Questão resolvida - Em Álgebra Linear é possível obter um subespaço gerado a partir de outros vetores, tais subespaços nos permite trabalhar com os vetores em uma certa ... - Álgebra Linear I - FAEL (

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• Em Álgebra Linear é possível obter um subespaço gerado a partir de outros vetores, 
tais subespaços nos permite trabalhar com os vetores em uma certa região.
 
Considere os vetores e no . Determina o subespaço gerado V₁ = 1,-2, 2( ) V₂ = 3, 1, 4( ) R3
no pelo vetores e .R3 V₁ V₂
 
Resolução:
Um subspaço gerado no pelos vetores e é definido pela seguinte relação;R3 V₁ V₂
 
x, y, z = a 1,-2, 2 + b 3, 1, 4( ) ( ) ( )
 
Desenvolvendo a relação 1 vetorialmente, fica;
 
x, y, z = a 1,-2, 2 + b 3, 1, 4 x, y, z = a,-2a, 2a + 3b, b, 4b( ) ( ) ( ) → ( ) ( ) ( )
 
x, y, z = a+ 3b,-2a+ b, 2a+ 4b( ) ( )
 
Dessa forma, chagamos ao seguinte sistema:
 
a+ 3b = x 1( )
-2a+ b = y 2( )
2a+ 4b = z 3( )
Somando 2 com 3 temos;
 
Substituindo a relação encontrada para b na equação 2 do sistema, temos que a é:
 
-2a+ b = y -2a+ = y = y -10a+ y+ z = 5y⏫⏪⏪⏪⏪ 
y+ z
5
→
-10a+ y+ z
5
→
 
-10a = 5y - y - z -10a = 4y - z a = a =→ →
4y - z
-10
→
z - 4y
10
 
 
-2a+ b = y
2a+ 4b = z +
0a+ 5b = y+ z 5b = y+ z b =→ →
y+ z
5
Substituindo
(1)
 
Vamos substituir os valores de a e b na equação 1 e chegar na relação que expressa o 
subspaço vetorial;
 
a+ 3b = x + 3 = x + = x = x→
z - 4y
10
y+ z
5
→
z - 4y
10
3y+ 3z
5
→
z - 4y+ 6y+ 6z
10
 
7z+ 2y = 10x 7z+ 2y - 10x = 0→
 
Logo, uma das formas de escrever o conjunto do subspaço gerado pelos vetores no é;R3
 
v , v = x ∈ R / 7z+ 2y- 10x = 0[ 1 2]
3
 
 
(Resposta )