03_Projetando_Circuitos_Lógicos_Combinacionais

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27/04/2022
Eletrônica Digital
Prof. Arthur Braga
Tópicos
 Projetando Circuitos Lógicos Combinacionais
 Forma de Soma-de-Produtos
 MINTERMOS X MAXTERMOS
 Simplificação de Circuitos Lógicos
 Método da Simplificação Algébrica
 Método do Mapa de Karnaugh
 Condições de “don’t-care”
 Mapas de Karnaugh de 5 e 6 variáveis
 Lista de Exercícios
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Projetando Circuitos 
Lógicos Combinacionais
Circuitos Lógicos Combinacionais
Os circuitos descritos e analisados até o momento podem ser classificados
como CIRCUITOS LÓGICOS COMBINACIONAIS porque, em qualquer
instante de tempo, o nível lógico da saída do circuito depende APENAS da
combinação dos níveis lógicos presente nas entradas.
Um circuito combinacional não possui a característica de memória, portanto
sua saída depende apenas dos valores atuais das entradas.
Para projetar circuitos combinacionais, justifica-se um estudo mais detalhado
da simplificação dos circuitos lógicos. Dois métodos serão considerados: o
primeiro usará explicitamente os teoremas da Álgebra Booleana, e o segundo
usará uma técnica de mapeamento que depende dos mesmos teoremas.
Por onde começar ?
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Forma de Soma-de-Produtos
Os métodos de simplificação e projetos de circuitos lógicos a serem estudados
requerem que a expressão esteja em um formato padronizado (forma
canônica). Uma destas formas é a soma-de-produtos, exemplificada abaixo:
CBAABC 1. K.
2. J.
3. j
DDCCBAAB 
LHGKEFDCBA 
Cada uma dessas expressões consiste em um ou mais termos AND
(produtos lógicos) conectados por operações OR. Cada termo AND
consiste em uma ou mais variáveis que aparecem individualmente na sua
forma complementada ou não-complementada.
Produto-de-Somas: Outra forma geral, utilizada algumas vezes, para
expressões lógicas é chamada de produto-de-somas, e consiste em dois ou
mais termos OR (somas lógicas) conectados por operações AND.
  CACBA 1. K.
2. J.  FEDCBA 
MINTERMOS X MAXITERMOS
Mintermos e maxitermos são formas alternativas de expressar uma função
booleana equivalentes à soma-de-produtos e ao produto-de-somas. Os
mintermos estão relacionados à forma de soma-de-produtos e os
maxitermos à forma de produto-de-somas. Para usar estas representações
devemos considerar cada combinação da entrada de uma tabela verdade
como um número binário e relacionarmos a saída da função com este número.
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MINTERMOS
MAXTERMOS
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MINTERMOS
MAXITERMOS
Simplificação de Circuitos Lógicos
Uma vez obtida a expressão de um circuito lógico, podemos reduzi-la a uma
forma mais simples - que contenha um menor número de (i) termos ou (ii)
variáveis em um ou mais termos da expressão. Essa nova expressão pode
então ser usada na implementação de um circuito equivalente ao circuito
original, mas que contém menos portas lógicas e conexões.
Exemplo:
 


  BCAABx
  CBAAB 
 CABAAB 
CAABBAAB 
Dois métodos para simplificação de circuitos lógicos serão estudados:
(i) Simplificação Algébrica e (ii) Mapa de Karnaugh.
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Simplificação AlgébricaK
Podemos usar os Teoremas da Álgebra Booleana para nos auxiliar a
simplificar expressões de circuitos lógicos. Entretanto, nem sempre é óbvio
qual teorema deve ser aplicado para se obter o resultado mais
simplificado. Assim, as simplificações algébricas são, muitas vezes, um
processo de tentativa-e-erro. Entretanto, com a experiência, pode-se obter
resultados razoavelmente bons.
Uma metodologia para a aplicação dos Teoremas Booleanos na busca pela
simplificação de expressões lógicas é seguir os dois passos abaixo:
1. A expressão original é colocada na forma de soma-de-produtos
aplicando-se repetidamente os teoremas de DeMorgan e a multiplicação
de termos.
2. Uma vez que a expressão original esteja na forma de soma-de-produtos,
verifica-se se os termos produto têm fatores comuns, realizando a
fatoração sempre que possível. Esta fatoração pode levar à eliminação
de termos.
EXEMPLO ?
Simplificação AlgébricaK
Exemplo: Simplifique o circuito lógico abaixo.
Solução:
O primeiro passo é colocar a expressão na forma soma-de-produtos.
 CABAABCz 




  CABAABC
 CABAABC 
CBAABAABC 
CBABAABC 
DeMorgan
cancela inversões
multiplica
A . A = A
primeiro passo
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Solução:
Obtida a forma soma-de-produtos (primeiro passo da simplificação):
CBABAABCz 
parte-se para o passo 2 (buscar fatores comuns para realizar fatoração):
CBABAABCz 
BABBAC  )(
BAAC 
 CBA 
Simplificação AlgébricaK
Exemplo: Simplifique o circuito lógico abaixo.
Simplificação AlgébricaKSimplificação AlgébricaK
Exemplo: Simplifique o circuito lógico abaixo.
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Exemplos :K
Simplifique as equações:
S = A.B + A.B
S = A.(B+B)
S = A
S = A.B.C + A.C + A.B
S = A.(B.C + (B+C))
S = A.(B.C + (B.C))
S = A
S = (A + B + C).(A + B + C)
S = (A.B.C).(A + B + C)
S = A.A.B.C + A.B.B.C + A.B.C.C
S = 0 + A.B.B.C + 0
S = A.B.B.C
S = A.B.C
Exemplos :K
Simplifique as equações:
S = ((A.C) + B + D) + C.(A + C + D)
S = (A.C).B.D + C.(A + C + D)
S = (A.C).B.D + C.A + C.C + C.D
S = (A.C).B.D + C.A + 0 + C.D
S = (A.C).B.D + C.A + C.D
S = C.D. (A.B + 1) + C.A
S = C.D. ( 1 ) + C.A
S = C.D + C.A
S = C.(D + A)
S = C.(D.A)
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Projetando Circuitos Lógicos Combinacionais
Entretanto, há outros métodos de simplificação – também
baseados nos teoremas Booleanos e DeMorgan. Um deles é o
Método do Mapa de Karnaugh - um método gráfico que automatiza
a busca pela simplificação da expressão do circuito caso esta
estiver no formato de soma-de-produtos.
O Método da Simplificação Algébrica estabelece uma metodologia
para a aplicação dos Teoremas Booleanos que facilita o trabalho
do projetista.
Método do Mapa de Karnaugh
O mapa de Karnaugh é um método gráfico usado para simplificar uma
expressão lógica ou para converter uma tabela-verdade no seu circuito lógico
correspondente, de uma forma simples e metódica. Embora um mapa de
Karnaugh, ou simplesmente mapa K, possa ser usado em problemas que
envolvem qualquer número de variáveis de entrada, sua utilidade prática está
limitada a até cinco ou seis variáveis – trabalharemos na maioria das vezes
com até 4 variáveis.
O mapa K, assim como uma tabela-verdade, é um meio de mostrar a relação
entre as entradas lógicas e a saída desejada. Segue abaixo um exemplo da
tabela-verdade de uma expressão lógica e seu mapa K correspondente.
ExpressãoTabela-Verdade Mapa de Karnaugh
Como montar o mapa para mais de duas variáveis ?
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Método do Mapa de Karnaugh
Exemplos com mais variáveis:
ExpressãoTabela-Verdade Mapa de Karnaugh
Método do Mapa de Karnaugh
Exemplos com mais variáveis:
ExpressãoTabela-Verdade Mapa de Karnaugh
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Método do Mapa de Karnaugh
Pontos mais importantes do Mapa de Karnaugh:
1. A tabela-verdade fornece o valor da saída X para cada combinação de
valores de entrada. O mapa K fornece a mesma informação em um formato
diferente. Cada linha na tabela-verdade corresponde a um quadrado no
mapa K.
2. Os quadrados no mapa K são nomeados de forma que quadrados
adjacentes horizontalmente, ou verticalmente, diferem em apenas uma
variável.
3. Uma vez que um mapa K tenha sido preenchido com 0s e 1s, a expressão
na forma de soma-de-produtos para a saída X pode ser obtida fazendo-
se a operação OR dos quadrados que contêm 1.
Como utilizar o mapa K para simplificar expressões ?
Método do Mapa de Karnaugh
A expressão para a saída X pode ser simplificada combinando adequadamente
os quadrados do mapa K que contêm 1. O processo de combinação desses 1s
é denominado agrupamento.
Agrupamento de dois quadrados no mapa K
Agrupando um par de 1s adjacentes em um mapa K, elimina-se a variável
que aparece nas formas complementada e não-complementada.
Exemplo:
CABCBAX 
 AACB 
CB
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Exemplos:
Método do Mapa de Karnaugh
Agrupamento de quatro quadrados no mapa K (quartetos)
Agrupando um quarteto de 1s adjacentesem um mapa K, elimina-se duas
variáveis que aparecem nas formas complementada e não-
complementada.
Exemplo:
CBAABCBCACBAX 
   BBACBBCA 
ACCA 
 AAC 
C
CX 
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Exemplos:
Método do Mapa de Karnaugh
Agrupamento de oito quadrados no mapa K (octetos)
Agrupando um octeto de 1s adjacentes em um mapa K, elimina-se três
variáveis que aparecem nas formas complementada e não-
complementada.
Exemplos:
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Exemplos:
Método do Mapa de Karnaugh
Processo Completo de Simplificação
Quando uma variável aparece nas formas complementada e não-
complementada em um agrupamento, tal variável é eliminada da
expressão. As variáveis que não se alteram para todos os quadrados do
agrupamento têm de permanecer na expressão final.
Deve ficar claro que um grupo maior de 1s elimina mais variáveis. Para ser
exato, um grupo de dois 1s elimina uma variável, um grupo de quatro 1s
elimina duas variáveis, e um grupo de oito 1s elimina três variáveis. Esse
princípio será usado para se obter a expressão lógica simplificada a
partir do mapa K que contém qualquer combinação de 1s e 0s.
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Método do Mapa de Karnaugh
Procedimento para uso do mapa K na simplificação de expressões Booleanas:
1. Construa o mapa K e coloque os 1s nos quadros que correspondem aos 1s
na tabela-verdade. Coloque 0s nos demais quadros.
2. Analise o mapa quanto aos 1s adjacentes e marque os 1s que não sejam
adjacentes a quaisquer outros 1s. Esses são denominados 1s isolados.
3. Em seguida, procure os 1s que são adjacentes a somente um outro 1.
Agrupe todo par que contém tal 1.
4. Agrupe qualquer octeto, mesmo que ele contenha alguns 1s que já
tenham sido agrupados.
5. Agrupe qualquer quarteto que contenha um ou mais 1s que ainda não
tenham sido agrupados, certifique-se de usar o menor número de
agrupamentos.
6. Agrupe quaisquer pares necessários para incluir quaisquer 1s que ainda
não tenham sido agrupados, certifique-se de usar o menor número de
agrupamentos.
7. Forme a soma OR de todos os termos gerados por cada agrupamento.
EXEMPLO ?
Exemplo I: A partir do mapa k abaixo, obtenha a expressão
simplificada.
0 0 0 1
0 1 1 0
0 1 1 0
0 0 1 0
Método do Mapa de Karnaugh
1
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2
6
10
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3
7
11
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4
8
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Método do Mapa de Karnaugh
Exemplo II: A partir do mapa k abaixo, obtenha a expressão
simplificada.
0 0 1 0
1 1 1 1
1 1 0 0
0 0 0 0
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
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Exemplo III: A partir do mapa k abaixo, obtenha a expressão
simplificada.
0 1 0 0
0 1 1 1
1 1 1 0
0 0 1 0
Método do Mapa de Karnaugh
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
8
12
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Se for dada uma expressão lógica, podemos usar o método de Karnaugh ?
Dado um mapa K, obtemos uma 
expressão simplificada na forma de 
soma-de-produtos.
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Método do Mapa de Karnaugh
Preenchendo o Mapa K a partir da expressão da saída
Quando a saída desejada é apresentada como uma expressão Booleana
no lugar de uma tabela-verdade, o mapa K pode ser preenchido usando
os seguintes passos:
1. Passe a expressão para a forma de soma-de-produtos, caso ela não
esteja neste formato.
2. Para cada termo produto da expressão na forma soma-de-produtos,
coloque um 1 em cada quadrado do mapa K cuja denominação seja a
mesma da combinação das variáveis de entrada. Coloque um 0 em
todos os outros quadrados.
Exemplo
Método do Mapa de Karnaugh
Preenchendo o Mapa K a partir da expressão da saída
Use o mapa K para simplificar a expressão:
  DCBADDBACy 
Solução:
Multiplique o primeiro termo para obter:
DCBADCDBACy 
E a expressão simplificada ?????????
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Exemplo
Método do Mapa de Karnaugh
Preenchendo o Mapa K a partir da expressão da saída
Use o mapa K para simplificar a expressão:
  DCBADDBACy 
Solução:
BADCy 
Expressão simplificada:
CONCLUSÃO: Dada uma expressão lógica,
ou uma tabela-verdade, podemos montar o
mapa K correspondente e usá-lo p/ obter a
expressão simplificada.
Mas...
Método do Mapa de Karnaugh
Condições de “don’t-care”
Alguns circuitos lógicos podem ser projetados de forma que existam certas
condições de entrada para as quais não existem níveis de saída especificada –
normalmente essas condições nunca ocorrerão !
Para estas condições de entrada, a saída z não é especificada nem como 0
nem como 1, e sim por um x que indica que aquela condição não importa
(don’t-care).
Como simplificar a expressão lógica associada com essa tabela-verdade ?
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Método do Mapa de Karnaugh
Condições de “don’t-care”
Como não há uma saída especificada para as condições don’t-care, o
projetista está livre para fazer a saída ser 0 ou 1 de forma a obter a expressão
mais simple.
Assim, sempre que ocorrerem condições de don’t-care temos que decidir qual
x será alterado para 0 e qual será alterado para 1 de forma a se obter o melhor
agrupamento no mapa k.
Método do Mapa de Karnaugh
Condições de “don’t-care”
Exemplo:
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Método do Mapa de Karnaugh
Condições de “don’t-care”
Exemplo:
F(A,B,C,D) = A.D + C.D
Soma-de-Produtos
Método do Mapa de Karnaugh
Condições de “don’t-care”
Exemplo:Soma-de-Produtos
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EXERCÍCIO
Mapa de Karnaugh de 5 Variáveis
Uma alternativa é 
trabalhar 
explicitamente com 
os dois mapas 
separadamente !
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Mapa de Karnaugh – 5 variáveis (Primeira Forma)
Começando pelo Mapa em que A=0 temos 2 grupos apenas
Mapa de Karnaugh – 5 variáveis (Primeira Forma)
EXEMPLO I
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No Mapa em que A=1 temos 4 grupos
Mapa de Karnaugh – 5 variáveis (Primeira Forma)
EXEMPLO I
Mapa de Karnaugh – 5 variáveis (Primeira Forma)
EXEMPLO I
X = C.E + B.D.E + A.B.D + A.B.C.D + A.B.C.D.E
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Mapa de Karnaugh – 5 variáveis (Primeira Forma)
EXEMPLO II
Como é a Segunda 
Forma de trabalhar 
Mapas de Karnaugh 
com 5 variáveis ?
Mapa de Karnaugh de 5 (cinco) Variáveis
EAB
CD
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Mapa de Karnaugh de 5 (cinco) Variáveis
EXEMPLO 
E como proceder para Mapas de Karnaugh com 6 variáveis ?
Mapa de Karnaugh de 6 (seis) Variáveis
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Mapa de Karnaugh de 6 (seis) Variáveis
Mapas em que
A = 0
Mapas em que
A = 1
Mapa de Karnaugh – 6 variáveis
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Mapa de Karnaugh – 6 variáveis
EXEMPLO I
Mapa de Karnaugh de 6 (seis) Variáveis
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Mapa de Karnaugh de 6 (seis) Variáveis
Exercícios
 Capítulo 4 (Tocci, 11ª Ed.): 4.1, 4.2, 4.4,
4.7, 4.9, 4.11, 4.14, 4.25, 4.26, 4.27, 4.30,
4.34, 4.37, 4.38.
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Bibliografia Básica
 Tocci, R. J., Widmer, N. S., Moss, G. L.; Sistemas
Digitais - Princípios e Aplicações - 11ª Ed, Editora
Pearson, 2011.
 Floyd, Thomas L.; Sistemas Digitais Fundamentos
e Aplicações - 9ª Ed, Editora Bookman, 2007.
 Pedroni, V. A.; Eletrônica Digital Moderna e VHDL,
Editora Elsevier, 2010.
 Szajnberg, Mordka; Eletrônica Digital - Teoria,
Componentes E Aplicações – LTC, 2014.
Material da Disciplina
SIGAA - Sistema Integrado de Gestão de Atividades Acadêmicas
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