COLISÕES ELÁSTICAS BIDIMENSIONAIS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO OESTE DO PARANÁ 
CAMPUS TOLEDO 
 
 
 
Centro de Engenharias e Ciências Exatas 
Curso de Engenharia Química 
 
 
 
 
COLISÕES ELÁSTICAS BIDIMENSIONAIS 
 
 
 
Disciplina Física Geral e Experimental II 
Prof. Dr. Fernando Rodolfo Espinoza Quiñones 
 
 
Guilherme Fiuza 
Heron Ghellere Slovinski 
 
 
 
Link do Video: https://youtu.be/LBoknNka_jY 
heronslovinski@hotmail.com 
guicf26@hotmail.com 
Prática: 14/06/2021 
Entrega do Relatório:29/06/2021 
https://youtu.be/LBoknNka_jY
Sumário 
 
RESUMO............................................................................................................ 4 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................ 5 
2. EMBASAMENTO PRÉVIO .......................................................................... 7 
2.1. ERROS E MEDIDAS NO MÉTODO CIENTÍFICO .................................... 7 
2.2. MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINÉTICA ........................................... 9 
2.3. CONSERVAÇÃO DE MOMENTO .......................................................... 11 
2.4. COLISÕES ELÁSTICAS BIDIMENSIONAIS .......................................... 11 
2.5. PARTÍCULAS DE MASSAS DIFERENTES............................................ 12 
2.6. PARTÍCULAS DE MASSAS IGUAIS ...................................................... 13 
2.7. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA E TEMPO DE VOO .......................... 14 
3. MATERIAIS E MÉTODOS ........................................................................ 15 
3.1. MATERIAIS ............................................................................................ 15 
Conjunto para Lançamentos Horizontais Möller ........................................ 15 
Esferas Metálicas ...................................................................................... 15 
Papel Carbono .......................................................................................... 15 
Papel milimetrado ..................................................................................... 16 
Fita Adesiva .............................................................................................. 16 
Lápis, Régua e Transferidor ...................................................................... 16 
3.2. MÉTODOS ............................................................................................. 16 
4. RESULTADOS E DISCUSSÕES .............................................................. 18 
4.1. LANÇAMENTO LIVRE (SEM COLISÃO) ............................................... 18 
4.2. LANÇAMENTO COM COLISÃO ............................................................ 19 
4.3. DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE E TEMPO DE QUEDA ANTES DA 
COLISÃO ......................................................................................................... 20 
4.4. DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DAS ESFERAS PÓS-COLISÃO . 20 
4.5. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR ............................................ 20 
4.6. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA CINÉTICA ........................................... 21 
5. CONCLUSÃO ........................................................................................... 22 
6. REFERÊNCIAS ......................................................................................... 23 
7. ANEXOS ................................................................................................... 24 
7.1. Cálculo da Velocidade Média e tempo de queda para o lançamento livre e 
suas incertezas ................................................................................................ 24 
7.2. Cálculo da Velocida Média para as esferas pós colisão ......................... 25 
7.3. Cálculo da conservação do momento linear ........................................... 26 
7.4. Cálculo da conservação da energia cinética .......................................... 26 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMO 
 
 O experimento realizado teve como principal objetivo a utilização do 
método de lançamento horizontal de uma partícula para a verificação da 
conservação do vetor quantidade de movimento linear total e do escalar energia 
cinética total, no processo de colisão elástica. Nesta prática, foram realizadas 
colisões com duas esferas metálicas de massa idêntica repetidas vezes, para a 
confirmação que através da colisão bidimensional, entre duas partículas de 
mesma massa, o ângulo formado pelas suas trajetórias finais é de 90°, caso não 
haja perda de momento ou energia cinética. A primeira esfera era lançada de 
uma rampa de madeira de altura constante e colidia com a segunda esfera 
apoiada sobre um parafuso, na saída da rampa. Após a colisão, as esferas caiam 
livremente sobre uma folha de papel carbono apoiada sobre uma folha de papel 
milimetrado para que deixassem uma marcação no local de impacto. A partir da 
análise dos pontos e considerando a conservação do momento e da energia 
cinética, pode-se verificar se a afirmação descrita anteriormente aplicou-se aos 
experimentos. 
 
Palavras-chave: colisões, conservação de momento, conservação de 
energia cinética. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 No âmbito da Física segundo a definição apresentada por Halliday 
Resnick & Walker, no livro “Fundamentos da Física 1”, uma colisão é um evento 
isolado de interação entre duas ou mais partículas cuja duração é extremamente 
curta na escala de tempo humana e onde há troca de momento linear e energia. 
Essa definição pode ser aplicada em situações reais da vida, como em um 
choque entre dois corpos, como um acidente entre automóveis, ou em um jogo 
de sinuca, que é o que mais se aproxima de uma situação criada em laboratório. 
Entretanto, nem sempre o contato entre dois corpos é necessário para uma 
colisão, já que elas podem ocorrer entre partículas minúsculas, como em um 
átomo. É possível ainda separá-las em dois tipos, as elásticas, que tem seu 
momento linear e energia cinética conservadas, e as inelásticas. 
 Como citado anteriormente, é possível estudar as colisões em um jogo de 
sinuca, onde duas bolas de bilhar se chocam, pode-se ocorrer que o choque não 
altere a direção dos corpos, seguindo a mesma linha direcional antes e depois 
da colisão, sendo chamada de colisão. Diferentemente, quando as bolas 
seguem direções diferentes após o choque, denomina-se a colisão como 
bidimensional (MENTZ, Luciano). 
 
Figura 1- Esquematização de uma colisão bidimensional elástica 
 
Como citado anteriormente, uma colisão bidimensional ocorre também em 
níveis microscópicos, em interações entre partículas, um exemplo disso são as 
bombas atômicas, que tem seu mecanismo realizado microscopicamente, onde, 
por meio da fissão nuclear, ocorrem colisões entre nêutrons com um núcleo 
atômico instável, provocando a sua ruptura. Sob determinadas condições, essa 
fissão pode resultar em uma reação em cadeia, em que os nêutrons liberados 
continuam bombardeando outros núcleos atômicos na vizinhança, liberando 
cada vez mais nêutrons e mais energia (FOGAÇA, Jennifer). 
Dessa forma, este experimento tem como objetivo a utilização do método 
de lançamento horizontal de uma partícula para a verificação da conservação do 
vetor quantidade de movimento linear total e do escalar energia cinética total, no 
processo de colisão elástica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. EMBASAMENTO PRÉVIO 
 
2.1. ERROS E MEDIDAS NO MÉTODO CIENTÍFICO 
 
Um dos princípios básicos da física é que não se consegue medir uma 
grandeza física com precisão absoluta, ou seja, para qualquer medição realizada 
é necessária a propagação dos erros nas medidas e cálculos realizados, pois 
existem diversos fatores e variáveis que podem prejudicar a precisão, dessa 
forma, qualquer medição pois mais exata que seja, sempre é considerada 
aproximada. (Toguinho Filho, Andrello; 2009) 
Para melhor entender a propagaçãodos erros é possível classificá-los em 
três diferentes grupos: os erros sistemáticos, erros grosseiros ou ainda os erros 
aleatórios. Os sistemáticos acontecem principalmente em experimentos que se 
utilizam da mudança de temperatura, pressão e umidade, que são mudanças 
relacionadas ao ambiente, ou ainda relacionados a defeitos e falhas de 
instrumentos de medida; os grosseiros que são ocasionados pela falha do 
responsável pelo procedimento; e por último os erros aleatórios que são 
causados por causas desconhecidas e indeterminadas que prejudicam os dados 
obtidos. (Toguinho Filho, Andrello; 2009) 
Partindo das definições apresentadas anteriormente uma equação para o 
cálculo do erro de um certo experimento pode ser utilizada. Primeiramente, como 
a repetição de experimentos é recomendada para que seja diminuído o intervalo 
de confiança, a média aritmética é inicialmente aplicada: 
𝑀é𝑑𝑖𝑎 𝐴𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 =
1
𝑛
∑
𝑛
𝑖=1
𝑋𝑖 1 
 
 
Porém, o valor médio estimado deve estar sempre acompanhado dos 
erros, proveniente de diferentes variáveis possíveis, as quais unidas formam a 
variância e o desvio padrão que são medidas de dispersão utilizadas para indicar 
a regularidade de um conjunto de dados em função da média aritmética. 
Podendo ainda ser calculados de forma relativa ao método ou relativa às 
medidas. A determinação da variância é feita através da observação da 
população de valores ou repetições N, sendo determinada pela equação: 
𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 =
1
𝑁 − 1
∑
𝑁
𝑖=1
[𝑋𝑖 − 𝑋𝑚é𝑑𝑖𝑜]² 2 
 
 O desvio padrão é determinado através da raiz quadrada da variância, e 
é o parâmetro mais comum para se analisar erros, isso ocorre pela variância se 
apresentar em unidades quadradas em relação às analisadas e o desvio padrão 
não. 
 Ainda por outro lado, o desvio relativo às medidas segue outra linha de 
raciocínio, a medida pode ser considerada uma função dependendo de seus 
parâmetros. A variância global é considerada a derivada parcial em relação a 
cada uma de suas variáveis. Seja 𝜃 a função representante da medida e 
𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝑒 𝛿 suas variáveis dependentes, a variância pode ser expressa como: 
 
𝑉𝑎𝑟 𝜃 = |𝑑𝜃|2 = | 
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
𝑑𝛼 +
 𝜕𝑓
𝑑𝛽 
𝑑𝛽 +
 𝜕𝑓
𝑑𝛾 
𝑑𝛾 … +
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
𝑑𝛿|² 3 
 
O desenvolvimento desses quadrados resulta em: 
 
𝑉𝑎𝑟 𝜃 = |𝑑𝜃|2 = (
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
)
2
𝑑𝛼 + (
 𝜕𝑓
𝑑𝛽 
)
2
𝑑𝛽 … +
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
 𝜕𝑓
𝑑𝛽 
√𝑑𝛼𝑑𝛽 … 4 
 
Entretanto, os termos √𝑑𝛼𝑑𝛽 são chamados de covariâncias, e quando 
os parâmetros são independentes entre si, como ocorre em medidas, esse termo 
é nulo, logo, a variância é dada por: 
 
𝑉𝑎𝑟 𝜃 = |𝑑𝜃|2 = (
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
)²𝑑𝛼 + (
 𝜕𝑓
𝑑𝛽 
)²𝑑𝛽 + (
 𝜕𝑓
𝑑𝛾 
)²𝑑𝛾 … + (
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
)²𝑑𝛿 5 
 
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, tem-se a incerteza 
global como: 
𝑑𝜃 = √(
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
)²𝑑𝛼 + (
 𝜕𝑓
𝑑𝛽 
)²𝑑𝛽 + (
 𝜕𝑓
𝑑𝛾 
)²𝑑𝛾 … + (
 𝜕𝑓
𝑑𝛼 
)²𝑑𝛿 6 
 
Desta forma, o peso da diferencial de cada um dos parâmetros (𝑑𝛼, 𝑑𝛽 e 
etc.) é relativo ao valor que essa medida tem na estimativa do parâmetro 𝜃 de 
interesse. 
Além da atenção ao relatar e ajustar os erros dos métodos e suas medidas 
existe ainda a propagação quando inseridos em calculos. Essa propagação 
também segue regras que são ditadas por parâmetros diversos da literatura, 
como descritos abaixo: 
 
𝑆𝑢𝑏𝑡𝑟𝑎çã𝑜: 𝑍 ± 𝛥𝑧 = (𝑥 ± 𝛥𝑥) − (𝑦 ± 𝛥𝑦) = (𝑥 − 𝑦) ± (𝛥𝑥 + 𝛥𝑦) 7 
𝐴𝑑𝑖çã𝑜: 𝑍 ± 𝛥𝑧 = (𝑥 ± 𝛥𝑥) + (𝑦 ± 𝛥𝑦) = (𝑥 + 𝑦) ± (𝛥𝑥 ± 𝛥𝑦) 8 
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜: 𝑍 ± 𝛥𝑧 = (𝑥 ± 𝛥𝑥). (𝑦 ± 𝛥𝑦) = (𝑥. 𝑦) ± (𝑥. ∆𝑦 + ∆𝑥. 𝑦) 9 
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠ã𝑜: 𝑍 ± 𝛥𝑧 =
(𝑥 ± 𝛥𝑥)
(𝑦 ± 𝛥𝑦)
 = (
𝑥
𝑦
) ± (
𝑥. ∆𝑦 + ∆𝑥. 𝑦
𝑦2
) 10 
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑚𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑍 ± 𝛥𝑧 = 𝑐(𝑥 ± 𝛥𝑥) = 𝑐𝑥 ± 𝑐𝛥𝑥 11 
𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑍 ± 𝛥𝑧 = (𝑥 ± 𝛥𝑥)𝑛 = 𝑥𝑛 ± 𝑛𝑥𝑛−1. 𝛥𝑥 12 
 
Por último, depois de todo o tratamento dos dados realizado, existe ainda 
o cuidado com a apresentação desses resultados e ainda com seus algarismos 
significativos. É importante que os valores medidos tenham pelo menos a mesma 
quantidade de algarismos significativos que a incerteza, demonstrando o quão 
preciso é o valor. Se a incerteza vai até a unidade dos inteiros, o valor médio 
deve ser arredondado até a casa dos inteiros também. 
A união desses conceitos é o que permite que o experimento seja aceito, 
confiável e possa representar com precisão os fenômenos da natureza em uma 
escala experimental. 
 
2.2. MOMENTO LINEAR E ENERGIA CINÉTICA 
 
Em um sistema de partículas onde as leis de Newton são válidas, é 
possível afirmar que todo o sistema está sujeito a forças e à influência do meio 
externo. Dessa forma, é possível descrever e prever o comportamento das 
partículas em ordens matemáticas a partir de grandezas físicas. Todas as vezes 
que ocorre uma interação entre duas partículas ou corpos, e um deles estando 
em movimento ou adquirindo esse movimento, tem-se uma quantidade de 
movimento no sistema. 
�⃗� = 𝑚�⃗� 13 
 
A quantidade de movimento (�⃗�) é uma grandeza vetorial determinada 
linearmente pela massa do corpo (𝑚) multiplicada pelo seu vetor velocidade 
(�⃗�). 
Sua forma vetorial garante simplicidade ao entender variações ou 
perturbações no movimento das partículas. 
𝑘 =
1
2
𝑚𝑣2 14 
 
A energia cinética (k) é outra grandeza que também pode ser relacionada 
com o movimento das partículas, porém, ela relaciona a massa da partícula com 
sua velocidade de modo não linear, conforme a equação 14, e seu valor é 
definido por um escalar. 
Ainda, se torna possível relacionar essas duas grandezas para que seja 
possível obter uma a partir da outra isolando a velocidade na equação 13 e 
substituindo o resultado na equação 14, como demonstrado abaixo: 
 
𝑘 =
1
2
𝑚 (
�⃗�
𝑚
)
2
 15 
𝑘 =
1
2
𝑚�⃗�2
𝑚2
 16 
𝑘 =
�⃗�2
2𝑚
 17 
 
Isolando a quantidade de movimento na equação 18, obtém-se: 
 
�⃗� = √2𝑚𝑘 18 
 
É visto assim, que a variação de uma grandeza pode ocorrer dependendo 
da outra. Se apenas a energia cinética for trabalhada, informações como direção 
e sentido se perdem, visto que é uma grandeza escalar, dessa forma, a 
quantidade de movimento complementa essa grandeza para dar coerência ao 
movimento observado por ser uma grandeza vetorial e fornecer as informações 
de direção e sentido do movimento. 
 
2.3. CONSERVAÇÃO DE MOMENTO 
 
A conservação da quantidade de movimento é levada em consideração 
quando se emprega um sistema de partículas e esse sistema esteja isolado do 
universo ao seu redor, dessa forma, não podendo transmitir ou receber energia 
ou momento linear do seu entorno. 
As únicas trocar possíveis no momento linear ocorrem apenas no interior 
dele, ao se aproximarem uma da outra, ocorre a troca de energia entre as 
partículas, uma ou mais perdendo energia e outra recebendo essa energia. 
Dessa forma, a quantidade total de energia do sistema permanece invariável. 
 
�⃗�𝑖 = �⃗�𝑓 19 
𝑚�⃗�𝑖 = 𝑚�⃗�𝑓 20 
 
Em que �⃗�𝑖 e �⃗�𝑖 são a quantidade de movimento e velocidade iniciais do 
sistema, �⃗�𝑓 e �⃗�𝑓 são a quantidade de movimento e velocidade finais do sistema 
e 𝑚 é a massa total do sistema. 
 
2.4. COLISÕES ELÁSTICAS BIDIMENSIONAIS 
 
Colisões são interações isoladas nas quais uma força relativamente 
intensa age sobre um ou mais corpos fazendo com que esses interajam entre si 
por um período de tempo relativamente pequeno (HALLIDAY). Durante esse 
período podem ocorrer trocas de energia, momento linear, massa, entre outras 
grandezas desses corpos. 
No caso das colisões elásticas, não ocorre transferência ou perda de 
massa entre as partículas envolvidas na colisão. Em outras palavras, não 
acontecem deformações permanentes em suas estruturas devido a suas forças 
internasrestauradoras, que fazem com que a partícula retorne espontaneamente 
a sua condição de equilíbrio. Em sistemas isolados, essas colisões seguem a 
terceira lei de Newton, resultando que a soma de todas essas forças internas 
sobre o sistema seja nula. Nesse caso, pode-se dizer que há conservação de 
momento e de energia cinética, visto que não ocorre troca de energia com o meio 
externo. 
Quando duas partículas colidem lateralmente ou com uma angulação 
diferente de 0° sobre um mesmo plano, ocorre a formação de um ângulo θ entre 
as trajetórias finais das partículas, resultando no que é chamado de uma colisão 
bidimensional. 
 
2.5. PARTÍCULAS DE MASSAS DIFERENTES 
Numa colisão elástica bidimensional entre partículas de massas distintas 
em um sistema isolado, os vetores posição e velocidade de cada partícula devem 
ser analisados, antes e depois da colisão. Seguindo as leis de conservação de 
momento e energia cinética, temos que: 
 
�⃗�1𝑖 + �⃗�2𝑖 = �⃗�1𝑓 + �⃗�2𝑓 21 
𝑘1𝑖 + 𝑘2𝑖 = 𝑘1𝑓 + 𝑘2𝑓 ⇒ 
�⃗�1𝑖
2
2𝑚1
+
�⃗�2𝑖
2
2𝑚2
=
�⃗�1𝑓
2
2𝑚1
+
�⃗�2𝑓
2
2𝑚2
 22 
 
Nas quais, �⃗�1𝑖 e �⃗�1𝑓, �⃗�2𝑖 e �⃗�2𝑓 são as quantidades de movimento iniciais e 
finais das partículas 1 e 2, respectivamente; 𝑘1𝑖 e 𝑘1𝑓, 𝑘2𝑖 e 𝑘2𝑓 são os valores 
de energia cinética iniciais e finais de cada partícula, e 𝑚1 e 𝑚2 são as massas 
das partículas 1 e 2. 
Para simplificar a análise de colisões bidimensionais, pode-se considerar 
o uso de um sistema de referência inercial acompanhando uma das partículas, 
que então, teria como sua condição inicial o repouso. 
 
�⃗�1𝑖 = �⃗�1𝑓 + �⃗�2𝑓 23 
𝑘1𝑖 = 𝑘1𝑓 + 𝑘2𝑓 ⇒ 
�⃗�1𝑖
2
2𝑚1
=
�⃗�1𝑓
2
2𝑚1
+
�⃗�2𝑓
2
2𝑚2
 24 
 
Dessa forma, reduz-se o número de variáveis das equações, pois tanto o 
momento linear inicial, quanto a energia cinética dessa partícula seriam nulos, 
como mostram as equações 23 e 24. 
Quando as massas das partículas são diferentes, as suas trajetórias após 
a colisão podem formar ângulos distintos θ1 e θ2, medidos a partir de um eixo 
traçado a partir do ponto de ocorrência da colisão, dependendo da proporção de 
suas características antes da colisão. 
 
2.6. PARTÍCULAS DE MASSAS IGUAIS 
 
 Existem ainda os casos de colisões bidimensionais elásticas onde as 
duas partículas existentes no sistema possuem os mesmos valores de massa. 
Nessa situação, espera-se que o ângulo formado pelas trajetórias das partículas 
após a colisão seja de 90°, ou seja, perpendiculares. 
Observando a partir de um referencial inercial que acompanha a partícula 
2 pode-se atingir esse resultado ao comparar as equações de momento linear e 
de energia cinética, considerando as massas das partículas iguais (𝑚1 = 𝑚2): 
 
𝑘1𝑖 = 𝑘1𝑓 + 𝑘2𝑓 ⇒ 
�⃗�1𝑖
2
2𝑚1
=
�⃗�1𝑓
2
2𝑚1
+
�⃗�2𝑓
2
2𝑚2
 25 
[�⃗�1𝑖]
2 = [�⃗�1𝑓]
2
+ [�⃗�2𝑓]
2
 26 
 
Para realizar a comparação é necessário fazer a quadratura da equação 
da conservação da quantidade de movimento utilizando o produto escalar de 
dois vetores: 
 
[�⃗�1𝑖]. [�⃗�1𝑖] = [�⃗�1𝑓 + �⃗�2𝑓]. [�⃗�1𝑓 + �⃗�2𝑓] 27 
[�⃗�1𝑖]
2 = [�⃗�1𝑓]
2
+ [�⃗�2𝑓]
2
+ 2. �⃗�1𝑓 . �⃗�2𝑓 
28 
 
Substituindo o termo [�⃗�1𝑖]
2 na equação 27: 
 
[�⃗�1𝑓]
2
+ [�⃗�2𝑓]
2
= [�⃗�1𝑓]
2
+ [�⃗�2𝑓]
2
+ 2. �⃗�1𝑓 . �⃗�2𝑓 
29 
 ∴ �⃗�1𝑓 . �⃗�2𝑓 = 0 30 
 
A equação 30 representa que o produto escalar entre os vetores 
quantidade de movimento finais das duas partículas é igual a 0, em outras 
palavras, o único meio de que o produto de dois vetores seja escalar é se eles 
forem perpendiculares entre si. 
2.7. VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA E TEMPO DE VOO 
Para encontrar as velocidades médias das esferas nos lançamentos livres 
e pós-colisão, foi utilizado a Equação 31: 
 𝑉 =
𝑑�⃗�
𝑑𝑡
 31 
 Onde 𝑑𝐴 é o alcance das esferas em lançamento sobre o plano 
cartesiano, e 𝑑𝑡 o tempo de voo até chegar ao alcance. 
Para o tempo que um corpo leva para cair de uma altura H, partindo do 
repouso das esferas, após saírem da rampa de lançamento, foi utilizado a 
equação 32: 
 𝑡𝑣𝑜𝑜 = √
2ℎ
𝑔
 32 
 Onde ℎ é a altura do plano cartesiano até a base da rampa, e 𝑔 é a 
constante da gravidade, utilizada como 9,81 𝑚/𝑠2. 
Partindo do tempo descoberto na equação 33, a velocidade na direção î 
é dada por: 
 𝑉𝑥 =
𝑋
√
2ℎ
𝑔
 33 
 
Onde X é o alcance da esfera na direção î. 
 
 
3. MATERIAIS E MÉTODOS 
3.1. MATERIAIS 
 
Para a determinação do o vetor quantidade de movimento linear e escalar 
de energia cinética, foi utilizada um conjunto para Lançamentos Horizontais 
Möller composto por: tripé e três sapatas niveladoras amortecedoras; rampa de 
lançamentos com escala de posicionamento vertical, haste, suporte regulável de 
apoio da esfera alvo, e prumo removível; uma balança semianalítica, duas 
esferas idênticas metálicas, duas folhas de papel carbono, folhas de papel 
milimetrado A3, fita adesiva, lápis, régua e transferidor. 
Conjunto para Lançamentos Horizontais Möller 
O moller utilizado é composto por um tripé e três sapatas niveladoras e 
amortecedoras, rampa de lançamentos com escala de posicionamento vertical, 
haste, suporte regulável de apoio a esfera e alvo e prumo removível. Foi utilizada 
para realizar o lançamento de uma das esferas e colidir com a segunda esfera 
no final da rampa de lançamento. 
 
Balança semi- analítica 
 
Utilizada para a retirada de grandezas sob condições de ambiente, 
aparenta uma precisão menor se comparada a uma balança analítica, porém em 
laboratórios voltados a física a balança semi analítica tem maior utilização. Este 
tipo de balança registra dois dígitos após a vírgula. 
Esferas Metálicas 
Duas Esferas de chumbo de tamanho e massas idênticas foram utilizadas 
como partículas as quais sofrem colisão. 
Papel Carbono 
É um papel de seda, muito impregnado de tinta numa das faces. Foi 
empregado nesse experimento para demarcar o alcance das esferas no papel 
milimetrado que havia logo abaixo. 
Papel milimetrado 
Tamanho A3, utilizado para analisar as marcas que as esferas junto com 
o papel carbono fizeram e fazer notações de distância e ângulos. 
Fita Adesiva 
Usada para fixar o papel milimetrado sobre a bancada para que não haja 
deslocamento e consequentemente alteração nos dados do experimento. 
Lápis, Régua e Transferidor 
Utilizados para traçar retas para a análise de distâncias e angulação. 
 
3.2. MÉTODOS 
 
 Para o início do experimento a base do Conjunto de Lançamentos 
Horizontais Möller teve a sua base nivelada, em seguida as massas das duas 
esferas metálicas foram aferidas e analisadas sendo idênticas. Ajustou-se 
também o papel milimetrado sobre a bancada e fixou-o com fita adesiva. O papel 
carbono foi colocado em cima do papel milimetrado. A primeira esfera foi sempre 
solta do topo da rampa, tentando sempre manter a mesma posição e a segunda 
esfera permaneceu sempre fixada no nível zero da rampa. O teste de colisão 
consistiu na primeira esfera sendo solta na rampa e ao descer colidiu com a 
segunda na base, ambas foram lançadas no papel carbono deixando uma marca 
no papel milimetrado. O processo foi feito repetidamente, para atestar a 
confiabilidade dos dados obtidos. Após isso, a propagação do aglomerado de 
pontos foi traçada no papel milimetrado, e retas para auxiliar a análise da 
distância do aglomerado em relação a projeção da base da rampa. A angulação 
dos pontos demarcados pelas esferas deve fazer um ângulo de 90 graus em 
relação a projeção do final da rampa no papel milimetrado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. RESULTADOS EDISCUSSÕES 
Antes da realização do experimento, foram pesadas as esferas utilizadas 
e as massas de ambas foram iguais a 64,37 ± 0,01 𝑔 e seus diâmetros iguais a 
25,02 ± 0,01 𝑚𝑚. 
 
4.1. LANÇAMENTO LIVRE (SEM COLISÃO) 
 Primeiramente, foram realizados dez lançamentos das esferas na rampa 
- devido a imperfeição da canaleta da rampa, para obter uma maior estimativa 
do alcance médio de quando a esfera deixa a rampa - sem colisão, para analisar 
o alcance no papel milimetrado, utilizando o papel carbono para marcação. A 
figura 2 demonstra o resultado do processo realizado. 
 
Figura 2: Alcance da esfera em lançamento livre. 
 
Foi encontrado o alcance médio de 22,3 𝑐𝑚 para o lançamento livre das 
esferas. 
 
4.2. LANÇAMENTO COM COLISÃO 
Após, foram realizadas 3 tentativas de lançamento das esferas em colisão 
com outra esfera sobre um suporte, como explicado no método experimental, de 
modo que a cada tentativa foi regulado os materiais para melhor exatidão nos 
resultados. Assim, foi possível obter a marcação no mesmo papel milimetrado 
utilizado anteriormente, para o alcance das esferas após a colisão, como mostra 
o sistema feito na figura 3. 
 
Figura 3: Sistema de colisões das esferas. 
 
Podemos observar que medindo o alcance das esferas pós colisão, com 
o auxílio de uma régua, foi encontrado um deslocamento de 18,5 ± 0,6 𝑐𝑚 para 
a esfera 1 e 15,5 ± 0,6 𝑐𝑚 para a esfera 2, onde estas formaram um ângulo de 
90º. O deslocamento da esfera antes da colisão em lançamento livre foi de 22,3 
± 0,6 𝑐𝑚. Nota-se que na figura 02, também está evidenciado o parâmetro de 
impacto das esferas que é igual a 20 𝑚𝑚 ou 2 𝑐𝑚. Os ângulos pós-colisão das 
esferas em relação a linha de impacto entre elas, foi de 39º ± 2º e 51º ± 2º, para 
as esferas 1 e 2, respectivamente. 
 
4.3. DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE E TEMPO DE QUEDA ANTES 
DA COLISÃO 
 Para análise de dados, foi necessário encontrar a velocidade inicial das 
esferas antes da colisão, partindo de uma altura ℎ = 27,5 ± 0,05 𝑐𝑚 , da 
superfície até a base da rampa, e o deslocamento da esfera em 𝑋î = 22,3 ±
 0,6 𝑐𝑚, logo a velocidade inicial média na direção 𝑖̂ segundo a Equação 33, foi 
de 𝑣1 = 1,01 ± 0,12 𝑚/𝑠 . 
 Como temos ℎ, e assumindo 𝑔 = 9,81 𝑚/𝑠2, o tempo de queda foi 
encontrado utilizando a equação 32 como 𝑡 = 0,23 ± 0,02 𝑠. A propagação dos 
erros foi calculada conforme as equações 9 e 10, para o tempo de queda das 
esferas e sua velocidade média. Cálculos realizado em anexo na seção 7. 
4.4. DETERMINAÇÃO DA VELOCIDADE DAS ESFERAS PÓS-
COLISÃO 
 Foi necessário também encontrar as velocidades médias das esferas 
após terem colidido. Como possuem tempo de queda iguais, o que variou foi 
apenas seus deslocamentos, como mostra a figura 02. Assim a velocidade para 
a esfera 1 foi 𝑣1 = 0,80 ± 0,1 𝑚/𝑠 e para a esfera 2, 𝑣2 = 0,67 ± 0,1 𝑚/𝑠 
 
4.5. CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR 
 Para comprovar a conservação do momento linear, foram utilizadas as 
equações 19 e 20. Como as massas das esferas utilizadas foram iguais, 
podemos simplificar a equação obtendo: 
𝑣1 = 𝑣2 + 𝑣3 
 Como após a colisão, as esferas se afastaram com um ângulo em relação 
ao eixo de impacto, a conservação do momento linear utilizará os ângulos que 
foram comentados em 4.2, conforme a equação a seguir. 
𝑣1. cos 𝜃 = 𝑣2. cos 𝜃 + 𝑣3. cos 𝜃 
 Logo, encontramos: 
𝑣1 = 1,04 ± 0,2 𝑚/𝑠 
 Como podemos analisar, a velocidade antes da colisão está dentro do 
intervalo da velocidade pós-colisão, evidenciando assim, a conservação de 
momento linear. 
4.6. CONSERVAÇÃO DA ENERGIA CINÉTICA 
Para comprovar a conservação da energia cinética, foi utilizada a equação 
22: 
𝑘1𝑖 + 𝑘2𝑖 = 𝑘1𝑓 + 𝑘2𝑓 
 
Logo, 
1
2
𝑚𝑣1
2 = 
1
2
𝑚𝑣2
2 + 
1
2
𝑚𝑣3
2 
Como anteriormente, as massas das esferas são iguais, logo é possível 
simplificar, obtendo a velocidade final da conservação de enérgica cinética com 
sua respectiva incerteza, calculada conforme as equações 8 e 12: 
𝑣1
2 = 𝑣2
2 + 𝑣3
2 
𝑣1
2 = (0,80 ± 0,1)2 + (0,67 ± 0,1)2 
𝑣1 = 1,09 ± 0,3 𝑚/𝑠 
 Logo, como encontrado, o intervalo de velocidade da conservação da 
energia cinética também está dentro do intervalo encontrado na velocidade das 
esferas pós-colisão. Evidenciando a coerência dos resultados obtidos através da 
análise analítica 
 Vale ressaltar, que todos os cálculos realizados estão em anexos no final 
do relatório. 
 
 
 
 
 
5. CONCLUSÃO 
 Os experimentos de colisões bidimensionais são ótimos artifícios para 
testar e comprovar as leis de conservação de energia e de momento linear. Após 
esse processo, pode-se concluir através de cálculos da energia cinética e do 
momento linear dos corpos antes e após a colisão, que essa se tratava de uma 
colisão perfeitamente elástica. Um dos métodos a se utilizar para comprovar tais 
leis, foi a visualização do ângulo formado entre as esferas que deveria ser 90º, 
o qual contatou-se no experimento. Realizando o procedimento analítico, 
utilizando equações que comprovam a conservação da energia cinética e do 
momento linear, foi possível encontrar resultados muito próximos dentro dos 
intervalos e os erros, porém não equivalentes. Logo, é importante o extremo 
cuidado e manuseio nos materiais utilizados, visto que podem haver possíveis 
erros sistemáticos e aleatórios presentes no experimento realizado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. REFERÊNCIAS 
FOGAÇA, Jennifer. Bomba Atômica. Disponível em: 
<http://manualdaquimica.uol.com.br/fisico-quimica/bomba-atomica.htm>. 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R; WALKER, J.. Fundamentos de física. 9ª Edição. 
Rio de Janeiro: LTC. Vol 1. 
MENTZ, Luciano. Conservação do Momento Linear. Disponível em: 
<http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20042/Luciano/colisoes.html>. 
TOGINHO FILHO, D. O., ANDRELLO, A.C., Catálogo de Experimentos do 
Laboratório Integrado de Física Geral, Departamento de Física, Universidade 
Estadual de Londrina, 2009. 
REFERÊNCIAS FIGURAS 
ROMERO, Nadilson. Colisões elásticas em duas dimensões. Disponível em: 
<http://www.fisica.ufpb.br/~romero/gpea/nadilson/elastica%20em%20duas%20
dimensoes.htm>. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
http://manualdaquimica.uol.com.br/fisico-quimica/bomba-atomica.htm
http://www.if.ufrgs.br/tex/fis01043/20042/Luciano/colisoes.html
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/gpea/nadilson/elastica%20em%20duas%20dimensoes.htm
http://www.fisica.ufpb.br/~romero/gpea/nadilson/elastica%20em%20duas%20dimensoes.htm
7. ANEXOS 
7.1. Cálculo da Velocidade Média e tempo de queda para o 
lançamento livre e suas incertezas 
Utilizamos a equação 33, logo: 
𝑉𝑥 =
𝑋
√
2ℎ
𝑔
 
Para o cálculo da velocidade da esfera 1 em lançamento livre, os dados 
foram reajustados de 𝑐𝑚 para 𝑚, visto que a unidade de velocidade é 𝑚/𝑠. 
𝑉𝑥 =
0,223 ± 0,006 
√
2 . 0,275 ± 0,05 
9,81
 
𝑉𝑥 = 
0,223 ± 0,006
√0,056 ± 5,7. 10−4
 
𝑉𝑥 = 
0,223 ± 0,006
0,23 ± 0,02 
 
𝑉𝑥 = 1,01 ± 0,12 𝑚/𝑠 
O tempo de queda foi igual para todas as esferas por serem lançadas na 
mesma altura sob mesma gravidade, logo segundo a equação 32: 
𝑡𝑣𝑜𝑜 = √
2ℎ
𝑔
 
𝑡𝑣𝑜𝑜 = √
2 . 0,275 ± 0,05 
9,81
 
𝑡𝑣𝑜𝑜 = 0,23 ± 0,02 𝑠 
Cálculo para o erro, utilizando as equações 10 e 11: 
𝑐(𝑥 ± 𝛥𝑥) = 𝑐𝑥 ± 𝑐𝛥𝑥 
2 (0,275 ± 0,05 ) = 2 . 0,275 ± 2 . 0,05 
0,55 ± 0,1 
(𝑥 ± 𝛥𝑥)
(𝑦 ± 𝛥𝑦)
 = (
𝑥
𝑦
) ± (
𝑥. ∆𝑦 + ∆𝑥. 𝑦
𝑦2
) 
0,55 ± 0,1
9,81
= 
0,55
9,81
±
0,55 . 0 + 0,1 . 9,81 
9,812
 
0,056 ± 5,7. 10−4 
(𝑥 ± 𝛥𝑥)
(𝑦 ± 𝛥𝑦)
 = (
𝑥
𝑦
) ± (
𝑥. ∆𝑦 + ∆𝑥. 𝑦
𝑦2
) 
0,223 ± 0,006
0,23 ± 0,02 
=
0,233
0,23
± 
0,233 . 0,02 + 0,1 . 9,81 
9,812
 
1,01 ± 0,12 
7.2. Cálculo da Velocida Média para as esferas pós colisão 
O calculo para as esferas 1 e 2 pós colisão, foram realizados utilizando-se a 
Equação 31: 
𝑉 =
𝑑𝐴
𝑑𝑡
 
Logo, para a esfera 1: 
𝑉 =
0,185 ± 0,006
0,23 ± 0,02𝑉 = 0,80 ± 0,1 𝑚/𝑠 
Para o erro, foi utilizado a equação 10: 
0,185 ± 0,006
0,23 ± 0,02
 =
0,185
0,23
±
0,185 . 0,02 + 0,23 . 0,006
0,232
 
0,80 ± 0,1 
O mesmo procedimento foi efetuado para a esfera 2 
7.3. Cálculo da conservação do momento linear 
Para a conservação do momento linear, foram utilizadas as equações 19 e 
20: 
�⃗�𝑖 = �⃗�𝑓 
𝑚�⃗�𝑖 = 𝑚�⃗�𝑓 
Porém, como a massa é igual para todas as esferas, 
�⃗�𝑖 = �⃗�𝑓 
Assim, utilizando-se os ângulos entre as esferas pós-colisão, 
𝑣1. cos 𝜃 = 𝑣2. cos 𝜃 + 𝑣3. cos 𝜃 
𝑣1 . cos 0 = 0,67 ± 0,1 . cos 51º ± 2º + 0,80 ± 0,1 . cos 39º ± 2º 
𝑣1 = 1,04 ± 0,2 𝑚/𝑠 
7.4. Cálculo da conservação da energia cinética 
Para o cálculo da conservação da energia cinética, foi utilizado a equação 
22: 
𝑘1𝑖 + 𝑘2𝑖 = 𝑘1𝑓 + 𝑘2𝑓 
 Desenvolvendo, 
 
1
2
𝑚𝑣1
2 = 
1
2
𝑚𝑣2
2 + 
1
2
𝑚𝑣3
2 
 Como as massas são iguais, podemos desconsiderá-las e simplificando 
obtemos: 
𝑣1
2 = 𝑣2
2 + 𝑣3
2 
Logo, substituindo os valores e resolvendo: 
𝑣1
2 = (0,80 ± 0,1)2 + (0,67 ± 0,1)2 
𝑣1 = 1,09 ± 0,3 𝑚/𝑠