Questão resolvida - Determinar a, de modo que o ângulo A do triangulo abc, seja 60 dados _ A(1,0,0), B(3,1,3) e C(a1,-2,3) - Cálculo I - UNOPAR

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• Determinar , de modo que o ângulo A do triangulo , seja . dados : , a abc 60º A 1, 0, 0( )
 e .B 3, 1, 3( ) C a+ 1,-2, 3( )
 
Resolução:
 
Um esquema do triângulo está na sequência;
 
O ângulo em A é o mesmo ângulo formado pelos vetores e , o ângulo qualquer vetores u v 𝛽
é dado por;
 
cos 𝛽 =( )
⋅
| || |
u v
u v
 
Primeiro, devemos encontrar os vetores e , esses vetores são formados da seguinte u v
forma;
 
= C-A = a+ 1,-2, 3 - 1, 0, 0 = a+ 1- 1,-2- 0, 3- 0 = a,-2, 3u ( ) ( ) ( ) → u ( )
 
 
= B-A = 3, 1, 3 - 1, 0, 0 = 3- 1, 1- 0, 3- 0 = 2, 1, 3v ( ) ( ) ( ) → v ( )
 
Agora, vamos achar os módulos dos vetores;
 
| | = = | | =u a + -2 + 3( )2 ( )2 ( )2 a + 4 + 92 → u a + 132
 
| | = = =v 2 + 1 + 3( )2 ( )2 ( )2 4 + 1 + 9 14
 
 
 
A 1, 0, 0( ) B 3, 1, 3( )
C a+ 1,-2, 3( )
u
60º
v
(1)
O produto escalar entre e é;u v
 
⋅ = 2 ⋅ a+ -2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 3 = 2a - 2 + 9 ⋅ = 2a+ 7u v ( ) → u v
 
O ângulo é igual a , consultando a tabela;𝛽 60º
 
Relação 
trigonométrica/
ângulo
 
 30° =
𝜋
6
 
 45° =
𝜋
4
 
 60° =
𝜋
3
 Seno 
1
2
 
 
2
2
 
 
2
3
 
 cosseno 
2
3
 
 
2
2
 
 
1
2
 
 tangente
3
3
 
1
 
 
3
 
 
Temos que . Substituindo as informações encontradas em 1, temos;cos 60º =( )
1
2
 
= = = = 2a + 7
1
2
2a + 7
⋅14 a + 132
→
1
2
2a + 7
14 a + 132
→
1
2
2a + 7
14a + 1822
→
2
14a + 1822
 
= 2 ⋅ 2a + 7 = 4a + 1414a + 1822 ( ) → 14a + 1822
 
= 4a + 1414a + 1822
2
( )2
 
14a + 182 = 4a + 2 ⋅ 4a ⋅ 14 + 14 14a + 182 = 16a + 112a + 1962 ( )2 ( )2 → 2 2
 
 
 
(2)
14a + 182 - 16a - 112a - 196 = 0 -2a - 112a - 14 = 0 ÷ 2 -a - 56a - 14 = 0 × -12 2 → 2 ( ) → 2 ( )
 
a + 56a + 14 = 02
 
Chegamos em uma equação do 2° grau, resolvendo;
 
a + 56a + 14 = 02
 
a = a' = = = +
- 56 ±
2 ⋅ 1
( ) 56 - 4 ⋅ 1 ⋅ 14( )2
→
-56 +
2
3136 - 56 -56 +
2
3080 -56
2 2
3080
 a' = -28 + = - 28 + = - 28 + ≅ - 0, 251126
2
4 ⋅ 770 2
2
770
770
 
 a" = = = -
-56 -
2
3136 - 56 -56 -
2
3080 -56
2 2
3080
 a" = -28 - = - 28 - = - 28 - ≅ - 55, 748874
2
4 ⋅ 770 2
2
770
770
 
O segundo membro da equação 2 tem que ser maior ou igual a zero, ou seja;
 
4a+ 14 ⩾ 0 4a ⩾ -14 a ⩾ a ⩾ a ⩾ -3, 5→ →
-14
4
→
-7
2
→
 
Dos valores de a encontrados, apenas satisfaz a condição acima, sendo assim;a'
 
a = - 28+ 770
 
 
(Resposta )