Atividade aula 3

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Atividade
1. Considere uma reta r que passa pelo ponto A(-3,2,-4) e tem a direção de v⃗ v→=(0,−1,3). O ponto P que pertence à reta r, quando o parâmetro t é 2 será:
Parte superior do formulário
a) P(-3,0,2)
b) P(0,2,-3)
c) P(-3,1,2)
d) P(3,2,2)
e) P(-3,2,0)
Parte inferior do formulário
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Você primeiro deve determinar a equação vetorial segundo as informações do problema:
r(x,y,z) = (−3,2,−4) + t(0,−1,3)
Se t = 2 ⇒ P(-3,0,2)
2. Dado o ponto A(0,-2,3) e o vetor v⃗ v→ =(−3,−2,1), o conjunto de equações paramétricas da reta r que passa por A e tem a direção de v⃗ v→ é dado por:
Parte superior do formulário
a) ⎧⎩⎨⎪⎪x =3ty =− 2 + 2tz = −3 +tx =3ty =- 2 + 2tz = -3 +t
b) ⎧⎩⎨⎪⎪x = ty = 2tz = tx = ty = 2tz = t
c) ⎧⎩⎨⎪⎪x = ty = −2 − 2tz = −3 + tx = ty = -2 - 2tz = -3 + t
d) ⎧⎩⎨⎪⎪x = 3y =−2 z =3 x = 3y =-2 z =3 
e) ⎧⎩⎨⎪⎪x = −3ty =−2 −2t z =3 + t x = -3ty =-2 -2t z =3 + t 
Parte inferior do formulário
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resolução: ⎧⎩⎨⎪⎪x = x1 + tay =y1 + tbz =z1 + tc.⋅. ⎧⎩⎨⎪⎪x = −3ty =−2 −2tz = 3 + t
3. Dados os pontos A(2,-3,1) e B(0,-4,2), as equações paramétricas da reta r, que passa por tais pontos, é:
Parte superior do formulário
a) ⎧⎩⎨⎪⎪x = −2ty = −tz = tx = -2ty = -tz = t
b) ⎧⎩⎨⎪⎪x = 2y = −3z = 1x = 2y = -3z = 1
c) ⎧⎩⎨⎪⎪x = 2 − 2ty = −3 − tz = 1 + tx = 2 - 2ty = -3 - tz = 1 + t
d) ⎧⎩⎨⎪⎪x = −2 − 2ty = 3 − tz = −1 + tx = -2 - 2ty = 3 - tz = -1 + t
e) ⎧⎩⎨⎪⎪x = −2 + 2ty =−3 + tz = 1x = -2 + 2ty =-3 + tz = 1
Parte inferior do formulário
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resolução: v⃗  = AB¯¯¯¯¯ = B − A = (0,−4,2) − (2,−3,1) = (−2,1,1)
4. As equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A(0,-1,3) e tem a direção do vetor v⃗ v→ = (−2,−3,1) são:
Parte superior do formulário
a) r: x−2 = y + 1−3 = z − 31r: x-2 = y + 1-3 = z - 31
b) r: x2 = y + 13 = z − 3−1r: x2 = y + 13 = z - 3-1
c) r: x − 1−2 = y − 1−3 = z + 31r: x - 1-2 = y - 1-3 = z + 31
d) r: x 2 = y − 1−3 = z + 31r: x 2 = y - 1-3 = z + 31
e) r: x 2 = y + 1−3 = z + 3−1r: x 2 = y + 1-3 = z + 3-1
Parte inferior do formulário
Gabarito
Parabéns! Você acertou!
Resolução: x − x1 a = y − y1b = z + z1c .⋅. r : x−2 = y + 1−3 = z − 31
5. O vetor diretor da reta definida pelas equações reduzidas em x é:
r : {y = x2z = −1 − 3xr : y = x2z = -1 - 3x
Esse vetor é corretamente definido por:
Parte superior do formulário
a) (0, 12, 0)(0, 12, 0)
b) (1,− 12, 5)(1,- 12, 5)
c) (0, 12 , 5)(0, 12 , 5)
d) (1, 12 , −5)(1, 12 , -5)
e) (−1, − 12 , −5)(-1, - 12 , -5)
Parte inferior do formulário
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Uma maneira de resolver o problema é você determinar dois pontos, A e B, que pertencem à reta r e, então, encontrar o vetor diretor v⃗  = AB¯¯¯¯¯v→ = AB¯.
Por exemplo:
x = 0 ∴ y = 0, z = −1x = 0 ∴ y = 0, z = -1, portanto A(0,0,1)
x = 1 ∴ y = 0, z = −12/, z = −4x = 1 ∴ y = 0, z = -12, z = -4, portanto B(1,½,-4)
Assim, v⃗  = AB¯¯¯¯¯ = B − A = (1, 12, −4) − (0,0,1) = (1, 12, −5)
6. As equações paramétricas da reta s que passa por A(-5,0,-4) e é paralela ao eixo z são:
Parte superior do formulário
a) s: ⎧⎩⎨⎪⎪x =5y = 0z = 4 −2ts: x =5y = 0z = 4 -2t
b) s: ⎧⎩⎨⎪⎪x =−5y = 0z = −4 +2ts: x =-5y = 0z = -4 +2t
c) s: ⎧⎩⎨⎪⎪x =0y =0z = 2ts: x =0y =0z = 2t
d) s: ⎧⎩⎨⎪⎪x =−5y = 0z =−4s: x =-5y = 0z =-4
e) s: ⎧⎩⎨⎪⎪x =−4 + 2ty = 0z =ts: x =-4 + 2ty = 0z =t
Parte inferior do formulário
Gabarito
Infelizmente, você errou!
A reta passa pela origem O(0,0,0) e tem com vetor diretor v⃗ v→ = (0,0,1), são as condições que definem o eixo z.
7. O ponto P(m,1,n) pertence à reta que passa por A(3,-1,4) e B(4,-3,-1). O ponto P é definido por:
Parte superior do formulário
a) P(2,1,9)
b) P(-2,-1,9)
c) P(0,1,0)
d) P(2,1,-9)
e) P(1,1,1)
Parte inferior do formulário
Gabarito
Infelizmente, você errou!
Resolução:
v⃗  = AB¯¯¯¯¯ = B − A = (4, −3, −1) − (3, −1,4) = (1, −2, −5)v→ = AB¯ = B - A = (4, -3, -1) - (3, -1,4) = (1, -2, -5)
	
r:⎧⎩⎨⎪⎪x = 3 + ty = −1 −2t ∴ P ∈ r ∴z = 4 −5t⎧⎩⎨⎪⎪m = 3 + t1 = −1 −2t ∴n = 4 −5t⎧⎩⎨⎪⎪m = 2t = −1n = 9x = 3 + ty = -1 -2t ∴ P ∈ r ∴z = 4 -5tm = 3 + t1 = -1 -2t ∴n = 4 -5tm = 2t = -1n = 9
	
Logo: P(2,1,9).
8. Dado o ponto A(3,4,-2) e a reta r : ⎧⎩⎨⎪⎪x = 1 + ty = 2 − tz = 4 + 2tr : x = 1 + ty = 2 - tz = 4 + 2t
As equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r são:
Parte superior do formulário
a) s : ⎧⎩⎨⎪⎪x = −4hy = 4z = 2hs : x = -4hy = 4z = 2h
b) s : ⎧⎩⎨⎪⎪x = −3 − 4hy = −4z = −2 − 2hs : x = -3 - 4hy = -4z = -2 - 2h
c) s : ⎧⎩⎨⎪⎪x = 3hy = 4z = −2s : x = 3hy = 4z = -2
d) s : ⎧⎩⎨⎪⎪x = hy = 4z = −2 + 2hs : x = hy = 4z = -2 + 2h
e) s : ⎧⎩⎨⎪⎪x = 3 − 4hy = 4z = −2 + 2hs : x = 3 - 4hy = 4z = -2 + 2h
Parte inferior do formulário
Gabarito Comentado
Infelizmente, você errou!
Vamos definir a reta s como aquela a ser encontrada. A reta s passa pelo ponto A e possui um vetor diretor s⃗ s→ = (a,b,c). Assim:
s : ⎧⎩⎨⎪⎪x = 3 + hay = 4 + hbz = −2 + hcs : x = 3 + hay = 4 + hbz = -2 + hc
	
A condição de perpendicularidade de s em relação à reta r impõe duas condições:
• Há um ponto que satisfaz os dois conjuntos de equações de r e s.
• Os vetores diretores de r e s apresentam o produto escalar igual a zero.
(a, b, c) ⋅ (1, −1, 2) = 0 ∴ a + b + 2c = 0(a, b, c) · (1, -1, 2) = 0 ∴ a + b + 2c = 0
	
s : ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 + ha = 1 + t ∴ a = t−2h4 + hb = 2 − t ∴ b = −2−th ∴ t−2h − (−2−th) +2 (2t+6h) = 0−2 + hc = 4 + 2t ∴ c = 2t + 6hs : 3 + ha = 1 + t ∴ a = t-2h4 + hb = 2 - t ∴ b = -2-th ∴ t-2h - -2-th +2 2t+6h = 0-2 + hc = 4 + 2t ∴ c = 2t + 6h
	
Logo: t = - 2.
Consequentemente:
r : ⎧⎩⎨⎪⎪x = 1 + ty = 2 − t ∴ z = 4 + 2tr : ⎧⎩⎨⎪⎪x = 1 − 2 = −1y = 2 − (−2) = 4  z = 4 + 2(−2) = 0r : x = 1 + ty = 2 - t ∴ z = 4 + 2tr : x = 1 - 2 = -1y = 2 - (-2) = 4  z = 4 + 2(-2) = 0
	
O ponto P(-1,4,0) será comum, portanto, às duas retas. Finalmente:
s⃗  = AP¯¯¯¯¯ = (−1,4,0) − (3,4,−2) = (−4,0,2)s→ = AP¯ = (-1,4,0) - (3,4,-2) = (-4,0,2)
	
Em resumo, temos:
s : ⎧⎩⎨⎪⎪x = 3 − 4hy = 4z = −2 + 2h
9. Dadas as retas r: 3x + 4y -1 = 0, s: 3x + 2y – 10 = 0 e t: x – 2y + 2 = 0, a reta paralela a r e que passa pela interseção das retas s e t é:
Parte superior do formulário
a) 3x + 4y = 14
b) 3x + 4y = 5
c) 3x + 4y = -14
d) 3x + 4y = 7
e) x + y = 5
Parte inferior do formulário
Gabarito Comentado
Infelizmente, você errou!
Para a reta r: x = 0, y = ¼ ⇒ A(0,1/4) ∈ r
x = 1, y = -1/2 ⇒ B(1,-1/2) ∈ r
r⃗  = AB¯¯¯¯¯ = (1, 12) − (0, 14) = (1, −34)r→ = AB¯ = 1, 12 - 0, 14 = 1, -34
	
Interseção entre s e t:
{3x + 2y = 10x − 2y = −2  ∴ x = 2  e  y = 23x + 2y = 10x - 2y = -2  ∴ x = 2  e  y = 2
	
Assim, a reta que você procura passa pelo ponto C(2,2) e tem o vetor diretor r⃗  = (1, −34)r→ = 1, -34
Logo:
{x = 2 + ty = 2 − 34 t ∴ 3x + 4y = 14
10. Se os pontos A(a,1) e B(0,b) pertencem à reta x + 2y – 4 = 0, qual a distância entre os pontos A e B?
Parte superior do formulário
a) 3
b) 1
c) 3√3
d) 5√5
e) 2√2
Parte inferior do formulário
Gabarito Comentado
Infelizmente, você errou!
A ∈ r ∴ a + 2(1) – 4 = 0 ∴ a = 2
B ∈ r ∴ 0 + 2b – 4 = 0 ∴ b = 2
A distância será: A(2,1) e B(0,2)
d = (0 − 2)2 + (2 −1)2 −−−−−−−−−−−−−−−−−√ = 5√
11. A equação da reta no plano cartesiano que passa pelo ponto A(2,0) e forma um ângulo de 30° com o eixo das abscissas é:
Parte superior do formulário
a) y = 3√3 x − 2y = 33 x - 2
b) y = 3x−−√ − 2y = 3x - 2
c) y = 3x−−√ + 2y = 3x + 2
d) y = 3√2 (x − 2)y = 32 x - 2
e) y = 3√3 (x − 2)y = 33 x - 2
Parte inferior do formulário
Gabarito Comentado
Infelizmente, você errou!
 O vetor diretor do eixo das abscissas é: i⃗ i→ = (1,0)
O vetor diretor da reta é: r⃗ r→ = (a,b)
cos(30∘) = |(1,0) ⋅ (a,b)|12+02√ ⋅ a2 + b2√ ∴ 3√2 = aa2 + b2√ ∴ a = b3√cos30∘ = 1,0 · a,b12+02 · a2 + b2 ∴ 32 = aa2 + b2 ∴ a = b3
	
x −2a = yb ∴ x − 2 = 3y−−√ ∴ y = 3√3 (x − 2)
12. A reta que passa pelo ponto P(2,7) e é perpendicular à reta s: 3x + y + 1 = 0 é:
Parte superior do formulário
a) y = 13 (x + 19)y = 13 (x + 19)
b) y = 119 (x + 3)y = 119 (x + 3)
c) y = 13 (x − 19)y = 13 (x - 19)
d) y = − (x + 19)y = - (x + 19)
e) y = (x − 19)19y = (x - 19)19
Parte inferior do formulário
Gabarito Comentado
Parabéns! Você acertou!
A Iˆ s \ x = 0,y = −1\ A(0,−1)A I^ s \ x = 0,y = -1\ A(0,-1)B Iˆ s \ x = 1,y = −4\ B(1,−4)B I^ s \ x = 1,y = -4\ B(1,-4)
s⃗  = AB¯¯¯¯¯ = (1,−4) − (0,−1) = (1,−3)s→ = AB¯ = (1,-4) - (0,-1) = (1,-3)
s : {x = ty = −1 −3ts : x = ty = -1 -3t
	
A reta procurada passa pelo ponto P(2,7) e é perpendicular à reta s. Logo:
(a,b) ⋅ (1, −3) = 0 ∴ a −3b = 0(a,b) · (1, -3) = 0 ∴ a -3b = 0
{x = 2 + hay = 7 + hb ∴ {x = ty = −1 −3t ∴ {a = t−2hb = −3t −8hx = 2 + hay = 7 + hb ∴ x = ty = -1 -3t ∴ a = t-2hb = -3t -8h
	
Resolvendo: t = - 11/5.
Portanto, o ponto comum às retas será: C(-11/5,28/5).
Finalmente:
PC−→ = C − P = (−115, 285) − (2,7) = (−215, 75)PC→ = C - P = -115, 285 - (2,7) = (-215, 75)
{x = 2 −215hy = 7 −75h ∴ y = 13 (x + 19)
13. A reta que passa pelo ponto A(0,1,-2) e tem como vetor diretor v =(0,0,1) tem equação vetorial igual a:
Parte superior do formulário
a) (x,y,z) = (0,1,-2) + t(0,0,1)
b) (x,y,z) = (0,1,-2) - t(0,0,1)
c) (x,y,z) = (0,1,-2) x t(0,0,1)
d) (x,y,z) = - (0,1,-2) - t(0,0,1)
e) (x,y,z) = (0,1,-2) / t(0,0,1)
Parte inferior do formulário
Gabarito Comentado
Infelizmente, você errou!
Basta aplicar o conceito da equação vetorial da reta r:
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t (a,b,c)