Questão resolvida - 2 Questão ... A figura acima mostra o esboço de parte da curva com equação yx-8x20x. A curva tem pontos críticos A e B. a) Determine as coordenadas x dos pontos A e B. b) Determine

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2ª Questão
 A figura acima mostra o esboço de parte da curva com equação . y = x³ - 8x² + 20x
A curva tem pontos críticos A e B. 
a) Determine as coordenadas x dos pontos A e B. 
b) Determine o valor de no ponto A, e portanto verifique que A é ponto de 
máximo.
d²y
dx²
 
Resolução:
 
a)
 
A e B são os pontos críticos locais da curva, os pontos críticos são determinados igualando-
se a derivada da expressão que define a curva a zero, a derivada é;
 
y = x³ - 8x² + 20x y' = 3x - 2 ⋅ 8x + 20 y' = 3x - 16x + 20→ 2 → 2
 
Igualando a derivada a zero, fica;
 
y' = 3x - 16x + 20 3x - 16x + 20 = 02 → 2
 
Resolvendo a equação;
 
3x - 16x + 20 = 02
 
 
 
x =
- -16 ±
2 ⋅ 3
( ) -16 - 4 ⋅ 3 ⋅ 20( )2
→
 
 x' = = = = = 
16 +
6
256 - 240 16 +
6
16 16 + 4
6
20
6
10
3
 
 
 x" = = = = = 2 
16 -
6
256 - 240 16 -
6
16 16 - 4
6
12
6
Observando o gráfico ao longo do eixo x, perceba que A é menor que B, assim;
 
A = 2 e B = 
10
3
 
b)
 
A segunda derivada da função é;
 
y' = = 3x - 16x + 20 = 2 ⋅ 3x - 16 = 6x - 16
dx
dy
2
→
d x
dy
2
2
→
d x
dy
2
2
Fazendo a segunda derivada igual a zero;
 
6x - 16 = 0 6x = 16 x = x =→ →
16
6
→
8
3
Isso significa que em a curva muda a concavidade, ou seja, é a coordenada x do x =
8
3
ponto de inflexão.
Na coordenada x do ponto A ( ), a segunda derivada é;x = 2
 
= 6 ⋅ 2 - 16 = 12 - 16 = - 4
d x 2
dy
2 ( )
2
→
d x 2
dy
2 ( )
2
→
d x 2
dy
2 ( )
2
 
Como a segunda derivada é negativa em , a concavidade da curva é voltada para baixo, x = 2
como é possível ver no próprio gráfico, e, assim, A é um ponto de máximo, já que a inflexão 
ocorre em .x =
8
3
 
 
(Resposta - a)