Tema 2 - Mecânica da fratura

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29/03/2024, 14:02 Mecânica da fratura linear elástica e elasto-plástica
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Mecânica da fratura
linear elástica e elasto-
plástica
Prof. Julio Cesar José Rodrigues Junior
Descrição
Apresentação e discussão dos principais aspectos teóricos da
mecânica da fratura e de suas duas vertentes — a linear elástica (MFLE)
e a elasto-plástica (MFEP) —, além da descrição do CTOD e da aplicação
em projetos de engenharia.
Propósito
O controle do fenômeno da fratura frágil e catastrófica em componentes
ou estruturas é um ponto de destaque na atuação profissional do
engenheiro. A mecânica da fratura possibilita a determinação do
tamanho crítico do defeito para dada tensão de trabalho. Assim, é
importante que futuros engenheiros conheçam os modelos propostos e
as técnicas da MFLE e da MFEP.
Preparação
Antes de iniciar o estudo deste conteúdo, tenha em mãos uma
calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
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Objetivos
Módulo 1
Mecânica da fratura linear elástica
Reconhecer a mecânica da fratura linear elástica (MFLE).
Módulo 2
Mecânica da fratura elasto-plástica
Reconhecer a mecânica da fratura elasto-plástica (MFEP).
Módulo 3
Medidas de abertura de trinca
Analisar as medidas de abertura de trinca.
Módulo 4
Desenvolvimento da técnica de CTOD
Analisar o desenvolvimento da técnica de CTOD.
Introdução

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Olá! Antes de começarmos, assista ao vídeo e compreenda os
conceitos que serão abordados neste conteúdo.
1 - Mecânica da fratura linear elástica
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a mecânica da fratura linear elástica
(MFLE).
Vamos começar!
O que é a mecânica da fratura linear
elástica
Confira agora os principais aspectos que serão abordados neste
módulo.

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Aspectos gerais da mecânica da
fratura
A partir do início do século XX, houve o desenvolvimento de uma
ferramenta matemática denominada mecânica da fratura. Mas qual
seria a importância dessa ferramenta para a engenharia?
Em resumo, não há como garantir que um material seja fabricado sem
algum tipo de defeito. Os defeitos são inerentes aos processos de
fabricação e, por isso, é fundamental seu estudo para o
dimensionamento dos projetos.
Alguns exemplos de trincas em materiais são: riscos profundos, vazios
em soldas, inclusões em fundidos ou forjados etc. Assim, o projetista
deve conhecê-los e considerá-los no dimensionamento de componentes
e estruturas. Duas vertentes da mecânica da fratura foram
desenvolvidas:
Utilizada no dimensionamento de estruturas que podem fraturar
sem apreciável deformação plástica. Tipicamente, materiais de
alta resistência têm baixa ductilidade e a metodologia é
adequada. Outra questão decorrente é que a região à frente da
trinca tem pequena plastificação, isto é, tem dimensões bem
menores que os defeitos. É a denominada zona plástica (ZP).
Utilizada no dimensionamento de materiais com apreciável
deformação plástica, ou seja, a zona plástica (ZP) apresenta
dimensões comparáveis às do defeito. Tem aplicação em aços
Mecânica da fratura linear elástica (MFLE) 
Mecânica da fratura elasto-plástica (MFEP) 
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estruturais de resistência mecânica baixa ou média. A MFEP
complementa a MFLE em suas limitações de aplicabilidade.
Observe a imagem que ilustra um defeito e a zona plástica (ZP) à frente
da trinca para as duas vertentes da mecânica da fratura:
Zona plástica (ZP) à frente de uma trinca.
Vemos que um componente com uma trinca superficial é tracionado e, à
frente da trinca, ocorre a plastificação. Na imagem (a), a ZP tem
dimensões bem menores que as da trinca. A indicação é a aplicação da
MFLE, enquanto, na imagem (b), com ZP de dimensões comparáveis às
dimensões do defeito, a MFEP é a preferível e a mais adequada.
Saiba mais
A MFLE consegue descrever matematicamente as tensões (linear
elástico) que atuam na vizinhança de uma trinca, ou seja, na ponta da
trinca.
Tenacidade à fratura
A teoria da MFLE tem seus pilares no conceito da propriedade de um
material, a tenacidade à fratura. Em linhas gerais, é uma propriedade do
material que quantifica sua resistência em relação à fratura frágil. Essa
nova ferramenta de projeto, a MFLE, não previne a nucleação de trincas,
mas sim evita que seu crescimento conduza a uma fratura catastrófica.
Depois que é determinado o tamanho crítico de um defeito, sob
condições particulares de carregamento, o comprimento deve ser
monitorado por meio de ensaios não destrutivos como os ensaios de
raios-X, os de ultrassom etc. Portanto, há um monitoramento para que
esse tamanho crítico da trinca não seja alcançado, evitando-se a falha
por fratura catastrófica (frágil).
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Força coesiva teórica dos metais
Os metais são os materiais mais utilizados nas engenharias estruturais
civil, mecânica, aeronáutica etc. Um dos motivos é a combinação de
resistência mecânica elevada, associada a deformações plásticas
(permanentes). De acordo com Dieter (1981), a resistência é devido às
forças de coesão entre os átomos e, normalmente, estão associadas a
constantes elásticas e a pontos de fusão elevados. Observe, no gráfico,
como a força de coesão entre dois átomos varia em função da distância
que os separa:
Força de coesão entre dois átomos em função da distância.
Pela natureza elétrica dos átomos (cargas negativas — elétrons — e
cargas positivas — prótons), existem as forças atrativas e repulsivas que
competem entre si. O gráfico apresentado mostra o valor resultante
dessas forças para um afastamento dos átomos durante a deformação,
em tração. Note que a resistência máxima ocorre no “extremo” da curva
do gráfico.
É comum a aproximação da curva do gráfico anterior para uma senoide
(observe a linha tracejada) e, portanto, podemos determinar a tensão em
função da tensão máxima pela seguinte expressão:
Do cálculo diferencial, pequenos valores do argumento da função seno,
em radianos, são iguais ao seno. Assim, para pequenos deslocamentos
σ = σmax ⋅ sen(
2πx
λ
)
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“x” dos átomos, a equação anterior pode ser reescrita da seguinte
maneira:
Considerando, ainda, que o afastamento dos átomos ocorre no regime
elástico, em que a Lei de Hooke é válida, temos que:
Portanto:
Na fratura de um material frágil, a energia "gasta" deve ser igual à
energia para criar duas superfícies, . É possível, então, reesecrever a
equação anterior como:
Há uma grande discrepância entre os valores teóricos e os valores reais
para fraturar materiais frágeis. Griffith foi um dos primeiros, há cerca de
100 anos, a desenvolver uma teoria para explicar tal diferença nos
valores.
Teoria de Gri�th da fratura frágil
Griffith tenta explicar a grande diferença nos valores entre a força
coesiva teórica e a associada à fratura, em condições reais. Esse é o
primeiro passo para a mecânica da fratura. O trabalho de Griffith utilizou
material frágil com muitos defeitos internos que, qualitativamente,
explicava a discrepância de valores, a partir da ideia de concentradores
σ = σmax ⋅
2πx
λ
(σ = E. ε)
σ = E ⋅
ΔL
L0
= E ⋅
x
a0
σmax ⋅
2πx
λ
= E ⋅
x
a0
σmax =
E ⋅λ
2π ⋅ a0
γS
σmax = (
E ⋅ γS
a0
)
1
2
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de tensões locais que fariam a tensão, localmente, elevar-se mantendo a
tensão nominal em níveis baixos. Sua teoria utiliza um modelo de placa
plana infinita de espessura desprezível com um furo elíptico passante,
basendo-se na aplicação da Primeira Lei da Termodinâmica. Observe:
Placa plana de material frágil com furo elíptico – Teoria de Griffith.
O crescimento de uma trinca pode ocorrer sob a condição de
conservação de energia. Assim, o aumento da energia superficial é igual,
em módulo, à energia associada à deformação elástica.
Matematicamente, a tensão necessária para a propagação da trinca é
dada por:
Em que:
 é o módulo de elasticidade;
 é a energia superficial;
 é metade do comprimento da trinca.
σ = ( 2 ⋅ E ⋅ γS
π ⋅ a
)
1
2
E
γS
a
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Exemplo 1
Uma placa plana fina de material idealmente frágil apresenta uma trinca
elíptica de comprimento 0,2mm. A tensão necessária para o
crescimento dessa trinca é . Uma outra placa plana fina, do mesmo
material, apresenta uma trinca elíptica de 1,8mm. Qual a tensão para a
propagação da trinca nessa última placa?
Solução
1ª placa: comprimento da trinca 2a = 0,2mm, logo a = 0,1mm
2ª placa: comprimento da trinca 2a = 1,8mm, logo a = 0,9mm
Para as placas, podemos escrever que:
Dividindo-se as equações, temos que:
Assim, é possível inferir que, para dado material, maiores valores para o
comprimento da trinca implicam tensões menores para a ruptura.
Griffith apresentou uma expressão similar para determinar a tensão para
a propagação de uma trinca elíptica em uma placa plana frágil, mas com
dimensões não desprezíves, dada por:
Nessa expressão, Griffith considerou , o coeficiente de Poisson.
σ
σ = ( 2 ⋅ E ⋅ γS
π ⋅ 0, 1
)
1
2
σ′ = ( 2 ⋅ E ⋅ γS
π ⋅ 0, 9
)
1
2
σ
σ′
= √ 0, 9
0, 1
→ σ′ =
σ
3
σ = ( 2 ⋅ E ⋅ γS
π ⋅ a ⋅ (1 − v2)
)
1
2
v
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Exemplo 2
(CALLISTER, 2016, p. 208). Uma placa relativamente grande de um vidro
é submetida a uma tensão de tração de 40 MPa . Se a energia de
superfície específica e o módulo de elasticidade para esse vidro são de
 e de , respectivamente, determine o comprimento
máximo de um defeito de superfície que pode existir, sem que ocorra a
fratura da placa de vidro.
Solução
Adequação das unidades: e defeito
superficial (ver imagem anterior)
Placa plana de material frágil com furo elíptico – Teoria de
Gri�th.
Substituindo:
0, 3J/m2 69GPa
E = 69.109Pa,σ = 40.106Pa
σ = ( 2 ⋅ E ⋅ γS
π ⋅ a
)
1
2
40.106 = ( 2 ⋅ 69 ⋅ 10
9 ⋅ 0, 3
π ⋅ a
)
1
2
1600.1012 =
2 ⋅ 69 ⋅ 109 ⋅ 0, 3
π ⋅ a
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Mecânica da fratura linear elástica
Dentro da teoria desenvolvida na mecânica da fratura, a ferramenta
denominada mecânica da fratura linear elástica (MFLE) pode ser
utilizada em dimensionamento de componentes ou estruturas em que a
deformação plástica (permanente) não seja relevante. Tem apresentado
grande sucesso na estimativa de tamanhos críticos para defeitos, ou
seja, é indicado um tamanho máximo para que o defeito não promova a
fratura frágil e, durante a vida do componente, ensaios não destrutivos
(END) são realizados a fim de acompanhar o crescimento da trinca.
Uma aplicação da MFLE é para aços de alta resistência ou que
apresentam baixa ductilidade. Conforme imagem vista, a MFLE
apresenta aplicabilidade com sucesso quando a zona plástica (ZP), à
frente de trinca, tem dimensões bem menores que as dimensões da
trinca.
Zona Plástica (ZP) à frente de uma trinca.
Modos de deslocamentos de trinca
Considerando um material isotrópico, o deslocamento da superfície de
uma fratura pode ocorrer de três modos distintos. Os três modos são:
Modo I
Refere-se à tensão trativa que atua na trinca, sendo aplicada na direção
do eixo y, perpendicular às faces da trinca.
a = 8, 24.10−6m
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Modo II
Refere-se à tensão cisalhante que atua na trinca, sendo aplicada na
direção do eixo x, tangente às faces da trinca.
Modo III
Refere-se à tensão cisalhante que atua na trinca, aplicada na direção do
eixo z, tangente às faces frontais da trinca.
Observe o esquema com os diferentes deslocamentos:
Modos de abertura de uma trinca.
Comentário
O modo de abertura pode ser uma combinação dos três modos padrão
(I, II e III).
O modo de abertura de trinca I é o mais frequente na engenharia.
Fator de intensidade de tensão
Uma trinca impõe um campo de tensões no material em sua volta que
depende da geometria da trinca e do material. O parâmetro K, fator de
intensidade de tensão, associa-se à magnitude do campo de tensão e
seu valor crítico é uma propriedade do material conhecida como
tenacidade à fratura. De acordo com SPIM (2017), existem várias
funções determinadas para as mais variadas configurações de
componentes e trincas, do tipo:
A tensão crítica para que uma trinca de comprimento se
propague é relacionada por um parâmetro , denominado tenacidade
à fratura, de acordo com a seguinte expressão:
K = f(σ, a)
(σc) a
KC
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Como é apresentada em , é possível concluir que é um
coeficiente adimensional (sem unidades) e depende da geometria do
defeito, bem como dos modos básicos de propagação da trinca (modos
I, II ou III). Conforme afirma Callister (2016), Y apresenta diversos
valores. Para amostras planas e trincas bem inferiores à largura, seu
valor é unitário.
O pode ser utilizado no dimensionamento de corpos que fraturam
fragilmente (alta resistência mecânica). Para o caso em que a abertura
da trinca acontece de acordo com o modo I, recebe a denominação 
.
Atenção!
 é tenacidade à fratura de um material na condição plana, sendo
uma propriedade do material dependente de vários fatores, como a
temperatura, a taxa de deformação etc.
Campo de tensões na ponta de uma
trinca
Irwin, no século passado, propôs um modelo para o estudo das tensões
nas proximidades de uma trinca. Seu modelo considerou uma placa fina
elástica com uma trinca de comprimento 2c, aguda e com o raio de
curvatura na extremidade , veja:
KC = Y ⋅ σC ⋅ √π ⋅ a
KC MPa√m Y
Kc
KIc
KIC = Y ⋅ σ ⋅ √π ⋅ a
KIC
ρ
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Modelo proposto por Irwin para o estudo das tensões no entorno de uma trinca.
As equações propostas por Irwin para a determinação das tensões nas
proximidades da trinca ( dependem dos modos de abertura
da trinca (I, II ou III), apresentados no ponto anterior. A seguir são
apresentadas as expressões matemáticas para a determinação das
tensões.
Em que K é o fator de intensidade de tensão associado ao modo de
abertura da trinca, ou seja, para os modos I, II e III, têm-se,
respectivamente, e 
Comentário
O modo de abertura pode ser uma combinação dos modos padrão
apresentados (I, II e III).
ρ < r < c)
σx =
K
√2 ⋅ π ⋅ r
⋅ cos( θ
2
) ⋅ (1 − sen( θ
2
) ⋅ sen( 3θ
2
))
σy =
K
√2 ⋅ π ⋅ r
⋅ cos( θ
2
) ⋅ (1 + sen( θ
2
) ⋅ sen( 3θ
2
))
τxy = τyx =
K
√2 ⋅ π ⋅ r
⋅ cos( θ
2
) ⋅ (sen( θ
2
) ⋅ cos( 3θ
2
))
KI ,KII KIII
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Projetos - Mecânica da fratura linear
elástica
A partir das considerações de aplicação da MFLE, ou seja, de que
materiais de altíssima dureza e com pouca deformação plástica anterior
à fratura ou, ainda, a zona plástica à frente da trinca tem dimensões
bem inferiores às dimensões da trinca, é possível dimensionar projetos
a partir da tenacidade à fratura, da tensão e do tamanho da trinca.
Considerando-se o valor de , isto é, a tenacidade à fratura no estado
plano de deformação (EPD), dois são os caminhos possíveis. Dado um
valor de trinca pré-existente (a), é possível determinar a tensão crítica
para que não ocorra a fratura. A expressão matemática é dada por:
A segunda possibilidade é determinar o tamanho crítico da trinca para
que não ocorra fratura frágil sob dado carregamento .
Matematicamente, tem-se a seguinte expressão:
Para se assegurar que o estado plano de deformações (EPD) seja
garantido, a seguinte relação matemática pode ser utilizada,
comparando-se a espessura do CP e o comprimento da trinca com o
valor da expressão , tal que:
Em que é a tensão de escoamento do material.
Exemplo
Kıc
σc ≤
KIC
Y ⋅ √π ⋅ a
(σ)
ac ≤
1
π
(KIC
σ.Y
)
2
t a
2, 5 ⋅ ( KICσe )
2
t e a ≥ 2, 5 ⋅ (KIC
σe
)
2
σe
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(GARCIA; SPIM; DOS SANTOS, 2017). Um componente mecânico de
grandes dimensões deve ser fabricado com ligas de alumínio, de
diferentes propriedades mecânicas finais. A liga 2024 T351 apresentou
limite de escoamento de e tenacidade à fratura ,
ao passo que a liga T651 apresentou 505 MPa e .
Pergunta-se:
a) Se a espessura das chapas é de 10mm, tem-se condição de
deformação plana?
b) Em caso afirmativo, qual será o tamanho da trinca se for admitida
uma tensão de trabalho de 200 MPa e Y = 1?
Solução
Resposta a)
Para saber a respeito do estado plano de deformação, a seguinte
relação deve ser satisfeita:
Liga 2024:
O enunciado apresenta espessura da chapa igual a 10mm. Logo, o EPD
não é satisfeito.
Liga 7075:
Para essa liga de alumínio, o EPD é satisfeito.
Resposta b)
Para a liga de alumínio 7075 – T651:
325MPa 36MPa√m
7075− 29MPa√m
t ≥ 2, 5 ⋅ (KIC
σe
)
2
t ≥ 2, 5 ⋅ ( 36
325
)
2
= 0, 031m = 31mm
t ≥ 2, 5 ⋅ (KIC
σe
)
2
t ≥ 2, 5 ⋅ ( 29
505
)
2
= 0, 0082m = 8, 2mm
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ac =
1
π
(KIC
σ.Y
)
2
ac =
1
π
( 29
200.1
)
2
= 0, 0067m = 6, 7mm
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Um corpo de prova (CP) de aço 4340 apresenta espessura e
tem uma trinca de comprimento . O CP será ensaiado em
tenacidade à fratura. Suponha que o material tenha a tenacidade à
fratura de e tensão de escoamento de 1650 MPa.
Dessa forma, é correto afirmar que
Parabéns! A alternativa B está correta.
1cm
4cm
50MPa√m
A
o corpo de prova será ensaiado em tenacidade à
fratura na condição de estado plano de tensões
(EPT).
B
o corpo de prova será ensaiado em tenacidade à
fratura na condição de estado plano de
deformações (EPD).
C
o corpo de prova será ensaiado em tenacidade à
fratura na condição de estado plano misto.
D
não é possível afirmar a condição do corpo de
prova, uma vez que não foi apresentada a tensão de
ruptura.
E
sob quaisquer condições, o ensaio de impacto para
avaliar a tenacidade à fratura sempre se encontra no
estado plano de tensões (EPT).
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Para saber se um corpo de prova estará na condição de estado
plano de deformação (EPD), a seguinte condição matemática deve
ser satisfeita:
Espessura 1cm = 10mm e comprimento da trinca 4cm = 40mm são
maiores que 2,295mm. Dessa maneira, é possível afirmar que o
estado é plano de deformação (EPD).
Questão 2
Uma grande chapa é fabricada em aço, que tem tenacidade à
fratura em deformação plana de . Se, durante seu uso
em serviço, a chapa ficar exposta a uma tensão de tração de 200
MPa, determine o comprimento mínimo de uma trinca superficial
que levará à fratura. Considere que o valor do fator adimensional Y
seja igual a 1.
Parabéns! A alternativa B está correta.
O enunciado já apresenta a informação de estado plano de
deformação. A partir da expressão a seguir, é possível determinar o
tamanho crítico para a fratura.
t e a ≥ 2, 5 ⋅ (KIC
σe
)
2
t e a ≥ 2, 5 ⋅ ( 50
1650
)
2
= 0, 002295m = 2, 295mm
55MPa√m
A 22mm
B 24mm
C 25mm
D 27mm
E 28mm
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2 - Mecânica da fratura elasto-plástica
Ao �nal deste módulo, você será capaz de reconhecer a mecânica da fratura elasto-plástica
(MFEP).
Vamos começar!
Fundamentos da mecânica da fratura
elasto-plástica
Confira agora os principais aspectos que serão abordados neste
módulo.
ac =
1
π
(KIC
σ.Y
)
2
ac =
1
π
( 55
200.1
)
2
= 0, 0240m = 24mm

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Aspectos gerais da MFEP
A teoria da mecânica da fratura iniciou seu desenvolvimento no século
XX, nos idos de 1920, tendo os primeiros registros associados aos
estudos desenvolvidos por Griffith que, de maneira simples, associou
esforços em materiais frágeis e tamanho do defeito, a partir de um
estudo de balanço energético conservativo. Inicialmente, essa
abordagem não era aplicável a metais. Vários esforços foram envidados
para aplicar a teoria de Griffith em metais, mas falharam.
Ao longo dos anos, Irwin considerou o alívio de tensões para a teoria
desenvolvida por Griffith e, pela primeira vez, a mecânica da fratura era
usada para materiais metálicos. Assim, criou-se a mecânica da fratura
linear elástica (MFLE) e suas restrições levaram ao desenvolvimento da
mecânica da fratura elasto-plástica (MFEP) junto ao desenvolvimento
dos conceitos de CTOD (crack tip openning displacement, ou
deslocamento da abertura da ponta da trinca) e da Integral-J. Vários
outros pesquisadores contribuíram para o desenvolvimento da
mecânica da fratura, com aplicações diversas na engenharia.
A mecânica da fratura teve um grande impulso após o ocorrido com os
navios Liberty, durante a Segunda Guerra Mundial, pois os cientistas e
os engenheiros queriam entender por que trincas imensas cresciam
abruptamente com pouca ou nenhuma deformação plástica,
circundando os navios, levando-os a falhas catastróficas. Observe agora
a imagem de um navio que falhou por fratura, de acordo com a
descrição anterior:
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Fratura catastrófica em navios Liberty.
De forma bem simples, a mecânica da fratura elasto-plástica (MFEP)
ocupa a posição em que a mecânica da fratura linear elástica (MFLE)
apresenta restrições de aplicabilidade, como quando a zona plástica à
frente da trinca é comparável às dimensões da trinca ou, em termos de
engenharia, metais com elevadas ductilidade e tenacidade à fratura.
Observe agora um gráfico da tensão para ocorrência da falha em função
do comprimento a da trinca:
Gráfico tensão de fratura X comprimento da trinca.
O desenho 1, em que a região à frente da trinca apresenta grande
volume da zona plastificada, representa o caso em que a MFEP é
utilizada para dimensionamentos.
Relembrando
Como foi abordado, a MFLE tem grande aplicação quando a ZP fica
restrita, apresentando dimensões bem inferiores àsdimensões da
trinca. No entanto, a MFEP foi desenvolvida para a utilização nos casos
em que os materiais têm comportamento não linear independente do
tempo (deformação plástica). Os dois parâmetros associados à MFEP
são CTOD e Integral-J, porém seus valores críticos fornecem medidas
da tenacidade à fratura.
Os dois parâmetros citados são utilizados para o dimensionamento de
projetos para materiais no regime elasto-plástico. A imagem a seguir
apresenta um gráfico tensão X deformação para um material elasto-
plástico ideal:
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Curva tensão X deformação – material elasto-plástico ideal.
Em resumo, aços de média ou baixa resistência mecânica cobrem uma
vasta gama dos materiais utilizados nas estruturas da engenharia.
Essas duas classes de materiais apresentam elevadas ductilidade e
tenacidade à fratura. Por isso, a zona plástica (ZP) apresenta-se bem
maior que no caso dos aços de alta resistência mecânica (aplicação da
MFLE). Mesmo com elevada ductilidade, esses materiais podem sofrer
uma falha por fratura catastrófica.
Dessa forma, a mecânica da fratura aplicada ao projeto de engenharia
determina a carga crítica de uma estrutura pelo cálculo das dimensões e
localizações dos defeitos iniciais, vem suprir uma grande lacuna na
compreensão do mecanismo de falha de componentes estruturais
CTOD (Crack tip opening displacement)
Apenas uma introdução sobre CTOD será abordada aqui, priorizando os
aspectos qualitativos da metodologia, uma vez que, mais à frente haverá
um aprofundamento acerca do assunto. No desenvolvimento da MFEP,
uma metodologia foi desenvolvida por Wells para o estudo da trinca
com uma zona plástica (ZP) de dimensões consideráveis à frente da
trinca.
É a metodologia do CTOD que quantifica a capacidade do material de se
deformar plasticamente antes da fratura. É a distância entre as duasδ
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superfícies da trinca, a partir da ponta da trinca. Veja agora a trinca e
sua abertura :
CTOD – Esquema de afastamento das faces da trinca.
Note que em materiais dúcteis é possível que as superfícies se separem
sem um avanço efetivo da trinca. É a presença da região plastificada de
tamanho significativo, na frente da trinca. Observe a zona plastificada à
frente da trinca nesta imagem:
Abertura da trinca (CTOD) com a ZP à frente da trinca.
Uma maneira simples de estimar o valor de é observar a imagem
anterior e verificar o aumento do perímetro da zona plástica. Supondo
que, na situação inicial, o perímetro da ZP seja igual a e,
posteriormente, , é fácil perceber que o valor da abertura da trinca é
igual a 
Cabe ressaltar que, para que ocorra o devido
crescimento da trinca, é necessário que o CTOD seja
uma função do material, da temperatura e da taxa de
deformação (quando os materiais forem
influenciados).
δ
δ
2p
2p′ δ
2p′ − 2p
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Tensão crítica de falha na MFEP
Uma abordagem possível para o estudo de trincas em materiais com
ductilidades média ou alta na MFEP, é utilizar o conceito de
comprimento de trinca equivalente , tal que o tamanho equivalente
é a soma do tamanho real da trinca com o raio da zona plástica
(ZP). A seguir são evidenciadas a trinca real, de tamanho , a trinca
equivalente e a com raio :
Esquema da trinca equivalente para estudo na MFEP.
Analisando a imagem anterior, é possível identificar o tamanho da trinca
equivalente, dado pela expressão:
Determinação aproximada da zona
plástica da ponta de uma trinca
Conforme afirma Gdoutos (2005), podemos obter alguns resultados
úteis sobre a forma da zona plástica a partir de cálculos aproximados.
Inicialmente, considera-se o modo I de abertura de trinca e o critério de
Von Mises. Assim, é possível determinar o raio da zona plástica (ZP) de
acordo com a seguinte equação:
(aeq)
(rp)
a
ZP rp
aeq = a + rp
rp(θ) =
1
4π
⋅ (KI
σe
)
2
⋅ ( 3
2
sen2 θ + 1 + cos θ)
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A extensão da zona plástica, ao longo do eixo da trinca, ou seja, para
, é determinada substituindo-se o ângulo na expressão
anterior. Logo, temos que:
Fator de intensidade de tensão
corrigido – MFEP
O fator de intensidade para a mecânica da fratura linear elástica
(MFLE) é dado pela seguinte expressão:
A partir do conceito de trinca equivalente, o fator para a mecânica da
fratura elasto-plástica (MFEP) será dado por uma expressão similar à
primeira:
A partir do conceito de trinca equivalente , podemos
reescrever a equação anterior como:
Ao substituirmos o valor do raio da ZP, , na expressão
matemática apresentada temos que:
θ = 0∘ (θ = 0∘)
rp(θ) =
1
4π
⋅ (KI
σe
)
2
⋅ ( 3
2
sen2 0 + 1 + cos 0)
rp =
1
4π
⋅ (KI
σe
)
2
⋅ ( 3
2
⋅ 0 + 1 + 1)
rp =
1
2π
⋅ (KI
σe
)
2
K
K = Y ⋅ σ ⋅ √π ⋅ a
K = Y ⋅ σ ⋅ √π ⋅ aeq
(aeq = a + rp)
K = Y ⋅ σ ⋅ √π ⋅ (a + rp)
rp = 12π ⋅ (
KI
σe
)
2
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Agora é preciso reescrever a equação. Vamos iniciar elevando ao
quadrado os dois lados da igualdade. Portanto, teremos que:
Fazendo as devidas manipulações algébricas na expressão anterior,
podemos escrever que:
Ou, ainda:
Extraindo a raiz quadrada em ambos os lados da equação, temos que:
Por fim, temos a expressão matemática para determinar o valor de K.
Conforme Rosa (2002), é possível adequar a expressão anterior, tal que:
K = Y ⋅ σ ⋅ π ⋅ (a + 1
2π
⋅ ( K
σe
)
2
)
⎷K 2 = Y 2 ⋅ σ2 ⋅ π ⋅ (a + 12π ⋅ ( Kσe )2)K 2 − Y 2 ⋅ σ2 ⋅ π 12π ⋅ ( Kσe )2 = Y 2 ⋅ σ2 ⋅ π ⋅ aK 2 [1 − 12 ⋅ ( Y ⋅ σσE )2] = Y 2 ⋅ σ2 ⋅ π ⋅ a
K ⋅ [1 − 1
2
⋅ ( Y ⋅ σ
σE
)
2
]
1
2
= Y ⋅ σ ⋅ √π ⋅ a
K = Y ⋅ σ ⋅ √π ⋅ a ⋅ [1 − 1
2
⋅ ( Y ⋅ σ
σE
)
2
]
− 12
K = Y ⋅ YP ⋅ σ ⋅ √π ⋅ a
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Em que é um fator adimensional devido ao escoamento do material
na ponta da trinca de comprimento . Em se tratando de materiais
elásticos, estudados pela MFLE, não ocorre o escoamento e, portanto,
 é igual a 1. Note que, nesse caso, a expressão para volta a ser a
que foi apresentada no estudo da MFLE.
Adotando-se o critério da trinca equivalente, a tensão que leva à
falha por fratura é dada pela seguinte expressão matemática:
Saiba mais
Também pode ser adotado o critério de Dugdale, bastante difundido na
literatura.
Integral-J como critério para a
fratura
A primeira proposta para o estudo da MFEP foi apresentada por Wells
(1961), desenvolvendo o conceito do parâmetro denominado CTOD.
Alguns anos depois, Rice (1968) apresenta o método da Integral-J como
mais um critério para o estudo da MFEP. O seu valor é determinado pela
seguinte integral, ao longo de um caminho arbitrário C:
Em que:
 é o caminho da integração;
 é a densidade de energia de deformação;
 é o vetor trativo;
 é o vetor deslocamento;
 é o incremento ao longo do caminho.
Yp
a
Yp K
(σC)
σC =
KC
Y
[πa + 1
2
⋅ (KC
σe
)
2
]
− 12
J = ∫
C
(Wdy − T ∂u
∂x
ds)
C
W
T
u
ds
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Observe a seguir uma trinca e o caminho (iniciando na face inferior da
trinca e terminado na face superior) em torno de sua ponta e os vetores
 e :
Método da Integral-J - MFEP.
A integral não depende do caminho adotado e quantifica a
disponibilidade de energia para a fratura,ou seja, é a sua força-motriz
Os critérios CTOD e Integral-J relacionam-se pela seguinte expressão
empírica, adotada pela ASTM (American Society for Testing and
Materials):
Em que:
 é a tensão de escoamento do material;
 é um fator de plasticidade adimensional e que depende do
estado de tensão e do material.
C
T u
J = m ⋅ σe ⋅ (CTOD)
σe
m
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Aços de altíssima resistência mecânica são estudados pelas
teorias desenvolvidas pela MFLE, enquanto os aços de baixa
resistência mecânica são abordados na MFEP. Uma possibilidade
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adotada para o estudo com uma ZP à frente da trinca de dimensões
comparáveis à trinca, é a utilização da trinca equivalente. Considere
um aço com e trinca real
superficial com comprimento de 40mm. Dessa forma, o
comprimento da trinca equivalente é igual a
Parabéns! A alternativa D está correta.
A trinca equivalente tem seu comprimento dado pela soma dos
valores do comprimento da trinca real com o raio da zona plástica,
ou seja:
Mas o raio da zona plástica é determinado pela seguinte expressão:
Inicialmente, vamos determinar o raio da zona plástica, substituindo
os dados apresentados
Assim, o comprimento da trinca equivalente é igual a:
KI = 250MPa ⋅ √m,σE = 450MPa
A 40mm.
B 49,1mm.
C 80mm.
D 89,1mm.
E 138,3mm.
(aeq = a + rp)
rp =
1
2π ⋅ (
KI
σe
)
2
rp =
1
2π ⋅ (
250
450 )
2
= 0, 0491m = 49, 1mm
aeq = 40mm + 49, 1mm = 89, 1mm
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Questão 2
Considere um aço em que são apresentados
 . Uma chapa desse aço
será ensaiada sob tração. Os ensaios não destrutivos (END)
disponíveis detectaram a maior trinca superficial com 4mm de
comprimento. Tomando-se como base a trinca equivalente e a
MFEP, determine a tensão para a falha.
Parabéns! A alternativa E está correta.
Pelo critério da trinca equivalente, a tensão que leva à fratura é dada
pela seguinte expressão matemática:
Considerando-se o fator igual a 1 e substituindo-se os valores,
temos que:
KC = 250MPa√m,σE = 450MPa
A 250 MPa
B 450 MPa
C 484 MPa
D 576 MPa
E 612 MPa
σC =
KC
Y
[πa + 12 ⋅ (
KC
σe
)
2
]
− 12
Y
σC =
250
1 [π ⋅ (0, 004) +
1
2 ⋅ (
250
450 )
2]
− 12
σC =
250
1
[0, 012566 + 0, 15432]−
1
2
σC = 612MPa
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3 - Medidas de abertura de trinca
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar as medidas de abertura de trinca.
Vamos começar!
Como é estimada a abertura de uma
trinca?
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.
Critérios da MFEP: CTOD e Integral-J

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Como vimos, a mecânica da fratura elasto-plástica utiliza dois
parâmetros para avaliar a evolução da trinca, em que a zona plástica
apresenta dimensões comparáveis às dimensões da trinca. Os dois
principais parâmetros considerados na MFEP são:
É a abertura da trinca, representada por . Nessa técnica, podem
ser incluídas, por exemplo, as tensões internas residuais
(provenientes de tratamentos térmicos) e os efeitos decorrentes
de concentradores de tensão.
É uma integral de linha independente do caminho adotado, sendo
Rice (1968), o precursor do estudo. Conforme vasta literatura
sobre o assunto, há duas interpretações, sendo uma ligada à
taxa de liberação de energia e uma forma de caracterização da
intensidade dos campos de tensão e deformação à frente da
trinca.
Os parâmetros citados são descritos por normas ASTM e têm uma
relação empírica, dada por:
Em que:
 é a tensão de escoamento do material;
 é um fator de plasticidade adimensional dependente do estado
de tensão e do material.
Os parâmetros CTOD e Integral-J apresentam limites de aplicabilidade,
de acordo com Anderson (1995), porém bem menos que as restrições
impostas pela MFLE.
CTOD 
δ
Integral-J 
u
J = m ⋅ σe ⋅ (CTOD)
σe
m
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Aspectos gerais do CTOD
Wells e Cottrell desenvolveram, de maneira independente, os princípios
básicos da abertura de trinca – CTOD para atender uma das restrições
da MFLE, ou seja, as situações em que uma deformação plástica
significativa precede a fratura. De acordo com Gdoutos (2005), sob tais
condições, as tensões ao redor da ponta da trinca atingem o valor crítico
e, portanto, a fratura é controlada pela quantidade de deformação
plástica.
A extensão da trinca ocorre pelo crescimento de vazios e a coalescência
com a ponta da trinca original, mecanismo pelo qual a deformação da
ponta da trinca é responsável, especialmente em áreas muito próximas
a ela. Dessa forma, o CTOD foi apresentado como um critério para a
fratura em situações em que a zona plastificada, à frente da trinca, tenha
dimensões maiores.
Dentro do contexto do estudo de Wells e Cottrell, o material deveria
apresentar uma trinca preexistente e, ao se atingir um tamanho de
abertura crítico , ocorreria a fratura, sendo essa abertura crítica
dependente do material e de condições de teste (temperatura,
espessura da placa, taxa de deformação etc.). O critério é definido por:
O valor da abertura crítica pode ser determinado a partir dos
modelos de Irwin e Dugdale. Para o primeiro caso, tem-se que:
Já para o modelo apresentado por Dugdale, a expressão é ligeiramente
diferente, sendo dada por:
Exemplo
(δc)
δ = δC
(δc)
δC =
4 ⋅ K 2c
π ⋅ E ⋅ σe
δC =
K 2c
E ⋅ σe
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Considere uma placa em que um material hipotético seja tal que a MFEP
seja a adequada para o estudo da fratura. Considerando a abertura de
tamanho crítico da trinca como parâmetro para a fratura, qual a
diferença percentual desses comprimentos nos modelos apresentados
pelos pesquisadores Irwin e Dugdale?
Solução
Os modelos propostos por Irwin e Dugdale apresentam as seguintes
expressões matemáticas para determinar o tamanho crítico de abertura
de trinca, ou seja, :
Modelo proposto por Irwin.
Modelo proposto por Dugdale.
Assim, dividindo-se as duas relações apresentadas anteriormente,
temos que:
δc
δC =
4 ⋅ K 2C
π ⋅ E ⋅ σe
δ′C =
K 2c
E ⋅ σe
δC
δ′C
=
4⋅K 2C
π⋅E⋅σe
K 2C
E⋅σe
δC
δ′C
=
4
π
δC
δ′C
= 1, 27
δC
δ′
C
= 1 + 0, 27
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Logo, em termos percentuais, tem-se uma diferença de 27%.
Aspectos matemáticos do CTOD
A imagem a seguir apresenta o deslocamento da abertura da ponta da
trinca ( ), inicialmente aguda que, devido à deformação plástica, passa
a ser embotada. Observe o deslocamento na ponta da trinca:
Deslocamento da abertura da ponta da trinca .
A próxima imagem apresenta uma trinca em que o conceito de trinca
equivalente é considerado e o deslocamento efetivo é
apresentado. Observe a zona plástica à frente da trinca:
Deslocamento efetivo da abertura da trinca - trinca equivalente.
Na sequência, vemos a expressão matemática proposta por Wells, no
início da década de 1960, a partir do conceito de trinca equivalente. É
apresentado o deslocamento efetivo atrás da trinca em função de
δ
(δ) − CTOD
(uy)
(uy)
(uy)
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parâmetros como o fator de intensidade de tensão , o módulo de
cisalhamento , o raio da zona plástica , dentre outros:
Em que:
A partir das teorias desenvolvidas na resistência dos materiais, para um
dado material, o módulo de cisalhamento (G) relaciona-se com o
módulo de elasticidade (E) e o coeficiente de Poisson pela
expressão a seguir.
Saiba mais
O valor de apresentado na equação que determina é função do
estado à frente da trinca, ou seja, estado plano de tensão (EPT) ou
estado plano de deformação (EPD).
Supondo uma simetria horizontal na imagem anterior, é possível concluir
que a abertura da trinca pode ser determinada por .
CTOD – Abertura de trincas
Como vimos, a MFEP apresenta plastificação apreciável na frente da
zona da trinca, diferentemente da MFLE. Aços de altíssima resistência
podem ser estudados, em relação à fratura, pela MFLE. Já aços com
maior ductilidade, isto é, com resistência mecânica média ou baixa, irão
apresentar a zona plastificada comparada às dimensões da trinca e, por
isso, a MFEP é a adequada. Ademais, o regime da MFEP é o que
acompanha a maioria das estruturas em engenharia.
Comentário
(K)
(G) (rp)
uy =
k + 1
2G
⋅ KI ⋅√
rp
2π
rp =
1
2π
⋅ (KI
σe
)
2
(v)
G =
E
2(1 + v)
k uy
δ = 2uy
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Como critérios de fratura (tenacidade dos materiais), no campo da
MFEP, são utilizados os parâmetros CTOD e Integral-J. Nesse núcleo,
serão apresentadas mais informações a respeito do CTOD, visto que é
uma continuidade da mecânica da fratura. Além das aplicações
estruturais citadas, é indicada no estudo do comportamento de um
metal, devido a temperaturas baixas, na transição dúctil para frágil
(ensaio de impacto).
Em resumo, CTOD representa a abertura da trinca anterior à sua
propagação de maneira instável e catastrófica. Para aços de elevada
tenacidade, ocorre um afastamento das faces da trinca, como já
vimos.
Estimativa do valor de CTOD – modelo
articulado
A determinação do valor de CTOD terá como base as normas britânicas,
a British Standards 5762. Em linhas gerais, a norma indica um corpo de
prova (CP) de três pontos (dois apoios do tipo rolete e um ponto de
aplicação da força) e com um entalhe onde é feita uma trinca aguda por
fadiga de baixo ciclo. Algumas máquinas de ensaio de tração são
capazes de gerar essa trinca. Observe:
Corpo de prova para ensaio CTOD.
O CP indicado pela norma e o ensaio efetuado são conhecidos como
modelo articulado para estimativa do valor do CTOD sob flexão em três
pontos. Veja alguns parâmetros geométricos do ensaio:
(δ)
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Modelo articulado para estimativa do CTOD.
Como uma boa aproximação, podemos tentar determinar a relação
entre alguns parâmetros geométricos a partir de semelhança de
triângulos, ou seja, segmentos homólogos são proporcionais. No
exemplo, escreveremos que a razão entre as bases dos triângulos é
igual à razão entre as alturas dos triângulos. São bases e lados .
 e . Dessa forma, a proporção fica assim
escrita:
Em que r é o fator rotacional e, de acordo com Gdoutos (2005), os
experimentos indicam valores na faixa de 0,33 a 0,48. É usual considerar
 igual a 0,4. Substituindo-se na expressão anterior o valor para r igual a
0,4, a equação apresentará a seguinte relação matemática:
Multiplicando e desenvolvendo o algebrismo, temos que:
Cabe ressaltar que a abertura da trinca determinada pela expressão
anterior refere-se ao regime plástico, visto que o modelo articulado é
impreciso no regime elástico.
δ e V r
(W − a) [r. (W − a) + a]
δ
r ⋅ (W − a)
=
V
r ⋅ (W − a) + a
r
δ
(0, 4) ⋅ (W − a)
=
V
(0, 4) ⋅ (W − a) + a
δ =
(0, 4) ⋅ (W − a) ⋅ V
0, 4W − 0, 4a + a
δp =
(0, 4) ⋅ (W − a) ⋅ V
0, 4W + 0, 6a
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Exemplo
O laboratório de uma universidade está sendo utilizado por alunos do
curso de Engenharia Mecânica. O professor apresentará aos alunos um
ensaio de abertura de trinca que será conduzido de acordo com o que é
preconizado na norma BS 5762, ou seja, um corpo de prova e flexão sob
três pontos (dois roletes e um ponto de aplicação da força), conforme
apresenta o seguinte esboço:
Esboço.
Inicialmente, os alunos tomaram as medidas geométricas do corpo de
prova. A largura do CP é e o valor (do entalhe).
Ademais, a maior distância entre as faces do entalhe é .
Assim, os alunos devem determinar o valor da abertura plástica da
trinca a partir das expressões matemáticas apresentadas no
modelo articulado.
Solução
Da literatura, os alunos sabem que o fator de rotação varia entre 0,33 e
0,48. Mas é comum considerar o fator de rotação igual a 0,4. Dessa
forma, os alunos têm a seguinte expressão para determinar :
Substituindo os valores apresentados, temos que:
W = 6cm a = 3cm
V = 1mm
(δp)
r
δp
δp =
(0, 4) ⋅ (W − a) ⋅ V
0, 4W + 0, 6a
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Estimativa do valor de CTOD – modelo
modi�cado
No item anterior, foi apresentado um modelo articulado em que há um
CP sob flexão em três pontos, com um entalhe e uma trinca por fadiga
era ensaiado, de acordo com a norma BS 5762. Contudo, esse ensaio
apresenta grau de precisão na região plástica. Dessa forma, a abertura
da ponta da trinca, na condição plástica, é apresentada pela expressão:
Para deformações elásticas, o modelo articulado não tem a precisão
desejada, tendo sido apresentado outro modelo em que são
computados para as regiões elástica e plástica. Assim, o modelo
modificado adota as duas parcelas de abertura da trinca: a elástica 
e a plástica , tal que:
A parte elástica da abertura da trinca é dada pela relação:
A parte plástica é ligeiramente distinta da já apresentada para o modelo
articulado:
Assim:
δp =
(0, 4) ⋅ (0, 06 − 0, 03) ⋅ 0, 001
0, 4 ⋅ (0, 06) + 0, 6(0, 03)
δp =
0, 000012
0, 042
= 0, 00028571m = 0, 286mm
δp =
(0, 4) ⋅ (W − a) ⋅ V
0, 4W + 0, 6a
δ
(δe)
(δp)
δ = δe + δp
δe =
K 2I
m ⋅ σe ⋅ E ′
δp =
rp(W − a) ⋅ VP
rp(W − a) + a
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Atenção!
 é a parte plástica da abertura , mostrada na imagem anterior.
O parâmetro E' que aparece na parcela elástica depende se a condição é
de estado plano de tensão (EPT) ou estado plano de deformação (EPD).
Assim:
Para EPT.
Para EPD.
Em que:
 é o módulo de elasticidade do material;
 é o coeficiente de Poisson.
Existe a possibilidade de determinar por meio de um gráfico.
Suponha o corpo de prova (CP) submetido a uma carga dando origem
ao gráfico mostrado na seguinte imagem:
δ =
K 2I
m ⋅ σe ⋅ E ′
+
rp(W − a) ⋅ VP
rp(W − a) + a
Vp V
m = 1 e rp = 0, 44
E ′ = E
E ′ =
E
(1 − v2)
E
v
Vp
P
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Modelo modificado - determinação gráfica de para estimativa do CTOD.
Em resumo, considerando um material com determinado tamanho de
trinca e valor de CTOD, é possível avaliar o comportamento da fratura. A
análise é baseada na seção remanescente da peça. Caso esse tamanho
seja pequeno e acomode toda a deformação plástica, o valor de
abertura crítico de trinca ) não será atingido. Em consequência, a
fratura terá o comportamento dúctil. A falha catastrófica, isto é, a fratura
frágil, prevalece em situações em que existaseção reta remanescente
suficiente para que ocorra o valor de abertura crítico de trinca .
Vp
(δc
(δc)
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
Dois pesquisadores do meado do século XX, Wells e Cottrell,
desenvolveram, de maneira independente, os princípios básicos da
abertura de trinca , atendendo à premissa de que a
zona plástica (ZP) à frente da trinca apresenta-se com dimensões
comparáveis às da trinca. A respeito do assunto, são feitas as
seguintes afirmações:
I - Nas condições de ZP considerável, Wells e Cottrell argumentaram
que as tensões locais (ao redor da ponta da trinca) atingem o valor
máximo e, portanto, a fratura nessas condições é controlada pela
deformação plástica.
II - O crescimento ou a expansão da trinca, nas condições descritas
no enunciado e de acordo com os pesquisadores, ocorre pelo
(δ) − CTOD
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crescimento de vazios e pelo posterior coalescimento junto à ponta
da trinca, fazendo-a aumentar de tamanho.
III – Existem ensaios que permitem a determinação da medida da
abertura da trinca por meio dos parâmetros definidos na norma
britânica BS 5762. Um dos ensaios é o denominado articulado e
apresenta alta precisão tanto para os campos elástico e plástico.
Portanto, .
São corretas as afirmações:
Parabéns! A alternativa A está correta.
A mecânica da fratura elasto-plástica tem como característica a
zona plástica à frente da trinca com grandes dimensões,
comparáveis às da trinca. Materiais com aços de alta resistência
mecânica não apresentam tal característica. Em suas pesquisas,
Wells e Cottrell apresentaram uma razão para a fratura nas
condições da MFEP: controle pela deformação plástica. Ademais,
os mesmos pesquisadores concluíram que o crescimento de vazios
ou poros na ponta da trinca acabam coalescendo com a ponta da
trinca propriamente dita, fazendo com que ela se propague.
Segundo o ensaio preconizado na BS 5762, o articulado não
apresenta precisão na região elástica. Assim, a abertura da trinca é
determinada apenas no campo plástico.
Questão 2
δ
δ = δelástica  + δplástica. 
A Apenas I e II.
B Apenas I.
C Apenas I e III.
D Apenas II e III.
E Apenas III.
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Um dos critérios adotados na mecânica da fratura elasto-plástica
(MFEP) é o CTOD, em que se utiliza o tamanho crítico de abertura
da trinca para avaliar a ocorrência da fratura. Suponha um
material em que , a tensão de escoamento
igual a 800 MPa e o módulo de elasticidade de 200 GPa. Assim, o
tamanho crítico de abertura da trinca, segundo o modelo de Irwin, é
igual a
Parabéns! A alternativa B está correta.
Para o modelo proposto por Irwin, a abertura crítica de uma trinca é
dada por:
Adequando o valor de , temos que MPa.
Substituindo os valores, temos que:
(δc)
KC = 60MPa√m
A 0,012mm.
B 0,028mm.
C 0,034mm.
D 0,045mm.
E 0,072mm.
δC =
4⋅K 2c
π⋅E⋅σe
E E = 200.103
δC =
4⋅(60)2
π⋅(200⋅000)⋅800 = 0, 028mm
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4 - Desenvolvimento da técnica de CTOD
Ao �nal deste módulo, você será capaz de analisar o desenvolvimento da técnica de CTOD.
Vamos começar!
A técnica de CTOD e seu
desenvolvimento
Confira os principais aspectos que serão abordados neste módulo.
Importância da mecânica da fratura

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A mecânica da fratura apresentou grande desenvolvimento no século
XX, passando a integrar os projetos de estruturas e de componentes em
engenharia. Há uma vasta aplicação no campo da fadiga, da fluência, da
fratura frágil etc. Os projetos convencionais têm o objetivo de que a
estrutura não ultrapasse o limite de escoamento do material.
Fatores de segurança são considerados, dependendo do tipo de
estrutura ou componente. Contudo, mesmo com fatores (ou
coeficientes) de segurança elevados, esse modelo de projeto não evita
as falhas catastróficas por fratura frágil. Veja agora a imagem de uma
estrutura colapsada de maneira frágil:
Exemplo de falha catastrófica em estrutura mecânica por fratura frágil.
As teorias da mecânica da fratura se desenvolvem no sentido de evitar
ou mitigar falhas catastróficas. Em linhas gerais, mesmo com defeitos
preexistentes, é possível controlar a tensão em serviço para que o
defeito não se propague ou acompanhar o defeito até um tamanho
seguro.
A mecânica da fratura apresenta a seguinte subdivisão:
MFLE
Tem grande aplicação para materiais com alta resistência mecânica, ou
seja, ocorre pequena deformação plástica à frente da trinca.
MFEP
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Tem grande aplicação para materiais em que a plasticidade à frente da
trinca apresenta-se com dimensões comparáveis às do defeito.
Veja agora a região plástica à frente de uma trinca, em função da
espessura do corpo de prova (CP):
Desenho esquemático da zona plástica (ZP) à frente de uma trinca.
Em resumo, a mecânica da fratura é uma ferramenta matemática que
possibilita ao projetista obter informações quantitativas relativas a
trincas em estruturas ou componentes de engenharia.
Histórico da mecânica da fratura
A ciência está sempre em desenvolvimento e decorre da contribuição de
muitos estudiosos abnegados. Um exemplo bem próximo de nosso dia
a dia é a Física. É possível tomar como exemplo a física desenvolvida
por Isaac Newton nos séculos XVII e XVIII. Seu constante
desenvolvimento nos levou à mecânica quântica.
Em síntese, os cientistas evoluem a partir de ideias já estudadas, de
modelos com novos arranjos e de novas ferramentas matemáticas. Não
foi diferente com a mecânica da fratura, que tem sido estudada ao longo
de mais de um século.
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Linha de tempo da mecânica da
fratura
Nesse tópico, faremos um breve resumo da evolução da mecânica da
fratura e de alguns cientistas, sem a pretensão de esgotar o assunto.
Desde já, fica o esclarecimento de que a não citação de alguns nomes
não diminui a importância desses pesquisadores.
Um dos primeiros registros relacionados à mecânica da fratura é
atribuído ao matemático Cauchy, que desenvolveu expressões
matemáticas para os concentradores de tensão. O pesquisador Inglis
estudou um caso particular do efeito da concentração, no início do
século XX. A sua proposta foi a determinação matemática de tensões
próximas a uma trinca elíptica, submetida a uma tensão trativa, veja:
Distribuição de tensões em placa com furo elíptico em carregamento uniaxial – Inglis.
Nos idos dos anos 1920, o engenheiro aeronáutico Alan Griffith estudou
a discrepância entre os valores teórico e prático encontrados para a
resistência de materiais frágeis (vidro). Em seu estudo, Griffith utilizou a
Primeira Lei da Termodinâmica. Era o primeiro passo da MFLE, mas sua
teoria não era aplicada a metais. Algumas décadas depois, tendo como
referência os trabalhos desenvolvidos por Inglis e Griffith, o cientista
George Irwin desenvolveu o conceito de taxa de alívio de energia e
modificou algumas relações matemáticas já existentes, conseguindo,
assim, aplicação na previsão de fraturas frágeis em metais de altíssima
resistência.
A MFLE não era satisfatória para o estudo de falhascatastróficas por
fratura frágil em aços de alta tenacidade. Wells e Rice propuseram
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parâmetros que avaliam a fratura frágil em aços de maior ductilidade. O
primeiro propôs deslocamento da abertura de trincas (CTOD), enquanto
Rice desenvolveu a Integral-J. Dessa forma, a Mecânica expandiu-se e
passou a ser utilizada em projetos para uma vasta gama de materiais
metálicos.
Surge então a mecânica da fratura elasto-plástica (MFEP). Como todos
os ramos do conhecimento humano, a mecânica da fratura encontra-se
em constante desenvolvimento. Novas ferramentas computacionais
permitem estudos mais precisos e aplicados a novos materiais.
Histórico do CTOD
A MFEP apresenta o CTOD como parâmetro que relaciona tensões ou
deformações a um tamanho de defeito permissível para a não
ocorrência de fratura catastrófica em materiais com ductilidade elevada.
O crédito do desenvolvimento dos conceitos iniciais do CTOD é dado ao
pesquisador Wells, nos anos 1960.
De acordo com Anderson (1995), Wells, em seus estudos sobre a
tenacidade à fratura dos materiais, percebeu que materiais tenazes não
tinham seu comportamento adequadamente descrito pelas equações
da MFLE. Analisando corpos de prova fraturados desses materiais,
percebeu que havia um embotamento da trinca, inicialmente aguda.
Observe:
Embotamento da trinca aguda.
Ademais, Wells percebeu que o grau de embotamento das trincas
aumentava proporcionalmente à tenacidade do material, sugerindo que
a abertura na ponta da trinca era uma medida de tenacidade à fratura.
Esse parâmetro foi nomeado CTOD.
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Relembrando
Dois modelos são utilizados nos ensaios para a determinação de CTOD:
o articulado e o modificado.
Veja a seguir o modelo articulado:
Modelo articulado para estimativa do CTOD.
O modelo articulado não é adequado quando a abertura V do entalhe no
CP é predominantemente elástica. A relação matemática determina o
deslocamento da trinca (na região plástica), conforme a relação
matemática a seguir.
Realizando alterações no modelo, é possível a determinação da parte
elástica. Uma maneira experimental de realizar essas estimativas é por
meio de um carregamento de uma força P em um corpo de prova
padronizado. A resposta é uma curva carga (P) versus abertura V da
trinca. Observe:
δp =
rp(W − a) ⋅ VP
rp(W − a) + a
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Determinação gráfica de para a estimativa do CTOD.
A imagem apresenta um gráfico de carregamento versus abertura do
entalhe (V). É fácil associar o aspecto da curva ao da curva tensão
versus deformação, no ensaio de tração uniaxial. A um dado ponto da
curva, o V é separado em componentes elástico e plástico, por meio de
uma curva paralela à região linear.
Wells e Cottrell, em seus estudos independentes, introduziram o
conceito de CTOD na MFEP como um critério de fratura em situações
em que a zona plastificada à frente da trinca tem volume considerável.
Uma maneira de estimar a deformação plástica é pelo deslocamento de
abertura de trinca (COD), descrita a seguir.
Curva deslocamento de abertura de
trinca – COD
Estabelece uma relação entre o deslocamento de abertura de trinca
(COD), a carga aplicada no corpo e o comprimento da trinca, conforme
descrito por Gdoutos (2005). Essa curva permite, por exemplo, que a
partir do conhecimento máximo de COD, os valores-limites para a
tensão e para o comprimento do defeito sejam estipulados. Ainda de
acordo com Gdoutos (2005), Burdekin e Stone desenvolveram uma
expressão analítica a partir do modelo teórico de Dugdale para obter
uma expressão matemática que determina a deformação dos pontos P,
de acordo com a seguinte imagem:
Vp
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Pontos “P” equidistantes da trinca de comprimento 2a.
A equação proposta é descrita a seguir.
Em que:
O parâmetro COD adimensional é definido a partir da seguinte
expressão:
Dessa forma, é possível chegar ao gráfico com as curvas, de acordo
com o critério de COD. Observe a imagem.
ε
εe
=
2
π
⋅ 2n ⋅ coth−1
1
n
⋅ √ k
2 + n2
1 − k2
+ (1 − v) ⋅ cot−1 √ k
2 + n2
1 − k2
+ v ⋅ cos−1 k
⎡⎢⎣ ⎡⎢⎣ ⎤⎥⎦ ⎤⎥⎦n = ay ,K = cos( πσ2σe ) e ε0 = σ0E(∅)∅ = δ2πε0a
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Curvas – critério COD.
Os valores apresentados pelas curvas mostram afastamentos dos
valores experimentais. No sentido de aproximar as expressões teóricas
e os valores experimentais, surgem as seguintes relações matemáticas:
Exemplo
(GDOUTOS, 2005, p. 182) Um componente estrutural de aço apresenta
um fator de concentração igual a 3 está submetido a uma tensão
nominal igual a metade da tensão de escoamento. A partir do método
COD, determine o máximo comprimento da trinca para que o
componente não falhe por fratura frágil:
Dados: e 
Solução
Como
∅ = {( ε
ε0
)
2
,
ε
ε0
< 0, 5 ou ∅ = { ε
ε0
− 0, 25 ,
ε
ε0
> 0, 5
amáx  = {
δcEσ0
2πσ2 ,
σ
σ0
< 0, 5
δcE
2π⋅(σ−0,25σ0)
, 0, 5 < σ
σ0
< 1
E = 210GPa,σ0 = 1GPa δC = 0, 5mm
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ε
εo
=
σ
σo
=
3 ⋅ (0, 5σ0)
σ0
= 1, 5
∅ = 1, 5 − 0, 25 = 1, 25
ε0 =
1
210
= 0, 0048
∅ =
δ
2πε0a
1, 25 =
0, 0005
2π(0, 0048) ⋅ a
a = 0, 01327m = 13, 27mm → 2a = 26, 54mm
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Falta pouco para atingir seus objetivos.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1
A mecânica da fratura vem se desenvolvendo ao longo dos últimos
100 anos. Muitos aspectos foram introduzidos nas teorias
ampliando a aplicação dessa ferramenta na engenharia, evitando-se
a fratura frágil que é catastrófica. Considerando a linha de tempo de
evolução da mecânica da fratura desde 1920, foi o pesquisador
_____________ que introduziu o conceito de ____________, aplicável à
______________.
A Wells – Integral-J – MFEP.
B Rice – Integral-J – MFEP.
C Wells – CTOD – MFEP.
D Rice – CTOD – MFLE.
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Parabéns! A alternativa C está correta.
Vários foram os pesquisadores que contribuíram para o
desenvolvimento da mecânica da fratura. Dois pesquisadores
podem ser considerados expoentes em relação ao desenvolvimento
da MFEP que se desenvolveu, uma vez que a MFLE apresentava
limitações de aplicação, não sendo, por exemplo, utilizável no
estudo de fraturas frágeis para toda a gama de aços estruturais.
Wells desenvolveu o conceito de CTOD, enquanto Rice, o de Integral-
J.
Questão 2
(Adaptado de GDOUTOS, 2005) Uma peça de aço será utilizada
como parte de uma estrutura em engenharia. Suponha que, na peça,
exista uma descontinuidade cujo fator de concentração seja igual a
2,5. A peça está submetida a uma tensão nominal igual à metade
da tensão de escoamento. A partir do método COD, determine o
máximo comprimento da trinca para que a peça não falhe:
Dados: e 
Parabéns! A alternativa E está correta.
E Wells – CTOD – MFLE.
E = 200GPa,σ0 = 1GPa δC = 0, 6mm
A 22,4mm
B 25,8mm
C 29,7mm
D 34,2mm
E 38,2mm
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Vejamos a solução:
Como 
Considerações�nais
Estudamos a mecânica da fratura e suas duas vertentes: a mecânica da
fratura linear elástica (MFLE) e a mecânica da fratura elasto-plástica
(MFEP). Inicialmente discutimos o campo de aplicação da MFLE e
abordamos a teoria de Griffith, os modos de abertura de uma trinca (por
tração, cisalhamento e rasgamento), o fator de intensidade de tensão e
o campo de tensões na ponta de uma trinca. Também apresentamos
aspectos teóricos e matemáticos. Ainda na primeira parte,
demonstramos algumas aplicações em projetos de engenharia.
Na segunda etapa, descrevemos a MFEP. Inicialmente abordamos o
campo de aplicação e dois parâmetros utilizados para o estudo do
comportamento em fratura frágil foram discutidos: CTOD e Integral-J.
Além desses aspectos, apresentamos relações matemáticas para
estimar a zona plástica na ponta da trinca e a tensão crítica de falha na
MFEP.
No mais, vimos os aspectos matemáticos do CTOD e as estimativas de
seu valor utilizando-se dois modelos teóricos, o articulado e o
modificado. Como complemento, descrevemos o desenvolvimento
histórico da mecânica da fratura e da técnica de abertura de trinca, o
CTOD.
ε
εo
= σ
σo
= 2,5⋅(0,5σ0)
σ0
= 1, 25 ∅ = 1, 25 − 0, 25 = 1, 00
ε0 =
1
200 = 0, 005
∅ =
δ
2πε0a
1, 00 =
0, 0006
2π(0, 005) ⋅ a
a = 0, 0191m = 19, 10mm → 2a = 38, 2mm

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microligadas fundidas e forjadas.
Referências
ANDERSON, T. L. Fracture Mechanics – fundamentals and aplications. 2.
ed. [s.l.] CRC press LLC., 1995.
CALLISTER, W. D.; RETHWISCH, D. G. Ciência e Engenharia de Materiais:
uma introdução. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
DIETER, G.E. Metalurgia mecânica. 2. ed. Rio de Janeiro: Guanabara
Dois, 1981.
GARCIA, A.; SPIM, J. A.; DOS SANTOS, C. A. Ensaios dos materiais. 2. ed.
Rio de Janeiro: LTC, 2017.
GDOUTOS. E. E. Fracture mechanics – an introduction. 2. ed.
Netherlands: Springer, 2005.
ROSA, E. Análise de resistência mecânica (mecânica da fratura e
fadiga). Florianópolis: UFSC, 2002.
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