Mecanismos da Fratura_Cap_2_Mecanica da Fratura

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2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
FEM / UNICAMP 
8 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR 
 
 
2.1. Introdução 
2.2. Noções de Mecânica da Fratura Elástica Linear 
2.3. Modos de solicitação de uma trinca 
2.4. Distribuição de Tensões em Corpos com Trincas 
2.5. Influência da Espessura do Espécime na Tenacidade à Fratura 
2.6. Noções da Metodologia de Projeto 
2.7. Critério "Leak-Before-Break" 
2.8. Referências Bibliográficas 
2.9. Lista de Exercícios 
 
 
2.1. Introdução 
 
 Como visto anteriormente, os materiais metálicos possuem, no geral, uma relação 
inversa entre resistência mecânica e tenacidade à fratura (Figura 2.1). Assim como a 
Resistência Mecânica é uma das bases da "Resistência dos Materiais" a Tenacidade à 
Fratura é uma das bases da "Mecânica da Fratura". Além disso, torna-se importante 
salientar que a "Resistência Mecânica" é uma propriedade mecânica básica e a 
"Tenacidade à Fratura" é uma propriedade mecânica nobre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1. Esquema da relação inversa entre tenacidade à fratura e resistência 
mecânica normalmente verificada em materiais metálicos. A otimização das 
propriedades mecânicas da liga envolve o deslocamento da curva na direção da seta. 
 
 É importante lembrar que a "Resistência dos Materiais" tem três hipóteses 
fundamentais que são: os corpos são considerados (i) homogêneos; (ii) isotrópicos e (iii) 
contínuos. A "Mecânica da Fratura" trata justamente de corpos com uma trinca aguda, ou 
seja, um corpo descontínuo. 
 
 A Mecânica da Fratura possui aspectos relacionados à Engenharia de Materiais, que 
explicam inclusive a diferença entre as curvas observadas na Figura 2.1, e aspectos 
relacionados à análise de tensões e deformações em corpos com uma trinca aguda. Neste 
capítulo será feita uma abordagem sobre Mecânica da Fratura Elástica Linear que trata da 
análise de tensões e deformações com escoamento (deformação plástica) em pequena 
escala. 
Resistência mecânica 
Tenacidade à fratura 
Aço ABNT 1040 ou a liga de Al 7075 
Aço ABNT 4340 ou a liga de Al 7475 
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2.2. Noções de Mecânica da Fratura Elástica Linear 
 
 A Figura 2.2 mostra, esquematicamente, uma comparação entre a resistência dos 
materiais e a mecânica da fratura. A resistência dos materiais trata da análise de tensões e 
deformações em corpos prismáticos, sem descontinuidades geométricas, e solicitados com 
carregamento mecânico, ao passo que a mecânica da fratura trata da análise de tensões e 
deformações nas proximidades de uma trinca, em corpos com trincas solicitados também 
mecanicamente. 
 
a) Elementos das teorias básicas que precederam a mecânica de fratura elástica linear 
 
 A presença de uma trinca (ou qualquer descontinuidade geométrica) em um corpo 
solicitado uniaxialmente leva à concentração de tensão e, o que é mais importante, leva à 
formação de estados triaxiais de tensões nas proximidades da ponta da trinca. 
 
 Na maioria dos metais a resistência mecânica deve-se à força de coesão entre os 
átomos; em geral, altas forças coesivas estão relacionadas com altas constantes elásticas, 
alto ponto de fusão e pequeno coeficiente de expansão térmica. A "resistência de coesão 
teórica" de metais é determinada a partir de um modelo simplificado e significa a força por 
unidade de área necessária para separar planos vizinhos de átomos. Assim, a partir desse 
modelo simplificado obtém-se a equação (2.1) que estabelece a resistência coesiva teórica 
de um sólido frágil. Na prática, esse valor de resistência de coesão teórica é da ordem de 
10 a 1000 vezes maior do que os valores de resistência dos materiais normalmente 
utilizados em engenharia. Essa grande diferença é atribuída à ocorrência de escoamento a 
baixos níveis de tensões ou porque uma trinca se propaga a partir de pequenos defeitos ou 
entalhes presentes no material. 
 
2/1
0
max 




 ⋅
=
a
E γ
σ (2.1) 
 
na qual σmax é o valor máximo de uma função senoidal da tensão de tração teórica para 
separar planos vizinhos de átomos, ou seja, é a resistência coesiva teórica de um sólido 
frágil; γ é a energia superficial por unidade de área de cada uma das superfícies da trinca 
que se forma durante a fratura do sólido; E é o módulo de elasticidade; e a0 é a constante 
de rede (constante característica da rede cristalina). 
 
 Inglis, em 1913, determinou que a tensão na ponta de uma trinca é dada pela 
equação (2.2). 














⋅+=
21
21
/
f
a
ρ
σσ (2.2) 
 
sendo que σ, a e ρ estão indicados na Figura 2.3. Quando [2 11 2⋅ >>( / ) /a ρ ] a tensão na 
ponta da trinca (σ p ) pode ser dada aproximadamente pela equação (2.3). 
 
2/1
2 





⋅⋅≈
ρ
σσ
a
p (2.3) 
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Figura 2.2. Comparação entre "Resistência dos Materiais" e "Mecânica da Fratura". 
 
 No caso limite de uma trinca muito fina pode-se considerar ρ → a0 , a constante de 
rede. Substituindo ρ = a0 na equação (2.3) e igualando σ p à resistência de coesão teórica 
de um sólido frágil - equação (2.1) - o critério para propagação de uma trinca é dado pela 
equação (2.4). 
é o coeficiente de segurança. 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS MECÂNICA DA FRATURA 
1. Barra prismática solicitada à tração 
de um material de alta resistência 
mecânica. 
1. Barra com uma trinca solicitada à tração 
de um material de alta resistência 
mecânica. 
é a tenacidade à fratura em defor- 
mação plana (valor crítico do fator 
de intensidade de tensão); 
F 
F 
B 
W 
F 
F 
B 
W 
Trinca de compri- 
mento a 
 
2. Parâmetro característico 2. Parâmetros característicos 
BW
F
====σσσσ BW
F
====σσσσ
ayKI σσσσ⋅⋅⋅⋅====
y é um parâmetro adimensional que 
 depende da geometria da trinca 
 e do corpo [y = f(a/W)]; 
KI é o fator de intensidade de tensão 
 em modo I ; 
a é o comprimento da trinca (m). 
na qual: 
)( mMPa
onde: 
σσσσ é a tensão normal de tração )(MPa
3. Critério de Projeto 3. Critério de Projeto 
CS
e
adm
σσσσ
σσσσ ====
SC
K
K ICIadm ′′′′
====onde: 
admσσσσ é a tensão admissível; 
. 
eσσσσ é o limite de escoamento; 
 
é o coeficiente de segurança. 
IadmK é o fator de intensidade de tensão 
 admissível; 
ICK
SC ′′′′
onde: 
CS
Trinca 
solicitada 
em modo I 
a 
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2a
ρ
σ
σ
 
Figura 2.3. Trinca elíptica fina em uma chapa de largura infinita e sujeita a tensão 
uniaxial. A trinca tem comprimento 2a e raio de curvatura da ponta ρρρρ. 
 
2/1
4






⋅
⋅
=
a
E
f
γ
σ (2.4) 
 
ou seja, quando a tensão nominal σ, longe da trinca, atingir σ f a tensão na ponta da trinca 
atinge a resistência de coesão teórica, ocorrendo fratura frágil. Entretanto, essa derivação 
ignora o fato de que a equação que estabelece a concentração de tensão - equação (2.2) - 
foi obtida com base no comportamento elástico linear, enquanto a resistência de coesão 
teórica - equação (2.1) - baseia-se em uma relação senoidal que considera a força e o 
espaçamento atômico. Essa inconsistência é evitada na aproximação feita por Griffith, pois 
nesse caso o critério para propagação da trinca baseia-se em considerações 
termodinâmicas. 
 
 A primeira explicação da discrepância entre a resistência à fratura observada em 
cristais e a resistência de coesão teórica foi proposta por Griffith em 1920. Ele propôs que 
um material frágil contém uma população de finas trincas, que produzem uma 
concentração de tensão de magnitude suficiente para atingir a resistência de coesão teórica 
em regiões localizadas, com uma tensão nominal bem abaixo do valor teórico. O modelo 
de trinca proposto por Griffith pode ser vistona figura 2.4. Considera-se, nessa figura, que 
as trincas tem a secção transversal elíptica, sendo que uma trinca no interior da chapa tem 
comprimento 2a e na extremidade da chapa a; o efeito dos dois tipos de trinca no 
comportamento da fratura é o mesmo. 
 
 A grande contribuição de Griffith foi o cálculo da energia de deformação elástica 
em uma chapa com uma trinca. Essa energia de deformação elástica, por unidade de 
espessura da chapa, é dada pela equação (2.5). 
 
U
a
E
E =
πσ2 2
 para condições de tensão plana (2.5a) 
 
)1( 2
22
ν
πσ
−





=
E
a
U E para condições de deformação plana (2.5b) 
 
na qual E é o módulo de elasticidade (módulo de Young) e ν é o coeficiente de Poisson. 
 
 
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a 2a
σ
σ
 
 
Figura 2.4. Modelo de trinca de Griffith. 
 
 A energia superficial devido à presença da trinca, por unidade de espessura da 
chapa, é dada por: 
 
U as = ⋅ ⋅4 γ (2.6) 
 
sendo γ a energia superficial específica (por unidade de área). 
 
 A fonte do aumento da energia superficial Us é a dissipação da energia de 
deformação elástica. Griffith estabeleceu o seguinte critério para a propagação da trinca: 
"uma trinca se propagará quando a diminuição da energia de deformação elástica é pelo 
menos igual à energia requerida para criar a nova superfície da trinca". Então, o critério 
para propagação da trinca pode ser dado por: 
 
∂
∂
∂
∂
U
a
U
a
E S≥ (2.7) 
 
 Derivando as equações (2.5) e (2.6), substituindo em (2.7) e re-arranjando, obtém-
se a tensão para causar fratura, dada por: 
 
2/1
2






⋅
⋅⋅
=
a
E
F
π
γ
σ para condições de tensão plana (2.8a) 
 
2/1
2 )1(
2






−⋅⋅
⋅⋅
=
νπ
γ
σ
a
E
F para condições de deformação plana (2.8b) 
 
 O comprimento da trinca que causa a fratura, sob a ação de uma tensão nominal σ, 
é dado pelas equações (2.9a) e (2.9b). 
 
a
E
c =
⋅ ⋅
⋅
2
2
γ
π σ
, para condições de tensão plana (2.9a) 
 
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( )22 1
2
νσπ
γ
−⋅
⋅⋅
=
E
ac , para condições de deformação plana (2.9b) 
 
nas quais ac é o comprimento crítico da trinca. 
 
 A equação de Griffith - equação (2.8) - mostra uma grande dependência da 
resistência à fratura com o comprimento da trinca. Essa equação prevê satisfatoriamente a 
resistência à fratura de materiais completamente frágeis, como o vidro, sendo que nesse 
caso o comprimento da trinca, para causar fratura, é da ordem de 1 µm. Para cristais de 
zinco a teoria de Griffith prevê um comprimento crítico da trinca de vários milímetros; 
esse comprimento da trinca seria, na maioria das situações, maior do que a espessura do 
espécime, não se aplicando assim esta teoria. 
 
b) Teoria de Irwin-Orowan 
 
 Observa-se, por difração de raios x e análise metalográfica, que mesmo metais que 
falham de maneira completamente frágeis apresentam alguma deformação plástica antes da 
fratura. Por isso, a teoria de Griffith para a tensão de fratura não se aplica aos metais. 
 
 Orowan, em 1945, sugeriu que a equação de Griffith seria mais compatível com a 
fratura frágil de metais pela inclusão nessa de um termo γp expressando o trabalho plástico 
necessário para estender a trinca. Assim, a equação de Griffith foi reescrita como: 
 
21
2
/
p
f a
)(E






⋅
+⋅⋅
=
π
γγ
σ (2.10) 
 
 Como a energia superficial γ é desprezível quando comparada ao trabalho plástico 
γ p , então 
 
21 /
p
f a
E






⋅
⋅
=
π
γ
σ (2.11) 
 
 Irwin propôs, em 1948, que era necessário uma quantidade crítica de energia (Gc) 
para criar uma área adicional da superfície da trinca e que Gc seria determinada para um 
material específico em um ensaio de fratura. Com isso poder-se-ia fazer previsões sobre a 
propagação ou não da trinca, pela comparação da quantidade de energia que seria dissipada 
quando uma trinca se propaga sob um nível de tensão especificado, com o valor de Gc 
conhecido. 
 
 A equação de energia para propagação da trinca [equação (2.7)] pode ser reescrita 
na forma: 
 
∂
∂
∂
∂
U
a
G
W
a
E = − ≥
′
 (2.12) 
 
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na qual G é a taxa de dissipação de energia de deformação elástica (também conhecida por 
força de extensão da trinca) e W' é a energia necessária para o crescimento da trinca. 
Assumindo, como uma primeira aproximação, ∂ ∂′W a/ constante e considerando a trinca 
elíptica da figura 2.4, pode-se escrever o critério para a tensão de fratura como: 
 
21 /
c
f a
GE






⋅
⋅
=
π
σ , para condições de tensão plana e (2.13a) 
 
21
21
/
c
f )(a
GE






−⋅⋅
⋅
=
νπ
σ , para condições de deformação plana. (2.13b) 
 
 Re-arranjando as equações (2.13) obtém-se: 
 
G
a
E
=
⋅ ⋅π σ2
, para condições de tensão plana e (2.14a) 
 
 )(
E
a
G 2
2
1 ν
σπ
−⋅




 ⋅⋅
= , para condições de deformação plana. (2.14b) 
 
 A trinca começa a se propagar quando G atinge o valor crítico Gc, sendo que este é, 
dentro de certos limites, uma propriedade intrínseca do material. 
 
 Irwin, em 1957, por meio de uma análise de tensões nas vizinhanças da ponta de 
uma trinca, verificou que as tensões locais dependem do produto da tensão nominal σ e da 
raiz quadrada da metade do comprimento da trinca. A partir disso foi definido o fator de 
intensidade de tensão ou fator de intensificação de tensão ("stress intensity factor") - K -, 
para uma trinca elástica em uma chapa de largura infinita, como: 
 
K a= ⋅ ⋅σ π (2.15) 
 
na qual σ é a tensão nominal (longe da trinca) e a é a metade do comprimento da trinca 
localizada no interior da chapa. Combinando as equações (2.14) e (2.15) obtém-se: 
 
G
K
E
=
2
, para condições de tensão plana e (2.16a) 
 
G
K
E
= −
2
21( )ν , para condições de deformação plana. (2.16b) 
 
 Apesar da força de extensão da trinca ter um significado físico maior, o fator de 
intensidade de tensão é preferido em trabalhos de mecânica de fratura, pois esse é melhor 
tratável do ponto de vista analítico. Além disso, existem vários livros, manuais e outras 
referências que fornecem K para várias configurações geométricas de trinca e corpo. A 
Tabela 2.1 mostra algumas configurações geométricas de trinca e as correspondentes 
soluções em termos do fator KI e a figura 2.5 as soluções gráficas para as configurações 
apresentadas na tabela 2.1. 
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Tabela 2.1. Soluções de KI para algumas geometrias. [Anderson, 1995]. 
 
 
Compact specimen 
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Figura 2.5. Curvas para as soluções de KI mostradas na tabela 2.1. [Anderson, 1995]. 
 
 
2.3. Modos de solicitação de uma trinca 
 
 Uma trinca pode ser solicitada de três maneiras diferentes. A figura 2.6 ilustra esses 
tipos de solicitação de uma trinca. No modo 1 (modo aberto) há uma tensão na direção de 
y, ou seja, perpendicular à superfície da trinca. No modo 2 há uma tensão de cisalhamento 
na direção de x (perpendicular à ponta da trinca). No modo 3 há uma tensão de 
cisalhamento na direção de z (paralelo à ponta da trinca). 
 
 
 
Figura 2.6. Tipos de solicitação de uma trinca. 
 
2.4. Distribuição de Tensões em Corpos com Trincas 
 
De acordo com Bates [Bates, 1981] são ainda incompletas as descrições da natureza 
exata da distribuição de tensões e deformações nas proximidades da ponta da trinca. Com 
definição do fator de intensificação de tensão (K) Irwin simplificou bastante o problema de 
análise de tensões nas vizinhanças de uma trinca, pois uma vez determinado K (que 
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depende basicamente do nível de tensãono corpo longe da trinca e da geometria do 
espécime e da trinca) essas tensões são facilmente determinadas. 
 
Os campos de tensão e deslocamento na ponta de uma trinca podem ser 
caracterizados, para uma situação genérica, pela combinação dos três modos de 
deformação. O conjunto completo das expressões que fornecem as distribuições de tensões 
e deslocamentos, para os três modos de deformação mostrados na Figura 2.7, na ponta de 
uma trinca linearmente elástica idealizada é dado por: 
 
 
 
Figura 2.7. Sistema de coordenadas de tensões na ponta da trinca. 
 
a) Modo 1 (em deformação plana): 
 
)]/sen()/sen([)/cos(
)r(
K
/xx
23212
2 21
1 θθθ
π
σ ⋅−⋅⋅
⋅⋅
= (2.17.a) 
 
)]/sen()/sen([)/cos(
)r(
K
/yy
23212
2 21
1 θθθ
π
σ ⋅+⋅⋅
⋅⋅
= (2.17.b) 
 
)]/cos()/sen()/[cos(
)r(
K
/xy
2322
2 21
1 θθθ
π
τ ⋅⋅⋅
⋅⋅
= (2.17.c) 
 
0== yzxz ττ (2.17.d) 
 
)( yyxxzz σσνσ += (2.17.e) 
 
)]/(sen)[/cos(
r
'G
K
u
/
2212
2
2
21
1 θνθ
π
+−⋅



⋅
⋅= (2.18.a) 
 
)]/(cos)[/sen(
r
'G
K
v
/
2222
2
2
21
1 θνθ
π
−−⋅



⋅
⋅= (2.18.b) 
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0=w (2.18.c) 
 
b) Modo 2 (em deformação plana): 
 
( )
{ )]}2/3cos()2/cos(2[)2/(
2 2/1
2 θθθ
π
σ ⋅+⋅−⋅
⋅⋅
= sen
r
K
xx (2.19.a) 
 
( )
)]2/3cos()2/cos()2/([
2 2/1
2 θθθ
π
σ ⋅⋅⋅
⋅⋅
= sen
r
K
yy (2.19.b) 
 
( )
)]2/3()2/(1[)2/cos(
2 2/1
2 θθθ
π
τ sensen
r
K
xy ⋅−⋅⋅
⋅⋅
= (2.19.c) 
 
0== yzxz ττ (2.19.d) 
 
( )yyxxzz σσυσ +⋅= (2.19.e) 
 
u = )]}2/(cos22[)2/({
2'
2
2/1
2 θνθ
π
+−⋅⋅





sen
r
G
K
 (2.20.a) 
 
)]2/(21[)2/cos(
2'
2
2/1
2 θνθ
π
ν sen
r
G
K
++−⋅⋅





= (2.20.b) 
 
w = 0 (2.20.c) 
 
Para converter as expressões acima (modos 1 e 2) - equações (2.17) e (2.19) - para 
condições de tensão plana coloca-se σzz = 0 e troca-se ν por ν/(1+ν). 
 
c) Modo 3: 
( )
)]2/([
2 2/1
3 θ
π
τ sen
r
K
xz −
⋅⋅
= (2.21.a) 
 
( )
)]2/[cos(
2 2/1
3 θ
π
τ ⋅
⋅⋅
=
r
K
yz (2.21.b) 
 
σ σ σ τxx yy zz xy= = = =0 (2.21.c) 
 
w = )2/(
2
'
2/1
3 θ
π
sen
r
G
K
w ⋅





= (2.22.a) 
 
u = ν =0 (2.22.b) 
 
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Nas expressões acima - equações (2.17) a (2.21) - K1, K2 e K3 são os fatores de 
intensidade de tensão, respectivamente para os modos 1, 2 e 3, e G' é o módulo de 
cisalhamento (ou módulo de rigidez) G'=E/2 (1+ν). É importante salientar que está sendo 
utilizado o símbolo de G', para o módulo de rigidez, para diferenciar do G, que é a força de 
extensão da trinca definido na Equação (2.12). K1, K2 e K3 são definidos como: 
 
])r([limK /yyr
21
01 2 ⋅⋅= → πσ (2.23.a) 
 
])r([limK /xyr
21
02 2 ⋅⋅= → πτ (2.23.b) 
 
])r([limK /zyr
21
03 2 ⋅⋅= → πτ (2.23.c) 
 
Nas equações acima - de (2.17) até (2.23) - (r, θ, z) e (x, y, z) definem os sistemas 
de coordenadas com origem no eixo da ponta da trinca, como pode ser visto na figura 2.7, 
e u, v e w são os deslocamentos nas direções x, y e z respectivamente. Essas equações são 
válidas quando o raio de ponta da trinca tende a zero e são exatas somente no limite 
quando r se aproxima de zero, mas representam uma boa aproximação na região onde r é 
muito menor que o comprimento da trinca e a menor dimensão do espécime. 
 
Analisando as equações (2.17) a (2.22) pode-se observar que as tensões e os 
deslocamentos em um dado ponto, nas vizinhanças de uma trinca e em um material com 
comportamento elástico linear, dependem somente do fator de intensidade de tensão, sendo 
que quanto maior K maiores serão as tensões e os deslocamentos. 
 
Pode-se agora estabelecer relações entre a taxa de dissipação da energia de 
deformação elástica (ou força de extensão da trinca), G, e o fator de intensidade de tensão, 
K. Combinando as equações anteriores e considerando os modos de deformação da trinca, 
obtém-se: 
 
a) Modo 1: 
G1 = 
E
K
2
1 para condições de tensão plana (2.24.a) 
 
( )2
2
1
1 1 υ−=
E
K
G para condições de deformação plana (2.24.b) 
 
b) Modo 2: 
 
E
K
G
2
2
2 = , para condições de tensão plana (2.25.a) 
 
( )2
2
2
2 1 υ−=
E
K
G para condições de deformação plana (2.25.b) 
 
c) Modo 3: 
 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
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20 
( )υ+= 1
2
3
3
E
K
G (2.26) 
 
As expressões (2.24) a (2.26) são válidas para a extensão da trinca em seu plano 
original. Se a trinca é solicitada sob condições de carregamento combinado, a taxa total de 
dissipação de energia de deformação (GT) é dada por: 
 
GT = G1 + G2 + G3 (2.27) 
 
Neste texto será abordado basicamente o modo 1 de solicitação da trinca, por ser o 
de maior importância, pois predomina na maioria dos casos em engenharia. Por exemplo, a 
propagação de trincas por fadiga, que representa uma das principais aplicações da 
mecânica da fratura, ocorre em modo 1. 
 
A mecânica da fratura elástica linear tem por base o fator de intensidade de tensão, 
pois uma vez conhecido este as distribuições de tensões e de deslocamentos, nas 
vizinhanças de uma trinca em um material elástico linear, são prontamente determinadas 
por meio das equações (2.17.a) até (2.22.b). Então, este fator é de fundamental importância 
no controle de fratura frágil. 
 
Vários são os métodos de determinação do fator de intensidade de tensão, sendo 
que os mais importantes são os analíticos, os numéricos e os experimentais. Atualmente, é 
bastante grande o número de informações compiladas sobre a determinação de K, existindo 
assim vários manuais que fornecem K para uma grande variedade de situações. No caso 
geral K é dado por: 
 
ayK ⋅⋅= πσ (2.28) 
 
na qual σ é a tensão nominal (longe da trinca), a é o comprimento da trinca e y é uma 
função da geometria do espécime e da trinca. Na tabela 2.1 encontra-se, como exemplo, 
uma pequena amostra de fórmulas que fornecem o valor de K. 
 
2.5. Influência da Espessura do Espécime na Tenacidade à Fratura 
 
A espessura do espécime exerce grande influência sobre o estado de tensão na 
ponta da trinca e este sobre a forma da zona plástica. Com isso, a forma da superfície de 
fratura também varia com a espessura, sendo que, normalmente, identifica-se três tipos de 
comportamento em espécimes entalhados solicitados em modo 1. Em espécimes de 
pequenas espessuras a superfície de fratura forma um ângulo de 450 com a direção da 
tensão nominal ou com o eixo de tração. Com o aumento da espessura, a partir de um 
determinado valor, começa surgir uma parte na região central da superfície de fratura 
formando um ângulo reto com a direção do eixo de tração. Em espécime de grande 
espessura, a superfície de fratura é predominantemente plana. Pode-se dizer, então, que 
para pequenas espessuras há condições de tensão plana, para grandes espessuras há 
condições de deformação plana numa ampla faixa no interior do espécime e para 
espessuras intermediárias há uma transição. 
 
A tenacidade à fratura depende da espessura do espécime. A partir de pequenas 
espessuras a tenacidade aumenta até atingir um valor máximo, sendo que este coincide 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
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com o início do aparecimento, na superfície de fratura, da região formando um ângulo reto 
com o eixo de tração (ver figura 2.8). A partir desse valor máximo a tenacidade à fratura 
diminui até atingir um valor mínimo, que corresponde à superfície de fratura com a região 
central predominante plana. 
 
 
 
Figura 2.8. Influência da espessura do espécime na forma da superfície de fratura e na 
tenacidade à fratura, para a liga de alumínio 7075/T6, solicitada em modo 1 [Knott, 
1973]. 
 
A tenacidade à fratura em deformação plana (KIC) é o parâmetro de tenacidade 
usado em mecânica de fratura elástica linear. Este valor corresponde à máxima 
triaxialidadede tensões possível na ponta da trinca, o que corresponde a uma superfície de 
fratura do espécime predominante plana - região C da figura 2.8. A tenacidade à fratura em 
deformação plana (KIC) é definida, então, a partir de uma certa espessura mínima do 
espécime. As normas ASTM E399, ASTM E 1820 e BS 7448 - Part 4 estabelecem 
metodologias de determinação de KIC, sendo que, dentre outras restrições, a espessura (B) 
do corpo de prova deve ser dada por: 
 
2
52 





≥
e
ICK,B
σ
 (2.29) 
 
 
A espessura mínima, dada pela equação (2.29), é uma forte restrição, pois, como 
visto na figura 2.1, os materiais com baixa resistência, geralmente, apresentam altos níveis 
de tenacidade à fratura, o que faz com que a espessura mínima seja bastante grande. Esta é, 
C
A
R
G
A
 
DESLOCAMENTO 
Aspecto da superfície de 
fratura 
Curvas Carga-
Deslocamento 
A - superfície inclinada; 
B - superfície plana com as bordas 
inclinadas; 
C - superfície predominantemente 
plana. 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
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22 
sem dúvida, a maior restrição imposta pela metodologia da utilização da mecânica da 
fratura elástica linear. A figura 2.9 mostra a variação da tenacidade à fratura com a 
espessura do espécime delineando o campo de utilização da mecânica de fratura elástica 
linear. 
 
Em espécimes de grande espessura se têm condições de tensão plana nas superfícies 
livres e deformação plana em uma faixa central. Então, nesses espécimes a zona plástica 
nas superfícies livres é maior do que no centro, podendo isto ser visualizado no esquema 
da figura 2.10. 
 
 
 
Figura 2.9. Esquema da variação da tenacidade à fratura com a espessura do espécime, 
onde Bmin = 2,5 ( )
2
eIC /K σ . 
 
 
 
Figura 2.10. Forma esquemática da zona plástica, em modo I e baseado no critério de 
von Mises, mostrando o campo de tensão plana na superfície e deformação plana na 
faixa central. 
 
2.6. Noções da Metodologia de Projeto 
 
Os materiais de alta resistência mecânica e os metais com estrutura cristalina CCC 
de baixa resistência em baixas temperaturas possuem baixa tenacidade à fratura, ou, em 
outras palavras, são susceptíveis à fratura frágil. O único critério seguro contra a 
propagação instável (fratura frágil) de uma trinca em materiais de baixa tenacidade se 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
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23 
baseia na prevenção da iniciação da propagação de trinca, ou seja, pela utilização da 
metodologia da mecânica de fratura elástica linear. 
 
A propagação da trinca se inicia quando o fator de intensidade de tensão, K, atinge 
um valor crítico, sendo que este define a tenacidade à fratura do material. Então, o critério 
contra a propagação instável da trinca é dado por: K< KC onde KC é o valor crítico do fator 
de intensidade de tensão. No caso geral, utilizando a equação (2.28), tem-se: 
 
ayK crC ⋅⋅⋅= πσ ou crC ayK ⋅⋅⋅= πσ (2.30.a) 
 
ay
Kc
cr
⋅⋅
=
π
σ (2.30.b) 
 
πσ
1
2






⋅
=
cr
C
cr y
K
a (2.30.c) 
 
sendo que σcr e ac são, respectivamente, a tensão e o comprimento da trinca críticos. 
Assim, pela equação (2.30.b), é possível teoricamente obter, para efeito de projeto, a 
máxima tensão que a estrutura pode suportar sem falhar, se KC, y e a são conhecidos. Na 
prática, há certas dificuldades para se determinar com exatidão os valores de KC, y e a. O 
valor da tenacidade à fratura, KC, é raramente uma constante do material; depende 
fortemente das dimensões da estrutura (principalmente da espessura), das condições 
ambientais, do nível de resistência e tratamento térmico prévio. Em condições de 
deformação plana a tenacidade à fratura, KIC, é, dentro de certos limites, uma propriedade 
intrínseca do material. O valor de y depende da forma e comprimento da trinca, do raio da 
ponta da trinca, das dimensões da estrutura onde a trinca se encontra e, em altos níveis de 
tensões, das dimensões da zona plástica. O valor de a (comprimento da trinca) é de difícil 
determinação. 
 
 Os métodos de ensaios não destrutivos podem não ser capazes de determinar as 
dimensões de trinca antes da estrutura entrar em operação. Para efeito de projeto, 
considera-se que o valor do comprimento da trinca - antes da fase de operação - é assumido 
igual ao maior tamanho da falha que não pode ser detectável. Mudanças no comprimento 
da trinca durante a operação podem ser estimadas com base no conhecimento das taxas de 
crescimento da trinca por fadiga, corrosão sob tensão ou fadiga-corrosão. 
 
O valor da tensão pode, também, ser de difícil determinação, principalmente em 
estruturas com formas complicadas e sujeitas a carregamento complexo. 
 
Apesar das dificuldades anteriormente citadas, a mecânica de fratura é uma 
aproximação extremamente útil no projeto seguro contra fratura para materiais de baixa 
tenacidade. Torna-se necessário salientar que a aproximação utilizada em mecânica de 
fratura será tanto melhor, quanto melhor forem: 
1) os procedimentos utilizados na detecção da trinca e de seu crescimento; 
2) os procedimentos utilizados para determinar o valor da tensão em todos os pontos da 
estrutura; 
3) os aspectos analíticos de mecânica da fratura que são usados na determinação da tensão 
ou do fator de intensidade de tensão para trincas complicadas em estruturas complexas; 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
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24 
4) as técnicas utilizadas na determinação de KC.ou KIC. 
 
2.7. Critério "Leak-Before-Break" 
 
 Em vasos de pressão é possível estabelecer um critério de projeto que utiliza uma 
espessura do vaso de pressão que, na presença de uma trinca com crescimento estável por 
fadiga, permite vazamento (do fluido interno) antes da fratura do vaso, ou seja, "vazamento 
antes da fratura" ("leak-before-break"). Por exemplo, a Figura 2.11 mostra um esquema da 
parede de um vaso de pressão, com espessura t, e uma trinca semi-elíptica, com dimensões 
iniciais 2c (largura) e a (profundidade). 
 
 
 
Figura 2.11. Esquema da parede de um vaso de pressão com uma trinca semi-elíptica, 
com espessura t. A condição de vazamento é atingida quando a profundidade da trinca, 
a, é igual à espessura, t (a=t). 
 
 A condição de "vazamento antes da fratura" é dada quando o fator de intensidade 
de tensão, KI, for menor do que KIc (ou Kc) quando a=t. Ou seja, com o crescimento da 
estável da trinca por fadiga (ou qualquer outro fenômeno) o comprimento crítico da trinca, 
acrit, é menor do a espessura do vaso de pressão (t). O exemplo abaixo trata dessa condição. 
 
 
Exemplo: Um cilindro de um atuador hidráulico, feito de uma liga de alumínio forjada 
7049-T73, com 80 mm de diâmetro interno e espessura de parede de 10 mm, após a 
fabricação é submetido a um ensaio hidrostático com uma pressão que gera uma tensão 
tangencial inferior a 50% do limite de escoamento. Esse cilindro é projetado para trabalhar 
com essa tensão tangencial de no máximo 25% do limite de escoamento. Antes do ensaio 
hidrostático, foi detectada uma trinca semicircular, com 2mm de profundidade (a=2 mm), 
na parede do cilindro com o plano dessa trinca orientado perpendicularmente à tensão 
tangencial. Sabendo as propriedades mecânicas de tração e tenacidade à fratura material 
(liga de alumínio forjada 7049-T73), MPa
e
460=σ e mMPaK
Ic
23= , pergunta-se: (a) o 
cilindro resiste ao ensaio hidrostático? (b) o cilindro está projetado na condição vazamento 
antes da fratura ("leak-before-break"), sabendo que ele opera com carregamento cíclico? e 
(c) quais são os níveis de pressão do ensaio hidrostático e da condição normal de utilização 
do cilindro?. 
 
Solução: O fator de intensidade de tensão, KI, para a configuração geométrica da trinca 
mostrada na Figura 2.11, e que pode ser utilizada neste exemplo, é dado por: 
 
aK I ⋅⋅⋅





⋅= πσ
π
2
1,1 (2.31) 
Trinca inicial 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICALINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
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25 
 
na qual σ é a tensão tangencial. 
(a) Substituindo nesta equação 26 /102305,0 mN
e
⋅=⋅= σσ e ma 3102 −⋅= obtém-se 
mMPaK
I
8,12= . Como esse valor de KI é menor do que mMPaK Ic 23= , pode-se 
concluir que o cilindro resiste ao ensaio hidrostático. 
(b) Quando a trinca atinge a espessura do vaso (a=t) o fator de intensidade de tensão é dado 
por mMPaaK I 4,20)1010()10115(
36 =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= −ππσ , que é menor do que 
mMPaK
Ic
23= . Entretanto, o coeficiente de segurança, KIc/KI = 23/20,4 = 1,13 é 
muito pequeno, ou seja, há apenas 13% de margem de segurança. 
(c) A tensão tangencial pode ser calculada com base na simplificação de que o cilindro é 
um vaso de parede fina. Nesse caso, a tensão tangencial é dada por: tDp ⋅⋅= 2/σ , 
sendo p a pressão interna, D o diâmetro do vaso e t a espessura da parede. Substituindo 
os valores de D = 80 mm, t = 10 mm e σ igual a 230 MPa (ensaio hidrostático) e 115 
MPa (condição normal de utilização do cilindro) obtém-se, respectivamente, os níveis 
de pressão de 57,5MPa e 28,8MPa. 
 
 
2.8. Referências Bibliográficas 
 
1. HERTZBERG, R. W. Deformation and fracture mechanic of engineering 
materials. 4th Edition, John Wiley & Sons, 1996. 
2. DIETER, G. E. Mechanical metallurgy. SI Metric Edition. McGraw-Hill, 1988. 
3. SHIGLEY, J. E. Mechanical engineering design. 7th Edition, Mc-Graw-Hill, 
2003. 
4. METALS HANDBOOK, 9th Edition, Volume 8 -Mechanical Testing, ASM, 
1985. 
5. ANDERSON, T.L. Fracture mechanics: Fundamentals and applications. 2nd 
Edition, CRC Press, 1995. 
6. KNOTT, J.F. Fundamentals of fracture mechanics. Butterworths, London, 
1973, p. 114-149. 
7. ASTM E 399 - 90 Standard Test Method for Plane-strain fracture toughness of 
metallic materials. American Society for Testing and Materials, 1990. 
8. ASTM E 1290 - 02 Standard Test Method for Crack-Tip Opening Displacement 
(CTOD) Fracture Toughness Measurement. American Society for Testing and 
Materials, 2002. 
9. ASTM E 1820 - 01 Standard Test Method for measurement of fracture 
toughness. American Society for Testing and Materials, 2001. 
10. BS 7448 Part 1: 1991. Fracture mechanics tests. British Standard, 1991. Part 1: 
Method for determination of KIC, critical CTOD and critical J values of metallic 
materials. 
11. BS 7448 Part 2: 1997. Fracture mechanics tests. British Standard, 1997. Part 2: 
Method for determination of KIC, critical CTOD and critical J values of welds 
in metallic materials. 
12. BS 7448 Part 4: 1997. Fracture mechanics tests. British Standard, 1997. Part 4: 
Method for determination of fracture resistance curves and initiation values for 
stable crack extension metallic materials. 
13. BATES, R.C. Mechanics and mechanisms of fracture. Metallurgical Treatises - 
Met. Soc. AIME, 1981, p. 551-570. 
2. MECÂNICA DA FRATURA ELÁSTICA LINEAR / EM 738 / Prof. Itamar Ferreira 
 
FEM / UNICAMP 
26 
14. ASTM E 1823 - 96 (1996) Definition of Terms Relating to Fatigue and 
Fracture Testing. American Society for Testing and Materials, 1996. (Substituiu 
as duas anteriores, ou seja, E 616 e E1150). 
15. PARKER, A.P. The Mechanics of fracture and fatigue. E. & F.N. Spon Ltd, 
USA, 1981, p. 28-48. 
16. FERREIRA, I. Tenacidade à fratura em condições elasto-plásticas das ligas de 
alumínio do tipo Al-6Zn-2Mg-xCu. Tese (Doutorado). FEM, UNICAMP, 1987. 
17. MURAKAMI, Y. Stress intensity factors handbook. (Volumes 1 e 2). 
Pergamon Press, 1987. 
 
2.9. Lista de Exercícios 
 
1. O que estabelece a teoria de Griffith de fratura frágil? Quando surgiu a teoria de 
Griffith? 
2. Inglis, em 1913, determinou a expressão que fornece a tensão na ponta de uma trinca 
elíptica. Como é dada essa expressão e qual é o resultado da mesma quando aplicada 
em um furo circular? Nesse caso, qual é a tensão na ponta do entalhe circular? 
3. Como é o modelo de trinca de Griffith? 
4. Qual é a energia de deformação elástica por unidade de espessura da chapa, em uma 
chapa sem trinca, de espessura B, largura W e comprimento L, solicitada à tração? 
5. Qual é a diferença entre a energia de deformação elástica por unidade de espessura da 
chapa da 4a. questão, ou seja, com B, W e L, mas com uma trinca na borda (na região 
central da chapa) com comprimento a, também solicitada à tração, e a energia de 
deformação elástica sem trinca, determinada na questão 4? 
6. Explique o que é tensão plana e deformação plana. 
7. Qual é o critério de propagação de uma trinca, de acordo com Griffith? 
8. Deduzir as seguintes expressões, com base na Teoria de Griffith: 
 a) A tensão de fratura em tensão plana e em deformação plana; 
 b) O comprimento crítico da trinca em tensão plana e em deformação plana; 
9. Para quais materiais se aplica a Teoria de Griffith? 
10. A que se referem as teorias de Irwin e de Orowan? 
11. Qual é a relação entre a força de extensão da trinca (G) e o fator de intensidade de 
tensão (K) (ou fator de intensificação de tensão)? 
12. Mostre, por meio de esquemas, os três modos de deformação de uma trinca. Quais 
são esses modos? 
13. Qual é a distribuição completa de tensões, em modo I, na ponta de uma trinca linear 
elástica idealizada (em tensão plana e em deformação plana)? 
14. Quais são as expressões que fornecem o fator de intensificação de tensões, em modo 
I, II e III, para as seguintes configurações geométricas de espécime e trinca: 
 a) trinca de comprimento 2a no centro de uma chapa de largura infinita; 
 b) trinca de comprimento 2a no centro de uma chapa de largura W. 
15. Determinar as dimensões da zona plástica na ponta de uma trinca em condições de 
tensão plana. 
16. Determinar as dimensões da zona plástica na ponta de uma trinca em condições de 
deformação plana. 
17. Qual é a influência da espessura do espécime na tenacidade à fratura? 
18. Descreva a metodologia de projeto com base na mecânica de fratura elástica linear. 
19. Explique o critério "leak-before-break".