Produto Escalar e Projeção Ortogonal

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Curso: Engenharia					Termo: 1o	
Disciplina: Geometria Analítica			Professora: Gabriela Pereira Sander
Produto Escalar
Calculando o ângulo entre dois vetores
Definimos o ângulo entre e pela medida , em radianos, do ângulo tal que 
.
Desta forma, podemos determinar o ângulo aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo . Para isso, note que e, então,
			 			(I)
Por outro lado, sendo e , temos
e, então,
		
			
			
									(II)
Assim, de (I) e (II), notamos que
	Portanto, dados e vetores não nulos, o ângulo formado por estes é tal que
Projeção Ortogonal
Sejam e vetores não nulos e o ângulo formado entre eles. Considere e representantes de e , respectivamente. Seja C o pé da perpendicular à reta OA por B. Vamos em busca de calcular o vetor , ou seja, a projeção ortogonal de em .
Do triângulo BOC, temos 
,		isto é,		.
Sendo o ângulo entre os vetores e ,
e, então,
				 .				(III)
Como e possuem a mesma direção (pois ), temos que e, então,
 	 	
ou seja,
Assim, (por nossa situação)
									(IV)
Usando (III) em (IV), obtemos:
.