(a) (1,0 ponto) p(x) =
1
2
x4 − 2
(b) (1,0 ponto) p(x) = 2x4 − 6x3 − 18x2 + 12
Solução:
(a) p(x) é redut́ıvel em Q[x] pois
p(x) =
1
2
(
x4 − 4
)
=
1
2
(
x2 − 2
) (
x2 + 2
)
(b) Aplicando o Critério de Eisenstein com o primo 3, tem-se
1
• 3 | −6, 3 | −18 e 3 | 12
• 3 - 2
• 32 - 12
e, portanto, p(x) é irredut́ıvel em Q [x].
Questão 3: (3,0 pontos) Determine se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas e
justifique sua resposta.
(a) (1,0 ponto) Existem 8 valores posśıveis em Q para as ráızes do polinômio p(x) =
2x3 + ax2 + bx− 3, com a, b ∈ Z.
(b) (1,0 ponto) Dadas as funções fi : (0,+∞) −→ (0,+∞), i = 1, 2, 3, 4:
f1(x) = x
2, f2(x) =
√
x, f3(x) =
1
x
e f4(x) = x,
o conjuntoG = {f1, f2, f3, f4}, com a operação composição de funções ◦, é um grupo abeliano.
(c) (1,0 ponto) O conjunto R∗+ = {x ∈ R, x > 0} é um subgrupo de (R∗, ·)
Solução:
(a) Verdadeiro
Como p(x) ∈ Z[x], sabemos que se α = p
q
∈ Q é raiz de p(x), então devemos ter p | 3 e
q | 2. Logo as únicas ráızes racionais posśıveis para p(x) são 1, −1, 3, −3, 1
2
, −1
2
,
3
2
e −3
2
.
(b) Falso
G não é fechado para a composição de funções:
(f1 ◦ f3) (x) = f1
(
1
x
)
=
1
x2
6∈ G.
(c) Verdadeiro
x, y ∈ R∗+ =⇒ xy−1 =
x
y
> 0 =⇒ xy−1 ∈ R∗+
Questão 4: (2,5 pontos) Considere o grupo multiplicativo (Z∗10, ·), onde
Z∗10 = {a ∈ Z10; mdc(a, 10) = 1} =
{
1, 3, 7, 9
}
.
2
(a) (1,0 ponto) Monte a tabela produto e determine o inverso de cada elemento de (Z∗10, ·).
(b) (1,0 ponto) Determine a ordem de cada elemento de (Z∗10, ·).
(c) (0,5 ponto) (Z∗10, ·) é ćıclico? Justifique sua resposta.
Solução:
(a)
1 3 7 9
1 1 3 7 9
3 3 9 1 7
7 7 1 9 3
9 9 7 3 1
Conclusão: 1
−1
= 1, 3
−1
= 7, 7
−1
= 3 e 9
−1
= 9.
(b)
• ord
(
1
)
= 1
• 31 = 3, 32 = 9, 33 = 7, 34 = 1 =⇒ ord
(
3
)
= 4
• 71 = 7, 72 = 9, 73 = 3, 74 = 1 =⇒ ord
(
7
)
= 4
• 91 = 9, 92 = 1 =⇒ ord
(
9
)
= 2
(c) SIM, pois
(Z∗10, ·) =
〈
3
〉
=
〈
7
〉
.
3