Exercício convergência de séries

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Exercícios Séries e Equações Diferenciais
Gabriela Vieira Parma
26 de abril de 2022
Questão 1 - Para qual conjunto de valores de x, a sequência (sn)n∈N cujo enésimo
termo é definido por sn =
∑n
k=1
(x−1)k
2k
, n ≥ 1. Converge?
Resolução:
Termo Geral:
an =
(x− 1)n
2n
(1)
Pelo teste da razão, Equação 2, temos:
limn→∞ = |
an+1
an
| < 1 (2)
Aplicando o teste da razão na Equação 1:
limn→∞ = |
(x−1)n+1
2n+1
(x−1)n
2n
| < 1 (3)
limn→∞ = |
(x− 1)n+1
2n+1
· 2
n
(x− 1)n
| < 1 (4)
Simplificando a Equação 4:
limn→∞|
(x− 1)
2
| = |x− 1|
2
< 1 (5)
Logo, |x − 1| < 2. Analisando o intervalo: x − 1 < 2 ⇒ x < 3. Ou, −x + 1 < 2 ⇒
x > −1. Sendo assim, o intervalo consiste em −1 < x < 3. Agora vamos analizar os
extremos para ver se entram no intervalo de convergência.
Para x = −1:
n∑
k=1
(−1− 1)k
2k
=
n∑
k=1
(−2)k
2k
=
n∑
k=1
(
(−2)
2
)k =
n∑
k=1
(−1)k (6)
Logo, para x = −1 a série diverge, logo esse extremo não entra no intervalo de convergência.
Para x = 3:
n∑
k=1
(3− 1)k
2k
=
n∑
k=1
2k
2k
=
n∑
k=1
(
2
2
)k =
n∑
k=1
(1)k (7)
Logo, para x = 3 a série também diverge, logo esse extremo não entra no intervalo de
convergência.
O intervalo de convergência da sequencência (sn)n∈N é (-1,3).
1
Questão 2 - Sabendo que a série
∑∞
k=1
1
k2
converge é correto afirmar que
∑∞
k=1
1√
k+1
converge?
Resolução:
Para esse exercício vamos utilizar o teste de comparação de limites. Seja, an =
∑∞
k=1
1
k2
e bn =
∑∞
k=1
1√
k+1
. De limn→∞ anbn é igual a um número real c > 0, então ou ambas as
séries convergem ou ambas as séries divergem.
limn→∞
an
bn
= limn→∞
1√
k+1
1
k2
(8)
Desenvolvendo a fórmula:
limn→∞
k2√
k + 1
= limn→∞
k2
k
√
1 + 1
k
= limn→∞
k√
1 + 1
k
= ∞ (9)
Como o limite não é igual a um número real c > 0, então a série
∑∞
k=1
1√
k+1
não
converge.
2