Matemática - Função

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Na Matemática, função corresponde a 
uma associação dos elementos de dois 
conjuntos, ou seja, a função indica como 
os elementos estão relacionados. 
Por exemplo, uma função de A em B 
significa associar cada elemento 
pertencente ao conjunto A a cada 
elemento que compõe o conjunto B. 
▪︎ Notação para função: 
f: A → B ou A → B (lê-se: f de A em B). 
 
▪︎ Representação através do diagrama: 
 
Representação das funções 
Em uma função f: A → B o conjunto A é 
chamado de domínio (D) e o conjunto B 
recebe o nome de contradomínio (CD). 
Um elemento de B relacionado a um 
elemento de A recebe o nome de imagem 
da função. Agrupando todas as imagens 
de B temos um conjunto imagem - Im(f) 
que é um subconjunto do controdomínio. 
 
Isto é.: Im ⊂ B 
 
Exemplo: 
 
observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e 
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função 
que determina a relação entre os elementos 
f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e 
cada x do conjunto A é transformado em 2x 
no conjunto B. 
 
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as 
entradas, "multiplicar por 2" é a função e os 
valores de B {2, 4, 6, 8}, que se ligam aos 
elementos de A, são os valores de saída. 
Portanto, para essa função: 
• O domínio é {1, 2, 3, 4} 
• O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 
• O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8} 
 
 
 
 
 
 
▪︎ Condição de existência de uma função: 
 
1°- todo elemento do Domínio tem que estar 
ligado. 
2°- cada elemento do Domínio contém apenas 
um correspondente. Ou seja, está apenas ligado 
por uma flecha. 
3°- no contra domínio pode de tudo. 
 
Veja graficamente: 
 
Pergunte-se: 
Em ambas as funções... 
-todos os elementos do Domínio estão 
ligados? Sim. 
-todos os elementos do Contradomínio tem 
apenas um correspondente no Domínio? 
(ou seja - está saindo apenas uma flecha de 
cada elemento do Domínio)? Sim. 
Então, temos uma função! 
 
 
▪︎ Condição de existência pelo Gráfico: 
Bizu: 
1° Passo: trace uma reta “vertical imaginária” 
cortando o gráfico. 
2° Passo: se esta reta cortar o gráfico em 
apenas um ponto, este gráfico será de uma 
função. Caso corte em mais de um ponto, o 
gráfico não será de uma função. 
 
 Não é Função É Função 
 
Ou, didaticamente explicando: 
- Para todo x, existe apenas um y 
correspondente. Ou seja, só pode sair uma 
flecha do Domínio, contudo, o Contradomínio 
é bagunçado. 
▪︎ Como construir o gráfico? 
 
Para construir o gráfico de uma função, 
devemos atribuir valores para a variável 
que representa um valor do domínio da 
função e com isso encontraremos o valor 
que representa a imagem para aquele 
elemento do domínio. 
 
 
Exemplo: 
Seja a função f: A → R, tal que f(x) = 2x – 2. 
Sendo A = [0, 5], represente esta função no 
plano cartesiano e desenhe o seu respectivo 
gráfico. 
Resolução: 
Para encontrar os pares ordenados (x, y) 
do plano cartesiano, devemos atribuir os 
valores do domínio A que estão no 
intervalo [0, 5]. Assim: 
• Para x = 0: 2(0) – 2 = -2 
• Para x = 1: 2(1) – 2 = 0 
• Para x = 2: 2(2) – 2 = 2 
• Para x = 3: 2(3) – 2 = 4 
• Para x = 4: 2(4) – 2 = 6 
• Para x = 5: 2(5) – 2 = 8 
Esses valores formam a seguinte tabela: 
 
Onde: 
• x é um valor do domínio da função; 
• y é um valor da imagem. 
Marcando os valores dos pares (x, y) no 
plano cartesiano e traçando uma reta que 
passa pelos pontos formados pelos pares 
ordenados (x, y), temos o seguinte gráfico: 
 
 
 
● Tipos de funções: 
 
- Considerando os elementos do Domínio 
e Contradomínio, números Reais (ℝ) → 
–∞, +∞ (do menos infinito ao mais infinito). 
 
 
 
▪︎ Injetora ou Injetiva 
 
Uma função f: A —> B é injetora ou injetiva 
se, e se somente se, os elementos distintos 
em A possuem elementos distintos em B. 
Ou seja, os elementos do Contradomínio 
tem que receber apenas uma flecha dos 
elementos do Domínio. 
Exemplo: 
 
Para a função acima: 
• O domínio é {0, 3, 5} 
• O contradomínio é {1, 2, 5, 8} 
• O conjunto imagem é {1, 5, 8} 
》Considerando a função f(x) = x³ 
 
▪︎ Sobrejetora ou Sobrejetiva 
Uma função f : A → B é sobrejetora ou 
sobrejetiva se, e somente se, todo elemento 
de B é imagem de pelo menos um elemento 
de A. Ou seja, nenhum elemento em B pode 
está sem ser ligado. Ou seja, a imagem tem 
que ser igual ao Contradomínio - Im(f) = CD. 
Exemplo: 
 
Para a função acima: 
 
• O domínio é {-4, -2, 2, 3} 
• O contradomínio é {12, 4, 6} 
• O conjunto imagem é {12, 4, 6} 
》Considerando a função f(x) = x² 
 
▪︎ Bijetora ou Bijetiva 
 
Uma função f : A → B é bijetora ou bijetiva 
se, e somente se, ela for ao mesmo tempo 
injerora e sobrejerora. Isto é, cada elemento 
do Domínio está ligado a apenas um 
elemento do Contradomínio e nenhum 
elemento irá ficar sobrando em ambos. 
Aqui, a imagem (Im(f)) não aceita bagunça. 
Exemplo: 
 
Para a função acima: 
• O domínio é {-1, 1, 2, 4} 
• O contradomínio é {2, 3, 5, 7} 
• O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7} 
》Considerando a função bijetora f(x) = x + 2, 
onde f: [1; 3] → [3; 5]: 
 
▪︎ Função Par 
Uma função é chamada par quando 
f(x) = f(-x), ou seja, aplicando-se um 
valor qualquer à uma função qualquer, 
independente se for positivo (+) ou 
negativo (–), o resultado sempre dará 
um valor positivo. Vale salientar que o 
número será o mesmo, o que muda é 
o sinal. 
- O gráfico é simétrico (mesmas dimensões) 
em relação ao eixo y. (O y é uma espécie 
de epelho). 
 
Exemplo: 
 
• f(x) = x² –> f(-2) = -2² –> f(-2) = 4 e 
f(2) = 2² –> f(2) = 4 
 
 
• f(2) = f(-2) 
 
 
▪︎ Função Ímpar 
Uma função é chamada ímpar quando 
f(x) = -f(-x), ou seja, aplicando-se um 
valor qualquer à uma função qualquer, 
independente se for positivo (+) ou negativo 
(–), o resultado sempre dará um valor 
positivo e outro negativo. Vale salientar 
que o número será o mesmo, o que 
muda é o sinal. 
- O gráfico é simétrico (mesmas dimensões) 
em relação à origem. (O ponto de encontro 
das ordenadas (x,y) é uma espécie de 
espelho). 
Exemplo: 
• f(x) = x³ —> f(1) = 1³ —> f(1) = 1 
e f(-1) = -1³ —> f(-1) = -1 
 
• f(1) = -f(-1) 
 
 
▪︎ Função Sem Paridade 
(nem Par nem Ímpar) 
Uma função é chamada Sem Paridade 
quando não é par nem é ímpar, ou seja, 
aplicando-se um valor à qualquer função 
qualquer, independente se for positivo (+) 
ou negativo (–), o resultado sempre dará 
dois valores distintos (tanto em sinais 
quanto em números). 
 
 
▪︎ Função inversa 
A função inversa ( ) é um tipo de função 
bijetora, ou seja, ela é sobrejetora e injetora 
em simultâneo (ao mesmo tempo). 
Se uma função ( ) leva os elementos de seu 
domínio A ao seu contradomínio B, a função 
inversa ( ) faz o caminho contrário, 
retornando os elementos de B para A. 
 
Veja o exemplo abaixo: 
 
 
Seja a função ( ) de domínio A e 
contradomínio B: 
 
Sua função inversa ( ) de domínio B 
e contradomínio A, é: 
 
Dada uma função bijetora f: A → B com 
domínio A e contradomínio B, ela apresenta 
a função bijetora inversa f -1: B → A, com 
domínio B e contradomínio A. 
Exemplo 
Dadas as funções: A = {-2, -1, 0, 1, 2} e B = {-
16, -2, 0, 2, 16} observe a imagem abaixo: 
 
 
 
 
Assim, podemos compreender que o 
domínio de f corresponde ao contradomínio 
e à imagem de f -1. Já o contradomínio é a 
imagem de f é igual ao domínio de f -1. 
▪︎ Para escrever a fórmula da função inversa 
de uma função bijetora, precisamos lembrar 
que . 
1º passo: na função bijetora, substituir f(x) 
por y; 
2º passo: onde tem x troca-se por y e, onde 
tem y troca-se por x; 
3º passo: isola-se o y de umlado da 
igualdade; 
4º passo: reescreve-se a função, 
substituindo y por . 
 
Exemplo 
 
Escreva a função inversa da função bijetora 
f(x) = 9x. 
1º passo: y = 9x 
2º passo: x = 9y 
3º passo: 
4º passo: 
 
▪︎ Gráfico da Função Inversa 
O gráfico de determinada função e de 
sua inversa é representado pela simetria 
(“espelho") em relação à reta y = x —> 
formada por uma bissetriz dos quadrantes 
ímpares que passa pela origem do plano 
cartesiano. 
 
▪︎ Função Composta 
 
A função composta, também chamada de 
função de função, é um tipo de função 
matemática que combina duas ou mais 
variáveis. 
Sendo assim, ela envolve o conceito de 
proporcionalidade entre duas grandezas, e 
que ocorre por meio de uma só função. 
Dada uma função f (f: A → B) e uma função g 
(g: B → C), a função composta de g com f é 
representada por gof. Já a função composta 
de f com g é representada por fog. 
A função f vai do domínio A ao 
contradomínio B. 
A função g vai do domínio B ao 
contradomínio C. 
Assim, o contradomínio da função f é o 
domínio da função g. Podemos escrever 
uma função composta que liga diretamente 
o domínio A ao contradomínio C. 
 
 
Desta forma, a função que liga diretamente 
um elemento x, que pertença ao domínio A, 
ao contradomínio C é a função fog (x) ou, 
f(g(x)). Estas são duas maneiras de expressar 
a mesma função. 
Assim, é válido que: 
 
Realizando o caminho inverso e saindo de C 
para A, temos: 
 
Note que nas funções compostas as 
operações entre as funções não são 
comutativas. Ou seja, fog ≠ gof. 
▪︎ Como determinar função composta: 
Na prática, para determinar uma função 
composta, aplica-se uma função no domínio 
da outra, substituindo a variável x pela lei da 
outra função. 
Exemplo: determinar as funções 
compostas. 
Determine as funções compostas gof(x) e 
fog(x) das funções: 
f(x) = 2x + 2 
g(x) = 5x. 
Determinando gof (x): 
Na função g(x), substituímos a variável x, 
pela função f(x), da seguinte forma: 
 
 
Determinando fog (x): 
Na função f(x), substituímos a variável x, 
pela função g(x), da seguinte forma: 
 
 
 
Atividade: 
 
Os gráficos das funções f(x) = -3x + 11 e g(x) = 2x - 4 se 
intersectam no ponto P(x1, y2). A soma x1 + y2 é igual 
a: 
A) 5. 
B) 4. 
C) 3. 
D) 2. 
E) 9. 
Ou seja, quando a questão fala que as funções estão 
intersectando num determinado ponto, é como se 
f(x) = g(x). 
Igualando as funções, acharemos o valor de “x". 
f(x) = g(x) –> -3x + 11 = 2x - 4 –> -3x -2x = -4 -11 –> -5x = 
-15 –> x = 3 
Agora é só substituir em alguma das funções: 
f(x) = -3x + 11 –> f(3) = -3.(3) + 11 –> f(3) = 2 
Ou 
g(x) = 2x -4 –> g(3) = 2.3 -4 –> g(3) = 2 
Somando: 
x = 3 e y = 2 –> x + y –> 3 + 2 = 5 
 
Os gráficos das funções f(x) = ax-² e g(x) = x2 - 9x - 7 
se interceptam em um ponto cuja abscissa é igual a 5. 
Nesse caso, o valor de a é: 
a) - 1/3 
b) 1/3 
c) 3 
d) - 3 
e) 27 
 
Ou seja, f(x) = g(x) quando x = 5. 
Iguala as funções e substituindo o “x” por 5. 
a⁵⁻² = 5² – 9. 5 -7 –> a³ = 25 – 45 -7 
a³ = -27 –> a³ = (-3)³ –> a = -3 
 
GABARITO: LETRA D 
 
▪︎ Estudo do Domínio de uma Função 
 
Através de alguns exemplos, demonstraremos 
como determinar o domínio de uma função, isto é, 
descobrir quais os números que a função não pode 
assumir para que a sua condição de existência não 
seja afetada. 
 
Exemplo 1: 
 
Nesse caso, o denominador não pode ser nulo, 
pois não existe divisão por zero na Matemática. 
x – 1 ≠ 0 
x ≠ 1 
Portanto, D(f) = {xER / x ≠ 1}. D = R - {1}, lê-se -> 
todos os Reais menos o um. 
 
Exemplo 2: 
 
Nos números reais, o radicando de uma raiz de 
índice par não pode ser negativo. 
4x – 6 ≥ 0 
4x 6 
x ≥ 6/4 
x ≥ 3/2 
Portanto, D(f) = {xER / x ≥ 3/2}. 
 
 
Exemplo 3: 
 
Toda vez que o índice da raiz for ímpar, o 
radicando pode ser um número negativo, 
nulo ou positivo, isto é, 3x – 9 pode assumir 
qualquer valor. Portanto, D(f) = R. 
 
Exemplo 4: 
 
Nesse caso, temos restrições tanto no 
numerador quanto no denominador. As 
restrições podem ser calculadas da seguinte 
maneira: 
I) 2 – x ≥ 0 → – x ≥ – 2 → x ≤ 2 
II) x + 1 > 0 → x > – 1 
 
Executando a intersecção entre I e II, 
obtemos: 
 
 
Portanto, D(f) = {xER / –1 < x ≤ 2} → ] –1, 2]. 
 
 
 
▪︎ Estudo do Sinal 
Ao estudar o sinal de uma função conseguimos 
determinar quando a função assume valores 
correspondentes em y negativos, nulos ou 
positivos, para quais valores de x. 
Exemplo: 
Seja o gráfico de uma função f: R → R: 
 
Pelo gráfico temos que: 
• Para x < -2 ou x > 3: os valores de y são 
positivos; 
• Para -2 < x < 3: os valores de y são 
negativos; 
• Para x = -2 ou x = 3: os valores de y são 
nulos. Também chamadas raízes ou zeros 
da função. 
▪︎ Função Crescente, Decrescente e 
Constante 
Podemos classificar as funções de acordo com seu 
gráfico em: crescente, decrescente e constante. 
• Crescente: uma função é crescente quando 
para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, 
sendo x1 < x2, temos que f(x1) < f(x2). 
• Isto quer dizer que se os valores 
de x aumentam, os valores de y também 
aumentam. 
o Exemplo: 
 
• Decrescente: uma função é decrescente 
quando para quaisquer valores x1 e x2 do 
domínio, sendo x1 < x2, temos que f(x2) < 
f(x1). 
• Isto quer dizer que se os valores 
de x aumentam, os valores de y diminuem. 
o Exemplo: 
 
• Constante: uma função é constante quando 
para quaisquer valores x1 e x2 do domínio, 
temos que f(x1) = f(x2). 
• Isto que dizer que quando os valores 
de x aumentam, os valores 
de y permanecem iguais. 
o Exemplo: 
 
 
- Exemplo com tudo mesclado: 
 
 
 
▪︎ Função Periódica 
Dizemos que uma função f(x) é periódica se existe um 
Período - T ≠ 0 tal que f(x +T ) = f(x). 
• Se o Período (T ) = 0, não existira função. 
• O gráfico de uma função periódica se repete a cada 
intervalo de comprimento |T |. 
• O Período (T) é a distância horizontal entre o início e 
o fim de uma repetição de um gráfico. 
 
 
 
	Representação das funções
	▪︎ Condição de existência de uma função:
	▪︎ Como construir o gráfico?
	● Tipos de funções:
	▪︎ Injetora ou Injetiva
	》Considerando a função f(x) = x²
	▪︎ Bijetora ou Bijetiva
	▪︎ Função Par
	▪︎ Função Ímpar
	▪︎ Função inversa
	▪︎ Gráfico da Função Inversa
	▪︎ Função Composta
	▪︎ Como determinar função composta:
	▪︎ Estudo do Domínio de uma Função Através de alguns exemplos, demonstraremos como determinar o domínio de uma função, isto é, descobrir quais os números que a função não pode assumir para que a sua condição de existência não seja afetada.
	Exemplo 1:
	Nesse caso, o denominador não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero na Matemática. x – 1 ≠ 0 x ≠ 1 Portanto, D(f) = {xER / x ≠ 1}. D = R - {1}, lê-se -> todos os Reais menos o um.
	Exemplo 2:
	▪︎ Estudo do Sinal
	▪︎ Função Crescente, Decrescente e Constante