Lista2_ProbabilidadeComputacional2022 1 (1)

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INF1036 - Probabilidade Computacional – 2ª. Lista – 2022.1 
Professora: Ana Carolina Letichevsky 
 
1) A variável aleatória 𝑋 tem função densidade dada por: 
𝑓(𝑥) = {
−𝑥 −1 ≤ 𝑥 < 0
𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
0 𝑥 < −1 𝑜𝑢 𝑥 > 1
 
a) Esboce o gráfico de 𝑓(𝑥) e verifique se 𝑓(𝑥) define uma função densidade de probabilidade. 
b) Calcule 𝑃(|𝑋 − 0,5| > 0,25). 
c) Calcule a variância de 𝑋. 
d) Obtenha a função distribuição acumulada de 𝑋. 
 
2) Uma variável aleatória 𝑋 tem distribuição uniforme no intervalo [𝑎, 𝑏] com média 7 e variância 3. 
Determine os valores de 𝑎 e 𝑏, sabendo que 𝑏 > 𝑎 > 0. 
 
3) Se 𝑋 é uma variável aleatória exponencial de parâmetro 𝜆, mostre que: 
a) 𝐸[𝑋] =
1
𝜆
 
b) 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
1
𝜆2
 
 
4) A função distribuição acumulada de uma variável aleatória 𝑋 é dada por: 
𝐹(𝑥) = {
0 𝑥 < 0
3𝑥2 − 𝑥3
2
0 ≤ 𝑥 < 1
1 𝑥 ≥ 1
 
a) Calcule 𝐸(𝑋) e 𝑉𝑎𝑟(𝑋). 
b) Calcule 𝑃(0,25 ≤ 𝑋 ≤ 0,5). 
 
 
 
 
 
 
5) Considerando 𝑔(𝑥) = 𝑥2 + 3𝑥 uma função, calcule o valor aproximado de 𝜑, onde: 
𝜑 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
1
0
 
Observação: 
Considerando 𝑈 uma variável aleatória uniformemente distribuída no intervalo [0, 1] , então: 
𝜑 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[𝑔(𝑈)]
1
0
 
Se 𝑈1, 𝑈2, … , 𝑈𝑛 são variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas em [0, 1], 
tem-se que as variáveis aleatórias 𝑔(𝑈1), 𝑔(𝑈2), … , 𝑔(𝑈𝑛) são variáveis aleatórias independentes com 
média 𝜑. Portanto, pela Lei Forte dos Grandes Números (Lei Forte de Kolmogorov), segue que, com 
probabilidade 1, 
∑
𝑔(𝑈𝑖)
𝑛
𝑛
𝑖=1
→ 𝐸[𝑔(𝑈)] = 𝜑 
onde 𝑛 → ∞. 
Para realizar o cálculo, deve ser criada uma função chamada aproximador que deverá retornar o valor 
aproximado de 𝜑. Implemente a função aproximador, em R e em Python, usando como gerador de 
números pseudo-aleatórios o algoritmo: 
a) LGC. 
b) Mersenne Twister. 
 
http://www.portalaction.com.br/probabilidades/722-lei-forte-dos-grandes-numeros#teo7124