lista1 mecânica racional ufop

Prévia do material em texto

LISTA I
FIS 214 - Mecânica Racional – Turma 66
Semestre 2021/2
Equiĺıbrio estático e forças constantes
1. Considere o conjunto de forças ilustrado abaixo, atuando sobre um ponto material de massa m. Supondo que as forças F3 e F4,
bem como os ângulos α e β, são conhecidas, mostre que o módulo das forças F1 e F2 necessárias para manter a massa em equiĺıbrio são
dadas por
F1 =
F3 cosβ + F4 sinβ
cos(α− β)
F2 =
F4 cosα− F3 sinα
cos(α− β)
2. Dois blocos estão conectados por um fio ideal (sem massa e inextenśıvel), que passa por uma roldana de massa despreźıvel, conforme
ilustrado abaixo. O bloco de massa m1 = 2.4 kg é livre para se mover sobre um plano de inclinação α = 30◦ com a horizontal, sendo
o coeficiente de atrito cinético na interface µc = 0.70. Determine o valor da massa m2 do bloco suspenso de modo que ele se mova com
velocidade constante (a) para cima e (b) para baixo.
3. Uma corda deve ser usada para deslocar um objeto de massa m = 500 kg sobre um plano inclinado de inclinação α = 45◦, conforme
ilustrado abaixo. Suponha que a corda é estendida paralelamente ao plano. Considere g ≈ 9.8 m/s2.
1
a) Assumindo que o coeficiente de atrito estático µe na interface plano-bloco tem valor µe = 0.65, determine a força de tensão T que
deve ser exercida sobre a corda para dar ińıcio ao movimento.
b) Supondo que a corda é capaz de sustentar uma tensão máxima TM = 6.2× 103 N antes de romper-se, e que o coeficiente de atrito
cinético após iniciado o movimento é µc = 0.5, determine a maior aceleração que o objeto pode adquirir em sua ascendência.
4. Um bloco é arremessado para cima a partir da base de um plano inclinado (de inclinação α = 30◦), paralelamente ao plano
com velocidade inicial v0 = 5 m/s. Se o coeficiente de atrito cinético na interface bloco-plano é µc = 0.75, determine (considerando
g ≈ 9.8 m/s2):
a) A distância d percorrida pelo plano plano acima.
b) A velocidade com a qual o bloco retorna ao ponto inicial.
c) O tempo transcorrido até o bloco retornar ao ponto de lançamento. Dica: considere os movimentos de descida e subida separada-
mente.
Forças dependentes de velocidade
5. Um projétil de massa m é disparado horizontalmente de uma carabina com velocidade inicial v0. Supondo que o projétil é disparado
de uma altura h em relação ao solo, e sofre uma força de resistência do ar dada por f(vx) = −kvx (onde k é uma constante), encontre o
módulo da velocidade horizontal vx do projétil quando este atinge o solo. Suponha que a velocidade na direção horizontal é muito superior
à velocidade de queda, de modo que a resistência do ar depende apenas de velocidade horizontal vx.
6. Um projétil é arremessado verticalmente para cima com velocidade inicial v0. Considerando que o projétil parte de uma altura
inicial y(t = 0) = h, e que uma força de resistência de módulo f(v) = −kv (k constante) atua sobre ele durante sua ascensão, determine:
a) Sua velocidade vertical como função do tempo, v(t).
b) A posição y como função do tempo t.
c) Mostre que a altura máxima h atingida pelo projétil é dada por
h =
1
k
[
v0 + vT ln
(
vT
v0 + vT
)]
,
onde vT = g/k é sua velocidade terminal.
7. O sistema de frenagem de um trem falha subitamente quando este se encontra a uma velocidade vi. Supondo que há um obstáculo
a uma distância d a sua frente, e que a fricção com os trilhos fornece uma força de resistência f(v) = −m(α+ kv2), sendo α e k constantes,
determine o valor máximo de vi para o qual o trem deverá parar antes de colidir com o obstáculo.
8. Um barco é laçado sobre um lago com velocidade inicial v0. O barco é desacelerado pela superf́ıcie da água por uma força de
resistência f(v) = −αeβv , sendo α e β constantes conhecidas.
a) Usando a Segunda Lei de Newton, encontre a velocidade do barco v(t).
b) Determine o tempo transcorrido até o barco parar.
9. Uma part́ıcula de massa m cai sob ação da força gravitacional e de uma força de amortecimento f(v) = −kmv2 devido à resistência
do ar.
a) Encontre a velocidade terminal vT da part́ıcula.
b) Usando a Segunda Lei de Newton, mostre que a distância ∆y percorrida na queda quando a velocidade da part́ıcula varia de v0 a
uma dada velocidade v tem a forma
2
∆y(v0 → v) =
1
2k
ln
(
v20 − v2T
v2 − v2T
)
.
(Dica: após separação de variáveis, considere a mudança de varáveis u = v2).
Forças dependentes de posição
10. Uma part́ıcula de massa m se move com velocidade v = α/x, onde x é o deslocamento (x 6= 0).
a) Por meio da Segunda Lei de Newton, encontre a força resultante FR(x) correspondente.
b) Supondo que a part́ıcula parte de uma posição x0, determine posição e velocidade como funções do tempo.
11. A força resultante exercida sobre um pequeno bloco de massa m suspenso por uma mola de constante elástica k pode ser escrita
como f(x) = kx−mg, onde a posição x corresponde à deformação da mola.
a) A posição de equiĺıbrio de um sistema é aquela na qual a part́ıcula permanece em repouso, uma vez posicionada nesse ponto com
velocidade nula. Encontre a posição de equiĺıbrio do bloco suspenso.
b) Supondo que o bloco é suspenso a partir da posição x0 = 0 com velocidade inicial v0, encontre as posições para as quais a velocidade
do bloco se anula. O que acontece quando v0 = 0?
12. A velocidade de um objeto de massa m varia com a sua posição x como v(x) = Ae−kx, onde A e k são constantes conhecidas.
Assumindo que o objeto parte da posição x0 = 0, encontre:
a) A força resultante FR(x) correspondente.
b) A posição como função do tempo, x(t).
c) A força resultante como função do tempo, FR(t).
Forças conservativas e Energia Mecânica
13. Uma mola é posicionada verticalmente e então pressionada de modo a sofrer uma deformação d. Se uma esfera de massa m é
atrelada à extremidade da mola pressionada, encontre
a) A altura máxima atingida pela esfera quando a mola é solta.
b) A velocidade da esfera ao colidir com a mola novamente.
14. Considere uma part́ıcula movendo-se sob a influência de uma força F (x) = k − kx/α2.
a) Determine a energia potencial U(x) correspondente. O movimento da part́ıcula é limitado ou ilimitado?
b) O que acontece quando a energia total é E = −kα2/2?
15. Quando a deformação de uma mola é muito intensa, a força elástica restauradora assume um caráter não-linear. Uma aproximação
usual consiste em considerar uma constante elástica k(x) = k1 + k2x2 para grandes deformações, sendo k1 e k2 constantes que dependem
da rigidez mola.
a) Encontre a energia potencial elástica para uma deformação x arbitrária.
b) Mostre que, quando atingida por um objeto de massa m com velocidade v0, a deformação máxima da mola será
xM =

√
k21 + 2mv
2
0k2 − k1
k2

1/2
. (1)
3
Respostas
2. a) m2 = 0.89 kg.
b) m2 = 1.61 kg.
3. a) T ≈ 5717 N.
b) amax ≈ 2 m/s2.
4. a) d ≈ 10.87 m.
b) vf ≈ 1.80 m/s.
c) t ≈ 3.48 s.
5. vx = v0 exp
(
−
k
m
√
2h
g
)
.
6. a) v(t) = v0e
− kt
m +
mg
k
(
e−
kt
m
−1
)
.
b) y(t) = h−
mv0
k
(
1 +
mg
kv0
)
e−
kt
m −
mg
k
t.
7. v0(max) =
√
α(ekd − 1)
k
.
8. a) v(t) = −
1
β
ln
[
e−βv0 +
βαt
m
]
.
b) t =
m
βα
(1− e−βv0 ).
9. a) vT =
√
g
k
.
10. a) FR(x) = −
mα2
x3
.
b) x(t) = ±
√
x20 + 2αt ; v(t) = ±α/
√
x20 + 2αt.
11. a) xeq =
mg
k
.
b) x = xeq
(
1±
√
1−
kv20
mg2
)
.
12. a) FR(x) = −mA2ke−2kx.
b) x(t) =
1
k
ln
(
kAt+ ekx0
)
.
c) FR(t) = −
mA2k(
kAt+ ekx0
)2 .
13. a) v(t) =
(
3αt2
2m
) 1
3
.
b) x = x0 +
(
3α
2m
) 1
3 3
5
t
5
3 .
14. a) U(x) = −kx+
kx2
2α2
.
15. a) U(x) =
k1x2
2
+
k2x4
4
.
4