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Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon 
Mecânica dos Solos II 
 
EMPUXOS DE TERRA 
 
 
 
Unidade 6 - EMPUXOS DE TERRA 
 
 
 
A determinação do valor do empuxo de terra, que deve ser entendido como a ação 
produzida pelo maciço terroso sobre as obras com ele em contato, é fundamental na análise 
e projeto de obras como muros de arrimo, cortinas em estacas pranchas, cortinas 
atirrantadas, escorramentos de escavações em geral, construções em subsolos, encontros de 
pontes, entre outras situações semelhantes a estas. 
As fotos abaixo ilustram algums exemplos de obras de contenção em que são 
utilizadas diferentes soluções na estrutura de contenção a saber: (a) muro em solo-cimento 
- bairro de N. S. de Lurdes (J. Fora), (b) muro em concreto ciclópico - bairro Aeroporto (J. 
Fora), (c) muro em pedras arrumadas manualmente em gaiolas metálicas – gabiões e (d) 
muro em concreto armado. 
 
(a) 
 
(b) 
(c) 
 
(d) 
 
Para a determinação das pressões de empuxo de terra (pressões horizontais) 
utilizaremos inicialmente os conceitos da teoria de elasticidade que relaciona o 
comportamento das tensões e deformações em diferentes direções nos materiais. 
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6.1 – Conceitos básicos e fundamentais de empuxo 
 
 Teoria da Elasticidade 
 
 Inicialmente abordaremos alguns conceitos da teoria da elasticidade no que se 
refere ao comportamento dos solos e suas características de deformabilidade quando 
submetido a uma pressão de compressão. 
 
 
Figura 6.1 – Deformação de um corpo 
submetido a um carregamento 
Para cada tensão (carga) temos uma 
deformação (Lei de Hooke = 
proporcionalidade tensão-deformação). O 
parâmetro que reflete este comportamento é 
dado pelo: 
Módulo da Elasticidade = E = Módulo de 
Young = Módulo de Deformabilidade. 
 σ = Ε ε, logo: 
 
Deformação
TensãoE ∆
∆= 
 
Assim poderemos, a partir do gráfico tensão 
x deformação obtida em um ensaio de 
compressão, determinar o módulo de 
elasticidade em um segmento reto 
 
Módulo inicial = é o adotado na condição em que o equilíbrio é elástico (retirada a 
carga o corpo volta a forma primitiva sendo que, nos solos o retorno se 
dá sempre parcialmente, havendo uma deformação residual ou 
plástica). 
 
Considerando que o corpo de prova de solo sofre uma tensão de compressão, no 
sentido da altura, este sofre uma deformação neste sentido e conseqüentemente no sentido 
de seu diâmetro b, teremos então: 
 
L
L∆=ε , logo 
H
H
E v∆
σ= ou 
b
b
E H∆
σ= 
 
A partir das deformações nos sentidos horizontal e vertical poderemos determinar o 
Coeficiente de Poisson (µ). O Coeficiente de Poisson é o parâmetro que reflete o quanto o 
solo deforma no sentido horizontal em relação à deformação no sentido do carregamento. 
Logo: 
v
h
vertical
horizontal
Deformação
Deformação
ε
ε=∆
∆=µ ou µ =
b
H
b
H
∆
∆ 
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Valores típicos para Módulo de Elasticidade (E) de solos 
Como ordem de grandeza, pode-se indicar os valores apresentados na tabela 6.1 
como módulos de elasticidade para argilas sedimentares saturadas, em solicitações 
rápidas, que não dão margem à drenagem. 
Para as areias, os módulos são os correspondentes à situação drenada (tabela 6. 2), 
pois a permeabilidade é alta, em relação ao tempo de aplicação das cargas. 
 
Tabela 6.1 – Módulos de elasticidade típicos de argilas saturadas não drenada. 
Módulo de elasticidade Consistência MPa kN/m²(kPa) 
Muito mole < 2,5 < 2500 
Mole 2,5 a 5 2500 a 5000 
Consistência média 5 a 10 5000 a 10000 
Rija 10 a 20 10000 a 20000 
Muito rija 20 a 40 20000 a 40000 
Dura > 40 > 40000 
 
Tabela 6.2 – Módulos de elasticidade típicos de areias em solicitação drenada, para 
tensão confinante de 100 kPa. 
Módulo de elasticidade 
Fofa Compacta 
 
Compacidade 
MPa kN/m² (kPa) MPa KN/m² (kPa) 
Areias de grãos frágeis, angulares 15 15000 35 35000 
Areias de grãos duros, arredondados 55 55000 100 100000 
Areia (S. Paulo), bem graduada, pouco argilosa 10 10000 27 27000 
 
Valores típicos para coeficiente de Poisson (µ) de solos 
 
Para solos, tem-se a seguinte variação: 0,25 < µ < 0,5 
 
Relação entre as tensões vertical e horizontal 
 
Segundo o princípio da superposição dos efeitos: “A superposição dos estados 
elásticos diferentes ocasiona a superposição das deformações correlatas”. 
A deformação no sentido da aplicação de σV, será: 
E
vσ=ε ou 
EH
H vσ=∆ 
 
Para termos a deformação no sentido normal (horizontal), basta multiplicarmos por 
µ cada uma das parcelas da última igualdade acima, assim: 
b
b
H
H.
H
H
b
b
E
. v ∆=∆∆
∆
=σµ ⇒ Deformação no sentido ortogonal (horizontal) 
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Agora, se quisermos a deformação no sentido ortogonal ao considerado (no caso 
vertical), por analogia temos: 
H
H
b
b
b
b
H
H
E
H ∆=∆∆
∆
=σµ. 
 
Em função da elasticidade do material (E e µ), verifica-se existir, uma 
proporcionalidade entre a tensão vertical e a correspondente tensão horizontal. O 
material recebe o esforço, absorve-o e se deforma segundo seus parâmetros de elasticidade. 
 
Dentro deste princípio, qualquer valor de pressão horizontal será sempre 
calculado em função da pressão vertical que, em função apenas da ação do peso próprio 
do solo, corresponde, no sentido vertical, à pressão efetiva (e ocorrendo pressão neutra 
adicionando-se o valor da mesma). 
 
 sendo K o chamado coeficiente de empuxo de terra. σH = K. σV 
 
• Diagrama de tensões horizontais 
 
Caso se desloque um volume de massa de solo de uma região, podemos substituí-lo 
por um plano cujo traço é OO'. Conforme a Figura 6.2, teremos: 
 
Figura 6.2 – Diagr
Maciço de solo homogêneo, com uma 
única camada sem NA e com o terrapleno 
horizontal (i = 0), isto é, não há 
desenvolvimento de pressão neutra. 
 
A pressão lateral, normal a um plano 
 
 
Traçando-
sobre o plano, ter
chamadosimplism
horizontais e agin
altura). 
Em
 
 
ama de tensões horizontais 
vertical, será σH que, sendo proporcional 
a σV, dará um diagrama de distribuição 
idêntica (mesma forma) que para esta 
tensão. 
se o diagrama de pressões horizontais ou pressões laterais que agem 
emos condição de calcular a resultante deste esforço horizontal que é 
ente de empuxo, correspondente a área do diagrama de pressões 
do no centro de gravidade do mesmo (isto é, no terço inferior da sua 
∫ ∫ ∫ ∫γ=γ=σ=σ=
h
0
h
0
h
0
h
0
vH dh.h..Kdh.h..Kdh..Kdh.puxo 
 
2h.
2
1..KEmpuxo γ= ⇒ 2h..K.
2
1E γ= 
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6.2 – Empuxo no repouso 
 
Condição em que o plano de contenção não se movimenta 
 
Consideramos, neste tipo de empuxo, um equilíbrio perfeito em que a massa de 
solo se mantem absolutamente estável, sem nenhuma deformação na estrutura do solo, 
isto é, está num equilíbrio elástico. 
 
Consideramos a massa semi-infinita de solo homogêneo, em uma só camada 
permeável, sem ocorrência de lençol freático e com o terrapleno horizontal. Estando o solo 
num equilíbrio elástico, os esforços na direção horizontalpodem ser calculados baseados 
nas constantes elásticas do material, isto é, dentro dos parâmetros de elasticidade (E e µ). 
 
Suponhamos uma massa de solo onde, na profundidade h destacamos um 
determinado elemento que pode, verticalmente, se deformar pelo efeito do peso do 
material ocorrente acima; mas, essa deformação é equilibrada lateralmente devido à 
continuidade da massa em todas as direções. A massa confina o elemento com as tensões 
laterais, proporcionais à sobrecarga de peso. Esta situação, do elemento destacado, pode 
ser representada por uma situação equivalente onde o solo tenha sido deslocado, e um 
plano considerado imóvel, indeformável e sem atrito de contato substitui essa ausência, 
conforme representado na figura 6. 3 pelo plano de traço OO'. 
 
 
Situação inicial 
 
Situação após retirar a massa de solo 
Figura 6.3 – Representação dos esforços atuantes em um ponto no interior da massa de 
solo 
 
A pressão lateral que o solo exerce na profundidade h será dada pela expressão: 
v0h .K σ=σ 
 
Para o solo considerado (figura 6.3) a pressão vertical σv é igual a pressão efetiva. 
Em situações de solos permeáveis, abaixo do NA, isto é, havendo surgimento de 
pressão neutra, em toda profundidade o diagrama de pressões horizontais ficará acrescido 
dessa parcela da pressão neutra. 
 
Na figura 6.4 representamos o diagrama de pressões horizontais, cujas áreas nos 
dão o esforço total para as duas hipóteses consideradas. 
 
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Figura 6.4 – Diagrama de pressões horizontais 
 
As estruturas cujos paramentos são travados (engastados) e não tem possibilade de 
sofrerem grandes variações de temperatura (no caso de obras enterradas), podem ser 
consideradas indeformados e dimensionados para absorverem estes esforços no 
repouso. 
As pressões no repouso, preconizadas aqui, não dependem da resistência ao 
cisalhamento do solo, mas, de suas constantes elásticas conforme consideramos nas 
deduções. 
 
• Determinação do valor do coeficiente de cálculo K em função dos parâmetros de 
deformação (parâmetros elásticos) do solo 
 
Condição de Deformação Unitária Horizontal Nula 
Consideremos um ponto no interior de uma massa de solo homogêneo, 
representado pelo cubo da figura 6.5, onde agem as tensões: 
 
 
Figura 6.5 – Tensões que agem no 
interior de uma massa de solo 
 
σV = no sentido da gravidade, vertical, que no caso 
do simples peso próprio dos solos, é a pressão 
efetiva, (quando não há pressão neutra); 
 
σH e σ’H = nos sentidos laterais, agindo nas outras 
faces do cubo e correspondentes a continuidade da 
massa e a elasticidade do material do cubo. 
Admitindo-se o solo perfeitamente elástico para estas solicitações e na condição de 
repouso absoluto, sem movimentação, temos: 
 
a) Em relação à face destacada, teremos as ocorrências: 
1 – Deformação horizontal devida a ação da tensão σH 
E
. v
σµ = uma das parcelas da deformação dessa face 
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2 – Deformação horizontal, no sentido ortogonal, devido a ação da outra tensão σ’H 
E
'
. H
σµ = outra parcela da deformação dessa face 
 
As parcelas de deformações 1 e 2 têm sentidos contrários à deformação ocorrente 
devido a σH, na face destacada, ou seja: 
 
Deformação horizontal devido essa ação da tensão σH, na face considerada, é: 
 
E
Hσ=ε = parcela em sentido contrário as deformações ocorrentes devidas a σV e σ’H. 
 
Então, para satisfazer a condição de deformação horizontal unitária nula (na face 
considerada), teremos a seguinte equação: 
 
EE
'
.
E
. HHv
σ=σµ+σµ ou 0
EE
'
.
E
. HHv =σ−σµ+σµ 
 
b) Sendo o maciço de material homogêneo e considerado elástico, para os valores 
das tensões, teremos que a tensão horizontal σH é proporcional a tensão σV, donde tem-se a 
relação: σ vH .K σ=
 
* No caso da consideração de repouso absoluto chamaremos KO de coeficiente de 
empuxo no repouso (coeficiente de cálculo de σH). Assim: σ v0H .K σ=
 
A tensão horizontal será proporcional a tensão vertical de um valor K0 
correspondente ao coeficiente no repouso absoluto. 
Considerando o solo homogêneo e contínuo e substituindo na equação anterior, 
temos: 
0
E
.K
E
.K
.
E
. v0v0v =σ−σµ+σµ 
Simplificando a equação: 
µ−
µ=
1
K0 , tirando-se o valor de K0KK. 00 =−µ+µ 0: 
 
Valores de K0 
Quando é considerado o repouso absoluto, esta condição será satisfeita em 
função das constantes elásticas do material e o coeficiente de proporcionalidade entre 
σH e σV (pressões no ponto), deduzido, é função, apenas, do Coeficiente de Poisson. 
 
No caso dos solos, o Coeficiente de Poisson é variável em função do material e 
situação de estar drenado ou não. Assim, do livro do SORVERS, temos a tabela 6.3 para os 
valores de K0 calculados. 
O Prof. CAPUTO (1987) sugere, de uma forma genérica, os seguintes valores para 
K0 apresentados na tabela 6.4. 
Tabela 6.3 – Valores de K0 para situações drenadas e não-drenadas 
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Solo K0 efetivo drenado K0 total sem drenagem 
Argila média (mole) 0,6 1,0 
Argila dura 0,5 0,8 
Areia solta 0,6 – 
Areia compacta 0,4 – 
Considerado o coeficiente de Poisson, para solos: 0,25 < µ < 0,5. 
 
Tabela 6.4 – Valores genéricos de K0 
Solo K0 
argila 0,70 a 0,75 
Areia solta 0,45 a 0,50 
Areia compacta 0,40 a 0,45 
 
A dedução de Jaky indica para solos normalmente adensados. 
Quanto mais resistente o solo, mais rígido, portanto menos elástico. Logo, maior a 
capacidade de absorver tensões internas, e assim, menores as deformações possíveis e as 
suas transmissões laterais. 
K0 1≅ − senϕ
 
6.3 – Condições em que o plano de contenção se movimenta 
 
Nas estruturas, fora das condições iniciais ilustradas acima, poderemos ter 
deslocamentos do plano de contenção em valores capazes de ativar a resistência interna 
ao cisalhamento da estrutura de solo, pois, nem sempre, a estrutura é travada e apresenta as 
condições de repouso absoluto. Ao se movimentarem, e serem capazes de acionar as 
resistências internas ao cisalhamento da massa de solo, serão desenvolvidas tensões 
horizontais diferentes das consideradas com os parâmetros da elasticidade. 
 São dois os estados de tensões desenvolvidos quando há o deslocamento da parede 
de contenção, conforme ilustrado na figura 6. 6. 
 
 
Figura 6. 6 – Variações no tipo de empuxo com o deslocamento da parede. 
 
Desenvolvimento do empuxo 
A tabela 6. 5 indicam inclinações típicas mínimas de afastamento do paramento 
vertical para acionar a resistencia ao cisalhamento no plano de ruptura e produzir os 
estados ativo e passivo de empuxo (segundo, Sowers e Sowers): 
Tabela 6. 5 – Valores de inclinações típicas mínimas 
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Solo Estado ativo Estado passivo 
Não coesivo composto 0,0005 H 0,005 H 
Não coesivo solto 0,002 H 0,01 H 
Coesivo duro 0,01 H 0,02 H 
Coesivo médio/mole 0,02 H 0,04 H 
* H = altura da estrutura 
 
 Em muitos casos, o próprio processo de variaçao das temperaturas nas massas de 
concreto (variação diária), darão condição de movimentação para acionar a resistência 
interna ao cisalhamento, como previsto nessa teoria. 
 
Pontos básicos (Resumo) 
9 Somente pressões efetivasmobilizam resistência ao cisalhamento dos solos; 
9 Os valores de Ka e Kp são admitidos superdimensionados pelas condições ideais 
supostas para dedução de seus valores na teoria de Rankine, como será visto; 
9 Existem várias teorias que tentam otimizar os valores dos empuxos para situações 
não ideais (simplificadas) como Coulomb, Método das cunhas, ..., como será visto. 
 
Em resumo, a variação do estado de tensões nos estados Ativo e Passivo, assim 
como em repouso, pode ser interpretado com o auxílio do traçado dos círculos de Mohr e 
da envoltória de resistência do material (sem coesão), como mostrado na figura 6. 7. 
 
 
 Figura 6. 7 - Estado de tensões nos estados Ativo e Passivo. 
 
Partindo da tensão vertical σv = γz observa-se que o maciço expandindo-se, a 
tensão horizontal σh decresce até que o círculo torna-se tangente à reta de Coulomb; neste 
ponto, ocorre a ruptura e o valor de σh é dado por Kaγz. Assim, os pontos de tangência 
representam estados de tensão sobre planos de ruptura. 
Observa-se, assim, que no estado ativo a plastificação do maciço dá-se ao longo de 
planos definidos por um ângulo de 
2
45 ϕ+ com a horizontal e um ângulo de 
2
45 ϕ− no 
estado passivo. 
 
 
 
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1º caso – EMPUXO ATIVO - A Estrutura se desloca para fora do terrapleno 
Neste caso, o solo sofre uma distensão ao reagir contra esta ação de afastamento do 
plano interno da estrutura de contenção, provocando na massa uma resistência ao longo do 
possível plano de escorregamento. A massa desenvolve, em seu interior, toda a resistência 
ao cisalhamento ao longo do plano de rutura, aliviando, até certo ponto, a ação do solo 
sobre o paramento interno da estrutura. 
 
Este plano de rutura faz um ângulo α com o traço do plano principal maior, 
caracterizando um estado de tensões, como mostra a figura 6.7 limitando-se com a 
superfície do terrapleno e com o paramento interno da estrutura, formando assim uma 
região que é denominada cunha instável. Esta cunha está passível de movimento, 
portanto, onde se desenvolverá a resistência ao cisalhamento e onde cada movimento 
ocorrente não terá condição de retrocesso, isto é, nessa região o equilíbrio é plástico 
(figura 6. 8). 
 
 
 
 
 
Figura 6.8 – Empuxo ativo 
 
Podemos dizer, que neste caso o solo foi ativado em sua resistência interna sendo 
esta situação chamada de Estado Ativo de Equilíbrio. O esforço do solo desenvolvido 
sobre a estrutura de contenção, é, neste caso, chamado de Empuxo Ativo (figura 6. 9). 
 
 
Figura 6.9 – Diagrama de pressões horizontais: 
empuxo ativo 
Dentro de todas as considerações já 
feitas sobre o maciço, como no caso de 
empuxo no repouso, temos: 
 
hv .γσ = 
hK ah ..γσ = 
 
Onde: Ka = coeficiente de empuxo ativo 
 
 2...
2
1 hKE aa γ= 
 
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2º caso – EMPUXO PASSIVO - A Estrutura se desloca contra o terrapleno 
Neste caso o solo é comprimido pela estrutura, sofre uma compressão na cunha 
instável, gerando, ao longo do plano de rutura, uma reação ao arrastamento, ou seja, à 
resistência ao cisalhamento. 
 
O movimento do parâmetro interno contra a massa de solo, tentando deslocá-la, na 
abrangência da região instável, provoca o surgimento da resistência interna ao 
cisalhamento e, ocorrendo esta movimentação, por pequena que seja, terá que vencer essa 
resistência deslocando o peso da massa na região abrangida pela cunha. A ação do solo 
será passiva ao movimento sendo a situação de equilíbrio chamada de Estado Passivo de 
equilíbrio ou estado superior de solicitação em que a estrutura recebe todo esforço 
decorrente da ação passiva do solo em relação ao movimento 
 
Esse esforço desenvolvido pelo solo sobre o parâmetro interno da estrutura é 
chamado de Empuxo Passivo. 
 
De maneira similar, a cunha instável limitada pelo plano de rutura que faz um 
ângulo α com o plano principal maior ou com a horizontal (figura 6. 7), pela superfície do 
terrapleno e pelo parametro interno da estrutura de contenção, limita a massa de solo 
responsável por uma compressão no sentido horizontal gerando essa situação particular de 
equilíbrio, como mostra a Figura 6.10. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6.10 – Empuxo passivo 
 
Para o cálculo do empuxo, o procedimento será análogo, variando, apenas o 
coeficiente de empuxo, que, neste caso será Kp, ou coeficiente de empuxo passivo. 
 
Assim temos: hh K pv ... γγσ == 2...2
1 hKE pp γ= 
 
A mobilização da resistência do solo ao longo da superfície de rutura (plano de 
rutura) é que reduz a ação do terrapleno (solo atrás da contençao no estado ativo e 
aumenta esta ação no caso do estado passivo. Vemos pelo gráfico da figura 6.11 que, 
depois de determinada mobilização o empuxo não cresce nem decresce nos dois sentidos, 
pois, a resistência ao cisalhamento já atingiu o valor máximo. Esta variação de solicitação 
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no plano é decorrente, então, da capacidade que o solo tem de desenvolver, internamente, 
resistência ao cisalhamento. 
 
 
Figura 6.11 - Representação esquemática dos casos de empuxo 
 
 “Tanto sob alívio de tensões laterais (condição ativa) como sob acréscimo de 
tensões laterais (condição passiva) existem, nas curvas típicas tensão-deformação dos 
elementos de solo, estados de tensão dentro dos quais o regime é “elástico”. Portanto, 
ocorridas as deformações tipo elásticas, “cessa” o movimento, estabelecendo-se o repouso. 
Reconhecemos, pois, que o eixo vertical de repouso assinalado na figura anterior é apenas 
uma condição das inúmeras de repouso possíveis, de gênero repouso-ativo e repouso-
passivo. Para cada lado, o limite da faixa de possibilidades de repouso é dado pela natureza 
da curva tensão/deformação e o limite respectivo de comportamento elástico.” 
 
Pressao Neutra 
Tanto no caso de empuxo ativo quanto passivo é válida a consideração de 
acréscimo no diagrama de pressões quando há condição do surgimento da pressão neutra. 
Isto é, a pressão horizontal é calculada em função da ocorrência das pressões verticais 
efetivas e neutras, variando, somente o coeficiente de empuxo para cada caso específico a 
considerar. 
 
 
6.4 – Teoria de Rankine 
 
Rankine, para sua teoria, impõe algumas condições iniciais pressupostas como 
fundamentais para os primeiros passos da análise da resistência ao cisalhamento das 
massas de solos. São elas: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
O solo do terrapleno considerado é areia pura seca (sem coesão) homogênea em 
todo o espaço semi-infinito considerado; 
O atrito entre o terrapleno e o parâmetro vertical do plano de contenção é 
considerado nulo; 
Terrapleno sem nenhuma sobrecarga (concentrada, linear ou distribuída); 
O terrapleno é constituído de uma camada única e contínua de mesmo solo e sua 
superfície superior é horizontal (solo homogêneo). 
 
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Condição do empuxo ativo (Figura 6.12) 
 
 Figura 6.12 – Empuxo ativo 
 
A tendência da cunha, no caso ativo, é 
acompanhar o movimento com o 
afastamento, mas a resistência ao 
cisalhamento, desenvolvida ao longo 
do plano de rutura, reduz sua ação de 
movimento, diminuindo o esforçosobre o parâmetro vertical ao valor 
mínimo. Ressalta-se que somente 
pressão efetiva mobiliza resistência ao 
cisalhamento. 
 
A condição inicial de Rankine impõe a condição de c = 0 (coesão nula). Tomando-
se a equação analítica da rutura, temos: 
 
1 3 2σ σ ϕ= +.N C Nϕ , para c = 0, temos: 1 3σ σ ϕ= .N
 
Para condição ativa, temos: e σ , donde, substitiuindo na equação 
acima, tem-se: σ σ 
σ σh = 3 σv = 1
ϕv h N= ⋅
Tirando-se o valor da pressão horizontal: σ σ
ϕh vN
= ⋅1 ou σ σh aK= ⋅ v
 
a
o
oK
N tg
tg= =
+
= −1 1
45 2
45 22
2
ϕ ϕ
ϕ
( )
( ) 
 Portanto, 
 
 
 
Condição do empuxo passivo (figura 6.13) 
 
 
 Figura 6.13 – Empuxo passivo 
Ao peso da cunha agindo sobre o 
parâmetro vertical se soma toda a 
resistência ao cisalhamento 
desenvolvida ao longo do plano de 
rutura. Nesse caso, a componente 
horizontal é maior possível. 
A tendência da cunha, no caso passivo, 
é resistir ao movimento da estrutura, ao 
longo de toda a superfície de rutura, por 
sua resistência interna ao cisalhamento. 
Assim, a ação do terrapleno sobre o 
parâmetro vertical aumenta. 
 
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Por analogia às considerações anteriores, temos: 
 
p
oK N tg tg= = = +ϕ α ϕ2 2 45 2( ) 
σ1 = Nϕ . σ3 ou σh = Nϕ . σv, logo: 
 
 
Em função das expressões obtidas, temos: 
kp
1Ka = ou 
ka
1kp = , sendo Ka < 1,0 e Kp > 1,0 e Ka < K0 < Kp 
 
 Para os diversos valores 
de ϕ, apresenta-se na 
tabela 6. 6, os coeficientes 
de empuxo ativo e 
passivo. 
 Tabela 6. 6 – Coeficientes de empuxo ativo e 
passivo de acordo com ϕ 
ϕ Ka Kp 
0º 1,00 1,00 
10º 0,70 1,42 
20º 0,49 2,04 
25º 0,41 2,47 
30º 0,33 3,00 
35º 0,27 3,69 
40º 0,22 4,40 
45º 0,17 5,83 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Outras considerações 
Mantendo-se a mesma ntes de 
empuxo, sairemos agora das s serão 
abordadas só para a condição a as para 
condição passiva. 
 
6.4.1 – No caso de haver sobreca
 
Figura 6.14 – Empuxo com sobrecarga no terra
Considere agora a ocorrência de 
 ⇒ sobrecarga uniformemente 
distribuída no terrapleno. 
q
 
Nesse caso, pode-se transformar 
essa sobrecarga em uma altura 
equivalente de solo da camada. 
 Sendo q = γ.h0 
 15
50º 0,13 7,55 
60º 0,07 13,90 
conceituação de Rankine quanto aos coeficie
condições iniciais (ideais). As consideraçõe
tiva mas, por similaridade, podem ser extrapolad
rga no terrapleno 
 
 
 
 
pleno 
6 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
Altura equivalente de solo = 0h
q= γ = solodoespecíficopeso
verticalasobre
 
 argc 
 
O diagrama de pressões verticais terá uma pressão inicial σhi, como mostra a figura 
6.14, devido à altura equivalente de terra (h0), a saber: 
=== γγγσ
qKhK aahi .... 0 Ka.q 
Isto é, σhi corresponde a q vezes o coeficiente de empuxo ativo. 
 
6.4.2 – No caso de considerar o solo também coesivo 
 
Nesse caso, a equação analítica da rutura permanece completa. Ou seja: 
1 3 2σ σ ϕ ϕ= +. .N C N 
 
Ou, no caso ativo: V h N C Nσ σ ϕ ϕ= +. . .2 
O valor de σh será: 
ϕ
ϕ
ϕ
−σ=σ
N
N
.C.2.
N
1
Vh ⇒ aVah K.C.2.K −σ=σ 
 
Diagrama 
Pela equação anterior vê-se que haverá um ponto em que σh = 0. Esse ponto 
corresponde a: 
a aK C K. . .σ = 2 
 
Considerando essa profundidade hI, e
a I aK h C K h. . . .γ = ∴2
Figura 6.15 – Empuxo considerando o so
 
Continuando a análise, agora, na co
v
screvemos: 
I
a
a
I
a
C K
K
ou h
C
K
. , :
.γ γ= =
2 2 
 
 
Região de tração devido a 
ocorrência de c, portanto, 
resistência a tração. 
 
lo coesivo 
 
Como se pode ver pelo diagrama, 
a de tração será compensada 
p
c
p
nsideração de em
 157 
 área
or igual área de compressão, 
orrespondente a mesma 
rofundidade hI. 
puxo, temos: 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
∫ −=
h
Vaa KCKE
0
..2.( σ
 
Haverá, portanto, da mesma forma que no caso da pressão horizontal, uma 
profundidade onde o empuxo ativo se anula. Nesse caso, a condição para que se anule é: 
1
2
22. . . . . .a aK h C h Kγ = . 
A profundidade em que o empuxo se anula é denominada altura crítica (hcrit). 
Substituindo temos: 1
2
22. . . . . .a criti crit aK h C h Kγ = 
Tirando-se o valor de hcrit: 
crit
a
a a
h
C K
K
C
K
= =21
2
4. .
. .
.
.γ γ
Ih= 2.
 
Teoricamente, nessa profundidade não há 
desenvolvimento de empuxo. Logo, essa é a altura 
em que podemos fazer um corte sem necessidade 
de estrutura de contenção ou escoramento. 
“Tratando-se de solos argilosos, por 
possíveis variações de c no período de utilização, o 
IPT/SP recomenda, em função de constatações 
práticas, que se adote um coeficiente de segurança, 
tomando-se hcrit = hI.”, ou seja, apenas 
correspondente a fenda de tração (figura 6. 16). 
 
Figura 6. 16 – Aspecto das fendas 
de tração em solos argilosos 
 
6.4.3 – No caso de ocorrer NA na camada 
 
Essa consideração já foi feita anteriormente quando se abordou a ocorrência de 
pressão neutra, mas, no caso faremos as considerações pertinentes (figura 6. 17). 
Costuma-se, na grande maioria dos casos, se fazer um sistema de drenagem no 
terrapleno, de maneira que a pressão neutra não desenvolva pressão sobre o parâmetro 
vertical da estrutura de contenção, mas, supondo-se que por qualquer problema não se 
possa fazer a drenagem temos: 
 
Figura 6.1 – Empuxo considerando 
NA na cam
 158 
7
KhK aa hC ...2...2
1 2 −γ=ha d) 
ada (ϕ 2 > ϕ1) 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 
Na faixa do NA teríamos a pressão neutra agindo em valor integral considerando-se 
assim o coeficiente de empuxo da mesma igual a 1,0, por se tratar de um fluido (transmite 
a mesma pressão em todas as direções). 
 
6.4.4 – No caso de haver mais de uma camada 
 
 Nesse caso, no cálculo do diagrama da camada 2, consideraremos a camada 1 como 
uma sobre-carga sobre a camada 2 (figura 6.18), uma vez que o comportamento da camada 
2 vai ser diferente da camada superior e, é função de suas caraterísticas de resistência. 
 
Figura 6.18 – Empuxo considerando 
ocorrência de várias camadas (ϕ 2 < 
ϕ1)
Assim, a camada 1, será: 111 h.q γ=
2
11
2
1
0
h.q
'h γ
γ=γ= 222a22a2
11
22a2a02h h..K.K.
h.
h..K.K.'h γ+γγ
γ=γ+γ=σ 
222a112a2h h..Kh..K γ+γ=σ 
 
6.4.5 – No caso de considerar atrito entre o parâmetro vertical e o solo do terrapleno 
 
Quando ocorre esse atrito, parte do empuxo que agiria no parâmetro vertical será 
dispendido para vencer esse esforço de atrito. Para se ter esse valor do empuxo 
desprendido, adota-se inclinar o vetor empuxo de um ângulo δ, em relação a vertical 
(figura 6.19), decompondo esse vetor em duas componentes normais entre si, ficando a 
horizontal menor que seu valor absoluto do empuxo inicial. 
 
 
 
Figura 6.19 – Empuxo considerando atrito solo/estrutura 
aaH EE < 
 ( )δ= cos.EE aaH 
 ( )δ= sen.EE aaV 
 
 159 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 
O professor Pimenta Velloso em seu livro “Muros de Arrimo” adota os valores: 
 
Para murosde paredes lisas δ = 
1
3
ϕ 
 
Para muros de paredes normais δ = 
2
3
ϕ 
 
Para muros de paredes rugosas δ = 
3
4
ϕ 
 
6.5 – Teória de Coulomb 
 
 Outra solução analítica consagrada para a determinação do empuxo de terra deve-se 
a Coulomb, datada de 1776, anterior a de Rankine que foi apresentada em 1857. Esta teoria 
é apresentada nestas notas de aula conforme publicado por CAPUTO (1987). 
 
Solos não coesivos – Na teoria aprese
terrapleno é considerado como um maciço 
superfícies curvas, as quais se admitem planas 
 
Figura 6.20 – Cunha de empuxo ativo 
 
* Divergem as opiniões quanto ao va
sabendo-se no entanto que ele não pode exce
quanto muito ϕ
4
3=δ e, de acordo com Terza
 
Obtem-se assim a determinação de Ea
polígono de forças, tal como desenhado na figu
 
Admitindo-se, então, vários possíve
considerada como superfície de ruptura aqu
Ea, que é o valor procurado. 
 Partindo das condições de equilíbrio 
CAPUTO, 1987) analiticamente as equações g
(Ep), este último correspondendo à superfície 
produz o prisma de empuxo mínimo (figura 6.2
 160
ntada por este notável físico - Coulomb, o 
indeformável, mas que se rompe segundo 
por conviniência (figura 6.20). 
Considerando-se uma possível cunha de 
ruptura ABC, em equilíbrio sob a ação de: 
P – peso da cunha, conhecido em grandeza 
e direção; 
R – reação do terreno, formando um ângulo 
ϕ com a normal à linha de ruptura BC; 
Ea – empuxo resistido pela parede, força 
cuja direção é determinada pelo ângulo δ de 
atrito entre a superfície rugosa AB e o solo 
lor a ser atribuído a δ, como visto acima, 
der ϕ; admite-se, segundo Müller Breslau, 
ghi, ϕδϕ
3
2
2
≤≤ . 
 (resultante de empuxo ativo) traçando-se o 
ra 6.20. 
is planos de escorregamentos, BCi, será 
ela que corresponder ao maior valor de 
das três forças P, R, Ea, deduzem-se (ver 
erais, para os empuxos ativo (Ea) e passivo 
de deslizamento, também suposta plana, que 
1). 
 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 
Figura 6.21 – Cunha de empuxo passivo 
 
 Os valores para os coeficientes de empuxo segundo a teoria de Coulomb são: 
aa KhE ..2
1 2γ= 2
2
2
)sen()sen(
)sen()sen(1)sen(sen
)(sen



+−
−++−
+=
βαδα
βϕδϕδαα
ϕα
aK 
pp KhE ..2
1 2γ= 2
2
2
)sen()sen(
)sen()sen(1)sen(sen
)(sen



+−
−+−−
+=
βαδα
βϕδϕδαα
ϕα
aK 
 
A teoria de Coulomb, que apenas estamos considerando para o caso de solos não 
coesivos, leva em conta, ao contrário da teoria de Rankine, o atrito entre o terrapleno e a 
superfície sobre a qual se apóia. 
 
 Essas equações, para α = 90º e β = δ = 0º, transformam-se nas conhecidas 
expressões de Rankine: 
 )
2
45(..
2
1);
2
45(..
2
1 2222 ϕγϕγ +=−= tghEtghE pa 
 
Na prática podem ser usadas tabelas, como as de Krey, que facilitam muito a 
determinação dos valores do empuxo, como apresentado para o caso ativo de um muro 
com paramento vertical (α=00) e terrapleno com horizontal (β=00), na tabela 6.7. 
 
Tabela 6.7 - Coeficientes de empuxo ativo
ϕ 15º 20º 25º 
δ = 00 0.590 0491 0.406 0
δ = 50 0.557 0.466 0.386 0
δ = 100 0.534 0.448 0.372 0
δ = 150 0.517 0.435 0.364 0
δ = 200 - 0.428 0.358 0
δ = 250 - - 0.357 0
δ = 300 - - - 
A curvatura da superfície de ruptura tem 
aqui maior importância que no caso 
ativo e é tanto mais acentuada quanto 
maior for δ em relação à ϕ, o que torna 
admissível a aplicação da teoria de 
Coulomb para o cálculo do empuxo 
passivo, somente aos solos não coesivos 
quando δ ≤ ϕ/3. 
 161 
 para muro com α=00 e β=00. 
27.5º 30º 32.5º 35º 
.369 0.334 0.301 0.272 
.351 0.318 0.288 0.261 
.340 0.309 0.281 0.253 
.332 0.302 0.274 0.248 
.328 0.300 0.271 0.246 
.327 0.298 0.271 0.246 
- 0.297 0.273 0.248 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
Solos coesivos – Na aplicação da teoria de Coulomb aos solos coesivos, além das 
forças R (atrito) e P (peso da cunha), devemos considerar ainda as forças de coesão, S, ao 
longo da superfície de deslizamento e de adesão, T, entre o terrapleno e a parede. O 
problema consiste, pois, em procurar o máximo valor da força Ea que, com as demais, 
feche o polígono das forças (figura 6.22), as quais são conhecidas em grandeza e direção: 
P, S e T, e apenas em direção: R e Ea. 
 
Figura 6.22 – Cunha de empuxo ativo considerado o solo coesivo 
 
As soluções de Coulomb e Rankine são analíticas, embora sob conceituações 
distintas, são simples e de fácil utilização e vem sendo largamente empregadas até o 
presente, apesar de algumas limitações de aplicabilidade em situações práticas. Ambas não 
levam em conta, por exemplo, a condição de retroaterro ser irregular ou apresentar 
sobrecarga. Uma outra questão, para a análise de um projeto desta natureza, consiste no 
conhecimento do ponto de aplicação da força resultante de empuxo. 
 Diversas soluções gráficas (Poncelet, Culmann...) foram posteriormente 
apresentadas procurando resolver o problema. 
 O método de culmann procura determinar a força resultante de empuxo para 
retroaterro com geometria irregular ou ainda carregado externamente. Este método, na sua 
versão original, se aplica a solos não coesivos e leva em consideração não só o angulo de 
atrito do solo, mas também o atrito entre solo e muro. O valor do empuxo é determinado 
fazendo-se variar o ângulo de inclinação da superfície de ruptura, admitida plana. Entre os 
valores obtidos, o maior deles é tomado como sendo a resultante de empuxo procurada. 
 
6.6 - Método das Cunhas 
 
 A solução gráfica da método das cunhas é similar à de culmann, no entanto, 
apresenta diferença na orientação de polígono de força e a vantagem de considerar a 
coesão como um parâmetro do solo (figura 6.23). 
 
 
 Figura 6. 23 – Método das Cunhas: Forças atuantes na cunha ABED; Polígono de 
forças; Determinação da inclinação de ‘R’ (Bowles, 1988). 
 162 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
 A determinação da força resultante de empuxo pelo método das cunhas, segundo 
Bowles (1988), tem se mostrado bastante conservativa para o caso de se ter carregamento 
concentrado no retroaterro. 
 Quando ao ponto de aplicação desta resultante o que se tem usado associado a estes 
métodos são procedimentos práticos como apresentado por Terzaghi em 1943, apresentado 
na figura 6. 24, como uma solução simplificada e cuja aplicabilidade pode ser questionada. 
 
Figura 6. 24 – Ponto de aplicação de Pa. Retroaterro irregular; Carga concentrada 
ou em linha na zona de ruptura; Externo a zona de ruptura, mas na zona ABC. 
 
6.7 – Condiçoes de estabilidade de contençao de peso - muros de arrimo 
 
 A construção de muros de arrimo é obra que freqüentemente se apresenta ao 
engenheiro, particularmente ao engenheiro rodoviário. Os muros de sustentação podem ser 
de gravidade (construídos de alvenaria ou de concreto simples ou ciclópico), de flexão ou 
de contraforte (em concreto armado), ou, ainda, “muro de fogueira” (crib wall), formado 
por peças de madeira, de aço ou de concreto armado pré-moldado, preenchidos com solos 
os espaços entre as peças. A figura 6. 25 ilustra alguns exemplos de aplicação. 
 
Outros tipos de obra de contenção são as estruturas construídas por uma gaiola 
metálica em forma de cesta, e cheia com pedras, chamadas gabiões, e a técnica da terra 
armada, concebida pelo francês H. Vidal, e que consiste em reforçar um terrapleno com 
tiras de aço, capazes de suportarforças de tração importantes. Algumas vezes esses 
elementos são corrugados, visando aumentar o atrito entre o solo e a armadura. (figura 6. 
25, parte inferior). 
 
 
Figura 6. 25 - Exemplos de aplicação de estruturas de contenção. 
Condições de Estabilidade 
 163 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
Na verificação da estabilidade de um muro de gravidade, seja de seção trapezoidal 
ou do tipo escalonado como representados na figura 6. 26, ou com qualquer outra seção, 
devem ser investigadas as seguintes condições de estabilidade: 
 
Figura 6. 26 – Diferentes tipos de seção de muros de arrimo 
 
1a condição: Segurança contra o tombamento – Evidentemente, a condição para 
que o muro não se tombe em torno da extremidade externa A da base, figura 6. 27, é que 
momento do peso do muro seja maior que o momento do empuxo total, ambos tomados em 
relação ao ponto A. É aconselhável que a resultante de todas as forças atuantes, R, passe 
dentro do “núcleo central” (terço médio da seção) da base AB e, tanto quanto possível, 
próximo do ponto médio O quando o muro repousar sobre o terreno muito compressível. 
 
 
2a condição: Segurança contra o escorregamen
do empuxo passivo, Ep, o que é a favor da segurança, e
pelo menos: 
 
1,5 H = V tg δ 
 
sendo: δ igual ao ângulo de atrito entre o mur
segundo CAPUTO (1986) da ordem de 30º 
aproximadamente 25º se areia grossa argilosa o
apresentado. 
 
3a condição: Segurança contra ruptura e def
fundação – Quando a força R cair no núcleo central d
solo será (o que é uma aproximação) um trapézio; o ter
a tensões de compressão. As equações de equilíbrio par
 
 164 
Figura 6. 27 – Resultante do peso 
do muro (R) na base, 
componentes vertical (V) e 
 
horizontal (H) e aspecto do 
diagrama de pressão no solo de 
apoio. 
to – Desprezando-se a contribuição 
sta condição será satisfeita quando, 
o e o solo, o qual pode ser tomado, 
se o solo é areia grossa pura e 
u siltosa, ou outros valores como já 
ormação excessiva do terreno de 
a base, o diagrama de pressões no 
reno estará, pois, submetido apenas 
a a figura 6. 27 serão: 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
eVbb
Vb
.
6
..
2
.
2
21
21
=−
=+
σσ
σσ
 ou 
221
21
...6)(
2
1
)(
2
1
b
eV
b
V
=−
=+
σσ
σσ
 
 
ou ainda: 

 +=
b
e
b
V 611σ e 

 −=
b
e
b
V 612σ 
Essas equações agrupam-se na fórmula única: 
6/
.
2b
eV
b
V ±=σ 
 
Com M = Ve e designando-se por W o momento resistente da base (de área S=b.1) 
em relação ao eixo baricêntrico: 
 ,
62/
12/ 23 b
b
b ==W tem-se: 
 
,
W
M
S
V ±=σ
 que é a conhecida fórmula da flexão composta 
A condição a ser satisfeita, portanto, é que a maior das pressões (σ1) seja menor 
ou igual à pressão admissível do terreno (conforme será visto na Unidade 07 do curso). 
 
As equações de equilíbrio para a figura 6. 28, quando a força R cair fora do núcleo 
central, em que a distribuição é triangular, limitada à parte da compressão, serão: 
 
 ,
2
'3.1 Ve =σ donde: 
'3
2
1 e
V=σ 
 
 
Figura 6. 28 – Resultante do peso 
do muro (R) na base e aspecto do 
diagrama de pressão no solo de 
apoio, para a condição em que a 
força R cai fora do núcleo central. 
 
Essas três condições de estabilidade deverão ser satisfeitas para as seções críticas 
do muro em estudo. Uma quarta verificação deve também ser analisada, se possível, a 
saber: 
 
4a condição: Segurança contra ruptura do conjunto muro-solo – A possibilidade de 
ruptura do terreno segundo uma superfície de escorregamento ABC (figura 6. 29) deve 
 165 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
também ser investigada, apartir da aplicação dos conhecimentos de Estabilidade de 
taludes, vistos em outra disciplina do curso. 
 
Figura 6. 29 - Possibilidade de ruptura 
do conjunto muro-solo, segundo uma 
superfície de escorregamento de 
instabilidade do talude. 
 
 
6.8 – Exemplo de análise com uso de recursos computacionais 
 
Este sub-iten é apresentado com o objetivo de servir de leitura complementar aos 
pontos abordados na unidade e também orientar o estudante na realização prática de uma 
análise de empuxo de terra e de estabilidade de um muro de peso através de um software 
disponibilizado aos alunos, por este autor, neste curso de Mecânica dos Solos. 
 
“O MÉTODO DAS CUNHAS ITERATIVO” 
 
Procurando uma solução para o problema da determinação do posicionamento da 
força resultante de empuxo, inicialmente para uma condição de retroaterro irregular sem 
carregamento, este autor desenvolveu um programa para microcomputador, em que se 
faz a discretização da altura do muro e calcula a resultante de empuxo, pelo método das 
cunhas, para cada altura determinada. A este procedimento chamou-se de “Método das 
Cunhas Iterativo” (MARANGON, 1992, trabalho publicado, direitos reservados). 
 Imaginou-se, desta forma, que o conhecimento da variação (diferença) do valor da 
resultante de empuxo calculada ao longo da altura do muro poderia ser uma informação 
que contribuiria para a determinação do diagrama de distribuição de pressões sobre a 
parede do arrimo, e também do ponto de aplicação de sua resultante. 
 
 Na figura 6. 30 tem-se a divisão da altura do muro em elementos discretos de 
alturas `dh` (constantes), a determinação das forças resultante de empuxo referente a cada 
altura Hi. Obtidas as forças ‘Pi’, aplicadas ao longo de toda a altura do muro a uma 
distância ‘di’ de um ponto na base, obteve-se o ponto de aplicação da resultante geral de 
empuxo aplicando-se uma equação, abaixo, de momento de forças em relação ao ponto 
fixo ‘a’ (figura 6. 30). Isto foi feito conhecida a resultante “R”, correspondente à área do 
diagrama de pressões determinado. 
Σ Pi x di = R x Y 
 
Determinação do diagrama de pressões: 
 Dividiu-se a força Pi pela área de sua aplicação, correspondente a altura ‘dh” 
(calculada por metro linear de muro). Determinou-se, desta forma, a pressão ‘Pdi’ para 
cada elemento ao longo de toda sua altura, obtendo-se assim, o diagrama de pressões como 
 166 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
ilustrado na figura 6. 30. Observa-se que os valores de pressões obtidos (por exemplo à 
base do muro) serão dependentes da discretização adotada, como discutido posteriormente. 
 
Figura 6. 30 – Resolução iterativa. Discretização na altura; Determinação do ponto 
de aplicação da resultante; Obtenção do diagrama de pressões (MARANGON, 1992). 
 
Para o retroaterro com carregamento externo (pontual, pontual linear, em faixa ou 
seção carregada) fez-se uso da Teoria da Elasticidade, para a avaliação do acréscimo de 
pressão na parede, através da equação proposta por Boussinesq abaixo. 
 
σr = P 3 sen ϕ2 cos ϕ3 – (1-2µ) cos2 ϕ 
 2 π z2 1 + cos ϕ 
 
Onde P: carga unitária pontual aplicada no solo; ϕ: ângulo entre a vertical e a 
direção definida pela carga ao ponto em que se deseja obter o valor da pressão; µ: 
coeficiente de Poisson; Z: profundidade do ponto considerado para o cálculo. 
 
Este acréscimo de pressão foi também calculado para cada altura‘dh’e somado à 
pressão (empuxo) de terra calculada (sobreposição de efeitos). O ponto de aplicação da 
resultante foi então obtido para tais condições de retroaterro, sendo utilizado pelo 
programa para análise de estabilidade do arrimo. 
 
Características Gerais do Programa 
O programa para análise de empuxo de terra e análise de estabilidade de um muro 
de peso, denominado de ‘EMPUFJF’ (EMPUXO-UFJF), foi escrita na linguagem 
FORTRAN-77, compilado e editado em compilador da Microsoft, para ser executada em 
micro-computadores. A interação do usuário com o programa se realiza através da tela ou 
do arquivo de dados de entrada e saída. Considera os diversos parâmetros da interface 
solo-muro, de sobrecarga e da geometria do retroaterro e do muro, que são definidas por 
 167 
 
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EMPUXOS DE TERRA 
 
coordenadas. O retroaterro poderá ser também definido por um ângulo constante em toda 
sua extensão. (figura 6. 31). 
 
Figura 6. 31 – Dados de entrada considerados para o problema 
 
O programa, nesta presente versão não considera o desenvolvimento de 
poropressão e a análise se dá em termos de tensões efetivas (parâmetros c’ e ϕ’ - condição 
drenada) e apresenta a opção de considerar a existência de trinca de tração, calculando sua 
profundidade e posicionando-a automaticamente a montante do talude e junto ao arrimo. 
 Para cada superfície arbitrada (inclinação ρi) o programa identificar a poligonal 
fechada referente a sua cunha. A figura 6. 32 destaca uma destas cunhas de empuxo, à 
altura hi, com a consideração de abertura de trincas de tração no solo de retroaterro – 
formada pelo polígono ‘abcdefa’. 
 
 
Figura 6. 32 – Determinação da resultante de empuxo máximo para a altura Hi, 
considerada a abertura da trinca (MARANGON, 1992). 
 
 A partir dos dados de entrada, faz-se o equilíbrio das forças, destacadas na figura 6. 
32. As forças desconhecidas Ri (resultante na base da cunha) e Pai (resultante de empuxo 
no muro) são computadas analiticamente a partir das equações de equilíbrio em x e y: 
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 Σ Fx = 0 Pa sen β + Cs cos ρ – sen γ – Cw cos α = 0 
 Σ Fy = 0 Pa cos ß + Cs ρ + R cos γ + Cw sen α – W = 0 
 A procura da superfície de ruptura crítica (inclinação ρmáx) é feita, para cada 
altura, variando-se o ângulo de inclinação da superfície de ruptura plana (ρ), partindo-se de 
um valor de ρ = ϕ até ρ = 80o, de 2o em 2 o. Em seguida para o intervalo [- 2o, + 2o ] da 
superfície de maior resultante obtida nesta primeira análise, varia-se de 0,5o em 0,5o para 
melhor precisão do resultado. 
 Por se tratar de um processo iterativo a precisão dos resultados referentes ao 
diagrama de pressão, está associada ao incremento adotado pelo usuário. Sugere-se adotar 
um ‘dh’ da ordem de 1/60 a 1/400 da altura do muro. 
 
Exemplo de diagrama para Retroaterro Sobrecarregado 
No exemplo apresentado na figura 6. 33, considerou-se para o solo de retroaterro os 
parâmetros (ϕ = 30o , C = 0 e δ = 20o). A seção retangular do carregamento foi dividida em 
10 partes para cada lado (NSQL e NSQW = 10), e assim, foi considerado como tendo 100 
cargas unitárias de 16 kN (PSQR = 16), para um coefíciente de Poisson de 0,5. 
 
 
Figura 6. 33 – Exemplo de retroaterro sobrecarregado. 
 
Verificou-se inicialmente os resultados, adotando um ‘dh’ de 0,75m, para o 
acréscimo de pressão devido a sobrecarga. Em seguida, para o mesmo ‘dh’ foi verificado 
do empuxo do retroaterro e a sobreposição de efeitos. A figura 6. 34 apresenta os 
diagramas obtidos no exemplo. Observa-se que o carregamento externo elevou o ponto de 
aplicação, inicialmente em 2,50m (0,333 de h), para 3,065m, ou seja 0,409 de sua altura. 
 
 
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Figura 6. 34 – Pressão na parede sem a consideração do sobrecarregamento, Efeito 
proveniente da sobrecarga e Sobreposição de efeitos de retroaterro e sobrecarga. 
Exemplo de diagrama para Retroaterro Irregular 
 Apresenta-se um exemplo (figura 6. 35) com retroaterro irregular definidos por 
coordenadas, sendo adotadas para o solo os parâmetros ϕ’= 35º e C = 0. O exemplo é 
também analisado substituindo-se esta irregularidade por um plano de inclinação constante 
(18,5º) que imagina-se equivalente. Na figura 6. 36 são apresentados os diagramas de 
pressão (empuxo) para ambas as considerações de retroaterro, e para este sendo horizontal. 
 Os diagramas de pressão para o retroaterro definido por um plano segundo um 
ângulo constante para a condição horizontal são triangulares e têm o seu ponto de 
aplicação à 1/3 de sua altura (0,333 h). Para a consideração da irregularidade do 
retroaterro, no entanto, o diagrama não apresentou a mesma linearidade e teve a aplicação 
de sua resultante elevada à 0,364 de sua altura. 
. 
 
Figura 6. 35 – Exemplo de retroaterro definido por coordenadas 
 
Na figura 6. 36, apresenta-se, os ângulos de inclinação das superfície de ruptura 
crítica (ρmax), para cada altura ‘Hi’ considerada. Observa-se que, para o retroaterro plano, 
este ângulo é constante, para qualquer altura de muro considerada. Para o retroaterro 
irregular, este ângulo variou em função da altura considerada na determinação da cunha de 
empuxo crítica. 
 
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Figura 6. 36 – Exemplo de retroaterro irregular. Diagramas de pressões (empuxo) e 
Variação da inclinação da cunha de empuxo máximo (ρmáx) com a altura. 
O programa além de obter a cunha de empuxo máxima (OPÇÃO 1) e o diagrama de 
empuxo (OPÇÃO 2), utilizando o “método das cunhas iterativo”, conforme apresentado 
por MARANGON (1992), analisa a condição de estabilidade de um muro de peso 
(OPÇÃO 3), conforme descrito. 
 
Na análise da estabilidade considera as formas mostradas na figura 6. 37, onde Pw 
é a resultante de pressão da água preenchendo a trinca de tração, Phs é a resultante de 
sobrecarga no terrapleno e Pp é a resultante de empuxo passivo. 
 
 
Figura 6. 37 – Forças consideradas na análise de estabilidade do muro de arrimo. 
 
Assim, as os fatores de segurança para o tombamento e deslizamento do muro 
podem ser escritos como abaixo. O valor do fator de segurança a ser adotado deve ser 
avaliado pelo projetista. É comum considerar satisfatório quando este valor supera 1,50. 
 
 
 
 
 
 
 
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