LAB7 - Freq própria

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Circuitos II - prof. Marcus R de Castro Laboratório 4 
1 
1. Objetivo:
Laboratório IV: Freqüências Complexas Próprias 
Determinação das freqüências complexas próprias de uma rede utilizando o 
transitório repetitivo. 
2. Introdução
Seja y(t) a resposta de um circuito linear, de parâmetros constantes, excitado por u(t). A
resposta e a excitação estarão relacionadas por uma equação diferencial do tipo: 
∑∑
=
−
−
=
−
−
=
m
j
jm
jm
j
n
i
in
in
i dt
tud
b
dt
tyd
a
0
)(
)(
0
)(
)( )()(
 (1) 
sendo os ai e bj constantes reais, e admitindo-se a0 = 1 para maior comodidade. 
A função de transferência, que relaciona y(t) e u(t), é obtida tomando-se a transformada de 
Laplace da equação (1), com condições iniciais nulas, chegando-se a: 
nn
nn
mm
mm
asasas
bsbsbsb
sU
sY
sG
++++
++++==
−
−
−
−
1
1
1
1
1
10
)(
)(
)(
K
K
 (2) 
O denominador da equação (2): 
nn
nn asasassP ++++= −
−
1
1
1)( K (3) 
é o polinômio característico da equação (1). Os zeros (sk) deste polinômio, correspondentes aos 
pólos de G(s), são as freqüências complexas próprias da resposta y(t). 
Estes pólos podem ser simples ou múltiplos. Examinando-se o mecanismo de inversão da 
transformada, verifica-se que aos pólos simples correspondem, na resposta transitória, parcelas do 
tipo: 
ts
k
keA (pólos simples) (4) 
sendo os Ak constantes. 
Os pólos múltiplos gerarão uma soma de parcelas do tipo: 
ts
k
ts
k
ts
k
kkk etAteAeA l
l
K 121 ++++ (5) 
sendo os Aki constantes e l a multiplicidade do pólo menos um. 
As equações (4) e (5) constituem os modos naturais da resposta y(t). 
A parte real da freqüência complexa própria dá o amortecimento do modo natural, ao 
passo que sua parte imaginária fornece a freqüência angular de oscilação do modo natural. 
Seja uma freqüência complexa própria dada por: 
kkk js ωα +−= (6) 
Se a freqüência própria for real e simples, o correspondente modo natural é do tipo tsk keA ; 
se a freqüência própria for real e múltipla tem-se modos naturais tjjk
ketA α−+1 , j = 0, 1, ... , l . 
Se a resposta tiver uma freqüência própria complexa sk, necessariamente o conjugado 
*
ks
será também uma freqüência própria; sendo, além do mais, simples, o par sk,
*
ks dará origem a um 
par complexo conjugado de modos naturais, que compõem uma parcela da resposta do tipo: 
)cos( kk
t
k teA
k φωα +− (7) 
sendo –αk a parte real da freqüência complexa própria e ωk sua parte imaginária. 
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Quando as freqüências complexas próprias de um circuito reduzem-se a um só par de 
complexos conjugados, sua determinação experimental, através da medida de α e ω é 
particularmente simples, como será visto a seguir. 
2.1 Aplicação ao Circuito Ressonante Paralelo 
Considerando-se o circuito mostrado esquematicamente na Figura 1 e aplicando-se a LKC 
ao nó A, chega-se a: 
)()(
1
)(
)(
tidttv
L
tGv
dt
tdv
C s=++ ∫ (8) 
)(tis
G
R
1= L C )(tv
A
Figura 1: Circuito RLC paralelo. 
Derivando-se a equação (8) uma vez, vem: 
dt
tdi
tv
Ldt
tdv
G
dt
tvd
C s
)(
)(
1)()(
2
2
=++ (9) 
A equação (9) está na forma da equação (1), em conseqüência, o polinômio característico do 
circuito será: 
L
GsCssP
1
)( 2 ++= (10) 
cujos zeros são: 





−




±−=
LCC
G
C
G
s
1
22
2
2,1 (11) 
ou 
djs ωα ±−=2,1 (12) 
com: 
C
G
2
=α ; 
LC
1
0 =ω ; 
22
0 αωω −=d (13) 
Se ω0 > α, as freqüências próprias são complexos (conjugados), o sistema é oscilatório e sua 
resposta transitória é do tipo: 
)cos()( 0 φω
α += − tevtv d
t (14) 
cuja forma de onda é aquela mostrada no gráfico da Figura 2. 
Obs.: Para maior facilidade de observação de uma forma de onda semelhante àquela da 
Figura 2, convém obtê-la com um transitório repetitivo conseguido, por exemplo, excitando-se o 
circuito com uma onda quadrada de período muito maior que 2π/ωd, condição facilmente 
verificável experimentalmente. 
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v(t)
An
A0
0
T
t
envoltória
Figura 2: Forma de onda referente à equação (14). 
2.1.1 Medição de α e ωd 
Supondo-se que seja observada a forma de onda descrita pela equação (14) num 
osciloscópio, deseja-se determinar os parâmetros α e ωd. 
a) Determinação de ωd
Para a determinação de ωd mede-se a duração θ de n ciclos do transitório. Então resulta: 
θ
πω nd
 2= [rad/s] (n inteiro) (15) 
Convém tomar θ tão grande quanto possível para reduzir o erro de medida. 
b) Determinação de α 
A relação entre dois máximos de v(t), separados por n ciclos, é dada por: 
Tn
n
e
A
A 0 α=
Portanto, 






=
nA
A
nT
0ln
1α
Como nT = θ , vem: 
( ) ( )[ ]nAA lnln1 0 −= θα [s
-1] (16) 
Obs.: O fator de amortecimento α pode também ser determinado medindo-se as amplitudes 
A0, A1, ..., An, nos instantes 0, T, 2T, ..., nT, e usando-se uma rotina de regressão linear. 
Uma vez determinados de α e ωd, e conhecido um dos três parâmetros do circuito, os outros 
dois podem ser determinados. A resistência R representa não só eventuais resistores inseridos no 
circuito, como também as perdas existentes nos demais elementos. 
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2.1.2 Determinação do Índice de Mérito, Q (circuito altamente oscilatório) 
Nos circuitos RLC altamente oscilatórios 




 <
10
dωα pode-se adotar a aproximação ωd ≅ ω0. 
Nesse caso define-se o índice de mérito, em ω0, por: 
L
R
0
Q
ω
= (17) 
Sendo que R inclui as resistências de perdas. Das equações (11) e (12), e com a aproximação 
ωd ≅ ω0, resulta: 
α
ω
2
Q 0= (18) 
Conhecendo-se ω0 e α, o índice de mérito pode ser calculado. 
Como verificação, Q pode ser obtido determinando-se em quantos ciclos a envoltória do 
sinal cai a 1/e ≅ 0,368 do seu valor inicial. Sendo n1 esse número (em geral não inteiro), resulta: 
1
00
1
0
 2
ln
 2
1
nA
A
n n π
ω
π
ωα =








≅
ou, levando-se em consideração a equação (18) 
1 Q nπ= (19) 
Comparando-se este valor com o calculado pela equação (18) tem-se uma idéia da precisão 
das medições. 
3. Parte Prática
3.1 Medição das Freqüências Complexas Próprias 
3.1.1 Montar o circuito mostrado esquematicamente na Figura 3, no qual Rg representa a 
resistência interna do gerador, com: Rs = 1 kΩ, L = 1 mH, C = 0,1 µF e o gerador com onda 
quadrada com 3 V (pico a pico) e 1,5 V (offset). 
)(tes L C )(tv
+ g
R
gerador de sinais
sR
Figura 3 
3.1.2 Ajustar a freqüência do gerador para 500 Hz e observar a forma de onda de v(t). 
3.1.3 Medir o período T e calcular ωd e fd. Comparar com a leitura do osciloscópio. 
3.1.4 Medir a amplitude máxima de duas oscilações consecutivas quaisquer e calcular α, ω0 e Q. 
3.1.5 Medir o valor da capacitância do capacitor C e calcular o valor da indutância do indutor L. 
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3.2 Medição da Capacitância Parasita (Cp) do Indutor 
 
3.2.1 Retirar o capacitor C do circuito, resultando no circuito mostrado esquematicamente na 
Figura 4, no qual Cp representa a capacitância parasita do indutor. 
 
)(tes L pC )(tv
+
gR
gerador de sinais
sR
 
 
3.2.2 Aumentar o valor de Rs para 10 kΩ e, caso seja necessário, utilizar o trigger externo para 
visualização da forma de onda de v(t) (TRIG MENU => Origem = Ext/5; Acoplam. = CA; interligar 
os conectores BNC “Trigger Output” do gerador de sinais e “EXT TRIG” do osciloscópio, com o 
cabo coaxial fornecido). 
3.2.3 Determinar α, ωd e ω0 empregando o mesmo procedimento do itens 3.1.3 e 3.1.4. 
3.2.4 Calcular o valor de Cp utilizando o valor encontrado para L no item 3.1.5. 
 Obs.: A ponta de prova do osciloscópio pode ser modelada por um circuito RC paralelo. Os 
valores correspondentes à ponta Tektronix® P2220 são: R = 10 MΩ e C ≅ 15 pF, para atenuação em 
10x. Levar em conta estes valores na determinação de Cp. 
 
3.3 Comparação com o Regime Permanente Senoidal 
 
3.3.1 Montar novamente o circuito do item 3.1.1 e ajustar o gerador de sinais parauma forma de 
onda senoidal com 3 V (pico a pico) e 0 V (offset). 
 
3.3.2 Variar a freqüência até obter a máxima amplitude de v(t), anotar a freqüência em que isto 
ocorre. Comparar o valor da freqüência encontrada com fd e f0 calculadas anteriormente. 
 
4. Referências Bibliográficas 
4.1 Notas de aula da disciplina “PEE.315 – Laboratório de Eletricidade I”, Escola Politécnica da 
Universidade de São Paulo. 
4.2 Notas de aula da disciplina “EL 033(L) – Circuitos Elétricos III”, Departamento de 
Engenharia Elétrica, Faculdade de Engenharia Industrial. 
4.3 Orsini, L. Q., Consonni, D., “Curso de Circuitos Elétricos”, vol. 1, 2ª ed., Edgard Blücher, 
2002.