prova1_mecânica_20192 - UFMG

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PROVA 1 
2019/2 - UFMG 
 
 
 
 
https://www.mesalva.com/engenharia
 
 
 
QUESTÃO 1 
(A) É possível um corpo possuir aceleração vetorial não nula e, ao mesmo 
tempo, ter sua velocidade de módulo constante.  
(B) É possível fazer uma curva com aceleração nula. 
 
Resolução 
a) 
CORRETA. 
 
Para que a aceleração tenha impacto no módulo da velocidade, alguma                     
componente deve estar atuando na mesma direção da velocidade. No caso                     
então, em que temos MCU - Movimento Circular Uniforme (aceleração constante                     
com direção perpendicular à velocidade, temos velocidade constante em módulo                   
com aceleração não nula. 
 
Na figura abaixo podemos observar em 4 momentos distintos que o módulo da                         
velocidade nunca muda, apenas sua direção. 
 
 
b) 
INCORRETA. 
 
De forma contrária a resposta anterior, mas mantendo o mesmo raciocínio,                     
sempre que tivermos a necessidade de imposição de uma curva a uma partícula,                         
estaremos obrigatoriamente aplicando aceleração - e esta devendo ter, pelo                   
menos uma componente, perpendicular à velocidade. Rever figura anterior. 
 
 
 
 
QUESTÃO 2 
Quais as expressões a seguir estão corretas? Explique o que há de errado com as 
expressões incorretas. 
1. B )A
︿
· (
︿
· C
︿
 
2. B )A
︿
× (
︿
· C
︿
 
3. B )A
︿
· (
︿
× C
︿
 
4. B )A
︿
× (
︿
× C
︿
 
5. B )A + (
︿
· C
︿
 
Resolução 
1) 
INCORRETA.  
 
Não faz sentido realizar produto escalar entre um vetor e um escalar. Como pode                           
ser visto abaixo, o resultado do produto dos vetores ​B e ​C gera um escalar, não                               
sendo possível obter o produto escalar. 
 
 
2) 
INCORRETA.  
 
Não faz sentido realizar produto vetorial entre um vetor e um escalar. Como pode                           
ser visto abaixo, o resultado do produto escalar dos vetores B e C gera um escalar,                               
não sendo possível multiplicar vetorialmente pelo vetor A. 
 
 
 
 
3) 
CORRETA.  
 
O produto vetorial gera um vetor, em seguida o produto escalar entre dois                         
vetores gera um escalar. Segue raciocínio matemático abaixo: 
 
 
 
4) 
CORRETA.  
 
O produto vetorial gera um vetor, em seguida novamente o produto vetorial                       
entre dois vetores gera um novo vetor. Segue raciocínio matemático abaixo: 
 
 
5) 
CORRETA.  
O produto escalar entre dois vetores gera um escalar e logo em seguida podemos                           
realizar a soma de escalares o que é totalmente factível. Segue abaixo: 
 
 
 
 
 
QUESTÃO 3 
Considere um corpo que possui sua velocidade dada pela equação 
, em m/s quando t é dado em segundos. A posição(t) x B t) y Dsen(Et)) zv︿ = A︿+ ( + C ︿+ ( ︿  
do corpo em t = 0s é , A, B, C, D, E e F são constantes e são(0) x y zr︿ = 0︿+ F︿+ 0︿ , y, zx︿ ︿ ︿  
os unitários cartesianos. Calcule o que se pede e justifique seus resultados. 
 
Resolução  
a) 
Essa questão envolve muito pouco conhecimento físico, e sim muito mais                     
manipulação algébrica de vetores. Além disso, é importante saber que aceleração                     
é derivada da velocidade e esta derivada do deslocamento. 
 
Passo 1: ​primeiramente, para o cálculo da velocidade inicial, apenas substituímos                     
na equação da velocidade o valor de tempo​ t = 0​. 
 
 
 
Passo 2: ​para o cálculo da aceleração, basta derivar a expressão da velocidade. 
 
 
 
 
 
Passo 3: ​para o cálculo da posição, podemos remeter a equação do MRU abaixo e                             
substituir pelas expressões correspondentes fornecidas pelo exercício ou               
calculadas no passos anteriores. Importante lembrar que se fosse o cálculo do                       
deslocamento, poderíamos apenas derivar a expressão da velocidade, mas esse                   
não é o caso. 
 
 
 
Passo 4: ​o produto escalar entre o vetor aceleração e o vetor posição é dado por: 
 
 
 
 
Passo 4: ​o produto vetorial entre o vetor velocidade e o vetor aceleração é dado 
por: 
 
 
Passo 4: ​e assim soma-se as diagonais principais, soma-se as diagonais 
secundárias e realizamos a diferença entre os dois valores, tendo, ao fim: 
 
 
 
 
   
 
 
PARTE B 
P1 
Dois blocos de massas m e 2m estão como na figura, o de massa m sobre o de 
massa 2m e este último sobre o plano horizontal. Existe atrito entre todas as 
superfícies. Entre o bloco maior e o plano os coeficientes de atrito estatico e 
cinetico são e , respectivamente. Mas entre o bloco de cima e o de baixo osμ1e μ1c  
coeficientes são 4 vezes maiores, 4 e 4 , como mostrado na figura abaixo.μ1e μ1c  
Uma força constante F é feita, paralelamente ao plano para a direita, ​no bloco de 
cima​, de forma a fazer os blocos se movimentarem. Dê suas respostas em termos 
de m, g, e .μ1e μ1c  
 
 
 
a) Faça um diagrama com todas as forças que atuam nos dois blocos, 
enquanto se movimentam. Identifique as reações correspondentes, por 
exemplo, ligando-as por linhas.Pode usar a figura ou, se quiser, faça outras 
figuras, uma para cada bloco. 
b) Calcule o valor máximo da força F que pode ser feita sobre o bloco de cima, 
de forma que os blocos se movimentem juntos. Justifique. 
c) Determine, ainda em termos dos dados, o valor da aceleração máxima dos 
dois blocos para que possam se movimentar juntos. 
d) Se o valor da força F agora for o dobro do valor encontrado na parte P1.b), 
os blocos não mais se movimentarão juntos. Qual será a aceleração do 
bloco de baixo? 
 
   
 
 
Resolução 
a)  
Passo 1: ​Começando pelo diagrama de forças do sistema, segue desenho abaixo: 
 
 
 
Passo 2: ​para que os dois blocos se movimentem juntos, basta que a força F não 
seja maior que a força de atrito de contato entre os dois blocos. 
 
 
 
 
 
Assim, quando a força de atrito não for inferior a força​ F​, o equilíbrio de forças no 
bloco de massa m na direção horizontal será sempre zero e ele se movimentará 
junto com o bloco de massa​ 2m​. 
 
Passo 3: ​o valor da aceleração máxima em relação a situação acima será obtida 
através da força resultante no bloco de massa ​m​ pela segunda lei de newton. 
Assim temos que: 
 
Passo 4: ​e por fim, temos uma etapa semelhante ao passo anterior, só que agora 
teremos atrito cinético entre os blocos, já que eles não se movimentarão mais 
juntos.  
 
 
 
GABARITO DO 1o TESTE DE FUNDAMENTOS DE MECÂNICA – Turma A3 – 04/09/2019
Dados: dt
n
dt = nt
n−1 ;
∫
tn dt = t
n+1
n+1 (para n 6= −1) ;
d (senωt)
dt = ω cosωt ;
∫
senωt dt = − cosωt
ω
.
Parte A - Questões: (3,0 pontos, Q1=Q2=0,7 ponto; Q3=1,6 ponto): Diante de cada questão abaixo,
responda ou comente as afirmativas feitas, corrigindo as que estiverem errado e (mesmo se a afirmativa
estiver correta) justifique com suas palavras.
Q1- (A) É posśıvel um corpo possuir aceleração vetorial não nula e, ao mesmo tempo, ter sua velocidade
de módulo constante. (B) É posśıvel fazer uma curva com aceleração nula.
A afirmativa (A) está CORRETA. A definição de aceleração vetorial é ~a = d~vdt e a velocidade é um vetor.
Caracterizam um vetor seu módulo, direção e sentido. Se qualquer dessas propriedades variar, mesmo que as
outras fiquem constantes, o vetor varia. Portanto, nada impede que o vetor velocidade mantenha seu módulo
constante e varie a direção e/ou o sentido, fazendo com que a aceleração seja não nula. Já a afirmativa (B)
está INCORRETA. Se um corpo faz uma curva, a direção de seu movimento varia, pois não é retiĺıneo.
Como a velocidade está sempre na direção do movimento, a velocidade num movimento em curva varia no
mı́nimo por este variar sua direção, e a aceleração não pode ser nula.
Q2- Quais das expressões a seguir estão corretas? Os vetores são diferenciados dos escalares por ~ e os
produtos entre eles, “escalar” e “vetorial”, são representados por · e ×,respectivamente. Explique o
que há de errado com as expressões incorretas?
1– ~A · ( ~B · ~C) – INCORRETO, pois ~B · ~C é um escalar e o produto escalar só tem sentido entre vetores
2– ~A× ( ~B · ~C) – INCORRETO, pois ~B · ~C é um escalar e o produto vetorial só tem sentido entre vetores
3– ~A · ( ~B × ~C) – CORRETO, e o resultado será um escalar
4– ~A× ( ~B × ~C) – CORRETO, e o resultado será um vetor
5– A+ ( ~B · ~C) – CORRETO, pois é posśıvel somar escalares, e tanto A quanto ~B · ~C são escalares.
Q3– Considere um corpo que possui sua velocidade dada pela equação ~v(t) = Ax̂+(B+Ct)ŷ+(D senEt)ẑ,
em m/s quando t é dado em segundos. A posição do corpo em t=0 s é ~r(0) = 0x̂+F ŷ+0ẑ, A,B,C,D,E
e F são constantes e x̂, ŷ, ẑ são os unitários cartesianos. Calcule o que se pede e justifique seus resultados.
Q3.1– Calcule a velocidade vetorial inicial do corpo.
A velocidade inicial é a velocidade calculada no tempo t = 0, ~v(0) = Ax̂+Bŷ + 0ẑ.
Q3.2– Calcule sua aceleração em função do tempo, ~a(t).
A aceleração é definida como sendo a derivada da velocidade em relação ao tempo, ~a(t) = d~v(t)dt , ou seja,
~a(t) = 0x̂+ Cŷ +
(
DE cos(Et)
)
ẑ
Q3.3– Calcule sua posição em função do tempo, ~r(t).
A relação entre posição e velocidade é, por definição, ~r(t) − ~r(0) =
t
∫
0
~v(t) dt, ou ~r(t) = ~r(0) +
t
∫
0
~v(t) dt.
Usando os dados, calculamos que ~r(t) = (At)x̂ +
(
F +Bt+ C t
2
2
)
ŷ +
[
− (cos(Et)−1)
E
]
ẑ, onde levamos nos
limites dos intervalos relevantes.
Q3.4– Calcule o produto escalar entre sua aceleração e sua posição em função do tempo, ~a · ~r.
O produto escalar pode ser calculado na forma geométrica, ~a · ~r = |~a| |~r| cos θa,r, onde θa,r é o ângulo entre
os vetores ~a(t) e ~r(t), ou anaĺıtica, ~a · ~r = axrx + ayry + azrz . Não temos informação do valor de θa,r
(que certamente depende do tempo) mas conhecemos as componentes, resultado das partes Q3.2– e Q3.3–.
Portanto, ~a · ~r = C
(
F +Bt+ C t
2
2
)
−
(
DE cos(Et)
) [
(cos(Et)−1)
E
]
Q3.5– Calcule a componente z do produto vetorial entre sua velocidade e sua aceleração, ~v × ~a.
O produto vetorial pedido pode ser calculado como o determinante
~v × ~a =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
vx(t) vy(t) vz(t)
ax(t) ay(t) az(t)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x̂ ŷ ẑ
A B + Ct D sen (Et)
0 C DE cos(ET )
∣
∣
∣
∣
∣
∣
a componente z desse produto vetorial é AC.
Parte B - Problema (4,0 pontos: P1.1=1,2; P1.2=1,0; P1.3=1,0; P1.4=0,8)
P1– Dois blocos de massasm e 2m estão
como na figura, o de massa m so-
bre o de massa 2m e este último so-
bre o plano horizontal. Existe atrito
entre todas as superf́ıcies. Entre o
bloco maior e o plano os coeficientes
de atrito estático e cinético são µ1e
2m µ , µ
4µ , 4µ1e 1c m
F
1e 1c
e µ1c, respectivamente. Mas entre o bloco de cima e o de baixo os coeficientes são 4 vezes maiores, 4µ1e
e 4µ1c, como mostrado na figura ao lado. Uma força constante F é feita, paralelamente ao plano para
a direita, no bloco de cima, de forma a fazer os blocos se movimentarem. Dê suas respostas em termos
de m, g, µ1e, e µ1c.
P1.1– Faça um diagrama com todas as forças que atuam nos dois blocos, enquanto se movimentam.
Identifique as reações correspondentes, p.ex., ligando-as por linhas. Pode usar a figura ou, se
quiser, faça outras figuras, uma para cada bloco.
P1.2– Calcule o valor máximo da força F que pode ser feita sobre o bloco de cima, de forma que os blocos
se movimentem juntos. Justifique.
P1.3– Determine, ainda em termos dos dados, o valor da aceleração máxima dos dois blocos para que
possam se movimentar juntos.
P1.4– Se o valor da força F agora for o dobro do valor encontrado na parte P1.2–, os blocos não mais se
movimentarão juntos. Qual será a aceleração do bloco de baixo?
Solução
P1.1– Veja a figura abaixo, onde as forças estão representadas
 µ , µ
4µ , 4µ1e 1c
1e 1c
F
N1
N1
Fa1,e
Fa1,emg
2mg
Fa2,c
N2
e os pares de ação e reação relevantes para o problema estão ligados por linhas tracejadas vermelhas. No
teste era necessário somente desenhar as forças, mas aqui explico cada uma delas.
No corpo de cima atuam:
1- seu peso (vertical para baixo, valor mg, exercido pela Terra, que sofre a reação, não mostrada na figura);
2- a normal N1, que o bloco de baixo faz sobre ele (perpendicular ao plano entre eles, para cima, realizada
pelo bloco de baixo, que sofre a reação, mostrada na figura);
3- a força F que o enunciado diz agir sobre o bloco de cima;
4- a força de atrito estático Fa1,e, que o bloco de baixo faz sobre ele (paralela ao plano entre eles, oposta
à tendência de movimento do bloco de cima, que está sob a ação da força F para a direita,, portanto
para esquerda, realizada pelo bloco de baixo, que sofre a reação, mostrada na figura).
No corpo de baixo atuam:
5- seu peso (vertical para baixo, valor 2mg, exercido pela Terra, que sofre a reação, não mostrada na
figura);
6- a normal N1, que o bloco de cima faz sobre ele (perpendicular ao plano entre os dois, portanto, para
baixo, realizada pelo bloco de cima, que sofre a reação, mostrada na figura);
7- a força de atrito estático Fa1,e, que o bloco de cima faz sobre ele (paralela ao plano entre os dois, na
direção do movimento do de cima, portanto para direita, realizada pelo bloco de cima, que sofre a
reação, mostrada na figura);
8- a normal N2, que a superf́ıcie do plano horizontal faz sobre ele (perpendicular ao plano, para cima,
realizada pela superf́ıcie do plano, que sofre a reação, não mostrada na figura);
9- a força de atrito cinético Fa2,c, que a superf́ıcie do plano horizontal faz sobre ele (paralela ao plano e
oposta ao movimento, portanto, para a esquerda, realizada pela superf́ıcie do plano, que sofre a reação,
não mostrada na figura).
P1.2– Ao se movimentarem por sobre o plano horizontal, nenhum dos blocos se movimenta na direção
vertical. Portanto, a componente vertical da força resultante em cada bloco tem que ser nula. Analisando as
forças sobre o bloco de cima, vemos que ele não se movimenta na direção vertical e, portanto, a componente
vertical da força resultante sobre ele deve ser nula. Considerando positivo para cima,
N1 −mg = 0 −→ N1 = mg, (1)
de onde se obtém a normal N1. O mesmo ocorre com o bloco de baixo: ele não se movimenta na direção
vertical e, portanto, a componente vertical da força resultante sobre ele deve ser nula. Considerando positivo
para cima, podemos calcular a normal entre o piso e o bloco de baixo
N2 −N1 − 2mg = 0 −→ N2 = 2mg +N1 = 3mg. (2)
A resultante na direção horizontal das forças que atuam no bloco de baixo será, pela 2a Lei de Newton, igual
à sua massa multiplicada pela sua aceleração. Considerando positivo para a direita,
Fa1,e − Fa2,c = 2ma −→ a =
1
2m
(Fa1,e − Fa2,c). (3)
A força de atrito cinético entre o bloco de baixo e o piso é definida e vale
Fa2,c = µ1cN2 = µ1c3mg, (4)
onde usei o resultado da Eq.(2). Entretanto, como os blocos não deslizam entre si, a força de atrito entre
eles é estática e essa força pode assumir qualquer valor até um máximo, que é
Fa1,e ≤ 4µ1,eN1. (5)
Levando esse resultado na Eq.(3), encontramos a aceleração máxima (pedida na parte P1.3)
a =
1
2m
(Fa1,e − Fa2,c) ≤
1
2m
(4µ1,eN1 − µ1cN2) =
1
2m
(4µ1,emg − µ1c3mg) =
1
2
(4µ1,e − 3µ1c)g. (6)
A componente horizontal da força resultante sobre o bloco de cima é, de acordo com a 2a Lei de Newton
(ainda considerando positivo para a direita),
F − Fa1,e = ma −→ F = ma+ Fa1,e. (7)
Lembrando que a aceleração dos dois blocos é igual ao valor dado pela Eq.(6), e que o valor máximo da força
de atrito estático entre os blocos é dada pela Eq.(5), encontramos o valor máximo posśıvel para a força F
de modo que os dois blocos se movam juntos.
F = m
(
1
2
(4µ1,e − 3µ1c)g
)
+ (4µ1,emg) = mg
(
6µ1,e −
3
2
µ1c
)
(8)
P1.3– O valor da aceleraçãomáxima para se moverem juntos já foi encontrado na Eq.(6).
P1.4– O valor da força F encontrado na Eq.(8) é o máximo posśıvel de modo que os blocos consigam acelerar
juntos. Se a força F for maior, obviamente eles não mais vão acelerar juntos, mas vão deslizar entre śı. Com
isso, o atrito entre eles será cinético. Com isso a Eq.(3) que rege o movimento horizontal do bloco de baixo
fica
Fa1,c − Fa2,c = 2ma −→ a =
1
2m
(Fa1,c − Fa2,c) =
1
2m
(4µ1,cN1 − µ1,cN2). (9)
Mas como sabemos as normais entre as superf́ıcies do bloco de baixo, Eqs.(1) e (2), e os coeficientes de atrito
cinético,
a =
1
2m
(4µ1,cN1 − µ1,cN2) =
1
2
µ1,cg. (10)