MATEMÁTICA LÚDICA

Prévia do material em texto

MATEMÁTICA LÚDICA
UNIASSELVI-PÓS
Autoria: Evandro Felin Londero
Indaial - 2020
2ª Edição
CENTRO UNIVERSITÁRIO LEONARDO DA VINCI
Rodovia BR 470, Km 71, no 1.040, Bairro Benedito
Cx. P. 191 - 89.130-000 – INDAIAL/SC
Fone Fax: (47) 3281-9000/3281-9090
Reitor: Prof. Hermínio Kloch
Diretor UNIASSELVI-PÓS: Prof. Carlos Fabiano Fistarol
Equipe Multidisciplinar da Pós-Graduação EAD: 
Carlos Fabiano Fistarol
Ilana Gunilda Gerber Cavichioli
Jóice Gadotti Consatti
Norberto Siegel
Julia dos Santos
Ariana Monique Dalri
Marcelo Bucci
Revisão Gramatical: Equipe Produção de Materiais
Diagramação e Capa: 
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Copyright © UNIASSELVI 2020
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri
 UNIASSELVI – Indaial.
L847m
 Londero, Evandro Felin
 Matemática lúdica. / Evandro Felin Londero. – Indaial: UNI-
ASSELVI, 2020.
 120 p.; il.
 ISBN 978-65-5646-043-7
 ISBN Digital 978-65-5646-044-4
1. Matemática. - Brasil. 2. Ludicidade. - Brasil. Centro Universitário 
Leonardo Da Vinci.
CDD 372.2
Impresso por:
Sumário
APRESENTAÇÃO ............................................................................5
CAPÍTULO 1
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA ...............................7
CAPÍTULO 2
QUADRADOS MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS
GEOMÉTRICOS .............................................................................37
CAPÍTULO 3
CURIOSIDADES NUMÉRICAS, DESAFIOS E
CONSIDERAÇÕES ALGÉBRICAS ................................................81
APRESENTAÇÃO
“O livro do mundo está escrito em linguagem matemática”. 
Galileu Galilei
“A Matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela”.
Albert Einstein
Caro pós-graduando, seja bem-vindo à disciplina Matemática Lúdica. Este 
livro se propõe a motivá-lo a utilizar atividades lúdicas na prática pedagógica 
como alternativa metodológica de motivação e impulsionadoras da compreensão 
de estruturas algébricas. Com esse objetivo, acreditamos que as exemplificações 
que apresentaremos possam gerar em você uma motivação extra no uso do 
lúdico em sua prática pedagógica e que o ajudem na tarefa constante de agente 
de transformação do processo educativo.
A realidade escolar e os resultados de diversas pesquisas, na área da 
educação, apresentam um desempenho dos alunos abaixo do desejado. Nos 
diversos contextos em que as pesquisas são realizadas e no senso comum da 
sociedade, a Matemática sempre está no ápice dos debates educativos. Entre 
esses, a unanimidade de que esta área é fundamental para a educação confronta-
se com o porquê das dificuldades apresentadas pelos alunos. Na tentativa de 
minimizar esses resultados negativos, esta disciplina se propõe a apresentar 
diferentes estratégias e alternativas metodológicas para o ensino da Matemática 
por meio da ludicidade.
Neste livro, enfatizaremos o lúdico por meio de jogos e desafios, na 
perspectiva de que eles se mostrem importantes quando se tornam meios para a 
compreensão de conceitos e desenvolvimento de novas aptidões cognitivas. No 
ensino da Matemática, a utilização dessa estratégia como recurso didático para a 
abordagem de conceitos, aliados às estruturas algébricas correlatas, parece um 
caminho eficaz na contribuição da motivação dos alunos no processo de ensino-
aprendizagem.
Por meio do diálogo e da constante construção do processo, sempre 
dinâmico e ativo, esperamos que a presente disciplina contribua para a sua 
prática pedagógica no ensino de Matemática, motivando-o a estabelecer relações 
entre as variadas atividades lúdicas e o processo de sistematização algébrico dos 
conceitos matemáticos.
CAPÍTULO 1
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA
A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
• Conceituar o lúdico no contexto educacional.
• Reconhecer o lúdico como importante instrumento de motivação.
• Analisar a proposta de uma aprendizagem auxiliada pela ludicidade em 
contraponto ao ensino tradicional.
• Discutir a possibilidade de inserção de atividades lúdicas na prática pedagógica.
8
 MATEmáTiCA LÚDiCA
9
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO
Em muitos momentos da prática educativa, docentes respaldam-se nas suas 
vivências e/ou em modelos propostos por educadores para redimensionarem 
sua metodologia. Você deve lembrar-se do tempo em que passou pelos bancos 
escolares, enquanto aluno, de que determinado professor utilizou uma estratégia 
metodológica diferenciada que o (des)motivou. Com essas experiências, 
procuramos não repetir aquilo que consideramos inadequado, pressupondo, como 
professor ou pesquisador, que nossos alunos terão a mesma percepção. Nesse 
caso, o risco que corremos ao evitar certas metodologias é de que elas poderiam 
surtir um efeito positivo não esperado.
Limitar nossas ações metodológicas àquelas que nos agradam é ser muito 
simplista, mas ter o cuidado em aplicar aquilo que nos parece equivocado é 
fundamental. Na educação, esse processo é sempre muito relevante. Partimos 
de experiências bem ou malsucedidas para adequar os processos a cada nova 
realidade.
Nunca deixe de tentar realizar desafi os matemáticos aos alunos. No entanto, 
é importante que você seja prudente com relação à avaliação de atividades 
lúdicas, tendo como pressuposto a motivação dos estudantes, tanto dos que 
atingem os objetivos propostos quanto daqueles com difi culdades nas atividades.
Perceba que a efetivação de atividades lúdicas premia o desenvolvimento do 
raciocínio lógico e da abstração, dois eixos fundamentais para a compreensão dos 
conceitos matemáticos. Aplicadas de forma criteriosa, essas atividades tendem a 
estimular os alunos, cada um a seu tempo, a buscarem mais subsídios teóricos 
que os tornem mais competentes.
A busca da superação é da natureza humana. Quando somos desafi ados 
e não conseguimos desvendar a solução de um problema, geralmente lutamos 
para superar as difi culdades. Se não damos uma resposta à altura de forma 
imediata, geralmente fi camos “intrigados” e lutamos para superar as difi culdades 
em encontrar a resposta. Mesmo que esta seja dada por outro, analisamos até 
nos convencermos de sua veracidade.
Uma das perspectivas deste livro é motivá-lo a utilizar atividades lúdicas 
na sua prática pedagógica. Para tanto, procuramos elucidar algumas questões 
relativas a cada contexto e orientar a aplicação de acordo com a fase de atuação.
Como muitas atividades lúdicas superam os limites previstos e/ou impostos 
pelo currículo e por parâmetros que estão presentes no modelo que se efetiva 
10
 MATEmáTiCA LÚDiCA
na maioria das unidades escolares do país, desejamos muito sucesso ao utilizar 
cada proposta de atividade na sua prática pedagógica.
2 O LÚDICO NO CONTEXTO DA 
MATEMÁTICA
O lúdico está presente em nosso cotidiano, em nossas relações e em nosso 
modo de pensar. Ele nos ajuda a viajar por mundos imaginários em alguns 
instantes e retornar à realidade na mesma intensidade de tempo. Agora, imagine 
você o que essa dimensão pode signifi car em termos educativos e, em especial, 
na abordagem de conceitos matemáticos.
Para contextualizar o lúdico, apresentaremos neste capítulo algumas 
questões teóricas e um exemplo clássico da literatura. As fundamentações estão 
focadas no processo do conhecimento, nas diretrizes educacionais, no educando, 
no educador e nos conceitos matemáticos. A ênfase de cada tópico é reforçar o 
lúdico como importante instrumento metodológico e estimular você a buscar mais 
subsídios teóricos que o motivem e o auxiliem no uso de atividades na prática 
pedagógica. Leia atentamente os tópicos e utilize os conceitos apresentados para 
compreender melhor o processo da ludicidade.
2.1 O CONHECIMENTO COMO PROCESSO
Tratar a questão da construção do conhecimento como processo e não 
apenas como conteúdo parece o caminho necessário para que ohomem tenha 
assegurada sua singularidade e torne-se corresponsável da transformação. 
Esse estágio da evolução exige novas relações na convivência com o outro e 
na organização social como um todo, ligando as sensações vitais do homem às 
novas aptidões cognitivas.
O desenvolvimento humano passa pela necessidade da análise geral do 
contexto social, econômico e cultural no qual está inserido. Espera-se, dessa 
forma, que a ação humana esteja na direção do saber construído pela própria 
essência da vida, esta que rege não só o homem, mas todo o universo que está 
diante de uma diversidade de modelos que devem ser respeitados pelo homem 
para que ele próprio não sucumba.
Nesse contexto, é importante que você compreenda que a educação tem 
um papel fundamental e seus atores podem contribuir de forma signifi cativa, pois 
têm a competência de organizar novas metodologias que priorizem a criação 
de estratégias, de argumentação e favoreçam a criatividade, a iniciativa pessoal, 
11
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
o trabalho coletivo e o estímulo à autonomia, por meio do desenvolvimento da 
autoestima.
Para que a educação adquira essa competência toda, a comunidade escolar 
deve mostrar-se, deixar transparecer sua fi losofi a de vida e de pensamento. 
Seus agentes devem conduzir-se à libertação dos mecanismos que difi cultam 
sua busca de conhecimento e de felicidade. Conscientes de seus limites e 
procurando não absolutizar seus conhecimentos, mas produzi-los, podem 
assumir um posicionamento crítico que lhes permitirá perceber que a formação do 
saber historicamente construído é elaborada através do acúmulo de experiências 
individuais e/ou coletivas. 
A educação, de modo geral, não tem sido orientada para o desenvolvimento 
de competências e habilidades nos alunos, mas, sim, para a “tarefa de absorção” 
de conteúdos, sejam eles factuais, conceituais e/ou processuais.
No modelo de educação baseado apenas na “absorção” de informações, 
a aprendizagem é medida pela apresentação de resultados previsíveis e mais 
ou menos automáticos, sem que haja preocupação com os conceitos, com 
a motivação ou com o fato de que ela pode ser agradável. O aluno tem que 
reproduzir processos que se acredita que sejam efi cientes na retenção de 
conteúdos. Esse reducionismo do objetivo da educação provoca momentos de 
angústia, tanto para docentes como para alunos. Mediados sobre o paradigma 
de que os conteúdos apresentados são necessários para a vida e que o modelo 
como eles devem ser absorvidos é o mais fácil de ser colocado, professores 
e alunos formam um ‘pacto silencioso’ de conivência com todo o processo já 
hegemônico.
Acesse o YouTube e assista ao documentário da BBC com o 
título “A linguagem do Universo”. O vídeo é dublado e apresenta 
interessantes aspectos da história da Matemática. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?time_continue=490&v=
JqfH_Yq-zaw&feature=emb_logo.
12
 MATEmáTiCA LÚDiCA
1 Você percebe esse tipo de “pacto silencioso” no contexto 
educacional? E na sua prática? Esse tipo de conivência de 
processos está presente em outros espaços da sociedade? 
Relate sua opinião.
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
Para que nosso aluno desenvolva o conhecimento, adquira autonomia 
intelectual e tenha capacidade de reflexão crítica, os processos educativos devem 
premiar vivências e situações desafi adoras. O aluno deve descobrir por si e não 
só conhecer. Ele deve se sentir cidadão, ser crítico, responsável, competente e 
respeitar os limites da vivência na comunidade. Quando o educando é estimulado 
a utilizar suas competências investigativas e/ou criativas, minimiza-se o processo 
de reprodução dos conteúdos, favorecendo a aprendizagem sustentável.
No ensino de Matemática, em particular, a educação restrita à apresentação 
de conteúdos formalizados em livros-texto e/ou que exigem do aluno a reprodução 
de processos para a resolução de atividades, provoca a concepção de que a 
Matemática se restringe a cálculos e fórmulas. Isso, invariavelmente, reforça a 
desmotivação dos alunos. Nesse sentido, as pesquisas em Educação Matemática 
têm apontado para a efi cácia do desenvolvimento de atividades que premiem um 
contexto de “descoberta”. De forma individual ou em equipe, a provocação de 
situações que apresentem aspectos lúdicos e recreativos surge como elementos 
motivadores na abordagem dos conceitos matemáticos. Quando a aprendizagem 
é prazerosa, torna-se um processo relativamente simples. Os alunos, quando 
motivados, têm sua curiosidade despertada e o aprender torna-se algo natural.
Compreenda que, como construção lógico-dedutiva, como exercício de 
pensamento ou como auxiliar na experiência humana, o conhecimento matemático 
está impregnado na linguagem e nas práticas cotidianas. Para alguns desperta 
interesse, para outros pode ser indiferente; mas, para muitos a assimilação (ou 
não) do conhecimento matemático, realizada no contexto escolar, pode gerar 
difi culdades, rejeição e pouco aproveitamento.
Além disso, caro pós-graduando, questiona-se, frequentemente, tanto 
os limites da aquisição como as formas de apropriação desse conhecimento. 
13
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Várias difi culdades de aprendizagem estão fundadas em crenças como de que 
o conhecimento matemático é por demais abstrato e por isso mais difícil de ser 
adquirido que os demais ou, ainda, que são necessários dons especiais para 
adquirir tal conhecimento. Estas, dentre tantas outras crenças que permeiam o 
senso comum, podem estar refletindo verdades a respeito do conhecimento 
matemático e os motivos que levam (ou não) a sua expansão.
Peter Drucker, no livro As Novas Realidades, coloca de maneira muito 
propícia aspectos que merecem destaque.
Nós sabemos que diferentes pessoas aprendem de maneira 
diferente; sabemos que, na realidade, o [estilo de] aprendizado 
é tão pessoal quanto uma impressão digital. Não há duas 
pessoas que aprendam da mesma maneira. Cada um tem 
uma velocidade diferente, um ritmo diferente, um grau 
de atenção diferente. Se lhe for imposto um ritmo, uma 
velocidade, ou um grau de atenção estranho, haverá pouco ou 
nenhum aprendizado. Haverá apenas cansaço e resistência. 
Nós sabemos que pessoas diferentes aprendem matérias 
diferentes de maneira diferente. A maioria de nós aprendeu 
a tabuada através da repetição e dos exercícios. Mas os 
matemáticos não “aprendem” a tabuada: eles a “captam”, por 
assim dizer. Da mesma forma, os músicos não aprendem a ler 
uma partitura: eles a “percebem”. E nenhum atleta nato jamais 
teve que aprender como pegar uma bola. Algumas coisas de 
fato têm que ser ensinadas - e não apenas valores, percepções 
e signifi cados. Um professor é necessário para identifi car os 
pontos fortes do aluno e para direcionar um talento a sua 
realização. Nem mesmo um Mozart teria se tornado o grande 
gênio que foi sem seu pai que era um verdadeiro mestre [...] 
A nova tecnologia [...] é uma tecnologia de aprendizagem, e 
não de ensino [...]. Não resta dúvida que grandes mudanças 
irão ocorrer nas escolas e na educação - a sociedade instruída 
irá exigi-las e as novas teorias e tecnologias de aprendizagem 
acabarão por efetivá-las (DRUCKER, 1991, p. 212-215).
A aprendizagem baseada na compreensão tem caráter pessoal e único. 
O conhecimento organizado no interior de cada um está relacionado a fatos, 
estruturação de ideias e organização da informação. Estes têm íntima relação 
com a sociedade e com hábitos. A Matemática, assim pensada, toma um caráter 
empirista e construtivista. Nessa perspectiva, o aluno deve ser levado a acreditar 
em sua intuição e lógica, para que a abstração e o rigor, tão necessários ao 
desenvolvimento cognitivo, tornem-se mais prazerosos.
14
 MATEmáTiCALÚDiCA
Para relembrar, caro acadêmico, a matemática empirista é 
aquela em que nunca se coloca a necessidade de argumentar 
e estruturar os argumentos de um ponto de vista lógico, e a 
construtivista é aquela em que o indivíduo constrói ou se apropria de 
signifi cados em resposta às experiências nos contextos sociais.
2.2 O ESPAÇO DA IMAGINAÇÃO
Qual a sua compreensão acerca da importância dos brinquedos e desafi os 
para seus alunos? Saiba que, para a criança, o brinquedo desperta a curiosidade, 
o desafi o e a estimula a desenvolver seus sentidos. Ao tatear um objeto, ela 
descobre formas e texturas. Com olhares atentos ela constrói imagens, ora 
familiares, ora desafi adoras. Ao perceber os diferentes sons, ela identifi ca, 
materializa ou fi ca ansiosa sobre o (des)conhecido. Todas essas sensações 
podem e devem ser exploradas no contexto escolar, independente da fase de 
estudo.
A motivação através dos sentidos imprime signifi cados importantes na 
construção do conhecimento. Este, primeiro intuitivo, tem sua formalização mais 
intensa no ambiente escolar, e o educador é o principal agente (cor)responsável 
nessa efetivação.
O ensino utilizando meios lúdicos criaria ambiente gratifi cantes e atraentes 
servindo como estímulo para o desenvolvimento integral da criança. Por isso, no 
âmbito do universo lúdico, foram criadas as brinquedotecas, os jogos educativos, 
os brinquedos pedagógicos e outros materiais (MENEZES, 2001). 
Acredita-se que a utilização de atividades lúdicas tem importância 
signifi cativa nesse processo. As mais comumente utilizadas na 
escola são aquelas que se baseiam em situações-problema. Estas 
desencadeiam determinada curiosidade e buscam a observação do 
modo de construção lógico-dedutiva, porém, a atividade lúdica pode 
ser mais espontânea. Ela pode aparecer nas mais inusitadas situações, 
quando o aluno se estimula com determinado conhecimento e usa sua 
imaginação.
O aluno, de forma geral, gosta de brincar com o conhecimento. Em 
determinado momento, ele observa, reflete e tenta buscar algo familiar 
O aluno, de forma 
geral, gosta de 
brincar com o 
conhecimento. 
Em determinado 
momento, ele 
observa, reflete 
e tenta buscar 
algo familiar ou 
uma justifi cativa 
para o que está 
aprendendo.
15
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
ou uma justifi cativa para o que está aprendendo. Se não encontra o que buscou, 
ele imagina uma situação, fi ca frustrado, ou aguarda “os novos acontecimentos”. 
Aqui, a intervenção do professor é fundamental.
• Que viagem você está fazendo?
• Estou me imaginando no Egito, subindo as pirâmides de bicicleta.
• Você conseguiu chegar ao topo?
• Sim. A vista do alto é muito legal, mas o melhor vai ser descer a toda velocidade.
Isso poderia muito bem ter acontecido em diversos momentos da aula 
de Matemática, de Física, de História etc., como no estudo do Teorema de 
Pitágoras, Teorema de Tales (proporções), sólidos geométricos, velocidade, 
história antiga etc. Situações similares a esta ocorrem com frequência na sala 
de aula. O importante é que o professor não iniba a “viagem” do aluno e tente 
tornar o ato da construção do conhecimento mais interessante. Ele também não 
pode esquecer a importância do desenvolvimento das habilidades de observação, 
processo de análise, da provocação da síntese e interpretação dos fatos e das 
situações. Na situação da “descida de bicicleta”, o professor pode dialogar com 
o aluno e estimulá-lo a perceber vários conceitos, através de leituras e atividades 
relacionadas ao tema.
Na prática pedagógica, deixamos aflorar a imaginação do aluno? Estimulamos 
ou inibimos?
De acordo com o tema, o incentivo de uma leitura, pesquisas na Web, um 
fi lme, seriam estratégias muito boas para melhor explorar a situação.
2.3 A EDUCAÇÃO LÚDICA
Entende-se educação lúdica como aquela que acontece quando alguém 
consegue interiorizar o conhecimento de forma prazerosa, muito além do 
meramente superfi cial. Esse prazer parece-nos ter ligação intrínseca com a 
realização de brincadeiras, passatempos e/ou jogos, que carregam um imenso 
potencial educacional. O ato educativo por meio de jogos não é restrito à 
formalização acadêmica, mas à formação da personalidade e desenvolvimento 
do raciocínio. “O lúdico deve ser constante na vida dos seres humanos, desde o 
início de suas vidas até a velhice” (SANTOS, 2000, p. 35).
A abstração é extremamente importante na formação humana, porém, 
considerar uma educação centrada na formalidade puramente abstrata é negar o 
potencial das relações naturais com a vivência do cotidiano do educando.
16
 MATEmáTiCA LÚDiCA
A verdadeira educação é aquela que motiva o desenvolvimento intelectual, 
que provoca a observação e organiza a sistematização do conhecimento. 
Jean Piaget era um entusiasta do lúdico. Para ele, os jogos lúdicos auxiliam 
na representação simbólica da realidade, que está estritamente associada às 
necessidades individuais. Essa concepção exige que os processos educacionais 
forneçam subsídios para que os alunos assimilem as realidades intelectuais 
(SANTOS, 2000).
De acordo com Santos (2000, p. 37), “o comportamento lúdico não é um 
comportamento herdado, ele é adquirido pelas infl uências que recebemos no 
decorrer da evolução dos processos de desenvolvimento e aprendizagem”.
Todos, de alguma forma, em diferentes intensidades, exercem atividades 
lúdicas. O lúdico aparece como um caminho de mão dupla entre a objetividade 
e a subjetividade, em que a autonomia, a incerteza e a criatividade se mostram 
essenciais para que a ação se torne prazerosa. É na educação que se tem um 
espaço privilegiado para o exercício do lúdico, pois ele estimula a transformação, 
um dos objetivos principais do ato de educar.
1 Faça uma pesquisa na internet sobre a teoria das situações 
didáticas e adidáticas de Guy Brosseau. Brousseau as classifi ca 
em quatro tipos: ação, formulação, validação e institucionalização. 
Contextualize estes tipos no contexto da ludicidade. 
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
2.4 A MATEMÁTICA LÚDICA
Como você, pós-graduando, pode fazer a diferença no ensino de Matemática? 
O professor que desejar participar da mudança de um ensino tradicional, vigente na 
maioria das instituições de ensino, para uma forma que motive o educando, pode 
começar pelo debate com seus colegas e pela realização de atividades lúdicas 
clássicas, como o tangram e o origami. Após analisar as reações e sentindo-
17
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
se seguro, você pode aprofundar a aplicação de novas estratégias baseadas 
no lúdico, buscando estimular o raciocínio, a criatividade, a autoconfi ança e a 
abstração. Acredita-se que o uso de processos atrativos motivará mais os alunos, 
despertando o interesse deles no estudo de conceitos matemáticos.
O lúdico na educação matemática aproxima o educando ao conhecimento 
científi co, introduzindo uma linguagem “que pouco a pouco será incorporada 
aos conceitos matemáticos formais, ao desenvolver a capacidade de lidar com 
informações e ao criar signifi cados culturais para os conceitos matemáticos e 
estudo de novos conteúdos” (MOURA, 2009, p. 95).
Vale lembrar que os problemas com a motivação no estudo não 
são restritos ao ensino de Matemática, eles acontecem em praticamente 
todas as disciplinas. No entanto, o discurso da difi culdade de 
aprendizagem tem, quase sempre, como ‘carro-chefe’ a Matemática. 
Essa ciência, que tem como suporte principal a lógica e busca relacionar 
grandezas numéricas e geométricas, sempre sofreu com o paradigma 
da ’ciência mais difícil’. Isso até os alunos chegarem ao Ensino Médio, 
em que a concorrência começa a ser grande (Física, Química...), mas 
parece que as difi culdades noestudo da Matemática tomaram uma força social 
tão grande que é difícil tirá-la do posto de vilã número 1.
Além disso, todos aceitam o fato da importância da Matemática no contexto 
social e busca-se massifi car o seu ensino de forma a tornar seus conceitos mais 
populares, porém, parece estar evidente que a forma tradicional de ensinar, 
baseada na transmissão do conteúdo, não favorece esse objetivo.
O educador que estiver comprometido com mudanças no modelo tradicional 
deve se conscientizar da importância de que a metodologia a ser adotada está 
intimamente relacionada com a realidade escolar, com a fundamentação teórica 
que a sustenta e com as suas limitações.
No uso de metodologias que colocam o aluno como o sujeito da 
aprendizagem, o planejamento e o acompanhamento das atividades exigem uma 
dedicação muito grande do professor. Apesar de todas as difi culdades que os 
professores têm que superar para exercer suas funções, percebe-se que muitos 
têm se esforçado para que o ensino de Matemática passe a atrair os alunos não 
só pela necessidade do uso diário, mas também como atividade prazerosa.
O professor pode motivar seus alunos em atividades simples, como destaca 
Kishimoto (2001, p. 125), “o brinquedo denominado quebra-cabeça toma-se um 
jogo educativo quando se lhe associa o ensino, quando se pretende ensinar 
formas geométricas de uma forma lúdica para manipulação desse objeto”.
O discurso da 
difi culdade de 
aprendizagem tem, 
quase sempre, 
como ‘carro-chefe’ a 
Matemática.
18
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Nesse contexto, defendemos que as atividades lúdicas, no ensino da 
Matemática, têm papel muito importante na motivação do estudo dos conceitos 
matemáticos e, sobretudo, na estrutura formal algébrica. Os conceitos são 
coordenados e sustentados pela Álgebra, e talvez por isso o seu estudo é tido 
como o principal motivo das difi culdades dos educandos. Acreditamos que o fator 
principal dessas difi culdades é a necessidade constante de abstração, sem que 
se consiga perceber de imediato uma aplicação prática e/ou uma associação 
direta com o cotidiano do aluno. Esse fato impulsiona aplicações práticas, porém 
estas nem sempre são fáceis de serem inseridas na prática.
Sugerimos a leitura do livro de Manoel Oriosvaldo de Moura, “A 
séria busca no jogo: do lúdico na matemática”.
FONTE: MOURA, M. O. de. A séria busca no jogo: do lúdico na 
matemática. São Paulo: Cortez, 2009.
No site da biblioteca digital da USP: https://teses.usp.br/, digite 
na busca simples “Matemática Lúdica” e acesse as publicações mais 
recentes.
No site da UFRGS: www.ufrgs.br, digite na busca “jogos 
educativos na área da matemática”. Você encontrará vários artigos 
sobre o uso de jogos e análise de softwares educativos. No 
mesmo endereço, pesquise sobre mídias digitais para o ensino de 
Matemática http://mdmat.mat.ufrgs.br/.
3 EXEMPLOS MOTIVADORES PARA O 
LÚDICO NA MATEMÁTICA
A seguir, apresentaremos exemplos clássicos para que o lúdico na 
Matemática seja motivador de ações educativas. A diversidade de atividades 
lúdicas passa, necessariamente, pelo critério do professor para adaptá-las à 
realidade e identifi car a fase mais adequada a serem aplicadas.
19
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
3.1 O PROBLEMA DOS ABACAXIS
Independentemente do nível de difi culdade, toda atividade que proporcione 
o desenvolvimento do raciocínio, da lógica, da abstração e provoque um estímulo 
na busca da sua solução, facilita em muito a intervenção do professor no 
desenvolvimento de conceitos matemáticos.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais incentivam o uso de problemas e 
situações reais e de divertimentos matemáticos. 
Para exemplifi car, apresentaremos um problema clássico, 
escrito pelo Professor Júlio César de Mello e Souza (Malba Tahan), 
sempre referenciado quando se fala do lúdico. Para fi car mais claro, 
o texto será adaptado a nossa atual unidade monetária, isto é, ao 
real.
Dois camponeses, A e B, encarregaram um feirante de vender 
duas partidas de abacaxis. O camponês A entregou 30 abacaxis, que 
deviam ser vendidos à razão de 3 por 1 real; B entregou, também, 
30 abacaxis para os quais estipulou preço um pouco maior, isto é, à 
razão de 2 por 1 real.
Era claro que, efetuada a venda, o camponês A devia receber 
10 reais e o camponês B, 15 reais. O total da venda seria, portanto, 
de 25 reais.
Ao chegar, porém, à feira, o encarregado sentiu-se em dúvida.
— Se eu começar a venda pelos abacaxis mais caros, pensou, 
perco a freguesia; se início o negócio pelos mais baratos, encontrarei, 
depois, difi culdade para vender os outros. O melhor que tenho a fazer 
é vender as duas partidas ao mesmo tempo.
Chegado a essa conclusão, o atilado feirante reuniu os 60 
abacaxis e começou a vendê-los aos grupos de 5 por 2 reais. O 
negócio era justifi cado por um raciocínio muito simples:
— Se eu devia vender 3 por 1 real e depois 2 também, por 1 
real, será mais simples vender, logo, 5 por 2 reais, isto é, à razão de 
40 centavos cada um.
Vendidos os 60 abacaxis, o feirante apurou 24 reais.
Como pagar os dois camponeses se o primeiro devia receber 10 
reais e o segundo, 15 reais?
Havia uma diferença de 1 real que o homenzinho não sabia 
como explicar, pois tinha feito o negócio com o máximo cuidado.
20
 MATEmáTiCA LÚDiCA
E, intrigadíssimo com o caso, repetia dezenas de vezes o 
raciocínio feito, sem descobrir a razão da diferença:
— Vender 3 por 1 real e, depois, vender 2 por 1 real é a mesma 
coisa que vender logo 5 por 2 reais!
E o raio da diferença a surgir na quantia total! O feirante 
ameaçava a Matemática com pragas terríveis.
A solução do caso é simples e aparece, perfeitamente indicada, 
na fi gura a seguir. No retângulo superior estão indicados os abacaxis 
de A e no retângulo inferior, os de B.
O feirante só dispunha – como a fi gura mostra – de 10 grupos 
que podiam ser vendidos, sem prejuízo, à razão de 5 por 2 reais, em 
outras palavras, 10 grupos de 5 abacaxis, totalizando 50 unidades. 
Vendidos esses 10 grupos, restavam 10 abacaxis que pertenciam 
exclusivamente ao camponês B e que, portanto, não podiam ser 
vendidos senão a 50 centavos cada um.
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●
A
●●●●●●●●●●●●●●●
●●●●●●●●●●●●●●●
B
FONTE: Adaptado de Souza (2001, p. 9)
Este problema pode ser aplicado com variados elementos e valores.
O problema dos abacaxis provoca, no mínimo, a curiosidade na justifi cativa 
do “sumiço” do 1 real. Esse tipo de situação facilita ao professor a abordagem 
formal de vários conceitos, como: proporções, equações lineares e sistemas.
No caso de sistemas lineares, pode-se perguntar quantos abacaxis cada 
feirante possuía, dados a proporção de abacaxis, o montante que receberiam 
e o total de abacaxis vendidos. Os livros-textos apresentariam algo como: um 
feirante recebeu 60 abacaxis para vendê-los em duas proporções diferentes: uma 
quantidade na razão de três por um real e o restante na razão de dois por um 
real. Sabendo-se que o total arrecadado foi de R$ 25,00, determine a quantidade 
vendida em cada proporção.
21
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
É evidente que este novo problema é forçar uma adaptação e não há muito 
estímulo em se encontrar a resposta, a não ser como exercício algébrico. No 
entanto, ele aponta para uma variedade muito grande de situações em diversos 
contextos, já que a resolução de sistemas é muito comum e importante em várias 
áreas do conhecimento. Neste momento, é importante ressaltar que o objetivo 
da aplicação de problemas como o dos abacaxis não objetiva a aplicação da 
formalização acadêmica de conteúdos matemáticos e, sim, desenvolver no aluno 
aptidões cognitivas. Estas certamente auxiliarão na compreensão e estruturação 
de conteúdos formais, sem a necessidade de que o professor force situações 
como a exemplifi cada.
Um problema publicado na Agência Nacional de Segurança 
(NSA) dos Estados Unidos pode ser muito útil em vários contextos.Vamos apresentá-lo na íntegra.
Treze homens e um carregamento
Após sua última viagem, os 13 piratas do navio Turing se 
reúnem em sua taberna favorita para discutir como irão dividir um 
baú de moedas de ouro. Depois de muito debate, o capitão Códigus 
diz: “Arrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrgh, o carregamento precisa ser distribuído 
igualmente entre nós”. E assim é feito. O capitão dá as moedas, uma 
por uma, e cada pirata aguarda ansioso sua recompensa. Conforme 
o capitão se aproxima do fi nal da pilha, porém, ele percebe que há 
três moedas a mais.
Após um silêncio breve e constrangedor, um dos piratas diz: 
“eu mereço uma moeda extra porque eu carreguei o navio enquanto 
o resto de vocês dormia”. Outro afi rma: “Bem, eu mereço uma 
moeda extra porque cozinhei toda a comida ao longo da viagem”. 
Logo começa uma intensa troca de chutes, socos e garrafadas pela 
posse do dinheiro restante. O dono do estabelecimento, irritado com 
a bagunça, expulsa um pirata particularmente violento que havia 
quebrado uma mesa, e ele é obrigado a devolver todas as suas 
moedas para o grupo. É dado o aviso: “ou vocês fi cam em paz ou 
todos serão expulsos daqui!”.
Os piratas voltam a seus lugares e o capitão, que fi cou com 
apenas 12 piratas, continua a distribuir as moedas. “Uma para você... 
Outra para você”. Agora, quando a pilha está próxima do fi m, ele 
percebe que há cinco moedas sobrando. Irrompe uma nova briga. 
O capitão, com medo de que eles sejam expulsos do local, manda o 
pirata mais estressado embora. Agora, com apenas 11 membros, a 
22
 MATEmáTiCA LÚDiCA
divisão dá certo, cada um recebe a mesma quantidade de moedas e 
todos vão dormir em paz.
Considerando que houvesse menos de 1000 moedas, quantas 
moedas os piratas dividiram entre si? Só há uma resposta possível 
para um valor abaixo de 1000.
Há, na verdade, infi nitas soluções para o problema, mas só uma 
se o valor for menor que 1000. 
O número de moedas só pode ser 341, e a solução pode ser 
encontrada fazendo a análise de trás para frente. Para encontrá-la, 
precisamos primeiro analisar quais possíveis quantidades de moedas 
que 11 piratas poderiam dividir igualmente sem sobras. Na prática, 
qualquer múltiplo de 11, como 22, 33, 44 e por aí vai.
Agora pegamos esses números e dividimos todos por 12. Só 
serão possíveis candidatos à resposta os que deixarem 5 como 
resto. Chegamos assim aos valores 77, 209, 341 e 473.
Todos preenchem os pré-requisitos: são perfeitamente divisíveis 
por 11 e deixam 5 de resto quando divididos por 12. Agora, basta 
dividir esses números por 13 e ver qual deles deixa 3 moedas de 
resto. Você descobrirá que 341 é a única possibilidade.
1 Outro problema clássico do livro “O homem que calculava” é o caso 
dos 35 camelos.
Nesta passagem, Beremiz e seu colega de jornada encontraram 
três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de 
camelos.
Por entre pragas e impropérios gritavam, furiosos:
— Não pode ser!
— Isto é um roubo!
— Não aceito!
O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.
— Somos irmãos — esclareceu o mais velho — e recebemos como 
heranças esses 35 camelos. Segundo vontade de nosso pai 
devo receber a metade, o meu irmão Hamed uma terça parte e o 
mais moço, Harin, deve receber apenas a nona parte do lote de 
camelos. Contudo, não sabemos como realizar a partilha, visto 
que ela não é exata.
— É muito simples — falou o Homem que Calculava. Encarrego-
23
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
me de realizar, com justiça, a divisão se me permitirem 
que junte aos 35 camelos da herança este belo animal, 
pertencente a meu amigo de jornada, que nos trouxe até aqui.
E, assim foi feito.
— Agora — disse Beremiz — de posse dos 
36 camelos, farei a divisão justa e exata.
Voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:
— Deverias receber a metade de 35, ou seja, 17, 5. Receberás 
a metade de 36, portanto, 18. Nada tens a reclamar, 
pois é claro que saíste lucrando com esta divisão.
E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:
— E tu, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais 
receber um terço de 36, ou seja, 12. Não poderás protestar, pois 
tu também saíste com visível lucro na transação.
Por fi m, disse ao mais novo:
— Tu, segundo a vontade de teu pai, deverias receber a 
nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber uma nona 
parte de 36, ou seja, 4. Teu lucro foi igualmente notável.
E, concluiu com segurança e serenidade:
— Pela vantajosa divisão realizada, couberam 18 camelos ao 
primeiro, 12 ao segundo, e 4 ao terceiro, o que dá um resultado 
(18+12+4) de 34 camelos. Dos 36 camelos, sobraram, portanto, 
dois. Um pertence a meu amigo de jornada. O outro, cabe por 
direito a mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado 
problema da herança!
— Sois inteligente, ó Estrangeiro! — exclamou o mais velho dos 
irmãos. Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita 
com justiça e equidade!
A questão é: Qual a explicação matemática para a partilha realizada 
por Beremiz, de tal forma que além de conceder vantagens aos 
irmãos, ainda fez sobrar um camelo para si?
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
2 Um indivíduo entrou numa sapataria e comprou um par de sapatos 
por R$ 60,00, entregando, em pagamento, uma nota de R$ 
100,00. O sapateiro, que no momento não dispunha de troco, 
24
 MATEmáTiCA LÚDiCA
mandou que um de seus empregados fosse trocar a nota numa 
confeitaria próxima. Recebido o dinheiro, deu ao freguês o troco e 
o par de sapatos que havia adquirido. 
Momentos depois, surgiu o dono da confeitaria exigindo a devolução 
do dinheiro: a nota era falsa! E o sapateiro viu-se forçado a 
devolver os cem reais que havia recebido. 
Surge, afi nal, uma dúvida: qual foi o prejuízo que o sapateiro teve 
nesse negócio? 
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
 4 TRAVESSIAS
Os problemas que envolvem travessias motivam a todos com facilidade, pois 
eles sempre são contextualizados de maneira a instigar quem o resolve a buscar 
sua solução. Eles motivam o raciocínio lógico, fundamental para o aprendizado da 
Matemática.
São problemas que mesmo que não consigamos resolver nas primeiras 
tentativas e até desistamos de buscar a solução, eles fi cam em nossa memória. 
Você já deve ter passado por essa situação, um problema que não lhe “sai da 
cabeça”. Estamos contando carneiros para dormir e eles começam a atravessar 
um rio, fugindo de um lobo ou de um caçador.
Você pode procurar, na Web, softwares que ilustram as travessias. Não 
indicaremos nenhum endereço específi co desses softwares, pois alguns que já 
acessamos ou desapareceram ou tinham problemas de acesso. Outros funcionam 
bem, mas não temos confi ança em indicá-los por conta dessas instabilidades.
Exemplo 1: Camponês, lobo e carneiro
Dos problemas que tratam de travessias, este parece o mais simples e o 
mais conhecido: 
Um camponês precisa atravessar um rio transportando um lobo, um carneiro 
e um maço de feno. Como o único barco disponível só pode levar o camponês 
e um dos animais ou o maço de feno, pergunta-se: como será possível fazer a 
travessia com segurança para todos os personagens? É claro que o lobo e o 
carneiro não podem fi car juntos numa margem enquanto o camponês leva o maço 
25
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
de feno para o outro lado, pois o lobo almoçaria o carneiro. Nem o carneiro pode 
fi car sozinho com o maço de feno enquanto o camponês levao lobo, pois ele 
comeria o feno. A solução está ilustrada na sequência. O que o camponês deve 
fazer é: leva a ovelha – volta sozinho – leva o feno – deixa o feno e traz a ovelha – 
leva o lobo – deixa o lobo com o feno – volta para buscar a ovelha.
Exemplo 2: Férias de família
A família do Sr. Borba Gato estava em férias em uma fazenda que tinha um 
rio sem ponte. Neste tinha uma canoa que era usada para atingir a outra margem, 
que permitia o acesso a uma linda cachoeira. A canoa só suportava levar, no 
máximo, 75 kg. Você deve criar a estratégia para fazer uma travessia segura, 
sabendo que: 
• O pai pesa 72 kg.
• A mãe pesa 63 kg.
• O fi lho João pesa 32 kg.
• A fi lha Maria pesa 28 kg.
• A fi lha Cristina pesa 21 kg.
• Todos sabem remar, menos Cristina.
• Cristina não pode fi car sozinha em nenhuma das margens.
• João e Maria devem remar o mesmo número de vezes.
Uma solução para esta travessia é:
26
 MATEmáTiCA LÚDiCA
27
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
1 Três missionários precisam atravessar um rio na companhia de três 
canibais e dispõem de um barco que leva apenas duas pessoas 
de cada vez. Como fazer a travessia, se os missionários não 
podem fi car em minoria em nenhuma das margens?
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
_______________________________________________.
2 Um pelotão do exército estava fazendo exercícios de rotina em 
uma zona rural onde havia um rio. Eles foram transportados por 
um helicóptero e, após realizar as atividades previstas, deveriam 
retornar ao quartel a pé. Quando tentaram regressar, perceberam 
que não havia ponte sobre o rio. O Capitão da tropa percebeu 
que dois meninos brincavam com um barco próximo de onde 
estavam. Então ele pediu o barco emprestado aos meninos. No 
entanto, como fazer a travessia se o barco comporta apenas um 
soldado ou os dois meninos?
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
_________________________________________________.
5 CRIPTOGRAFIA
A criptografi a, de origem grega (kripto = escondido, oculto; grapho = grafi a), 
é utilizada para escrever mensagens em códigos. Ela é muito antiga, já foi 
encontrada em hieróglifos egípcios e utilizada pelos romanos. Atualmente, ainda é 
utilizada, porém com técnicas muito sofi sticadas.
Por exemplo, por volta de 60 a.C., o romano Júlio César utilizava a técnica 
de trocar cada letra da mensagem pela letra que fi cava três posições a frente, na 
ordem alfabética. Por exemplo, a palavra MATEMÁTICA fi caria PDWHPDWLFD. 
28
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Relatos antigos apontam que persas e gregos, no século V a.C. utilizavam 
mensagens escondidas em tabletes de madeira cobertos por cera. Muito tempo 
depois mensagens secretas que trocavam letras por símbolos mostraram-se 
muito frágeis.
Durante as guerras é muito comum o envio de mensagens secretas. Em 
particular, na Segunda Guerra Mundial, a decodifi cação destas mensagens 
foi fundamental para a vitória dos aliados. Muitos matemáticos e linguistas 
debruçaram-se neste desafi o, mas um teve destaque especial: Alan Turing.
Turing nasceu em Londres, em 23 de junho de 1912. Em 1931, foi admitido 
pelo King’s College, em Cambridge, e aos 26 anos elaborou a teoria das máquinas, 
base para os primeiros computadores. Após ser humilhado em público, por ser 
homossexual, entrou em depressão e suicidou-se em 1954. 
Turing, seguindo pistas indicadas por Marian Rejewski e com a ajuda 
de funcionários de um departamento de decodifi cação do governo britânico, 
conseguiu desvendar o modo como era gerado o código Enigma, utilizado pela 
equipe de Hitler.
Sugestão de atividade para os alunos: pesquisar métodos de 
criptografi a, principalmente, antes dos processos computacionais.
Neste tópico, vamos apresentar dois processos, no mínimo, interessantes: o 
método de Hill e o de Viginère.
6 MÉTODO DE HILL
Conforme Godinho et al. (2011), a cifra de Hill surge por volta de 1929
inventada por Lester S. Hill. Este processo utiliza a matemática por meio de 
matrizes para codifi car uma mensagem. 
Associamos cada letra do alfabeto a um número, gerando uma sequência 
numérica que será representada na forma de matriz. Esta matriz deve ser 
multiplicada por uma matriz chave, gerando uma matriz codifi cada. A descrição 
detalhada do processo está exemplifi cada no exemplo 1.
29
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
QUADRO 1 – CIFRA DE HILL
A B C D E F G H I J K L M
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
N O P Q R S T U V W X Y Z
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
FONTE: O autor
Vamos apresentar dois exemplos. O primeiro com o detalhamento do 
processo. 
1) Procedimento para codifi car a palavra MATEMÁTICA. 
a) Defi nir a sequência numérica.
 M A T E M Á T I C A 
 13 1 20 5 13 1 20 9 3 1 
b) Escolher uma matriz cifradora, Anxn , e calcular sua inversa. Como exemplo 
usaremos uma matriz A2x2 .
c) Dispor a sequência numérica, associada à mensagem, em uma matriz de 
ordem nxm. Os números da sequência serão dispostos em colunas, seguindo a 
ordem em que se relacionam com as letras, ou seja:
Observação: se necessário, completamos a matriz com o número “zero”. 
Veremos este fato no exemplo 2.
d) Multiplicamos a matriz cifradora A pela matriz M.
30
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Assim, a mensagem recebida teria a seguinte sequência numérica:
29 15 55 30 29 15 67 38 9 5
e) O receptor da mensagem pode decifrá-la utilizando a matriz inversa de A, 
pois M = A-1 (A.M).
Assim, temos a sequência 13 1 20 5 13 1 20 9 3 1, ou seja: MATEMÁTICA.
2) Codifi car a mensagem “PRODUTO DE MATRIZES”
a) PRODUTO DE MATRIZES = 16 18 15 4 21 20 15 4 5 13 1 20 18 9 26 5 19
Observe que completamos a matriz com o “zero”.
b) Matriz chave e sua inversa: 
c) 
31
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Mensagem cifrada: 66 100 49 68 83 124 49 68 28 46 23 44 63 90 83 114 57 
76
d) Para decifrar a mensagem, o receptor deverá multiplicar a matriz inversa 
de A por AM.
1 Utilizando o método de Hill, resolva o que se pede em cada item.
a) Codifi que a palavra CRIPTOGRAFIA:
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
b) Codifi que a expressão: LÓGICA MATEMÁTICA:
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
2 Decifre as mensagens criadas pelo método de Hill.
a) Considerando a matriz chave 




−
=
13
21
A , decifre a mensagem 
cifrada:
23 15 27 17 22 81 0 63 0 49
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
b) Considerando a matriz chave 





=
12
53
A , decifre a mensagem 
cifrada:
93 41 65 41 96 29 59 37 82 43 98 21 60 33 52 23 17 9 37 13 82 43 99 
24 115 30 9 79 41 26 18
32
 MATEmáTiCA LÚDiCA
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
7 O MÉTODO DE VIGINÈRE
No século XVI, o francês Blaise de Viginère criou uma técnica que 
permaneceu indecifrável por três séculos. Publicado em 1586, seu sistema 
baseava-se no quadro a seguir. 
QUADRO 2 – QUADRO DE VIGINÈRE
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A
2 CD E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B
3 D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C
4 E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D
5 F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E
6 G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F
7 H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G
8 I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H
9 J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I
10 K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J
11 L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K
12 M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L
13 N O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M
14 O P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N
15 P Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O
16 Q R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P
17 R S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q
18 S T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R
19 T U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S
20 U V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T
21 V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
22 W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V
23 X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W
24 Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X
25 Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y
26 A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
FONTE: Adaptado de Revista Galileu (2003)
33
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
Na primeira linha está o alfabeto e nas linhas seguintes o alfabeto é repetido 
com seu início deslocado em uma letra. Por exemplo, para codifi car a letra E, 
usando a linha 5, teremos a letra J. Para saber qual linha deve ser usada, o que 
envia a mensagem e o receptor devem combinar uma palavra-chave. 
Exemplos
1) Vamos supor que a palavra seja soma e a mensagem codifi cada seja 
“matemática lúdica”.
Para codifi car a mensagem, escreve-se as letras da palavra-chave quantas 
vezes for preciso acima da frase.
S O M A S O M A S O M A S O M A
M A T E M Á T I C A L Ú D I C A
Para codifi car as letras da mensagem, usamos a linha de cada letra da 
palavra-chave. Por exemplo, para S usamos o alfabeto da linha 18. Assim, 
substituímos a letra M por E. Para a letra O, usamos a linha 14 e substituímos a 
letra A por O. Seguindo este raciocínio teremos:
S O M A S O M A S O M A S O M A
M A T E M Á T I C A L Ú D I C A
E O F E E O G I U O X U W Y O A
Assim: Matemática Lúdica fi caria Eeofeeogiuo Xuwyoa. Para descodifi car a 
mensagem, use o caminho inverso.
2) Decifre a mensagem UHMHDARQVIADMTVY, sabendo que a palavra-
chave é ENIGMA.
Para decifrar a mensagem, devemos seguir o caminho inverso da codifi cação, 
ou seja, procuramos na linha de cada letra da palavra-chave a letra correspondente 
da mensagem. Por exemplo, na linha da letra E, de enigma, procuramos a letra U, 
primeira letra da mensagem, e encontraremos a letra correspondente da coluna, a 
letra Q. O quadro a seguir apresenta a decodifi cação da mensagem.
E N I G M A E N I G M A E N I G
U H M H D A R Q V I A D M T V Y
Q U E B R A N D O C O D I G O S
34
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Usando o quadro de Viginère, resolva as questões a seguir:
1 Codifi que as seguintes mensagens:
a) Usando a palavra-chave MATRIZ codifi que a expressão 
“Quadrados Mágicos”.
b) Usando a palavra-chave MENOS codifi que a expressão “Jogos 
em Grupo”.
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
2 Decodifi que as seguintes mensagens:
a) Sabendo que a palavra-chave é LÚDICO, decifre a mensagem a 
seguir:
 M F D Q U S O Y Y Q I V Y Y U M
b) Sabendo que a palavra-chave é JOGO, decifre a mensagem a 
seguir:
 A O F O X A A F N A
R.:____________________________________________________
____________________________________________________
____________________________________________________
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES
Nesse capítulo procuramos enfatizar a importância do lúdico no contexto 
educacional, na perspectiva de fundamentar e orientar você nos demais capítulos 
deste livro. Esperamos que as leituras sugeridas tenham motivado você a buscar 
outras fontes e que consiga relacionar os fundamentos teóricos apresentados 
com as atividades que serão apresentadas nos próximos capítulos.
Lembre-se de que um importante destaque deste capítulo é a compreensão 
de que a utilização do lúdico nas atividades educativas tem seu suporte na 
35
O LÚDICO NO CONTEXTO DA MATEMÁTICA Capítulo 1 
compreensão que temos de educação e de ludicidade. Na educação, em especial 
no ensino de Matemática, muitos processos metodológicos fi cam centrados na 
compreensão operacional de técnicas que auxiliam na resolução de expressões 
algébricas. Já atividades lúdicas não devem ter esta ênfase. Elas devem estar 
acima do modelo tradicional de memorização de processos e apenas estar 
associadas ao desenvolvimento da lógica e da abstração.
Nos demais capítulos, apresentaremos a você algumas possibilidades de aliar 
o lúdico, com sua ênfase lógica, às estruturas formais do ensino da Matemática e 
ajudá-lo a implementar as atividades na fase mais apropriada.
REFERÊNCIAS
DRUCKER, P. F. As novas realidades. São Paulo: Pioneira, 1991.
GODINHO, D. S. et al. Criptografi a: a importância da álgebra linear para decifrá-
la. Revista iTEC, v. 2, n. 2, p. 26-31, jul. 2011.
KISHIMOTO, T. M. (org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. 11. ed. 
São Paulo: Cortez, 2001.
MENEZES, E. T. de. Dicionário Interativo da Educação Brasileira 
- Educabrasil. São Paulo: Midiamix, 2001. Disponível em: https://www.
educabrasil.com.br/ludico/. Acesso em: 10 jan. 2020.
MOURA, M. O. de. A séria busca no jogo: do lúdico na matemática. São Paulo: 
Cortez, 2009.
REVISTA GALILEU. Eureca: a matemática divertida e emocionante. São Paulo: 
Globo, 2003.
SANTOS, S. M. P. dos. Brinquedoteca: a criança, o adulto e o lúdico. Petrópolis, 
RJ: Vozes, 2000.
SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I.; CÂNDIDO, P. Jogos de Matemática de 1º ao 5º. 
Série Cadernos do Mathema – Ensino Fundamental. Porto Alegre: Artmed, 2007.
SOUZA, J. C. de M. Matemática divertida e curiosa. 15. ed. Rio de Janeiro: 
Record, 2001.
TAHAN, M. O homem que calculava. 46. ed. Rio de Janeiro: Record, 1998.
36
 MATEmáTiCA LÚDiCA
CAPÍTULO 2
QUADRADOS MÁGICOS, JOGOS EM 
GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS
A partir da perspectiva do saber-fazer, são apresentados os seguintes 
objetivos de aprendizagem:
• Reconhecer padrões algébricos nos quadrados mágicos.
• Construir quadrados mágicos. 
• Identifi car e organizar conceitos matemáticos em jogos.
• Analisar o potencial de jogos na prática educativa.
• Identifi car o ano escolar mais adequado para a aplicação de atividades lúdicas.
• Adaptar enunciados de problemas ao ano em que eles forem aplicados.
• Desenvolver conceitos geométricos por meio de jogos e desafi os.
• Estimular os alunos à aprendizagem da geometria por meio de atividades 
lúdicas.
38
 MATEmáTiCA LÚDiCA
39
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO
Os jogos educativos são muito difundidos pela literatura, mas pouco 
explorados nos anos fi nais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio. Nessa 
perspectiva, apresentaremos algumas atividades lúdicas para que você avalie 
suas possíveis aplicações e tenha motivação de buscar e/ou criar novas. 
Com esse propósito, este capítulo se propõe a motivá-lo a desenvolver 
atividades com o uso de jogos para o ensino de Matemática, mostrando alguns 
exemplos, sugerindo que procure redimensionar suas aplicações com adaptações 
criativas e busque dinamizar a abordagem de conceitos geométricos.
Independentemente do tipo de abordagem metodológica, o uso de atividades 
lúdicas favorece o estímulo ao estudo da geometria e auxilia na compreensão 
das propriedades relacionadas às estruturas geométricas. Equacionar, relacionar 
ecomparar propriedades geométricas se torna muito mais interessante quando 
somos motivados por brincadeiras e desafi os. Parece que as justifi cativas 
algébricas e/ou geométricas, sempre importantíssimas de serem buscadas, 
tornam-se mais simples e elegantes.
2 QUADRADOS MÁGICOS
Os quadrados mágicos sempre motivaram muito os matemáticos. Há 
registros em obras de arte, na Bíblia, no misticismo e em talismãs.
2.1 PRIMEIROS QUADRADOS 
MÁGICOS
A origem dos quadrados mágicos divide historiadores. Alguns citam o 
quadrado Loh Shu (registro no casco de uma tartaruga), entre 2200 e 2800 a.C., 
utilizado como talismã pelos chineses. Outros autores datam como primeiro 
registro entre 3000 e 5000 a.C. A seguir, apresentaremos alguns destes registros.
40
 MATEmáTiCA LÚDiCA
FIGURA 1 – O QUADRADO DE LOH SHU
FONTE: <http://2.bp.blogspot.com/-rxNIbYpcN2k/Ua01kkPHvCI/AAAAAAAAAFk/
D3W1IU-JJQI/s1600/Lo+shu.bmp>. Acesso em: 28 jan. 2020.
FIGURA 2 – A TARTARUGA SAGRADA E O LOH SHU
FONTE: <http://1.bp.blogspot.com/-CF2KoebwGL8/T-dG6fGZ-jI/AAAAAAAABQw/
UvhyFHvTcQ8/s1600/LO-SHU03.gif>. Acesso em: 28 jan. 2020.
FIGURA 3 – NA GRAVURA “MELANCOLIA” DE ALBRECHT DÜRER 
(1471-1528), ENCONTRAMOS UM QUADRADO MÁGICO
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
FONTE: <http://fi lhosdehiran.blogspot.com/2013/03/o-quadrado-
magico-de-albrecht-durer.html>. Acesso em: 28 jan. 2020.
41
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
FIGURA 4 – AMULETO SOLAR BABILÔNICO. APRESENTA UM 
QUADRADO MÁGICO 6 X 6 EM QUE O RESULTADO É SEMPRE 111
FONTE: <http://mathluiz.blogspot.com/2015/09/post-sexcentesimo-
sexagesimo-sexto.html>. Acesso em: 28 jan. 2020.
2.2 QUADRADO TRADICIONAL
Na forma tradicional, o quadrado é construído de modo que os números de 
cada linha, cada coluna e cada diagonal tenham sempre a mesma soma. Esta 
soma é denominada de constante do quadrado e o número de casas de cada 
linha é chamado de módulo. O menor quadrado é o de ordem 3, com 9 casas. 
Veja os exemplos apresentados a seguir.
FIGURA 5 – QUADRADOS MÁGICOS DE MÓDULO 3, CUJA CONSTANTE É IGUAL A 15
2 9 4
7 5 3
6 1 8
4 9 2
3 5 7
8 1 6
FONTE: Adaptada de Gardner (1967)
FIGURA 6 – QUADRADO MÁGICO DE ORDEM 4, CUJA CONSTANTE É IGUAL A 34
FONTE: O autor
4 5 16 9
14 11 2 7
1 8 13 12
15 10 3 6
42
 MATEmáTiCA LÚDiCA
1 A tabela representa um quadrado mágico aditivo. Encontre os 
valores de: a, b, c, d, e.
1 a 8 13
b 15 c 10
11 2 14 d
16 5 9 e
R.:
2.3 CONSTRUÇÃO DE UM 
QUADRADO DE ORDEM ÍMPAR
Um método para determinar um quadrado mágico de ordem ímpar foi 
desenvolvido pelo matemático francês Bachet, no século XVII. Para facilitar o 
entendimento do método, será utilizado um quadrado de ordem 3 como exemplo.
1ª Etapa: construir o quadrado dividido em nove casas com acréscimo de 
uma casa em cada lado, conforme a fi gura a seguir.
43
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
2ª Etapa: a partir do novo “quadrado”, numerar os “quadradinhos” com os 
algarismos de 1 a 9, conforme a fi gura:
3
2 6
1 5 9
4 8
7
3ª Etapa: os algarismos que fi caram de fora do “quadrado”, 1, 3, 7 e 9, 
serão inseridos nos lados opostos do quadrado, porém mantendo-os nas mesmas 
linhas ou colunas que se encontram. Dessa forma, será obtido o quadrado a 
seguir.
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Não importa com qual número começamos, desde que mantenhamos a 
ordem de crescimento de uma unidade em cada “quadradinho” e a ordem nas 
diagonais. A seguir, apresentaremos a confi rmação do método, considerando um 
número genérico “n”.
44
 MATEmáTiCA LÚDiCA
n+2
n+1 n+5
n n+4 n+8
n+3 n+7
n+6
n+1 n+6 n+5
n+8 n+4 n
n+3 n+2 n+7
Soma das linhas: Soma das colunas:
n+1+n+6+n+5 = 3n+12 n+1+n+8+n+3 = 3n +12
n+8+n+4+n = 3n+12 n+6+n+4+n+2 = 3n +12
n+3+n+2+n+7 = 3n+12 n+5+n+n+7 = 3n + 12
Soma das diagonais:
n+1+n+4+n+7 = 3n + 12
n+3+n+4+n+5 = 3n + 12
Observação: este método também é válido se forem invertidas a ordem de 
“crescimento de n”.
n
n+1 n+3
n+2 n+4 n+6
n+5 n+7
n+8
n+1 n+8 n+3
n+6 n+4 n+2
n+5 n n+7
45
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
Quadrados bimágicos
Os quadrados bimágicos são aqueles que continuam mágicos 
após terem seus números elevados ao quadrado. O menor destes 
quadrados tem dimensão 8.
56 34 8 57 18 47 9 31 260
33 20 54 48 7 29 59 10 260
26 43 13 23 64 38 4 49 260
19 5 35 30 53 12 46 60 260
15 25 63 2 41 24 50 40 260
6 55 17 11 36 58 32 45 260
61 16 42 52 27 1 39 22 260
44 62 28 37 14 51 21 3 260
260 260 260 260 260 260 260 260 260 260
3136 1156 64 3249 324 2209 81 961 11180
1089 400 2916 2304 49 841 3481 100 11180
676 1849 169 529 4096 1444 16 2401 11180
361 25 1225 900 2809 144 2116 3600 11180
225 625 3969 4 1681 576 2500 1600 11180
36 3025 289 121 1296 3364 1024 2025 11180
3721 256 1764 2704 729 1 1521 484 11180
1936 3844 784 1369 196 2601 441 9 11180
11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180 11180
FONTE: <www.multimagie.com>. Acesso em: 28 jan. 2020.
46
 MATEmáTiCA LÚDiCA
1 Construa um quadrado mágico de ordem 5. Para isso, pesquise 
como construir quadrados mágicos de ordem par.
 Temos várias obras que descrevem métodos para a construção de 
quadrados mágicos, porém, muitas das referências encontradas 
na internet contêm propagandas e links não relacionados com o 
tema. Sugerimos o artigo publicado na Revista do Professor de 
Matemática, de Lenimar Nunes de Andrade, cujo link é http://
www.rpm.org.br/cdrpm/41/3.htm. Esta página apresenta médodos 
interessantes para a construção de quadrados mágicos.
2.4 QUADRADO MÁGICO 
MULTIPLICATIVO
Outro tipo de quadrado mágico é aquele cujo produto dos elementos de uma 
linha, ou coluna, ou diagonal é sempre o mesmo. Para encontrar estes quadrados 
podemos utilizar a seguinte fórmula:
a.b² 1 a².b
a² a.b b²
b a².b² a
Esta fórmula foi determinada a partir das matrizes A e B, que contêm os 
expoentes de “a” e “b”. 
47
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
Exemplos:
a) Fazendo a=2 e b=3 o produto será 216 
18 1 12
4 6 9
3 36 2
b) Fazendo a=3 e b=4 o produto será 1728
48 1 36
9 12 16
4 144 3
1 Observe que os elementos de A e B (0, 1 e 2) foram distribuídos 
na matriz de forma que não houvesse repetição em nenhuma 
linha ou coluna. Ainda, perceba que foram trocadas apenas as 
colunas 1 e 3. Agora, utilize as matrizes de cada item a seguir 
para verifi car se o quadrado resultante mantém a propriedade 
multiplicativa (não esqueça de verifi car o produto dos elementos 
das diagonais).
48
 MATEmáTiCA LÚDiCA
R.: 
 
2 Construa duas outras matrizes A e B com “os expoentes” 1, 2 e 3 e 
verifi que o que acontece.
R.:
2.5 QUADRADO MÁGICO ESPECIAL
Outro tipo de quadrado mágico é bastante interessante. Observe a fi gura:
FIGURA 7 – QUADRADO MÁGICO ESPECIAL DE MÓDULO 64
17 15 19 27 13
9 7 11 19 5
11 9 13 21 7
8 6 10 18 4
13 11 15 23 9
FONTE: Adaptada de Gardner (1967)
Aparentemente, ele não segue nenhuma regra, porém, pode-se encontrar 
uma propriedade “mágica”. Escolha, ao acaso, um número, anote-o e ‘elimine’ 
os números da linha e da coluna onde ele se encontra. Repita o processo 
escolhendo outros números, até que reste apenas um número. No caso do 
quadrado apresentado, serão cinco números a serem escolhidos e a soma deles 
será sempre 64.
Este tipo de quadrado é gerado por dois conjuntos de números: 5, 3, 7, 15, 1 
e 12, 4, 6, 3, 8. A soma desses números é 64. Escrevendo o primeiro grupo acima 
da primeira linha e o segundo ao lado da primeira coluna, podemos construir um 
quadrado cujos elementos são resultantes da soma dos números escritos acima 
da primeira linha com os que estão ao lado da primeira coluna. Você consegue 
perceber essa regra, notando que o número 17 é asoma de 5 e 12, o 15 é a soma 
de 3 e 12 e assim sucessivamente. Seguindo essa regra, determinam-se todos os 
outros elementos da tabela.
49
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
FIGURA 8 – ELEMENTOS DA TABELA
5 3 7 15 1
12 17 15 19 27 13
4 9 7 11 19 5
6 11 9 13 21 7
3 8 6 10 18 4
8 13 11 15 23 9
FONTE: Adaptada de Gardner (1967)
Adotando-se um modelo com números genéricos e, para simplifi car, utilizando 
um quadrado 4 x 4, temos:
FIGURA 9 – QUADRADO GENÉRICO 4X4
a b c d
e a+e b+e c+e d+e
f a+f b+f c+f d+f
g a+g b+g c+g d+g
h a+h b+h c+h d+h
FONTE: O autor
A “mágica” pode ser verifi cada com mais facilidade na Figura 10. Por 
exemplo, escolhendo-se o elemento “c + f” e eliminando-se os demais da linha e 
coluna, onde está este elemento, eliminamos todas as demais letras ‘c’ e ‘f’.
FIGURA 10 – ‘ELIMINAÇÃO’ DA LINHA E COLUNA DO “C+F”
a b c d
e a+e b+e c+e d+e
f a+f b+f c+f d+f
g a+g b+g c+g d+g
h a+h b+h c+h d+h
FONTE: O autor
50
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Escolhendo outro elemento, como ‘a+e’ e eliminando os demais elementos 
da linha e coluna onde ele está, eliminamos da tabela todas as letras ‘a’ e ‘e’:
FIGURA 11 – ‘ELIMINAÇÃO’ DA LINHA E COLUNA DO ‘A + E’
a b c d
e a+e b+e c+e d+e
f a+f b+f c+f d+f
g a+g b+g c+g d+g
h a+h b+h c+h d+h
FONTE: O autor
Seguindo esta regra, a soma dos elementos escolhidos será sempre “a + b + 
c + d + e + f + g (Figura 12).
FIGURA 12 – SOMA DOS ELEMENTOS
a b c d
e a+e b+e c+e d+e
f a+f b+f c+f d+f
g a+g b+g c+g d+g
h a+h b+h c+h d+h
FONTE: O autor
Observação: faça outras ‘escolhas’ no quadrado e certifi que-se de que a 
regra proposta funciona sempre.
Como vimos, não importa quais números escolhemos para a, b, c, d, e, f, g. 
Veja dois exemplos:
51
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
Quadrado cujo número mágico é 20 Quadrado cujo número mágico é 72
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
2 4 6 8
10 12 14 16 18
12 14 16 18 20
14 16 18 20 22
16 18 20 22 24
2.6 DETERMINAÇÃO DE UM 
QUADRADO MÁGICO ESPECIAL A 
PARTIR DE UM VALOR
Uma atividade interessante é o desafi o de construir um quadrado mágico 
especial que resulte em determinado número. Para construir o quadrado, proceda 
da seguinte forma:
• Determine o número de “casas” de cada linha e coluna (4x4, 5x5,...).
• Peça para alguém escolher um número maior do que 30.
• Mentalmente, subtraia esse número de 30 e divida o resultado pelo 
número de casas.
• Coloque o resultado da divisão em uma das “casas” do quadrado.
• Preencha a linha (toda) com os números da sequência numérica (sempre 
aumentando uma unidade a mais, a partir do resultado da divisão), em 
qualquer ordem.
• Preencha as outras linhas, continuando a sequência na mesma ordem 
de crescimento numérico da primeira.
Por exemplo, suponha que o número escolhido foi 75. Subtraindo de 30 e 
dividindo por 4, teremos 11,25. O quadrado fi cará:
16,25 15,25 17,25 18,25
12,25 11,25 13,25 14,25
20,25 19,25 21,25 22,25
24,25 23,25 25,25 26,25
52
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Para não utilizar números decimais e/ou fracionários, deve-se acrescentar, 
ao maior número de cada coluna, uma quantidade de unidades que “compense” 
a eliminação da parte decimal e/ou fracionária (0,25 + 0,25 + 0,25+ 0,25 = 1) . No 
exemplo dado, teríamos:
16 15 17 18
12 11 13 14
20 19 21 22
25 24 26 27
1 Se o número escolhido for menor do que 30, você encontrará 
números negativos. Isso mantém a “mágica”, mas deverá ser 
evitado caso a aplicação seja feita com alunos que desconheçam 
esses números. Elabore um quadrado com um número menor do 
que 30 para perceber esse fato.
R.: 
2 Construa um quadrado com número mágico igual a 74.
R.: 
3 Determine outros quadrados mágicos, aditivos, multiplicativos e 
especiais.
R.:
3 ATIVIDADES EM GRUPO
As atividades pedagógicas realizadas por meio de jogos estão muito além 
de serem consideradas como passatempo. Elas são, no mínimo, estimuladoras 
da socialização, da criatividade e do desenvolvimento intelectual. O exercício 
destas áreas facilita a condução do complexo processo de interiorização do 
conhecimento, desenvolvendo percepções e instintos.
53
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
Muitos jogos auxiliam na abordagem das operações elementares e facilitam 
o processo de abstração dos conhecimentos sistematizados. Essa perspectiva 
está baseada no fato de que os jogos, e o processo dinâmico que eles promovem, 
favorecem a construção e a socialização do conhecimento.
Quando os jogos são realizados em grupo, consegue-se melhorar o espírito 
de cooperação, estimular a criatividade e promover a responsabilidade na busca 
de objetivos comuns. Assim, ainda que fi que caracterizada uma competição, 
os jogos promovem o espírito de corresponsabilidade e de respeito entre os 
jogadores.
A contribuição do jogo no processo educativo passa pela intencionalidade 
do professor. A escolha do tipo de jogo deve estar relacionada com o principal 
objetivo da sua aplicação. Se você quiser abordar determinado conteúdo, o jogo 
deve conter elementos de associação e/ou relacionados a esse conteúdo. Se a 
aplicação não tiver o foco em um conteúdo, você deve privilegiar atividades que 
despertem o interesse no conhecimento geral, na abstração e/ou na lógica.
Com uma pesquisa em publicações impressas e na internet você poderá 
encontrar diversos jogos. Hoje temos que ter muito cuidado para sugerir sites, 
pois eles contêm muitos patrocinadores e links para acesso de outros temas. Às 
vezes estes links podem não ser adequados ao nível dos alunos ou provocar 
problemas institucionais e paternais. 
Para justifi car que os jogos são importantes instrumentos metodológicos e 
para motivar você a usá-los na sua prática, apresentaremos algumas atividades 
que poderão ser adaptadas a diversas fases.
3.1 ADIVINHAÇÃO DE UM NÚMERO
Esta brincadeira é muito útil para se introduzir conceitos de sentenças 
matemáticas. Primeiro, pede-se para que alguém pense em um número. Depois 
se orienta para que sejam efetuadas várias operações mentais com este número, 
até que se descubra o valor dele. As operações deverão estar associadas ao 
conhecimento que o aluno já possui e ao objetivo da ação pedagógica.
Por exemplo, ao pedir para que os alunos pensem em um determinado 
número, você pede para que eles façam o seguinte procedimento: acrescentem 
3, subtraiam 10, acrescentem 7, subtraiam 10, acrescentem 6, acrescentem 4 
e acrescentem 10. Após pedir a cada aluno a resposta depois de todas essas 
operações, você “adivinha” todos os números, basta subtrair o número que cada 
54
 MATEmáTiCA LÚDiCA
um disse de 10, que é o resultado de todas as somas. Esse procedimento permite 
dar um exemplo de soma de números inteiros e motivar os alunos a descobrirem 
a “mágica”. 
Na abordagem de expressões algébricas este “jogo” é muito útil. Nesse 
caso, estimula-se o uso dos sinais gráfi cos e operações. Novamente, você 
pede aos alunos que pensem em algum número, multipliquem esse número por 
3, adicionem 8, multipliquem por 5, somem 9, multipliquem por 6 e subtraiam o 
resultado de 294. Após cada aluno dizer o número resultante, você, de posse 
de uma calculadora ou mentalmente, divide o número dito por 90 e “adivinha” 
o número pensado por cada aluno. Após você provar que “é mágico”, peça aos 
alunos que escrevam a sentença que representa todas as operações e percebam 
como o truque funciona, ou seja:
{6. [5. (3x + 8) + 9] – 294} 
Desenvolvendo, temos:
{6.[15x + 40 + 9] – 294 = 90.x + 294 – 294 = 90x
Após os alunos entenderem com funciona o truque, em outras palavras, a 
“mágica”, você pode sugerir que os alunos se reúnam em pares e proponham uma 
nova sequência de cálculos, anotando a sentença e desafi ando outros alunos. 
Você também pode aumentar o nível de difi culdade, desenvolvendo sentenças 
e operações mais complexas. Esse tipo de atividade é extremamenteversátil e 
permite a você explorar várias operações.
3.2 NÚMERO MÁGICO
Esta é uma brincadeira que encerra propriedades numéricas muito 
importantes e auxilia na aprendizagem da subtração. A brincadeira consiste no 
seguinte: peça a alguém que pense em um número de três algarismos distintos, 
inverta-o e subtraia o maior do menor. A seguir, peça para que a pessoa diga o 
último algarismo do resultado e adivinhe o número obtido desta subtração. Como? 
A regra é que, no resultado da subtração solicitada, o número do centro é sempre 
9 e a soma do 1º e do 3º também é sempre 9. Assim, se o algarismo dito for 5, o 
primeiro será 4 e o número resultante será 495. Pode-se incrementar a brincadeira 
solicitando que, após a primeira inversão e subtração, sejam efetuadas uma nova 
inversão e uma soma, obtendo-se, sempre, 1089.
Exemplo: número pensado: 641; invertido: 146; subtraindo: 641-146 = 495; 
invertendo de novo: 594; somando: 495 + 594 = 1089.
55
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
Esse jogo foi sugerido por Paulo Nunes Almeida (1994) e pode ser uma boa 
alternativa para alunos que estão aprendendo a subtração, pois nessa operação 
alguns alunos têm difi culdade na subtração do ‘9 para o 9’.
3.3 A MAIOR VENCE
Tendo como referência a proposta de Smole (2007), este jogo é de simples 
execução, mas tem uma aplicação importante na comparação e na escrita de 
quantidades numéricas. Para tanto, você deve elaborar um conjunto de cartas 
com números que deseja que seus alunos saibam comparar. Forme duplas e 
distribua para cada aluno um conjunto de cartas.
Os alunos posicionam suas cartas em um monte, com todas viradas para 
baixo. Os dois viram, simultaneamente, a primeira carta de seu monte e comparam 
seus valores para ver quem venceu. O vencedor da rodada fi ca com as cartas. O 
jogo prossegue até que as cartas de cada monte inicial acabem e quem fi car com 
o maior número de cartas é o vencedor.
Os jogadores devem anotar as cartas de cada rodada e preencher uma 
tabela que o professor dispõe no quadro, ou entrega impressa.
FIGURA 13 – TABELA DO JOGO ‘A MAIOR VENCE’
Rodada Jogador 1 Jogador 2 Maior Número
1ª
2ª
3ª
FONTE: O autor
As cartas podem ser elaboradas em uma folha de ofício e conter muitas 
variações. Como ilustração, apresentamos algumas cartas.
FIGURA 14 – CARTAS DO JOGO ‘A MAIOR VENCE’
35 -15 2/5 1/10 Cos 30º
0,01 Log 2 2% de 10 0,01 π
FONTE: O autor
56
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Conforme a fase, você deverá elaborar um conjunto apropriado de cartas. O 
número de cartas deve ser dimensionado de acordo com o tempo disponível para 
que todas as partidas acabem e o professor possa fazer suas considerações. Além 
disso, para fazer uma abordagem geral, você pode, ao fi nal do jogo, escrever os 
números das cartas no quadro e, com os alunos, colocá-las em ordem crescente 
e/ou de equivalência.
Esse jogo é muito útil para o caso dos números inteiros. Ainda, os tipos 
de cartas apresentados na opção “c” mostram o seu potencial, pois os alunos, 
tanto do oitavo ano quanto do Ensino Médio e da graduação, têm difi culdade em 
estabelecer equivalências de forma rápida.
Uma incrementação interessante é construir cartas com operações, equações 
e números. Nesse caso, os alunos deverão resolver as questões e compará-las 
com as do colega. Assim, percebe-se que esse jogo pode ser aplicado no Ensino 
Fundamental, Médio ou Superior, motivando e facilitando o aprendizado.
Uma variante desse jogo, para as séries iniciais, é o uso de um baralho 
comum, do qual são distribuídas as cartas do Ás até o 9, para cada aluno. 
Novamente, com as cartas viradas para baixo, os jogadores viram a carta superior 
de seus montes e as colocam na mesa. Na sua vez de jogar, cada um tenta 
completar um total de 10, com a sua carta e outras que estão na mesa. Após todos 
virarem todas as cartas dos seus montes, vence aquele que tiver “capturado” mais 
cartas (SMOLE; DINIZ; CÂNDIDO, 2007).
O jogo fi ca mais interessante se o aluno tiver que compor uma combinação 
de operações elementares para obter o mesmo valor de sua carta. Por exemplo, 
após apresentar a carta 7 e estando na mesa as cartas 1,3, 5 e 8, o aluno pode 
apresentar a equivalência 7 = 3.5 – 8, conservando consigo estas cartas. Nessa 
variante, você pode fazer várias adaptações, como sugerir que os alunos retirem 
mais cartas de uma só vez, compondo números maiores. Por exemplo, de posse 
das cartas 3, 4 e 5, o aluno deverá encontrar o número 345. Na medida em que 
as operações se tornarem mais complexas, sugerimos que você permita o uso da 
calculadora.
3.4 JOGO DOS “PONTINHOS”
Um jogo muito tradicional entre estudantes é o jogo dos pontinhos. Nele, os 
jogadores se intercalam e unem dois pontos adjacentes na horizontal ou vertical. 
Quando o jogador completar um quadrado ele coloca a letra inicial do seu nome, 
porém podemos incrementar o jogo colocando valores nos possíveis quadrados 
e será o vencedor aquele que, após o término das possibilidades de “fechar” os 
57
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
quadrados, acertar a soma ou multiplicação, critério preestabelecido, dos valores 
que estão nos quadrados com a letra do seu nome.
Apenas como exemplo, considere que os números em vermelho representem 
um jogador e os números em azul o outro. 
Outra possibilidade:
3.5 O REMADOR
Este jogo é muito interessante, pois permite que todos os alunos tenham 
participação efetiva na solução de vários exercícios. Ainda, pela dinamicidade, ele 
promove a concentração e o espírito de cooperação nos grupos.
58
 MATEmáTiCA LÚDiCA
Você deve formar os grupos com a quantidade de alunos equivalente ao 
número de questões a serem aplicadas. Sugere-se que esse número seja no 
máximo igual a 6, e que se entregue um número de 1 a 6 a cada participante 
do grupo. Caso não consiga que todos os grupos tenham o mesmo número de 
alunos, cuide para que não fi que apenas um grupo com um número maior.
Entregue a todos os alunos que tiverem o número 1 a questão “x”, aos que 
tiverem o número 2 a questão “y” e assim sucessivamente. Os alunos começam 
a resolver as questões e o professor determina um tempo limite para cada aluno 
resolver. Pode ser 1 ou 2 minutos. Após o término desse tempo, o aluno passa 
a sua questão para o colega da direita, até que a questão retorne àquele que a 
começou. Este, então, deverá fazer uma síntese de tudo o que foi escrito.
Após as sínteses, os alunos reúnem-se em novos grupos que tenham 
as mesmas questões. Esses grupos farão a síntese fi nal de cada questão e 
apresentarão suas respostas.
Esquemas com um exemplo em que os grupos diferem na quantidade de 
alunos:
Fase I Fase II
Grupo 1: 1, 2, 3, 4 e 5 Grupo 1: 1, 1, 1, 1, 1
Grupo 2: 1, 2, 3, 4 e 5 Grupo 2: 2, 2, 2, 2, 2
Grupo 3: 1, 2, 3, 4 e 5 Grupo 3: 3, 3, 3, 3, 3
Grupo 4: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 Grupo 4: 4, 4, 4, 4, 4
Grupo 5: 1, 2, 3, 4, 5 e 6 Grupo 5: 5, 5, 5, 5, 5
 Grupo 6: 6, 6
Para avaliar o desempenho individual, você pode recolher todas as sínteses 
e observar as contribuições de cada aluno. Você também pode atribuir uma 
“premiação” para as questões corretas, desde que toda a turma receba a mesma 
“pontuação”. Isso seria uma boa variante de um trabalho em grupo, pois envolveria 
a responsabilidade de cooperação de toda a turma.
3.6 JOGOS COM ELEMENTOS 
GEOMÉTRICOS
O uso de desafi os e jogos na prática educativa faz parte de estratégias que 
visam inserir, no contexto das diversas áreas do conhecimento, o entusiasmo, 
a motivação e o prazer de fazer e aprender. Nas aulas de Matemática, o uso 
de jogos signifi ca uma mudança no processo ensino-aprendizagem baseado na 
resolução de exercícios padronizados e repetitivos.
59
MÁGICOS, JOGOS EM GRUPO E DESAFIOS GEOMÉTRICOS Capítulo 2 
O elemento jogo, que torna divertida a matemática recreativa, 
pode tomar vários aspectos: um quebra-cabeça a ser 
resolvido, um jogo de competição, uma mágica,