Atividade de Autovalores e autovetores Resolvida em detalhes!

Prévia do material em texto

Questão 7
Nas questões abaixo, exibiremos a matriz A da transformação linear. Os autovalores λ, serão
determinados por meio de:
det[A−λI] = 0
onde I é a matriz identidade. E, então, os autovetores u,v,w cujo componentes são da forma:
p =

p1
p2
p3
...

em que p = u,v,w são determinados fazendo:
(A−λI)p = 0⃗
onde 0⃗ é o vetor nulo de dimensão adequada.
(a) Para T : R2 → R2 com T (x,y) = (x+ y,−x+4y). A matriz A é dada por:
A =
(
1 2
−1 4
)
Logo, os autovalores λ são dados por:
0 = det[A−λI] =
∣∣∣∣∣ 1−λ 2−1 4−λ
∣∣∣∣∣
= (1−λ)(4−λ)+2
= 4−λ−4λ+λ2 +2
= λ2 −5λ+6
Logo λ é determinado pelas raízes da equação do segundo grau acima, assim sendo dado por:
λ =
5±
√
25−24
2
e então λ1 = 3 e λ2 = 2. Então, tomamos um autovetor u associado a λ1. Então, temos que:
(A−λI)u = 0⃗ =⇒
(
−2 2
−1 1
)(
u1
u2
)
=
(
0
0
)
1
daí obtemos uma única equação a qual é:
−u1 +u2 = 0 =⇒ u1 = u2
e assim, o autovetor u fica determinado por:
u =
(
u1
u2
)
=
(
u1
u1
)
= u1
(
1
1
)
=⇒ u =
(
1
1
)
Então, tomamos um autovetor v associado a λ2. Então, temos que:
(A−λI)v = 0⃗ =⇒
(
−1 2
−1 2
)(
v1
v2
)
=
(
0
0
)
daí obtemos uma única equação a qual é:
−v1 +2v2 = 0 =⇒ v1 = 2v2
e assim, o autovetor v fica determinado por:
v =
(
v1
v2
)
=
(
2v2
v2
)
= v2
(
2
1
)
=⇒ v =
(
2
1
)
Então, os autovetores são: (
1
1
)
e;
(
2
1
)
2
(b) T : R2 → R2 com T (x,y) = (2x+2y,x+3y). Então a matriz A é dada por:
A =
(
2 2
1 3
)
Logo, os autovalores λ são dados por:
0 = det[A−λI] =
∣∣∣∣∣ 2−λ 21 3−λ
∣∣∣∣∣
= (2−λ)(3−λ)−2
= 6−2λ−3λ+λ2 −2
= λ2 −5λ+4
Logo λ é determinado pelas raízes da equação do segundo grau acima, assim sendo dado por:
λ =
5±
√
25−16
2
logo λ1 = 4 e λ2 = 1 são os autovalores procurados.
Então, tomamos um autovetor u associado a λ1. Então, temos que:
(A−λI)u = 0⃗ =⇒
(
−2 2
1 −1
)(
u1
u2
)
=
(
0
0
)
daí obtemos uma única equação a qual é:
u1 −u2 = 0 =⇒ u1 = u2
e assim, o autovetor u fica determinado por:
u =
(
u1
u2
)
=
(
u1
u1
)
= u1
(
1
1
)
=⇒ u =
(
1
1
)
Por outro lado, tomamos um autovetor v associado a λ2. Então, temos que:
(A−λI)v = 0⃗ =⇒
(
1 2
1 2
)(
v1
v2
)
=
(
0
0
)
daí obtemos uma única equação a qual é:
v1 +2v2 = 0 =⇒ v1 =−2v2
3
e assim, o autovetor v fica determinado por:
v =
(
v1
v2
)
=
(
−2v2
v2
)
= v2
(
−2
1
)
=⇒ v =
(
−2
1
)
Então, os autovetores são: (
1
1
)
e;
(
−2
1
)
4
(c) Seja T : R3 →R3 tal que T (x,y,z) = (x+y+ z,2y+ z,2y+3z). Então, a matriz A da transfor-
mação é dada por:
A =
1 1 10 2 1
0 2 3

Logo, os autovalores λ são dados por:
0 = det[A−λI] =
∣∣∣∣∣∣∣
1−λ 1 1
0 2−λ 1
0 2 3−λ
∣∣∣∣∣∣∣
= (1−λ) ·
∣∣∣∣∣ 2−λ 12 3−λ
∣∣∣∣∣
= (1−λ) · [(2−λ)(3−λ)−2]
= (1−λ)[4−5λ+λ2]
= (1−λ)2(λ−4)
Logo λ é determinado pelas raízes da equação algébrica acima, a qual imediatamente nos dá dois
autovalores: λ1 = 1 com multiplicidade 2 e λ2 = 4 com multiplicidade 1.
Agora determinaremos os autovetores. Então, tomamos um autovetor u associado a λ1 de tal
modo que tenhamos:
(A−λ1I)u = 0⃗ =⇒
0 1 10 1 1
0 2 2

u1u2
u3
=
00
0

daí obtemos uma única equação, pois as linhas são L.D a qual é:
u2 +u3 = 0 =⇒ u2 =−u3
e assim, o autovetor u fica determinado por:
u =
u1u2
u3
=
u10
0
+
 0−u3
u3
= u1
10
0
+u3
 0−1
1

5
ou seja o autovalor λ1 produz dois autovetores, estes são:10
0
 e
 0−1
1

Por outro lado, para λ2 temos um autovetor v associado de tal modo que:
(A−λ2I)v = 0⃗ =⇒
−3 1 10 −2 1
0 2 −1

v1v2
v3
=
00
0

daí obtemos duas equações as quais são:−v1 + v2 + v3 = 0−2v2 + v3 = 0
o que nos diz que: v3 = 2v2 e levando isso na primeira equação temos que v1 = 3v3.Assim, o autovetor
v fica determinado por:
v =
v1v2
v3
=

v1
3
v3
2
v3

= v3

1
3
3
2
1

Logo o autovetor v pode ser dado por:
v =
1/31/2
1

Então, os autovetores são: 10
0
 ,
 0−1
1
 e
1/31/2
1

6
(d) T : R3 → R3, T (x,y,z) = (x+ y,y,z). A matriz A da transformação associada é dada por:
A =
1 1 00 1 0
0 0 1

Logo, os autovalores λ são dados por:
0 = det[A−λI] =
∣∣∣∣∣∣∣
1−λ 1 0
0 1−λ 0
0 0 1−λ
∣∣∣∣∣∣∣
= (1−λ) ·
∣∣∣∣∣ 1−λ 00 1−λ
∣∣∣∣∣
= (1−λ) · [(1−λ)(1−λ)]
= (1−λ)3
Logo, o único autovalor é λ = 1 que possui multiplicidade 3. Então, tomemos um autovetor v associ-
ado a λ de tal modo que tenhamos:
(A−λI)v = 0⃗ =⇒
0 1 00 0 0
0 0 0

v1v2
v3
=
00
0

logo v2 = 0, as componentes v1 e v3 são livres. Logo temos que o autovetor v é dado por:
v =
v1v2
v3
=

v1
0
v3
= v1
10
0
+ v3
00
1

Então, os autovetores associados são:10
0
 e
00
1

aqui temos apenas dois autovetores associados.
7