Questão resolvida - As Funções hiperbólicas são parecidas com as Funções trigonométricas. Surgiram para explicar movimentos vibratórios, dentro de sólidos elásticos e cabos flexíveis homogêneos suspen

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• As Funções hiperbólicas são parecidas com as Funções trigonométricas.Surgiram 
para explicar movimentos vibratórios, dentro de sólidos elásticos e cabos flexíveis 
homogêneos suspensos por dois pontos, como acontece com o cabos de transmissão 
de linhas telefônicas.
 Por definição, elas são a combinação entre as funções e . Seex e-x
 
senh x = e cosh x - senh x = 1( )
e - e
2
x -x
2( ) 2( )
Encontre o .cosh x( )
 
Resolução: 
 
Substituindo na relação fundamental da trigonometria hiperbólica, temos;senh x( )
 
cosh x - senh x = 1 cosh x - = 1 cosh x = 1 +2( ) 2( ) → 2( )
e - e
2
x -x
2
→
2( )
e - e
2
x -x
2
 
cosh x = 1 + cosh x = 1 +2( )
e - e
2
x -x 2
( )2
→
2( )
e - 2e e + e
4
x 2 x -x -x 2
 
cosh x = = = =2( )
4 + e - 2 + e
4
2x e
e
x
x
-2x
4 + e - 2 ⋅ 1 + e
4
2x -2x 4 + e - 2 + e
4
2x -2x e + e + 2
4
2x -2x
 
cosh x = = = = ⋅ =2( )
e + + 2
4
2x 1
e2x
4
e ⋅e +1+2e
e
2x 2x 2x
2x
4
e +1+2e
e
4x 2x
2x e + 1 + 2e
e
4x 2x
2x
1
4
e + 2e + 1
4e
4x 2x
2x
 
É preciso fatorar a expresão : e + 2e + 1 = e + 2e + 14x 2x 2x
2 2x
 
Vamos fazer a substituição : y = e2x
 
Assim, a expressão fica : e + 2e + 1 = y + 2y + 12x
2 2x 2
 
 
Resolvemos, então, a equação do 2° na variável y resultante;
 
y + 2y + 12
 
y = y' = y" = = = = = - 1
- 2 ±
2 ⋅ 1
( ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 1( )2
→
-2 ±
2
4 - 4 -2 ±
2
0 -2 ± 0
2
-2
2
 
A fatoração genérica de uma equação do 2° grau é;
 
ax + bx + c = a x - x' x - x"2 ( )( )
 
Com isso, a expressão fatorada fica;
 
y + 2y + 1 = 1 y - -1 y - -1 = y + 1 y + 1 = y + 12 ( ( ))( ( )) ( )( ) ( )2
 
Mas y = e , então;2x
 
y + 1 = e + 1 , voltando para a relação hiperbólica, temos;( )2 2x
2
 
cosh x = =2( )
e + 2e + 1
4e
4x 2x
2x
e + 1
4e
2x 2
2x
 
Isolando cosh x , fica : = cosh x = =( ) cosh x2( )
e + 1
4e
2x 2
2x
→ ( )
e + 12x
2
4e2x
e + 12x
4 e2x
 
 
cosh x = = = = = ⋅ e = =( )
e + 1
2 e
2x
2x
1
2
e + 1
2 e
2x
x
2⋅
1
2
e + 1
2 e
2x
x 1
e + 1
2e
2x
x
e + 1
2
2x
-x e ⋅ e + e
2
2x -x -x e + e
2
2x-x( ) -x
cosh x =( )
e + e
2
x -x
 
 
(Resposta )