Cálculo Diferencial e Integral II

Prévia do material em texto

Cálculo Diferencial 
e Integral II
Funções de várias variáveis e
derivadas parciais
Profa. Dra. Daiany Cristiny Ramos
Que situações podemos 
analisar por meio de 
funções de duas ou mais 
variáveis?
Canva.com
Canva.com
É preciso relembrar...
Função Derivada
𝑓 𝑥 = 𝑐 𝑓′ 𝑥 = 0
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛 𝑓′ 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑥𝑛−1
𝑓 𝑥 = ln(𝑥) 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥
𝑓 𝑥 = cos(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = −𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′ 𝑥 = cos(𝑥)
 Função
 Regras de
derivação
Canva.com
 Regra do produto:
 Regra do quociente:
 Regra da cadeia:
Regras de
derivação
Canva.com
Funções
Função 
Uma função é uma lei que associa, a cada elemento em um conjunto 
, exatamente um elemento, chamado , em um conjunto .
 (Stewart,2016, vol. 1, p.10)
 O conjunto D é chamado domínio da função. 
 O número é o valor de em e é ́lido “ ”.
 A imagem de é o conjunto de todos os valores 
possíveis de obtidos quando varia por todo o 
domínio. 
Encontrando o domínio de funções
Analisemos o domínio das 
funções que segue:




Funções de duas ou 
mais variáveis reais
Uma função f de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado
de números reais de um conjunto D um único valor real, denotado por
. O conjunto D é o domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores
possíveis de f, ou seja
(STEWART, 2016, p.792)
Função de duas variáveis
Domínio
Seja a função 
O seu domínio é dado por:
Se f é uma de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o
conjunto de todos os pontos em tal que e
pertença a D.
(STEWART, 2016, p.794)
https://bit.ly/397Q6Wl
Representação no 
primeiro octante 
Superfície Quádrica
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação de segundo grau nas 
três variáveis e . As superfícies quádricas são as correspondentes 
tridimensionais das cônicas no plano.
 Fonte: STEWART, J. Cálculo II, 2016, p. 748 Fonte: STEWART, J. Cálculo II, 2016, p. 748
Elipsoide
Os cortes são 
elipses 
Se 
temos uma 
esfera
Cone Os cortes 
horizontais são 
elipses 
Os cortes 
verticais podem 
ser retas ou 
hipérboles 
Paraboloide Elíptico 
Os cortes 
horizontais são 
elipses 
Os cortes 
verticais são 
parábolas
Hiperboloide de uma folha
Os cortes 
horizontais são 
elipses 
Os cortes 
verticais são 
hipérboles 
Paraboloide hiperbólico 
Os cortes 
horizontais são 
hipérboles
Os cortes 
verticais são 
parábolas
Hiperboloide de duas folhas
Os cortes 
horizontais são 
elipses 
Os cortes 
verticais são 
hipérboles 
Analisando uma liga 
metálica
A fim de analisar aplicações de funções de várias variáveis, você deverá realizar
uma pesquisa com uma liga metálica composta por duas substâncias em maior
quantidade, e Sabe-se que as quantidades dessas duas substâncias que
irão compor essa mistura estão no domínio da função f dada por:
 ( )
Como você 
determinará o 
domínio da função
? 
Primeiro vamos analisar o domínio do 
numerador e denominador separadamente
 Devemos garantir que o logaritmo seja 
calculado sobre valores positivos, ou 
seja,
.
Devemos garantir que a raiz não seja calculada sobre valores negativos e 
que não haja divisão por zero.
.
Devemos juntar as restrições em um único conjunto e esboçar a região
Encontrando domínio 
de funções
Encontre o domínio das funções que seguem:



Derivada Parcial
Se e é um ponto do domínio de , então a derivada
parcial de em relação a em é a derivada em da função
que resulta quando for mantido fixo e a for permitido variar. Essa
derivada parcial é denotada por e é dada por
∆ →
Notação:
Se e é um ponto do domínio de , então a derivada
parcial de em relação a em é a derivada em da função
que resulta quando x for mantido fixo e a for permitido variar. Essa
derivada parcial é denotada por e é dada por
∆ →
Notação:
Se , quais são as derivadas parciais de 
primeira ordem?
Derivadas de ordem 
superior
Notação:
Se é uma função de duas variáveis, sua derivadas parciais e são 
funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente 
suas derivadas parciais e são chamadas de derivadas 
parciais de segunda ordem de .
Suponha que seja definida em uma 
bola aberta D que contenha o ponto 
. Se as funções e forem 
ambas contínuas em , então 
Se quais são as derivadas parciais de 
segunda ordem?
Derivada Direcional
Vetor Gradiente
Seja f uma função de duas variáveis e , então o gradiente de é 
a função vetorial definida por:
Seja f uma função diferenciável nas variáveis e , seja um vetor 
no plano , então tem derivada direcional na direção de na forma:
𝒖 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝒙 𝟎 𝟎 𝒚 𝟎 𝟎
O vetor deve ser 
unitário, ou seja
Para construir um vetor 
unitário que tenha a 
mesma direção e sentido 
que um outro vetor , 
basta dividir o vetor pelo 
seu módulo, isto é: 
Outra forma é utilizando seus conhecimentos de trigonometria.
Exemplo
Determinar a derivada direcional da função no ponto na 
direção do vetor unitário 
 Encontrar as derivadas parciais no ponto dado:
 Encontrar a derivada direcional:
Estudando os custos 
de produção
Uma empresa decidiu colocar à venda dois novos tipos de motores de
combustão, sendo um modelo Premium e um modelo Standard .
Os custos de produção da empresa devem contabilizar os dois tipos de
motores e, assim determinou-se que esses custos são dados pela
função
onde x e y são dados em milhares de unidades. 
Qual será a taxa 
de variação em relação 
a cada uma das quantidades, 
considerando a produção de 3 mil 
unidades do modelo x e 5 mil unidades 
do modelo y?
Canva.com
As derivadas parciais de primeira ordem são:
Calcular a taxa de variação para produção de três mil unidades de e 
cinco mil unidades de 
Determinando o vetor 
gradiente
Determine o vetor gradiente da função 
Recapitulando
Funções de duas ou mais variáveis
Uma função f de duas 
variáveis é uma regra que 
associa a cada par 
ordenado de números reais 
𝑥, 𝑦 de um conjunto D 
um único valor real, 
denotado por 𝑓 𝑥, 𝑦 . O 
conjunto D é o domínio de 
f e sua imagem é o 
conjunto de valores 
possíveis de f, ou seja 
𝑓 𝑥, 𝑦 | 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐷
Derivadas parciais
Derivada parcial 
de 𝑧 em relação a 
𝑥
Derivada parcial 
de 𝑧 em relação a 
y
Derivamos em 
relação a 
𝑥 considerando
 𝑦 constante
Derivamos em 
relação a 𝑦 e 
mantemos 𝑥 
constante
Derivadas direcional
𝐷 𝑓 𝑥 , 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥 , 𝑦 ⋅ 𝑢
= 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝑎 + 𝑓 𝑥 , 𝑦 𝑏
Quádricas
Elipsoide
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
+
𝑧
𝑐
= 1
Cone Hiperboloide de 
uma folha
Paraboloide 
elíptico
𝑧
𝑐
=
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
𝑧
𝑐
=
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
−
𝑧
𝑐
= 1
Paraboloide 
hiperbólico
Hiperboloide de 
duas folhas
−
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏
−
𝑧
𝑐
= 1
𝑧
𝑐
=
𝑥
𝑎
−
𝑦
𝑏