Lista de Exercícios - vertedores

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LISTA DE EXERCÍCIOS – HIDRÁULICA ENG 1120 
 
 
PROBLEMA (1) temática: VERTEDOR 
 
Um canal de seção retangular, com largura de fundo b = 2,0 m e altura total de 4,0 m, tem suas 
vazões calculadas em função do tirante, conforme especificado na tabela a seguir : 
 
 
 
Vazões do canal de seção retangular ( b = 2,0 m) 
 
tirante h (m) 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 
vazão Q (m3/s) 3,98 6,75 9,65 12,67 15,66 
 
 
Deseja-se instalar um vertedor nesse canal para medir as vazões ocorrentes. Para efeito de 
referência, a seção do canal onde será instalado o vertedor tem o fundo na cota 50,00 m. Para a 
determinação do vertedor mais adequado, analise as opções referidas a seguir : 
 
 a ) tirante do canal : h = 3,0 m 
 cota da soleira do vertedor: 53,5 m 
 vertedor retangular (lâmina arejada) 
 
 b ) tirante do canal : h = 3,0 m 
 cota da soleira do vertedor: 52,0 m 
 vertedor retangular 
 
 c ) tirante do canal : h = 3,0 m 
 cota da soleira do vertedor : 53,5 m 
 vertedor curvo com  = 15º 
 
 d ) tirante do canal : h = 3,0 m 
 cota da soleira do vertedor : 53,5 m 
 vertedor oblíquo com  = 15º 
 
 
Referencial Teórico: 
 Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulo IX, página 141. 
 
 
 
Solução : 
 2 
 
 a ) Tirante do canal : h = 3,0 m → Q = 15,66 m3/s 
 
Ao ser instalado o vertedor no canal, o nível a montante, deste, se elevará até formar a carga H 
capaz de dar passagem a 15,66 m3/s sobre a soleira. A jusante do vertedor, a água retorna ao seu 
nível normal (na situação estudada: h = 3,0 m). Sem o vertedor, haveria uma folga de 1,0 m 
entre o nível do canal e sua borda. A questão que se coloca é , então , se a carga H será inferior a 
1,0 m. Caso H supere 1,0 m, o canal transbordará. 
 
Aplicando a fórmula de Bazin tem-se: 
 
 
( )
Q
H
H
H P
l g H= +





 + 
+





   0 405
0 003
1 0 55 2
2
2
3 2,
,
, / 
 
 (0,10 m < H < 0,60 m ) 
onde : 
H carga sobre o vertedor 
P = 3,5 m elevação da soleira do vertedor (53,5 - 50,0 = 3,5 m) 
l = 2,0 m comprimento do vertedor 
g = 9,81 m/s2 aceleração da gravidade 
 
Como se tem valores conhecidos para as variáveis , encontra-se H para a vazão especificada: 
 
 Q = 15,66 m3/s → H = 2,5 m 
 
Comprova-se, portanto, o transbordamento do canal. É interessante observar que a altura P 
representa um obstáculo ao fluxo, sendo que valores maiores de P exigem uma carga maior sobre a 
soleira do vertedor. Também constata-se que, para uma mesma carga, a vazão diminui com o 
aumento de P . Apenas para exemplificar, utilizando a mesma expressão de Bazin (l = 2,0 m) , são 
determinadas as seguintes vazões para diferentes cargas e alturas do vertedor : 
 
Vazões segundo Bazin ( m3/s ) 
H (m) P = 3,0 m P = 3,5 m P = 4,0 m 
2,7 17,93 17,62 17,38 
2,6 16,84 16,59 16,37 
2,5 15,84 15,58 15,38 
 
Deve-se, ainda, observar que a carga H = 2,5 m ultrapassa em muito o limite ( 0,10 < H < 0,60 m ) 
aconselhado pelo autor para a utilização de seu modelo matemático. É mais uma razão para a 
colocação dos valores calculados sob suspeita. Para estes cálculos não se admitiu a hipótese de 
depressão da lâmina vertente. Não foi considerada, também, nenhuma contração já que o vertedor 
atravessa transversalmente toda a extensão do canal. 
 3 
 
b ) Tirante do canal : h = 3,0 m → Q = 15,66 m3/s 
 cota da soleira do vertedor : 52,0 m 
 
Na tentativa de manter o nível de montante igual ou inferior a 4,0 m, reduziu-se a cota da soleira do 
vertedor para 52,0 m. As alturas P e P1 serão iguais a 2,0 m. A vazão agora será calculada com 
outra expressão devida a Bazin: 
 
 
( )
( )
Q
H
P
H H
H
m l g H= + +






 
−













   1 05 1
5 1
2
1 1
1 3
3 2,
/
/ 
onde : 
H1 = 3 - 2 = 1 m submersão da soleira a jusante 
P1 = 2,0 m altura da soleira a jusante 
H carga sobre a soleira 
m coeficiente de Bazin, determinado por : 
m = ( 0,405 + 0,003/H ) [ 1 + 0,55 . H2/(H + P)2 ] 
l = 2,0 m comprimento do vertedor 
 
É oportuno observar que não há contração a considerar. Substituindo as variáveis na fórmula, 
obtém-se para Q = 15,66 → H = 1,64 m . 
 
Observa-se que somando P + H , encontra-se : 2,0 + 1,64 = 3,64 m (< 4,0 m ). Esta solução é 
possível. O vertedor, no entanto, funcionará afogado, o que nem sempre é aconselhável. Para evitar 
o afogamento pode-se criar um degrau no canal de forma que P1 > P 
 
c ) Tirante do canal : h = 3,0 m ( Q = 15,66 m3/s ) 
 cota da soleira do vertedor : 53,5 m 
 vertedor curvo com  = 15º 
 
 Outra estratégia válida para manter a carga dentro dos limites previamente estabelecidos inclui o 
alongamento da crista do vertedor. Vamos testar o vertedor curvo com  = 15º assinalando o centro 
do círculo a montante do vertedor. Segundo Wex, nessas circunstâncias, a vazão por metro do 
vertedor será dada por : 
 
 q = 1,85 H3/2 
onde : 
q vazão calculada em m3/s, por metro de soleira 
H carga sobre a soleira em metros 
 
Resta, ainda, calcular o comprimento da soleira a ser determinado por : 
 4 
 
 C = r .  
onde : 
C comprimento da soleira do vertedor, em metros 
r raio que inscreve o vertedor ; r = 1,0/cos  
 ângulo que limita o arco C , em radianos 
 
Na figura a esquerda vemos que o ângulo central  é determinado por: 
 
  = 180 - 2  = 150º = 2,62 rad. 
 
Então : 
 C =

 =
1 0
15
2 62 2 71
,
cos
, , m . 
 
Observe que l = 2 m para o vertedor reto. Ao utilizarmos C = 2,71 m temos um ganho 
significativo no comprimento da soleira . A vazão no vertedor curvo será: 
 
 Q = q . C = 1,85 . H3/2 . 2,71 
 
Assim, para Q = 15,66 m3/s , encontra-se H = 2,19 m 
 
Percebe-se que este valor não atende ao desejado já que : 
 
 P + H = 3,5 + 2,19 = 4,9 m ( > 4,0 m ) . 
 
 
 
 
 
 
d ) Vertedor oblíquo com  = 15º 
 cota da soleira : 53,5 m 
 
 
Para garantir uma folga entre o nível d'água e a borda do canal, tentar-se-á empregar um vertedor 
oblíquo. Calcular-se-á o comprimento do vertedor para a fixação da folga desejada. Estabelecendo 
uma folga de 0,20 m, encontra-se para a carga máxima : 
 
 Hmáx = 4 - ( f + P ) = 4 - ( 0,20 + 3,5 ) = 0,30 m 
 
 5 
Nessas condições idealiza-se um vertedor oblíquo na forma de " bico de pato" (esta forma não gera 
grandes diferenças de vazão em relação ao vertedor oblíquo comum). Segundo esta disposição, cada 
lado terá l/2 de comprimento, desprezando-se a extensão da concordância no vértice do vertedor. 
 
A vazão do vertedor oblíquo é calculada pela expressão de Boileau como se segue: 
 Q m x l g H=    2 3 2/ 
onde : 
m coeficiente de vazão de Bazin ou equivalente. Pode ser adotado o coeficiente 
simplificado m = 2/3 c = 2/3 . 0,6 = 0,4 
x coeficiente dependente do ângulo  de inclinação da soleira em relação ao eixo do 
canal. Para  = 15º → x = 0,86 
l comprimento da soleira 
H carga sobre o vertedor (ver referencial teórico) 
 
No caso em consideração, para a vazão dada : 
 
 15 66 0 4 0 86 2 9 81 0 33 2, , , , , /=     l 
 
encontra-se l = 62 m, ou seja, cada lado do " bico de pato " terá 31 m. 
 
Verificando se esta medida é compatível com a largura do canal (b = 2 m), encontra-se, 
geometricamente, que um lado do "bico de pato" ocupa uma largura transversal igual a 8,02 m ( 
b1 = 31 . sen15º = 8,02 ). Como isto é bem maior que a semi-largura do canal, conclui-se que a 
solução não é viável . Já que a largura do canal é um fator limitante, fixar-se-á o comprimento do 
vertedor no espaço disponível. Então : b1 = b/2 e 
 
 
l b
2
2
15
=

/
sen
 → l =7,7 m 
 
Retornando à equação de Boileau encontra-se uma carga: H = 1,21 m. Este valor ultrapassa em 
muito o Hmáx antes estabelecido. Conclui-se dos resultados dos tipos de vertedores estudados, 
que a altura da soleira do vertedor deve ser considerada com atenção para se chegar um resultado 
satisfatório. 
 
 
PROBLEMA (2) temática: VERTEDOR 
 
 
Dimensionar o vertedor de uma pequena barragem de concreto que formará um lago, parte 
integrante de um projeto turístico. A vazão máxima do córrego a ser barrado é 6 m3/s. Para adaptar 
a barragem à calha do rio esta foi idealizada segundo três seções típicas descritas a seguir. 
 6 
 
Analise as seguintes sugestões para dimensionar o vertedor : 
 
 a ) vertedor de soleira espessa na seção central 
 comprimento do vertedor : l = 3m 
 entalhe no maciço : 0,5 m 
 b ) vertedor de crista de barragem na seção central 
 comprimento do vertedor : l = 3 m 
 entalhe no maciço : 0,5 m 
 c ) vertedor de soleira delgada na seção intermediária ou lateral 
 comprimento do vertedor : l = 3 m 
 entalhe no maciço : 0,5 m 
 
 
Referencial Teórico: 
 
Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulo IX, página 141. 
Ven Te Chow. Open-Channel Hydraulics, capítulo 14, página 360. 
 
 
Solução : 
 
a ) Um vertedor de soleira espessa instalado na seção central é certamente a forma mais intuitiva de 
posicionar o vertedor. A vazão sangrada retornará ao leito primitivo do rio, necessitando apenas de 
obras contra erosão na calha. A escolha de uma soleira espessa procura adaptar o vertedor à forma 
do maciço da barragem que deve apenas receber um rebaixamento (entalhe) ao longo de três metros 
de crista. Este rebaixamento foi estabelecido inicialmente em 0,5 m . A definição prévia da altura 
do entalhe fixa o nível d'água mínimo a ser acumulado no reservatório e também limita a carga 
máxima do vertedor em Hmáx = 0,5 m (sem previsão de folga ). 
 
O cálculo da vazão no vertedor de soleira espessa requer o conhecimento da relação e/H, sendo e a 
espessura do vertedor (e = 2 m , aproximadamente) e H a sua carga. Como H é desconhecido a 
prior, deve-se fazer uma hipótese de cálculo e verificá-la. Sendo Hmáx = 0,5 m, pode-se tomá-la 
como valor inicial chegando a : 
 
 e/H = 2,0/0,5 = 4 → e/H > 3 
 
Esta relação caracteriza uma autêntica soleira espessa, podendo-se adotar a expressão devida a 
Lesbros : 
 Q l g H=   0 35 2
3 2, / 
onde : 
l comprimento da soleira 
 7 
H carga sobre a soleira 
 
Deve-se lembrar que Hwang aconselha valores do coeficiente de vazão variando entre 0,43 e 0,30, 
dependendo da rugosidade do vertedor, em lugar do 0,35 proposto por Lesbros. Neste vertedor 
ainda deve-se considerar as contrações laterais já que existem ombreiras (limitações) nos dois lados. 
O comprimento útil da soleira será dado então por: 
 
l' = l - n . c' . H 
onde : 
l' comprimento útil da soleira 
l comprimento nominal da soleira 
n número de contrações 
c' coeficiente de contração 
H carga sobre a soleira 
 
Substituindo o comprimento útil na expressão de Lesbros , encontra-se para a vazão desejada : 
 6 0 0 35 3 0 2
1
10
2 9 81 3 2, , , , /=  −  





   H H 
  H = 1,26 m 
 
Este resultado mostra que a hipótese de cálculo está incorreta, uma vez que : 
 
 e/H = 2/1,26 =1,6 (e/H < 3,0 ). 
 
Indica também que o comprimento do vertedor é insuficiente, pois necessita de uma carga de 1,26 
m, quando deseja-se uma carga máxima de 0,5 m. 
 
Para aprofundar um pouco mais o conhecimento sobre o potencial desta solução, calcular-se-á o 
comprimento do vertedor caso sejam mantida a hipótese de cálculo e Hmáx = 0,50 m . 
 
 6 0 0 35 2
1
10
0 5 2 9 81 0 53 2, , , , , /=  −  





   l 
  l = 11 m 
 
Pode-se escolher entre aumentar o comprimento da soleira até 11 m (caso seja possível), ou em 
aumentar o entalhe (carga máxima) para valores superiores a 0,5 m e usar uma soleira com 
comprimento inferior a 11 m. É oportuno notar que o cálculo foi realizado sem que se levasse em 
conta uma possível depressão da lâmina vertente, já que , presume-se que a aeração se faça 
naturalmente pelos lados da lâmina . 
 
 
 
b ) O vertedor de crista de barragem tem por finalidade atenuar as perdas no vertedor garantindo 
vazão maior apesar da manutenção da área de corte ( 0,5 . 3,0 ) . Em razão dos resultados 
anteriores, é provável que não se consiga uma solução satisfatória sem alterar a área vertente. 
Manter-se-á, no entanto, l e Hmáx com seus valores primitivos para viabilizar uma comparação 
entre os dois tipos de vertedores. O vertedor de crista de barragem exige a adaptação do maciço à 
veia líquida em toda a extensão da soleira. Não é intento deste problema construir graficamente o 
perfil do maciço. Deixa-se registrado, no entanto, que esta adaptação será feita, em grande parte, 
pela equação : 
 
 X K Hd Y
n n=  −1 
 8 
onde : 
Hd carga de projeto 
X e Y coordenadas dos pontos da curva de ajustamento 
K e n coeficientes que dependem da forma do maciço (para o perfil vertical : K = 
2,0 e n =1,85 ) 
 
 
 
 
A vazão nesse vertedor é dada por : 
 
 Q = c . l' . He1,5 
 
onde: 
c coeficiente de vazão 
l' comprimento útil do vertedor 
He carga incluindo o fator velocidade 
 
No caso em consideração admite-se velocidade de aproximação nula (trata-se de um reservatório ), 
daí que : He = Hd = 0,50 m. Chow propõe que o valor de c seja determinado em função de 
He/Hd e h/Hd , onde h é a altura da soleira do vertedor. Simplificando esta questão, optou-se pelo 
coeficiente de Francis c = 2,196 . 
 
 Incluindo a influência das contrações e substituindo os valores conhecidos, tem-se para a vazão 
dada : 
 
 6 = 2,196 . ( 3 - 2 . 0,1 . H ) . H1,5 
  H = 0,98 m 
 
Como previsto inicialmente, a área vertente inicialmente proposta não é suficiente para passar a 
vazão de 6 m3/s , mas o desempenho do vertedor melhorou. Passou-se de uma carga de 1,26 m, no 
vertedor de soleira espessa, para H = 0,98 m no vertedor de crista de barragem. Neste tipo de 
vertedor não cabe o conceito de depressão já que a lâmina vertente se desloca sobre o maciço deste 
o topo do vertedor até sua base. 
 
 
 
c ) A vazão sangrada no vertedor de soleira delgada será lançada distante do eixo central do rio. 
Faz-se necessária a construção de um canal ao longo do pé da barragem para reconduzir as águas 
sangradas à calha do seu curso normal. O vertedor será, agora, considerado de soleira delgada, uma 
vez que e/H < 0,5 , mesmo havendo uma espessura e na soleira. O cálculo da vazão será efetuado 
com a fórmula de Francis, uma vez admitida velocidade de aproximação nula : 
 
 9 
 Q = 1,838 . l . H3/2 
 
onde : 
l comprimento nominal da soleira 
H carga sobre o vertedor 
 
Acrescentando contração da veia líquida : 
 
 Q = 1,838 . ( l - n . c' . H ) . H3/2 
 
Substituindo os valores conhecidos : 
 
 Q = 1,838 . (3 - 2 . 0,1 . H ) . H3/2 
  H = 1,11 m 
 
O vertedor delgado demonstrou um desempenho intermediário entre os dois casos anteriores, mas 
ainda insuficiente. Deve-se lembrar que um maciço de forma triangular, como acontece na seção 
intermediária, pode reter a água do reservatório pressionando a aresta vertical ou a aresta inclinada 
do triângulo (seção transversal). Foi proposto no problema que a face a montante seria vertical, veja 
a figura 7.3 (1), quando a fórmula de Francis se aplica integralmente . 
 
Caso a face inclinada estivesse a montante, veja figura 7.3 (2), o efeito de forma faria com que a 
trajetória das partículas do fluxo fosse melhor ajustada para a transposição dovertedor, aumentando 
o seu desempenho com uma maior vazão. Então a fórmula de Francis deveria ser corrigida, 
conforme abaixo especificado: 
 
 Q m l g H=   ' ' /2 3 2 
onde : 
m' = m . x 
x = 1 + 0,39 º/ 180 
l' = l - n . c' . H 
e: 
m' coeficiente de vazão corrigido 
m coeficiente de vazão do vertedor de paramento vertical 
H carga sobre o vertedor 
n número de contrações 
 
No caso em consideração : m = 1,838  = + 30º 
 
Então : 
 ( )6 0 1838 1 0 39
30
180
3 2 0 1 2 9 81 3 2, , , , , /=  + 





  −     H H 
 10 
 
Devido à inclinação do talude, caso ela esteja a montante, o coeficiente de vazão passa para m' = 
1,957 
 
Encontra-se : H = 1,07 m 
 
Verifica-se facilmente que a forma melhorou o desempenho do vertedor em quase 5%. 
 
Como ficou claro no cálculos efetuados, a área vertente inicialmente proposta não é suficiente para 
dar passagem à vazão de enchente, mas existe um arsenal de soluções possíveis para contornar esta 
dificuldade. Além das propostas já ventiladas pode-se optar por : 
 
 - elevar a altura da barragem mantendo a cota da soleira do vertedor; 
 - instalar orifícios de fundo sem comportas dando passagem à vazão mínima do rio; 
 - instalar comporta no vertedor, etc. . 
PROBLEMA (3) temática: VERTEDOR 
 
 
Parte de uma barragem de concreto está construída em 60% da largura da calha de um rio. Os 
trabalhos de concretagem progredirão apenas durante o período de estiagem. Durante o período de 
cheia, a concretagem será interrompida e recomeçará quando as águas abaixarem novamente. Para 
avaliar a capacidade de vazão da calha semi-obstruída, determine o caudal nas seguintes condições 
de escoamento: 
 
 a ) nível de montante : 2,5 m 
 nível de jusante : 1,5 m 
 b ) nível de montante : 4,0 m 
 nível de jusante : 2,5 m 
 c ) nível de montante : 5,0 m 
 nível de jusante : 3,5 m 
 
 
Referencial Teórico: 
Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulo IX, página 141 
 
Solução : 
 
a ) Nível de montante 2,5 m e nível de jusante 1,5 m. 
 11 
 
O nível da corrente, ao ultrapassar um obstáculo que interrompe parcialmente o fluxo, pode tomar 
várias formas em função da declividade longitudinal do rio e do estrangulamento da calha. 
Habitualmente, os rios têm pequena declividade e o nível d'água toma a forma indicada na 
figura 8.2. Ficam evidenciados, nessa figura, os dois níveis característicos do fenômeno: o nível de 
montante e o de jusante. O nível de jusante tende a ser o nível normal de escoamento do canal ou 
rio natural, quando as águas correm livremente. O nível de montante é superior ao anterior e forma 
uma carga hidráulica sobre o estreitamento que corresponde à diferença dos níveis referidos. No 
caso em estudo, tanto o nível de montante quanto o de jusante estão abaixo da cota da concretagem. 
É a condição considerada indispensável à continuidade desses trabalhos. Assim, os níveis já 
referidos delimitam duas áreas onde o escoamento acontece de formas distintas. Na área superior 
(1) tudo se passa semelhante aos vertedores e na área inferior (2), o escoamento se assemelha ao dos 
orifícios submersos. 
 
Tomando a fórmula da vazão em vertedores para a área 1 (fórmula de Weissbach), tem-se: 
 
 Q c l g H
V
g
V
g1
2 3 2 2 3 22
3
2
2 2
=     +





 −












/ /
 
onde : 
2/3 c coeficiente de vazão dos vertedores (c = 0,6) 
l = 4,0 m comprimento do vertedor 
H = 1,0 m carga do vertedor 
V velocidade de aproximação do fluxo a montante do estrangulamento. 
 
A velocidade de aproximação ou de montante é desconhecida, mas sabe-se que : 
 
 Vm
Q Q
A
Q Q
m
=
+
=
+

1 2 1 2
10 2 5,
 
 
Como Q1 e Q2 também são desconhecidas, sendo Q1 a vazão correspondente ao vertedor (área 1) e 
Q2 a vazão correspondente ao orifício (área 2) pode-se tomar, em primeira aproximação: Vm = 0. 
Após o cálculo de Q1 e Q2 reavalia-se o valor de Vm e, iterativamente, acham-se os novos valores 
de Q1 e Q2. Adotando esta abordagem metodológica : 
 12 
 
 Q1
3 2
2
3
0 6 4 2 9 81 1 7 09=      =, , ,/ m3/s 
 
O cálculo da vazão na área 2 será realizado com a fórmula dos orifícios afogados com velocidade 
de aproximação: 
 Q c l a g H
V
g2
2
2
2
=     +





 
onde : 
c coeficiente de vazão para orifícios submersos (segundo Lesbros, seu valor varia 
entre 0,50 e 0,67 ) 
l . a área do orifício 
H carga sobre o orifício submerso que corresponde à diferença dos níveis 
V velocidade de aproximação da corrente a montante. 
Também supondo V inicialmente igual a zero : 
 
 Q2 0 6 4 0 15 2 9 81 1 15 95=      =, , , , , m
3/s 
Pode-se calcular agora o valor da velocidade de montante da seguinte forma: 
 
 Vm
Q Q
Am
=
+
=
+

=
1 2 7 09 15 95
10 2 5
0 92
, ,
,
, m/s 
 
 
Este valor é baixo e pouca diferença fará nos resultados já encontrados. Apenas para efeito de 
demonstração , refaremos os cálculos de Q1 e Q2 : 
 
 
 Q1
2 3 2 2 3 22
3
0 6 4 0 2 9 81 1
0 92
2 9 81
0 92
2 9 81
7 49=      +






 −












 =, , ,
,
,
,
,
,
/ /
 m3/s 
 ( 5,6% superior ao resultado anterior ) 
 
 
 Q2
2
0 6 4 15 2 9 81 1
0 92
2 9 81
16 29=      +






 =, , ,
,
,
, m3/s 
 ( 2,1% superior ao resultado anterior ) 
 
 
A vazão total, em segunda aproximação, e a respectiva velocidade são : 
 
 Qt = Q1 + Q2 = 7,49 + 16,29 = 23, 77 m
3/s 
 
 Vm = 23,77/(2,5 
. 10) = 0,95 m/s (3,3 % superior à anterior) 
 
A diferença para os primeiros valores é mínima, podendo-se considerar estes resultados como 
definitivos. 
 
 
 
 
 13 
 
b ) Nível de montante 4,0 m e nível de jusante 2,5 m. 
 
Esta situação geralmente ocorre quando uma onda de cheia se aproxima rapidamente. O obstáculo 
tende a represar a cheia, o que provoca um afastamento dos níveis de montante e jusante, pois o 
nível de montante cresce mais rapidamente que o de jusante . 
Nas circunstâncias descritas ficam caracterizadas três áreas distintas de escoamento : 
 
As áreas 1 e 2 funcionam como vertedores e a área 3 como orifício. Observe que o nível de 
jusante está abaixo da crista da barragem incompleta, mas nenhum trabalho pode ser executado 
sobre o maciço que está inteiramente coberto pela água. A rigor, o escoamento nas áreas 1 e 2 são 
diferentes. Na área 2 o vertedor funciona sobre a "superfície" de água formadora da área 3, 
enquanto o escoamento da área 1 acontece sobre o maciço em construção, uma superfície rígida. A 
razão de cálculo das duas vazões segundo a mesma metodologia será esclarecida mais adiante. Por 
se tratar de vertedores, adota-se a sua fórmula geral: 
 
 Q c L g H
V
g
V
g1 1
2 3 2 2 3 22
3
2
2 2
=     +





 −












/ /
 
 Q c L g H
V
g
V
g2 1
2 3 2 2 3 22
3
2
2 2
=     +





 −












/ /
 
onde: 
H tirante sobre a soleira 
H1 diferença dos níveis a montante e jusante 
 
Por razões já ventiladas, faz-se V = 0 . Então : 
 
 Q1
3 2
2
3
0 6 6 0 2 9 81 1 10 63=      =, , , ,/ m3/s 
 Q2
3 2
2
3
0 6 4 0 2 9 81 15 13 02=      =, , , , ,/ m3/s 
 
A vazão na área 3 será calculada com a expressão dos orifícios : 
 
 Q c L a g H
V
g3 1
2
2
2
=     +





 
onde : 
c coeficiente de vazão no orifício submerso 
L . a área nominal do orifício 
H1 diferença de níveis de montante e jusante do orifício 
V velocidade da corrente a montante do orifício 
 14 
 
Considerando também V = 0 , para o cálculo de Q3: 
 
 Q3 0 6 4 0 2 5 2 9 81 15 32 55=      =, , , , , , m
3/s 
 
Reavaliandoa velocidade V encontra-se: 
 
 V
Q Q Q
=
+ +

=
1 2 3
10 4 0
1 4
,
, m/s 
 
Esta velocidade possui uma dimensão de certa forma significativa devendo ser considerada. 
Recalculando Q1 , Q2 e Q3, incluindo o efeito da velocidade : 
 
Q1
2 3 2 2 3 22
3
0 6 6 0 2 9 81 1
1 4
2 9 81
1 4
2 9 81
11 93=      +






 −












 =, , ,
,
,
,
,
,
/ /
 m3/s ( > 12,2% ) 
 
Q2
2 3 2 2 3 22
3
0 4 4 0 2 9 81 15
1 4
2 9 81
1 4
2 9 81
14 12=      +






 −












 =, , , ,
,
,
,
,
,
/ /
 m3/s ( > 8,5% ) 
 
Q3
2
0 6 4 0 2 5 2 9 81 15
1 4
2 9 81
33 62=      +






 =, , , , ,
,
,
, m3/s ( > 3,3% ) 
 
A nova velocidade será : 
 
 V =
+ +

=
11 93 14 12 33 62
10 4 0
15
, , ,
,
, m/s ( > 7,1% ) 
 
Para maior precisão pode-se recalcular as vazões, porém os valores já encontrados são considerados 
satisfatórios. 
 
 
 
c ) Nível de montante 5,0 m e nível de jusante 3,5 m. 
 
Nesta situação, a vazão de cheia já ultrapassou a fase de represamento inicial entrando em regime 
de escoamento. Estabilizado o nível de jusante encontra-se três novas áreas distintas de escoamento: 
 
 
A área 1 escoa como vertedor e as áreas 2 e 3 escoam como orifícios. Volta a acontecer com a área 
2 o que já foi comentado anteriormente. O escoamento sobre o maciço é diferente do escoamento 
 15 
sobre as águas que passam pela área 3. Caso esta diferença recebesse tratamento diferenciado ter-
se-ía quatro áreas em vez de três. A escolha das três áreas é, portanto, uma escolha simplificadora. 
Na hipótese de se preferir caracterizar quatro escoamentos diferentes, poder-se-ía calcular a vazão 
pela área sobre o maciço adotando a expressão característica do escoamento sobre soleira espessa: 
 
 ( )Q L H H g Hs =  −  1 1 12 
onde: 
Qs vazão sobre a área da soleira 
L1 comprimento transversal do vertedor 
(H - H1) tirante sobre o maciço 
H1 carga sobre o vertedor (diferença entre os níveis de montante e jusante do 
vertedor) 
 
Aceita a hipótese simplificadora das três áreas, encontra-se para a área 1 (vertedor): 
 
 ( )Q c L L g H
V
g
V
g1 1 1
2 3 2 2 3 22
3
2
2 2
=   +   +





 −












/ /
 
 
e desprezando, inicialmente, a velocidade de aproximação : 
 
 ( )Q1
3 2
2
3
0 6 4 0 6 0 2 9 81 15 32 55=   +    =, , , , , ,/ m3/s 
 
Para as áreas 2 e 3 (orifícios) : 
 
 ( ) ( )Q c L L H H g H
V
g2 1 1 1
2
2
2
=  +  −   +





 
 
 Q c L a g H
V
g3 1
2
2
2
=     +





 
onde : 
c coeficiente de vazão para orifícios (c = 0,6) 
( L + L1) 
. (H - H1) área do orifício 2 
L . a área do orifício 3 
H1 diferença dos níveis de montante e jusante (carga hidráulica) 
V velocidade de aproximação na seção de montante 
 
Fazendo V = 0 e substituindo os valores: 
 
 ( ) ( )Q2 0 6 4 0 6 0 2 15 2 9 81 15 16 27=  +  −    =, , , , , , , m
3/s 
 
 Q3 0 6 4 0 3 0 2 9 81 15 39 06=      =, , , , , , m
3/s 
 
Calculando, agora, a velocidade de aproximação: 
 
 V =
+ +

=
32 55 16 27 39 06
10 5 0
1 76
, , ,
,
, m/s 
 
Considerando o efeito da velocidade, encontra-se para os três novos valores das vazões: 
 16 
 Q1 = 36,71 m
3/s ( > 12,8% ) 
 Q2 = 17,11 m
3/s ( > 5,1% ) 
 Q3 = 41,04 m
3/s ( > 5,0% ) 
 
O novo valor da velocidade será : V = 1,89 m/s ( > 7,3%) 
 
Dado ao fato do valor da velocidade crescer 7,3% em relação ao anterior, será prudente a realização 
de uma nova iteração para que se considere o resultado satisfatório. Este cálculo não será 
apresentado por ser uma mera repetição dos cálculos já efetuados. 
 
 
PROBLEMA (4) temática: VERTEDOR 
 
 
Na tentativa de evitar o efeito da contração e a depleção da veia líquida , comum nos vertedores 
retangulares, pretende-se utilizar vertedores triangulares e trapezoidais. Para tornar mais 
comparáveis os resultados obtidos nas várias opções disponíveis de vertedores, a carga de cálculo 
será fixada em 0,5 m, a área molhada em 2 m2 e a velocidade de aproximação considerada nula. 
Mantendo estes referenciais, determine as vazões dos seguintes vertedores : 
 
 a ) Vertedor triangular 
 b ) vertedor trapezoidal com ângulo /2 = 45 
 c ) vertedor Cipoletti 
 d ) vertedor circular 
 
Referencial Teórico 
Eurico Trindade Neves . Curso de Hidráulica , capítulo IX , pág. 141 . 
Azevedo Netto . Manual de Hidráulica : Volume I , capítulo 9 , pág. 79 . 
 
Solução : Antes do início do cálculo solicitado, convém verificar qual a vazão do vertedor 
retangular com as mesmas características : H = 0,5 m ; H . l = 2,0 m2 e V = 0 m/s , segundo a 
expressão de Francis : 
 
 Q = 1,838 l H3/2 
onde : 
l comprimento da soleira do vertedor ( l = 2/H ou l = ( 2 / 0,5 ) = 4,0 m ) 
H carga sobre o vertedor ( H = 0,5 m ) 
 
 Q = 1,838 * 4 * 0,53/2 = 2,599 m3/s 
 
Caso fossem consideradas duas contrações laterais, o resultado seria : 
 
 Q = 1,838 *( 4 - 2*(1/10)*0,5 ) * 0,53/2 = 2,534 m3/s ( 2,5% < 2,599 m3/s) 
 
Caso existisse uma depleção moderada, a vazão seria cerca de 6% superior à vazão com lâmina 
livre, como foi constatado por Bazin . 
 
a ) Vertedor triangular 
 17 
 
 
Sabe-se que, no triângulo isósceles, (veja a figura 9.1) : 
 
 b = 2 H tg /2 
 
A área deste triângulo será : 
 A = b*H / 2 
 
Substituindo os valores conhecidos : 
 
 2,0 = 2*0,5*tg( /2 )*0,5 / 2   = 165,75 
 
A vazão será calculada com a expressão : 
 
 Q c tg g H=  





  
8
15 2
2 5 2
 / 
onde : 
c coeficiente de vazão 
 ângulo do vértice do vertedor 
H carga do vertedor 
 
Substituindo os valores : 
 
 Q = 8/15 * 0,6 * 8 * (2*9,81)1/2 0,55/2 = 2,00 m3/s 
 
 
Estas vazão corresponde a 77% da vazão calculada para o vertedor retangular, no entanto, o 
ângulo de 165,74º utilizado nesse vertedor triangular é muito superior ao habitual. O ângulo de 90º 
é freqüentemente o mais encontrado. A aplicação de ângulo próximo a 180º (como um vertedor 
retangular) pode lançar dúvidas sobre o resultado do modelo. Para esclarecer esta questão vai-se 
utilizar quatro vertedores triangulares cuja soma das áreas molhadas sejam 2 m2 e cujas cargas 
sejam iguais a 0,5 m. Admitir-se-á que um vertedor não interferirá no escoamento de outro, apesar 
desta afirmativa não ser rigorosamente verdadeira. Assim : 
 
 
( )
A
b H H tg H
= =

=
 
0 5
2
2 2
2
,
( / )
 
 
 
Como : H = 0,5 m   = 126,86º 
 
 18 
 
Agora tem-se um valor muito mais próximo de 90º, como era pretendido . A vazão de cada 
vertedor será : 
 
 Q =      =
8
15
0 6 2 0 2 9 81 0 5 0 55 2, , , , ,/ m3/s 
 
Sendo esta a vazão de um vertedor, a vazão total dos quatros será igual a 2 m3/s . Não ocorreu 
alteração alguma pois a área neste modelo, determinada pelo ângulo , variou segundo sua 
tangente e a carga permaneceu constante. 
 
 
 
b ) A vazão do vertedor trapezoidal resulta da soma das vazões de um vertedor retangular e de um 
triangular. Observe a figura : 
 
 
 
 
 
 
Neste caso , onde A = 2,0 m2 , encontra-se pela equação da área do trapézio e pela figura : 
 
 
( )
A
b l l H
= =
 + + 
2 0
2 2
2
,
( ( / ) )
 
 
onde : b = 2H*tg(/2) 
 
Sabendo que /2 = 45º, encontra-se : l = 3,5 m 
 
A vazão será calculada por : 
 
 ( )Q c l g H c tg g H=     +    
2
3
2
8
15
2 23 2 5 2/ // 
 
(adição das fórmulas para cálculo de vazões em vertedores retangulares e triangulares) 
 
A vazão calculada será : Q = 2,443 m3/s 
 
 19 
Este desempenho é 22% superior ao desempenhodo vertedor triangular e 6% inferior ao do 
vertedor retangular . 
 
c ) O vertedor Cipolletti é um vertedor trapezoidal com as faces inclinadas na proporção de 1:4 
(h:v ). Sendo assim , é possível calcular o ângulo com a vertical, já que : 
 
 tg (/2) = 1/ 4   = 28,06º 
 
Da mesma forma que o vertedor trapezoidal anterior , a área será dada por : 
 
 
 
( )
A
b l l H
= =
 + + 
2 0
2 2
2
,
( ( / ) )
 , área do trapézio 
onde: 
 
 b = 2H*tg(/2) 
 
 
Sendo  = 28,06º, encontra-se : l = 3,875 m 
 
A vazão no vertedor Cipoletti é calculada pela expressão : 
 
 Q l H=  186 3 2, / 
onde : 
 
l comprimento da base menor do trapézio 
H carga do vertedor 
 
Substituindo os valores, encontra-se : 
 
 Q = 2,548 m3/s 
 
Utilizando, no entanto , a expressão utilizada anteriormente ( soma de expressões para vertedores 
triangular e retangular ), encontra-se : 
 
 
 ( )Q c l g H c tg g H=     +    
2
3
2
8
15
2 23 2 5 2/ // 
 
  Q = 2,489 m3/s (2,3% inferior ao resultado da expressão de Cipoletti) 
 
 
O resultado da expressão de Cipoletti é 2% inferior à vazão calculada para o vertedor 
retangular. 
 
 
 
 
 
 20 
 
 
d ) O vertedor circular é definido da forma indicada na figura 9.3: 
 
 : 
A área molhada do vertedor será dada por : 
 
 ( )A D= − 
1
8
2 sen 
 
A relação entre o ângulo e a carga será: 
 
 ( )H
D
= −
2
1 2cos / 
 
Substituindo os valores conhecidos e resolvendo o sistema: 
 







( )2
1
8
2= −  sen D e ( )0 5
2
1 2, cos /= −
D
 
encontra-se : 
 
( )( )
16
1 2
2
=
−
−
 

sen
cos /
 
 
resolvendo iterativamente a equação vê-se que: 
 
  = 35º e D = 21,6 m 
 
A vazão no vertedor será determinada por: 
 
 Q D H=  1518 0 693 1 807, , , 
 
onde : 
D diâmetro do vertedor 
H carga do vertedor 
 
 
 21 
 
Substituindo os valores temos: 
 
 Q = 3,648 m3/s 
 
Observe que esse vertedor terá como soleira um arco de círculo cujo comprimento será 
determinado por: 
 
 c = r. = (D/2) . ( / 180) = ( 21,6 / 2 ) . (35 x 3,14 / 180 ) = 6,59 m 
 
A extensão superior do tirante, ou corda subentendida pelo ângulo central, será: 
 
l = 2r sen ( /2) = 2 x 10,8 x sen (35/2) = 6,49 m 
 
A área real para  = 35 o e D = 21,6 m será: 
 
 A = ( 1/8 ) . ( (35 x 3,14) / (180) - sen 35 ) x 21,6 2 = 2,15 m2 
 
ou seja, 7,5 % maior do que as áreas dos demais vertedores. Essa diferença resultou da grande 
sensibilidade da equação que determina a área, fazendo com que mímimas variações de  
produzam grandes variações em A. Uma área maior certamente produzirá uma vazão maior 
tornando as medidas do vertedor circular pouco precisas. Nào convém, portanto, comparar seus 
resultados com os de outros tipos de vertedor. 
 
Reunindo as vazões calculadas tem-se o quadro seguinte: 
 
Desempenho Comparativo de Vertedores (A=2m2 ; H=0,5m) 
 
TIPO l(m) /2(graus) Q(m3/s) variação% 
Retangular 4,0 ____ 2,599 100 
Triangular ____ 82,87 2,000 77 
Trapezoidal 3,500 45,00 2,442 94 
Cipoletti 3,875 14,03 2,548 98 
Circular ____ 35,00 -- -- 
 
 
 
Conclui-se dos resultados que a forma do vertedor é muito importante na determinação da vazão 
efluente, para uma mesma carga e mesma área de fluxo. Os vertedores retangular e Cipoletti têm 
vazões muito próximas. O vertedor retangular alia simplicidade e grande capacidade de vazão com 
cargas menores. 
 
 
PROBLEMA (5) temática: VERTEDOR 
 
 
Analise o funcionamento de duas baterias de vertedores proporcionais (Sutro e Di Ricco), a serem 
utilizados em laboratório, com soleiras de 0,05 ; 0,10 ; 0,15 e 0,20 m e relação entre as dimensões 
da base retangular (comprimento versus altura) iguais a 3 e 5. Determine a equação da reta chave 
para a soleira 0,10 m de ambos os vertedores. 
 22 
 
Referencial Teórico : 
Azevedo Netto . Manual de Hidráulica : Volume I , capítulo 9 , pág. 79 
 
Solução : Nos vertedores proporcionais, a vazão varia com a primeira potência da altura da 
carga hidráulica. Esses vertedores têm, portanto, uma reta chave ao invés de uma curva chave ( 
vazão X carga ). Em geral, os vertedores proporcionais têm uma soleira retangular e seus lados são 
convergentes. A base retangular mantém uma relação entre seus lados maior e o menor 
(comprimento e altura, respectivamente) que varia entre 3 e 25. Quanto maior a relação menor 
será a altura do retângulo quando comparado à soleira. As relações de maior valor numérico 
resultam em vazões menores, para a mesma carga. Para viabilizar uma comparação entre as vazões 
desses vertedores, adotou-se as relações b/a (Sutro) e l/a ( Di Ricco ) iguais a 3 e 5, conforme 
indicado no enunciado. Padronizou-se, ainda as cargas nos valores 0,05 ; 0,10 ; 0;15 e 0,20 m. 
 
A vazão no vertedor Di Ricco é dada pela expressão : 
 
 Q K l a H a=    + 






5
8
 
onde : 
 K coeficiente que varia em função da relação l/a : 
 K = 2,094 para l/a = 3 
 K = 2,064 para l/a = 5 
 l comprimento da soleira do vertedor 
 a altura do retângulo da base 
 H carga hidráulica, contada a partir da soleira 
 
 23 
Os valores das vazões foram organizados na tabela mostrada a seguir. As vazões variam desde 
0,5 . 10-3 m3/s ( 0,5 l/s ) a 25,9 .10 -3 m3/s ( 25,9 l/s ). 
 
 
Vazão no vertedor Di Ricco 
 
l (m) l/a K a (m) Vazão (l/s) para H (m) 
 0,05 0,10 0,15 0,20 
0,05 
 
3 
5 
2,094 
2,064 
0,016 
0,010 
0,8 
0,5 
1,4 
1,1 
2,1 
1,6 
2,8 
2,1 
0,10 
 
3 
5 
2,094 
2,064 
0,033 
0,020 
1,8 
1,8 
4,5 
3,2 
6,5 
4,7 
8,4 
6,2 
0,15 3 
5 
2,094 
2,064 
0,050 
0,030 
5,7 
3,7 
9,2 
6,3 
12,7 
9,0 
16,2 
11,7 
0,20 3 
5 
2,094 
2,064 
0,066 
0,040 
9,8 
6,1 
15,2 
10,3 
20,5 
14,4 
25,9 
18,6 
 
 
A vazão do vertedor Sutro é dada por : 
 
 Q a b H
a
=    −





2 74
3
, 
onde : 
b comprimento da soleira 
a altura do retângulo da base 
H carga do vertedor, contada a partir da soleira 
 
 
Os valores das vazões foram organizados na tabela mostrada a seguir para diferentes valores de H e 
b, e indicados no gráfico. Esses valores variam desde 2 . 10-3 m3/s (2 l/s) a 50 . 10-3 m3/s. 
 
 
 
Vazão no vertedor Sutro 
 
b (m) l/a K a (m) Vazão (l/s) para H (m) 
 0,05 0,10 0,15 0,20 
0,05 
 
3 
5 
2,094 
2,064 
0,016 
0,010 
3 
2 
7 
6 
11 
9 
15 
12 
0,10 
 
3 
5 
2,094 
2,064 
0,033 
0,020 
6 
5 
14 
11 
21 
17 
29 
23 
0,15 3 
5 
2,094 
2,064 
0,050 
0,030 
8 
7 
19 
16 
31 
25 
43 
35 
0,20 3 
5 
2,094 
2,064 
0,066 
0,040 
9 
9 
24 
21 
40 
33 
56 
45 
 
 
Dos resultados obtidos, conclui-se que : 
 24 
 
• Para uma mesma carga, o vertedor Sutro escoa vazão muito superior ao vertedor 
Di Ricco ; 
• A reta chave do vertedor Sutro é muito mais inclinada do que a reta chave do 
vertedor Di Ricco. Resulta daí que o vertedor Sutro é mais sensível à variação de 
carga. 
 
 
Gráfico comparativo entre vertedor Sutro e Di Ricco, 
 para diferentes cargas hidráulicas 
 
3 7 11 15
6 14 21 29
8 19 31 43
9 16 40 56
0,8 1,4 2,1 2,8
1,8 4,5 6,5 8,4
5,7 9,2 12,7 16,2
9,8 15,2 20,5 25,9
Vertedores Di Ricco e Sutro ( l/a = b/a =3 )
0
10
20
30
40
50
60
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14 0,16 0,18 0,2
H (m)
Q
 (l
/s
)
 
Obs.: - As linhas contínuas correspondem ao vertedor Sutro, enquanto que as pontilhadas 
pertencem ao vertedor Di Ricco. 
As linhas superiores (maior vazão para uma mesma carga H) correspondem aos 
vertedores com maiores bases (b, no vertedor Sutro e L, no vertedor Di Ricco). 
 
Do ponto de vista construtivo, há diferençasa considerar entre esses vertedores. As paredes do 
vertedor Sutro são definidas pela equação : 
 
 
x e y são as coordenadas de cada ponto medidas a partir da base. 
Já as paredes do vertedor Di Ricco são definidas por segmentos de reta cujo espaçamentos e alturas 
são dimensionadas em função de l e a. No topo (altura de 10a ), a distância entre paredes é 
 25 
igual a 0,14 l, e sobre a área da base essa distância é de 0,46 l. As distâncias intermediárias são 
0,19 l e 0,26 l, ficando respectivamente a 5,0a e 2,5a de altura, medidas a partir da soleira. Ora, é 
fácil concluir sobre a dificuldade construtiva do vertedor Sutro e sobre as possíveis imprecisões 
resultantes de defeitos construtivos. 
 
 Observando como estes vertedores foram projetados conclui-se, também, sobre a causa que leva ao 
melhor desempenho do vertedor Sutro para uma mesma carga. As paredes curvas do vertedor Sutro 
são lançadas a partir dos extremos da área base desse vertedor, enquanto no vertedor Di Ricco, o 
trapézio inferior está centrado sobre sua área base, correspondendo, na sua maior dimensão 
horizontal, a apenas 0,46 da soleira (menos da metade). 
 
Em resumo, a área molhada do vertedor Sutro é maior para uma mesma carga, o que resulta em 
maior vazão. 
 
As equações das retas chave podem ser calculadas por : 
 
 ( ) ( )y y m x x− =  −1 1 
onde : 
m coeficiente angular da reta m
y y
x x
=
−
−
2 1
2 1
 
yi ; xi coordenadas do ponto i sobre a reta chave. 
 
 
 
 
Substituindo valores conhecidos : 
 
l 
(m) 
l/a 
(b/a) 
vertedor Q1(y1) Q2(y2) H1(x1) H2(x2) m equação Q = 
0,10 3 Di Ricco 1,8 8,4 0,05 0,2 0,044 0,044H +1,797 
0,10 3 Sutro 6,0 29,0 0,05 0,2 0,153 0,153H + 6,0 
 
 
 
É óbvio que, para qualquer vertedor, quando a carga é nula (H = 0), a vazão deve também ser nula. 
Estas equações, no entanto, não oferecem este resultado. Concluí-se, em decorrência, que as 
equações não se aplicam a cargas pequenas. 
 
No caso tratado, as equações devem ser desconsideradas para cargas inferiores a uma fração da 
altura do retângulo, base a, a ser definida, até porque abaixo desta altura o vertedor deixa de ser 
proporcional e passa a ser retangular. 
 
 
 
 
Exercício 6 
 
Analise o funcionamento de um vertedor lateral construído sobre o paramento de um canal de 
seção retangular, revestido de concreto, com borda fina, entalhe de 0,5 m sobre a lateral da seção e 
 26 
comprimento de soleira de 5 m. Utilize a fórmula de Francis, fórmula dos vertedores laterais, 
Engels e Dominguez 
 
 
 
 
Referencial Teórico: 
Eurico Trindade Neves. Curso de Hidráulica, capítulos IX e XIV. 
Ven Te Chow. Open-Channel Hydraulics, capítulo 12, página 340. 
 
Comentário inicial: Ao analisar este problema deve-se estar certo que se conhece a teoria 
de escoamento em canais. Não sendo o caso, deve-se deixar esta solução para outra oportunidade. 
 
 
 
Solução : O vertedor lateral tem um funcionamento muito complexo. Frazer classificou estes 
possíveis escoamentos em cinco tipos diferentes denominados : A , B ,C , D e E. Cada tipo de 
escoamento está associado a uma inclinação longitudinal do canal. Os tipos A e C ocorrem quando 
a declividade do canal é crítica ou aproximadamente crítica. O tipo B se verifica em canais de 
pequena declividade e os tipos D e E ocorrem em canais de grande declividade. Frazer inclusive 
adverte seus leitores sobre a dificuldade de se obter bons resultados no cálculo de vazões com os 
escoamentos do tipo D e E uma vez que , sendo o escoamento no canal supercrítico ( I > Ic ), a 
veia líquida do vertedor fará um ângulo muito pequeno com a soleira (escoamento oblíquo). Isto 
inviabiliza todo o fundamento matemático disponível que prevê um ângulo próximo de 90º entre 
veia líquida e soleira. 
 
Pretende-se abordar esta questão considerando o vertedor instalado em canal de pequena 
declividade ( Tipo B ) que constitui a grande maioria dos casos. Nessa hipótese, o vertedor 
funcionará como indicado na figura 11.2 : 
 
 
 27 
Vazão do vertedor lateral: q = Qo - Q1 (vertedor lateral tipo B ) 
 
Apenas como exemplo, mostra-se que o escoamento do Tipo A tem o seguinte perfil: 
 
 
O que chama a atenção nestes dois tipos de perfis é que o perfil do tipo A segue uma trajetória 
previsível, isto é , descendente ao longo da soleira do vertedor, em razão de saída de parte da vazão 
do canal. O perfil do tipo B , no entanto , se desenvolve exatamente ao contrário das expectativas. 
Esse comportamento aparentemente impossível tem a sua explicação, com fundamento na curva de 
Koch da seção do canal onde o vertedor está instalado. Sabe-se que a curva de Koch tem o 
desenvolvimento indicado na figura 11.4 : 
 
Os tirantes são marcados no eixo vertical e as vazões no eixo das abcissas. A curva indica , assim , 
as vazões a serem percorridas no canal , para cada tirante , desde que seja mantida a energia 
específica constante. A altura crítica é a fronteira entre os escoamentos subcrítico e supercrítico. 
Tirantes superiores a yc são associados a escoamentos subcríticos, como o caso em 
consideração. 
 28 
Admite-se agora que, a montante do vertedor, o canal é percorrido pela vazão Qo, seguindo o 
tirante yo. A jusante do vertedor a vazão será Q1 , sendo Q1 < Qo , passando o tirante ao 
nível y1. O gráfico indica que a vazão subcrítica cresce até Qc , a vazão máxima para a 
energia específica determinada. Então , a vazão Q1 < Qo só poderá ser encontrar um tirante 
superior a yo . Fica assim justificado o aumento de tirante. 
 
Como já foi dito, o funcionamento do vertedor lateral está intimamente associado à 
declividade do canal e a grande influência que esta tem sobre sua velocidade de escoamento. 
Quando a velocidade do escoamento no canal é desprezável, a vazão do vertedor lateral pode 
ser calculada com auxílio das fórmulas do vertedor tradicional. Favre, Scande e Sabathé 
aconselham as fórmulas convencionais , para cálculo da vazão dos vertedores laterais, sempre 
que H1/Ho < 0,6. Outros pesquisadores aconselham o cálculo, segundo as fórmulas 
tradicionais mas tomando a carga como a média das alturas Ho e H1 . 
 
Dados estes esclarecimentos , irá se fazer os cálculos das vazões utilizando os vários modelos 
matemáticos disponíveis. Para tornar mais evidentes as distorções causadas pelo 
afastamento crescente entre Ho e H1 , vai-se adotar cinco desvios indicados no quadro. 
Admitindo que H1 = 0,05 m , encontra-se os respectivos valores de Ho : 
 
 
Ho - H1(m) 0,0 0,10 0,20 0,30 0,40 
H1 (m) 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 
Ho (m) 0,05 0,15 0,25 0,35 0,045 
 
Calculando inicialmente a vazão pelo modelo tradicional, adotando a expressão de Francis, 
considerando nula a velocidade de aproximação, com lâmina livre, e considerando o efeito de 
duas contrações da veia líquida : 
 
Para: H = 0,05 m → Q = 1,838 ( 5 - 2 . 0,1 . 0,05). 0,053/2 
 Q = 0,102 m3/s 
 
Não faz muito sentido utilizar a fórmula de Francis quando a carga é variável ao longo da 
soleira. Pode-se , no entanto, substituir a carga H pela médias entre as altura Ho e H1. 
Agindo desta forma : 
 
 
Ho - H1 (m) Ho (m) H = (Ho + H1)/2 (m) Qf ( Francis ) m3/s 
0 0,05 0,05 0,102 
0,10 0,15 0,10 0,289 
0,20 0,25 0,15 0,530 
0,30 0,35 0,20 0,815 
 29 
0,40 0,45 0,25 1,137 
 
Aplicando agora a fórmula para vertedores laterais : 
 
 Q m l g
H Ho
H Ho
=    
−
−
2
5
2
1
1
5 2 5 2
`
/ /
 
onde : 
m coeficiente de vazão nos vertedores 
l’ comprimento da soleira do vertedor 
Ho carga a montante do vertedor 
H1 carga a jusante do vertedor 
 
Como não há velocidade de aproximação, uma vez que a corrente do canal é perpendicular à 
veia líquida, no vertedor, pode-se adotar m = 0,4. O comprimento da soleira, no entanto, 
pode ser corrigidopara considerar as contrações laterais. 
 
 
 
 
 l` = ( l - n c` H ) 
onde : 
l : comprimento da soleira do vertedor 
n número de contrações 
H carga sobre o vertedor que neste caso pode ser considerada igual à média 
de Ho e H1 . 
c` coeficiente de contração ( c`= 0,1 ) 
 
Segundo essa conceituação encontra-se o resultado : 
Ho - H1 (m) Ho (m) H=(Ho - H1)/2 Q % 
100*Q/Qf 
0 0,05 0,05 **** (1) **** 
0,10 0,15 0,10 0,287 99 
0,20 0,25 0,15 0,540 101 
0,30 0,35 0,20 0,842 103 
0,40 0,45 0,25 1,186 104 
 (1) a vazão não pode ser calculada pois o denominador tornou-se nulo. 
 
É fácil constatar que as diferenças registradas são mínimas, porém crescem com o 
distanciamento de Ho - H1. Pode-se, ainda, utilizar a fórmula de Engels : 
 30 
 
 Qe m g l H=   ` /2 15 2 53 
onde : 
m` coeficiente de vazão (m`= 0,414) 
l comprimento da soleira (sem ajuste) 
H1 carga a jusante do vertedor 
 
 
Substituindo os valores conhecidos, com H1 fixado constante : 
 
 Qe =    =0 414 2 9 81 5 0 05 0 0485 2 53, , , ,/ m3/s 
 
Como esta expressão não considera valores de Ho, o valor da vazão permanecerá constante 
para todos os casos de Ho - H1. Obviamente o uso deste modelo fica restrito aos casos onde 
Ho e H1 são praticamente iguais. Certamente, pode-se adotar a estratégia de substituir H1 
pela média aritmética destas duas alturas. Mesmo assim, o resultado obtido difere em muito 
dos anteriores, já que a vazão , segundo Francis , para H = 0,05 é igual a 0,102 m3/s. 
 
Conclui-se, então , que a expressão de Engels não se aplica aos escoamentos do tipo B e 
provavelmente trará melhores resultados nos escoamentos do tipo D e E , onde a velocidade 
média do canal é muito alta dificultando o extravasamento pelo vertedor lateral. 
 
Finalmente pode-se adotar a fórmula de Dominguez 
 
 Qd s g ho=      2 3 2/ 
onde : 
 coeficiente que varia em função da carga, espessura e forma da soleira 
 coeficiente que varia em função de Ho/H1 
s área molhada do vertedor s = (Ho + H1).l/2 
ho maior carga sobre o vertedor 
 
 
Para os valores conhecidos : 
 
Ho - H1 
(m) 
Ho 
(m) 
Ho/H1  H=(Ho+H1)/2  s (m2) Qd 
(m3/s) 
0 0,05 1,0 1,000 0,05 0,370 0,25 0,004 
0,10 0,15 3,0 0,745 0,10 0,370 0,50 0,035 
0,20 0,25 5,0 0,491 0,15 0,360 0,75 0,073 
 31 
0,30 0,35 7,0 0,467 0,20 0,355 1,00 0,151 
0,40 0,45 9,0 0,443 0,25 0,352 1,25 0,260 
 
Mais uma vez os resultados estão muito distantes dos encontrados pelas duas fórmulas 
iniciais. Vale para a expressão de Dominguez a mesma conclusão adotada para a fórmula de 
Engels.