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Universidade Federal do Paraná Departamento de Física Física E Prof. Lauro Luiz Samojeden 2012-2 Capítulo 2 – Movimento Retilíneo • Um dos objetivos da física é estudar o movimento dos objetos. A rapidez com que se movem, a distância percorrida ou a posição em um instante particular. • Ex. Os geólogos usam essa parte da física para estudar o movimento de placas tectônicas, com o objetivo de prever terremotos. • Cinemática – Parte da mecânica que estuda o movimento sem se • Cinemática – Parte da mecânica que estuda o movimento sem se preocupar com o que causou esse movimento. • Consideraremos o movimento somente em linha reta (na horizontal ou na vertical). Movimento unidimensional. • Nosso objetivo será descrever o movimento de um objeto, isto é, sua trajetória, sua velocidade e se ele está acelerado ou não. • Consideraremos apenas aqueles objetos que possam ser representados como partículas. • Frequentemente usaremos a partícula como modelo ideal de um corpo em movimento, isto é, quando os efeitos de rotacão e da forma do objeto não forem relevantes. Nesse caso todas as partes do corpo movem-se na mesma direção e com a mesma rapidez. • Exemplo: Movimento da Terra ao redor do Sol. Um objeto deslizando em uma rampa. • Para descrever o movimento, precisamos em primeiro lugar de um referencial. No caso unidimensional é simplesmente uma retareferencial. No caso unidimensional é simplesmente uma reta orientada em que se escolhe a origem O. • A posicão de uma partícula em movimento no instante t é descrita pela abscissa correspondente x(t). • Não confundir x(t) com x(m)! • Observar na figura anterior o sentido positivo e o sentido negativo. • A mudança de uma posição x1 para uma posição x2 é associado um deslocamento ∆x = x2 - x1. • Significado do símbolo grego ∆. • ∆x > 0 → x2 > x1. Sentido positivo. • ∆x < 0 → x2 < x1. Sentido negativo. • Deslocamento é uma grandeza vetorial (módulo, direção e sentido). Exemplos: Considere três pares de posições iniciais e finais, respectivamente, ao longo do eixo x. Determine o sentido dessesrespectivamente, ao longo do eixo x. Determine o sentido desses deslocamentos: a) -3 m, +5 m; b) -3 m, -7 m; c) 7 m, -3 m? • Respostas: a) ∆x = 8 m > 0; ∆x = -4 m < 0; • ∆x = -10 m < 0 • Velocidade média e velocidade escalar média. • Considere o gráfico a seguir: 0 )()( txtxxv −=∆= • No gráfico acima, de x em função de t, a velocidade média é a inclinação da reta que liga dois pontos particulares da curva x(t). • A velocidade média também é uma grandeza vetorial. • O módulo é o valor absoluto da inclinação da reta. • O sentido é dado por ∆x ou pela inclinação da reta. 0 0 )()( tt txtx t x vmed − − = ∆ ∆ = • A velocidade se mede em km/h, m/s, cm/s,…, conforme as unidades adotadas. • Calcular a velocidade média entre os instantes t0 = 1 s e t = 4 s. A velocidade escalar média smed é uma forma diferente de escrever “com que rapidez” uma partícula está se movendo. A velocidade média envolve o deslocamento, enquanto a velocidade ./2 3 6 14 )4(2 0 0 sm s m ss mm tt xx vmed == − −− = − − = A velocidade média envolve o deslocamento, enquanto a velocidade escalar média é definida em termos da distância total percorrida (número de quilômetros percorridos, por exemplo), independentemente da direção. A velocidade escalar média não possui sinal algébrico e em algumas situações seu módulo pode coincidir com o módulo da velocidade média. t totaldistância smed ∆ = • Exemplo • Depois de dirigir um automóvel em uma estrada retilínea por 8,4 km e a uma velocidade média de 70 km/h, o motorista pára por falta de combustível. Nos 30 min seguintes ele caminha por mais 2,0 km ao longo da estrada até chegar ao posto de gasolina mais próximo. • a) Qual o deslocamento total, desde o início da viagem até chegar ao posto de gasolina?chegar ao posto de gasolina? • Solução: ∆x = x2 - x1 = 8,4 km + 2,0 km – 0 = 10,4 km. • b) Qual o intervalo de tempo ∆t entre o início da viagem e o instante em que o motorista chega ao posto? • Solução: ∆t = ∆tdirigindo + ∆tcaminhando = 0,12 h + 0,50 h = 0,62 h. • c) Qual a velocidade média do início da viagem até a chegada do motorista ao posto? • Solução: • d) Após comprar o combustível, o motorista retorna, levando 45 min para chegar até o local onde estava o ./8,16 62,0 4,10 hkm h km t x v med ==∆ ∆ = levando 45 min para chegar até o local onde estava o automóvel. Qual a velocidade escalar média do início da viagem até o momento em que chega de volta ao automóvel? • Solução: • ./1,9 37,1 4,12 75,050,012,0 0,20,24,8 hkm h km hhh kmkmkm smed ==++ ++ = Velocidade Instantânea e Velocidade Escalar Instantânea • Vimos nas seções anteriores os conceitos de velocidade média e velocidade escalar média. • Mas, quando falamos em “rapidez” em geral estamos pensando na rapidez com a qual um objeto está se movendo em um certo instante, isto é, sua velocidade instantânea, ou simplesmente, velocidade. • A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média, ao fazermos o intervalo de tempo ∆t tendendo a zero, ou seja fazermos o intervalo de tempo ∆t tendendo a zero, ou seja • A velocidade v é a taxa com a qual a posição x está variando com o tempo em um dato instante, ou seja, v é a derivada de x em relação a t. • A velocidade instantânea ou velocidade, também é uma grandeza vetorial. 0 lim . t x dx v t dt∆ → ∆ = = ∆ • A velocidade escalar instantânea, ou simplesmente, velocidade escalar, é o módulo da velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer indicação de direção. • O velocímetro de um carro indica a velocidade escalar e não a velocidade, já que não mostra a direção em que o carro está se movendo. • Teste. As equações a seguir fornecem a posição x(t) de uma partícula em quatro casos (em todas as equações x está em metros e t em segundos): (1) x = 3t – 2; (2) x = -4t2 – 2; (3) x = 2/t2; (4) x = -2. Determine a velocidade em todos os casos. • Solução: (1) v = 3 m/s - constante; (2) v = -8t - negativa; (3) v = -4t-3 – negativa; (4) v = 0.negativa; (4) v = 0. • Exemplo: A posição de uma partícula que se move em um eixo x é dada por x = 7,8 + 9,2t – 2,1t3, com x em metros e t em segundos. Qual é a velocidade da partícula em t = 3,5 s? A velocidade é constante ou está variando continuamente? • Solução: A velocidade é a derivada primeira (em relação ao tempo) da função x(t). Assim, o cálculo detalhado fornece: 3 3 2 (7 , 8 9 , 2 2 ,1 ), (7 , 8 ) (9 , 2 ) ( 2 ,1 ), 0 9 , 2 (3)( 2 ,1) 9 , 2 6 , 3 , 9 , 2 6 , 3(3, 5 ) , d x d v t t d t d t d d d v t t d t d t d t v t t v = = + − = + − = + − = − = −9 , 2 6 , 3(3, 5 ) , 9 , 2 7 7 , 2 , 6 8 / . v v v m s = − = − = − Portanto, em t = 3,5 s, a partícula está se movendo no sentido negativo de x com velocidade escalar de 68 m/s ou 244,8 km/h. Aceleração • Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que ela sofreu uma aceleração. • Para movimentos ao longo de uma direção, a aceleração média améd em um intervalo de tempo ∆t é 2 1 2 1 ,méd v v v a t t t − ∆ = = − ∆ • onde a partícula tem velocidade v1 no intante t1 e velocidade v2 no instante t2. • A aceleração instantânea (ou, simplesmente aceleração) é dada por . dv a dt = • A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse instante. • Graficamente, a aceleração em qualquer ponto é a inclinação da curva de v(t) nesse ponto. • A aceleração de uma partícula em • A aceleração de uma partícula em qualquerinstante é a derivada segunda da posição x(t) em relação ao tempo, ou 2 2 . dv d dx d x a dt dt dt dt = = = • Unidade de aceleração no SI é o m/s2. • Assim, uma aceleração de 1 m/s2 significa que a cada segundo a velocidade aumenta de 1 m/s. • A aceleração é uma grandeza vetorial. • O sinal algébrico +/- representa o sentido da partícula que está acelerada. • a = 5,0 m/s2 – sentido + do eixo x. • a =-5,0 m/s2 – sentido – do eixo x. • A forma apropriada para interpretar os sinais é: • Se os sinais da velocidade e da aceleração de uma partícula são iguais, a velocidade escalar da partícula aumenta. Se os sinais são opostos, a velocidade escalar da partícula aumenta. Se os sinais são opostos, a velocidade escalar diminui. • O sinal de uma aceleração indica um sentido, e não se a velocidade de um objeto está aumentando ou diminuindo. • Teste: Uma partícula se move ao longo do eixo x. Qual é o sinal de sua aceleração se ela está se movendo: (a) no sentido positivo com velocidade escalar crescente; (b) no sentido positivo com velocidade escalar decrescente; (c) no sentido negativo com velocidade escalar crescente; (d) no sentido negativo com velocidade escalar decrescente. • Solução: • (a) Sentido (+), v aumenta → a (+); • (b) Sentido (+), v diminui → a (-); • (c) Sentido (-), v aumenta → a (-); • (d) Sentido (-), v diminui → a (+); • Exemplo: A posição de uma partícula no eixo x é dada por x = 4 -27t+t3, com x em metros e t em segundos. (a) Como a posição depende do tempo, a partícula deve estar em movimento. Determine a função velocidade e a função aceleração da partícula. • Solução: v(t) = -27 +3t2 e a(t) = 6t. • (b) Existe algum instante para o qual a velocidade é igual a zero? • Solução: 0 = -27 + 3t2→ 3t2 = 27 → t = 3 s → x = -50 m. • (c) Descreva o movimento da partícula para t ≥ 0. • Solução: Em t = 0, a partícula está em x(0) = +4 m e v(0) = -27 m/s e a(0) = 0. • Para 0 < t < 3 s, v < 0, a > 0, a velocidade então é decrescente. • Em t = 3, x = -50 e nesta posição v = 0. • Para t > 3, sentido positivo, v > 0 e a > 0. Aceleração Constante: Um caso especial • Em muitos tipos de movimento, a aceleração é constante ou aproximadamente constante. • Consideraremos somente o caso de aceleração constante. • Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais, e podemos a aceleração instantânea são iguais, e podemos escrever: • Onde v0 é a velocidade no instante t = 0 e v é a velocidade no instante t. Explicitando v, temos: v = v0 + at. 0 ,méd v v a a t − = = Do gráfico acima observamos que a área laranja é a área de um triângulo mais a área de uma retângulo, isto é S = Sret + Striâ = ∆x , onde Sret = v0t e Striân= (at)t/2, assim ∆x = v0t + at2/2, ou x = x0 + v0t + at2/2. 0 0 , , méd méd x x v t x x v t mas − = = + A equação horária pode ser deduzida ainda da seguinte forma: 1 1 0 0 02 2 1 0 2 21 0 0 2 ( ) ( ( )), . , . méd méd mas v v v v v at v v at Assim x x v t at = + = + + = + = + + • As equações: v = v0 + at e x = x0 + v0t + at2/2, podem ainda ser combinadas para obter mais outras três. O conjunto de equações do movimento com aceleração constante está resumido na seguinte tabela: Equação Grandeza faltante v = v0 + at x – x0 x = x0 + v0t + at2/2 vx = x0 + v0t + at /2 v v2 = v0 2 + 2 a(x – x0) t x – x0 = (v0 + v)t/2 a x – x0 = vt – at2/2 v0 • Exemplo: A cabeça de um pica-pau está se movendo para a frente com uma velocidade de 7,49 m/s quando o bico faz contato com o troco da árvore. O bico pára depois de penetrar 1,87 mm no tronco. Determine o módulo da aceleração, em termos de g = 10 m/s2, supondo que ela seja constante. • Solução: • Dados: v0 = 7,49 m/s, v = 0, x – x0 = 1,87 x 10-3 m. • Observamos que nos dados falta o tempo, logo podemos usar a equação: v2 = v0 2 + 2 a (x – x0). Substituindo os dados, obtemos:Substituindo os dados, obtemos: 0 = (7,49 m/s)2 + 2 a (1,87 x 10-3 m), a = 1,5 x 104 m/s2. Dividindo e multiplicando por g obtemos: a = (1,5 x 103)g. Tal aceleração seria mortal para o ser humano. O fato do pica-pau suportar tal aceleração ainda é controverso. Aceleração em Queda Livre Como pode ser visto na figura ao lado, se soltarmos uma pedra e uma pena simultaneamente de uma mesma altura, no vácuo, ambas estão sob uma mesma aceleração e assim aumentam suas velocidades com a mesma taxa. No ar, a pena cai mais devagar, devido à No ar, a pena cai mais devagar, devido à resistência do ar. Os dois objetos estão sob uma mesma aceleração para baixo igual a g, que ao nível do mar e em latitudes médias é igual a 9,8 m/s2. A aceleração da gravidade g varia com a altitude e com a latitude. Nas equações do movimento com aceleração constante, podemos fazer a = -g = - 9,8 m/s2. E como o movimento é na vertical substituímos x → y. • Nesse caso as equações ficam: Equação Grandeza faltante v = v0 - gt y – y0 y = y0 + v0t - gt2/2 v v2 = v0 2 - 2g(y – y0) t y – y0 = (v0 + v)t/2 ay – y0 = (v0 + v)t/2 a y – y0 = vt – gt2/2 v0 Na resolução de problemas basta aplicar as equações acima e substituir g por 9,8 m/s2 sem mudar o sinal. • Teste: (a) Se você arremessa uma bola verticalmente para cima, qual é o sinal do deslocamento da bola durante a subida, desde o ponto inicial até o ponto mais alto da trajetória? (b) Qual é o sinal do deslocamento durante a descida, desde o ponto mais alto da trajetória até o ponto inicial? (c) Qual é a aceleração da bola no ponto mais alto da trajetória, quando v = 0? • Solução: • (a) ∆x > 0. • (b) ∆x < 0. • (c) a = -g. • Exemplo: Um jogador lança uma bola de beisebol verticalmente para cima, • Exemplo: Um jogador lança uma bola de beisebol verticalmente para cima, com uma velocidade inicial de 12 m/s. Despreze a resistência do ar. • (a) Quanto tempo a bola leva para atingir a altura máxima? • Solução: Dados: a=-9,8 m/s2, v0 = 12 m/s2 e v = 0, queremos t. Assim, t = (v – v0)/a = (0 – 12 m/s)/(-9,8 m/s2) = 1,2 s. (b) Qual a altura máxima alcançada pela bola em relação ao ponto de lançamento? Solução: Dados: y0 = 0 e v = 0, queremos y. Assim, y = (v2 – v02)/2 a= (0 – (12 m/s)2/2(-9,8 m/s2)=7,3 m. • (c) Quanto tempo a bola leva para atingir um ponto 5,0 m acima do ponto inicial? • Solução: Dados: v0 = 12 m/s, a =-9,8 m/s2 e y = 5,0 m. • Assim, y = v0t – gt2/2 → 5,0 m = (12 m/s)t – (4,9 m/s2)t2. • Que pode ser escrita como • 4,9t2 – 12t + 5,0 = 0. • A solução dessa equação do segundo grau é: t1 = 0,53 s e t2 = 1,9 s. • Interpretação do resultado: Após ser lançada, para t = 0,53 s ela atinge a altura de 5,0 m. Vai até o ponto mais alto, pára e retorna até atingir a altura altura de 5,0 m. Vai até o ponto mais alto, pára e retorna até atingir a altura de 5,0 m 1,37 s depois. Lista de exercícios • 1) Um carro sobe uma ladeira com uma velocidade constante de 40 km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 60 km/h. Calcule a velocidade escalar média da viagem de ida e volta. (R: 48 km/h). • 2) A posição de um objeto que se move ao longo de um eixo x é dada por x = 3t – 4t2 + t3, onde x está em metros e t em segundos. Determine a posição do objeto para os seguintes valores de t: (a) 1 s; (b) 2 s; (c) 3 s; (d) 4 s. (e) Qual é o deslocamento do objeto entre t = 0 e t = 4 s? (f) Qual é a velocidade média para o intervalo de tempo de t = 2 s e t = 4 s? (g) Faça o gráfico de x em função de t para t variando de 0 a 4 s. (R; (a) 0; (b) -2 m; (c) 0; (d) 12 m; (e) 12 m; (f) 7 m/s).(R; (a) 0; (b) -2 m; (c) 0; (d) 12 m; (e) 12 m; (f) 7 m/s). • 3) Você tem de dirigir em uma via expressa para se candidatar a umemprego em outra cidade, a uma distância de 300 km. A entrevista foi marcada para as 11h15min da manhã. Você planeja dirigir a 100 km/h e parte às 8h da manhã para ter algum tempo de sobra. Você dirige na velocidade planejada durante os primeiros 100 km, depois um trecho da estrada em obras o obriga a reduzir a velocidade para 40 km/h por 40 km. Qual a menor velocidade que você deve manter no resto da viagem para chegar a tempo para a entrevista? (128 km/h) • 4) (a) Se a posição de uma partícula é dada por x = 4 – 12t + 3t2 (onde t está em segundos e x em metros), qual é a velocidade da partícula em t = 1 s? (b) O movimento nesse instante é no sentido positivo ou negativo de x? (c) Qual é a velocidade escalar da partícula nesse instante? (d) A velocidade escalar está aumentando ou diminuindo nesse instante? (e) Existe algum instante no qual a velocidade se anula? Se sim, qual é esse tempo. (f) Existe algum instante após os 3 s no qual a partícula está se movendo no sentido negativo se x? Se sim, em que t isso acontece. (R: (a) -6 m/s; (b) negativo; (c) 6 m/s; (d) Diminuindo; (e) Sim, para t = 2 s; (f) Não. • 5) A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x = 9,75 + 1,50t3 onde t está em segundos. Calcule (a) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t = 2 s a t = 3 s; (b) a velocidade instantânea média durante o intervalo de tempo de t = 2 s a t = 3 s; (b) a velocidade instantânea em t = 2 s; (c) a velocidade instantânea em t = 3 s; (d) a velocidade instantânea em 2,5 s; (e) a velocidade instantânea quando a partícula está na metade da distância entre suas posições em t = 2 s e t = 3 s. (R: (a) 28,5 cm/s; (b) 18 cm/s; (c) 40,5 cm/s; (d) 28,12 cm/s; (e) 30,2 cm/s). • 6) Em um certo instante de tempo, uma partícula tinha uma velocidade de 18 m/s no sentido positivo de x; 2,4 s depois, a velocidade era de 30 m/s no sentido oposto.Qual foi a aceleração média da partícula durante este intervalo de 2,4 s? • (R: -20 m/s2). • 7) A posição de uma partícula que se desloca ao longo do eixo x varia com o tempo de acordo com a equação x = ct2 – bt3, onde x está em metros e t em segundos. Quais as unidades da constante (a) c e da (b) b? Supondo que os módulos de c e b sejam 3,0 e 2,0, respectivamente. (c) Em que instante a partícula passa pelo maior valor positivo de x? De t = 0 a t = 4,0 s, (d) qual é a distância percorrida pela partícula e (e) qual é o seu deslocamento? Determine a velocidade e a aceleração nos instantes 1,0 s, 2,0 s, 3,0 s e 4,0 s. • 8) Uma certa cabina de elevador percorre uma distância máxima de 190 m e atinge uma velocidade máxima de 305 m/min. A cabina pode acelerar a partir do repouso e desacelerar de volta ao repouso a uma taxa de 1,22 m/s2 . (a) Qual a distância percorrida pela cabina enquanto acelera a partir do repouso até a velocidade máxima? (b) Quanto tempo a cabina leva para percorrer a distância de 190 m, sem paradas, partindo do repouso e chegando com velocidade zero? (R: (a) 10,7 m; (b) paradas, partindo do repouso e chegando com velocidade zero? (R: (a) 10,7 m; (b) 41,5 s.) • 9) Em um prédio em construção, um operário deixa cair uma ferramenta e a mesma atinge o solo a uma velocidade de 24 m/s. (a) De que altura a ferramenta caiu? (b) Quanto tempo durou a queda? (R: (a) 29,4 m; (b) 2,45 s) • 10) Um objeto cai verticalmente de uma ponte que está 45 m acima do nível da água. O objeto atinge um barquinho que está se movendo com velocidade constante e se encontrava a 12 m do ponto de impacto quando o objeto foi solto. Determine a velocidade do barco. (R: 4,0 m/s).
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