Nota 10 semana 3 - Atividade Avaliativa - Calculo I

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Revisar envio do teste: Semana 3 - Atividade AvaliativaCálculo I - MCA501 - Turma 001 Atividades
Revisar envio do teste: Semana 3 - Atividade Avaliativa 
Usuário ROGERIO DE MORAES MAGALHAES
Curso Cálculo I - MCA501 - Turma 001
Teste Semana 3 - Atividade Avaliativa
Iniciado 23/05/22 14:48
Enviado 23/05/22 15:19
Data de
vencimento
30/06/22 23:59
Status Completada
Resultado da
tentativa
10 em 10 pontos  
Tempo decorrido 30 minutos
Instruções
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exibidos
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Pergunta 1
Resposta Selecionada: c. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da resposta:
Seja 𝑓(𝑥) função derivável. Com respeito à derivada da função 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 𝑓(𝑥), é correto afirmar:
𝑔 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑓(𝑥) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑓(𝑥) − 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑓(𝑥) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥) = 𝑥𝑓(𝑥) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥)
𝑔 ′ (𝑥) = 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥)
RESPOSTA CORRETA:
𝑔 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑓(𝑥) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥)
JUSTIFICATIVA
A função 𝑔(𝑥) é o produto entre as funções 𝑥2 e 𝑓(𝑥). Assim, pela regra da derivada do produto, temos
que: 𝑔 ′ (𝑥) = (𝑥2 ) ′𝑓(𝑥) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥 2−1 𝑓(𝑥) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑥𝑓(𝑥) + 𝑥 2 𝑓 ′ (𝑥).
Pergunta 2
Resposta
Selecionada:
c.
Respostas:
a. 
Seja 𝑓(𝑥) função derivável, com 𝑓(𝑥) ≠ 0 para todo 𝑥. Com respeito à derivada da recíproca da função 𝑓(𝑥), isto é, 𝑔(𝑥) = 
, é correto afirmar:
g à potência de apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a menos numerador f à
potência de apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo f
parêntese esquerdo x parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da fração
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
https://ava.univesp.br/webapps/blackboard/execute/courseMain?course_id=_5891_1
https://ava.univesp.br/webapps/blackboard/content/listContent.jsp?course_id=_5891_1&content_id=_808977_1&mode=reset
b. 
c.
d. 
e. 
Comentário
da resposta:
g à potência de apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a menos numerador f à
potência de apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo f
parêntese esquerdo x parêntese direito parêntese direito ao quadrado fim da fração
RESPOSTA CORRETA:
JUSTIFICATIVA
A função 𝑔(𝑥) é o quociente entre a função constante 1 e a função 𝑓(𝑥). Assim, pela regra da derivada
do quociente, temos que 𝑔 ′ (𝑥) = 
Pergunta 3
Resposta Selecionada: e. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Considere a função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 10𝑥 + 8. Com respeito a segunda derivada da função 𝑓(𝑥), é correto afirmar que:
𝑓 ′′(𝑥) = 12𝑥 + 6
𝑓 ′′(𝑥) = 2𝑥 + 3
𝑓 ′′(𝑥) = 12
𝑓 ′′(𝑥) = 6𝑥 + 6 + 
𝑓 ′′(𝑥) = 6𝑥 + 6
𝑓 ′′(𝑥) = 12𝑥 + 6
RESPOSTA CORRETA:
𝑓 ′′(𝑥) = 12𝑥 + 6
JUSTIFICATIVA
Note que 𝑓 ′ (𝑥) = (2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 10𝑥 + 8) ′ = 2(𝑥 3 ) ′ + 3(𝑥 2 ) ′ + 10(𝑥) ′ + (8) ′ = 2 ⋅ 3𝑥
3−2 + 3 ⋅ 2𝑥 2−1 + 10𝑥 1−1 = 6𝑥 2 + 6𝑥 + 10. Portanto, 𝑓 ′′(𝑥) = (𝑓 ′ (𝑥)) ′ = (6𝑥 2 + 6𝑥 2 +
10) ′ = 6(𝑥 2 ) ′ + 6(𝑥) ′ + (10) ′ = 6 ⋅ 2𝑥 2−1 + 6𝑥 1−1 = 12𝑥 + 6.
Pergunta 4
Resposta Selecionada: a. 
Respostas: a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑐𝑜𝑠(𝑥)). Com respeito a derivada da função 𝑓(𝑥), é correto afirmar que:
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = −𝑠𝑖𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑐𝑜𝑠(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑠𝑖𝑛(𝑥))
𝑓 ′ (𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠(𝑥)
RESPOSTA CORRETA:
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑠𝑖𝑛(𝑥)
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
resposta:
JUSTIFICATIVA
Note que podemos pensar na função 𝑓(𝑥) como uma função composta, 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)),
onde 𝑔(𝑥) = ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) são funções elementares. Sendo assim, podemos calcular sua
derivada utilizando a regra da cadeia: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔 ′ (ℎ(𝑥))ℎ ′ (𝑥) . Das derivadas de funções
elementares, sabemos que 𝑔 ′ (𝑥) = ℎ ′ (𝑥) = −𝑠𝑖𝑛(𝑥) . Portanto, 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑠𝑖𝑛(𝑐𝑜𝑠(𝑥))𝑠𝑖𝑛(𝑥).
Pergunta 5
Resposta
Selecionada:
c.
Respostas:
a. 
b. 
c.
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Seja 𝑦(𝑥) uma função real derivável satisfazendo a seguinte equação 𝑦(𝑥)3 + 𝑥(𝑦(𝑥)2 + 𝑦(𝑥)) − 1 = 0. Com respeito à
derivada de 𝑦(𝑥) no ponto 𝑥 = 0, é correto afirmar que:
y à potência de apóstrofo parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a menos 2 sobre 3
y à potência de apóstrofo parêntese esquerdo 0 parêntese direito igual a menos 2 sobre 3
RESPOSTA CORRETA:
.
JUSTIFICATIVA:
Primeiramente, note que ao substituirmos 𝑥 = 0 na equação 𝑦(𝑥) 3 + 𝑥(𝑦(𝑥) 2 + 𝑦(𝑥)) − 1
= 0, concluímos que 𝑦(0) 3 − 1 = 0 e, portanto, 𝑦(0) = 1. Agora, derivando implicitamente
a relação acima em 𝑥, obtemos que (𝑦(𝑥) 3 ) ′ + (𝑥(𝑦(𝑥) 2 + 𝑦(𝑥))) ′ − (1) ′ = 0 ⇒ 3𝑦(𝑥) 2𝑦 ′
(𝑥) + 1 ⋅ (𝑦(𝑥) 2 + 𝑦(𝑥)) + 𝑥(𝑦(𝑥) 2 + 𝑦(𝑥)) ′ = 0 ⇒ 3𝑦(𝑥) 2𝑦 ′ (𝑥) + 𝑦(𝑥) 2 + 𝑦(𝑥) + 𝑥((𝑦(𝑥) 2 )
′ + 𝑦 ′ (𝑥)) = 0 ⇒ 3𝑦(𝑥) 2𝑦 ′ (𝑥) + 𝑦(𝑥) 2 + 𝑦(𝑥) + 2𝑥𝑦(𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑥𝑦 ′ (𝑥) = 0 Colando 𝑦 ′ (𝑥)
em evidência na última equação, temos que ⇒ (3𝑦(𝑥) 2 + 2𝑥𝑦(𝑥) + 𝑥)𝑦 ′ (𝑥) + 𝑦(𝑥) 2 +
𝑦(𝑥) = 0. Portanto . Substituindo 𝑥 = 0 na última igualdade,
concluímos que .
Pergunta 6
Resposta Selecionada:
b. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Dado 𝑛 ∈ ℕ, considere a função 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛 . Analise as derivadas 
e determine uma expressão para a derivada de ordem 𝑛
de 𝑓𝑛(𝑥), a qual é denotada por 𝑓𝑛(𝑛) (𝑥):
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
Comentário da
resposta:
RESPOSTA CORRETA:
𝑓𝑛(𝑛) (𝑥) = 𝑛!
JUSTIFICATIVA
Primeiramente, calculamos as derivadas 𝑓1 ′ (𝑥), 𝑓2 (𝑥) ′′ , 𝑓3 (𝑥) ′′′ e 𝑓4 ′′′′(𝑥): 𝑓1 ′ (𝑥) = (𝑥) ′ = 1, 𝑓2 ′′
(𝑥) = (𝑥 2 ) ′′ = ((𝑥 2 ) ′ ) ′ = (2𝑥) ′ = 2,
Pergunta 7
Resposta
Selecionada:
d.
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d.
e. 
Comentário
da
resposta:
Considere a função . Com respeito a derivada da função 𝑓(𝑥), é correto afirmar que:
f à potência de apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador 8 x ao cubo sobre denominador
abre parênteses x à potência de 4 mais 1 fecha parênteses ao quadrado fim da fração
𝑓 ′ (𝑥) = 1
f à potência de apóstrofo parêntese esquerdo x parêntese direito igual a numerador 8 x ao cubo sobre denominador
abre parênteses x à potência de 4 mais 1 fecha parênteses ao quadrado fim da fração
RESPOSTA CORRETA:
JUSTIFICATIVA:
Para calcular a derivada da função 𝑓(𝑥) utilizamos a regra da derivada do quociente. Assim, 𝑓 ′ (𝑥)
= 
Pergunta 8
Resposta Selecionada:
d. 
Respostas:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
Comentário
da
resposta:
Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑥 . Sabendo que 𝑎 = 𝑒𝑙𝑛(𝑎) , determine a derivada da função 𝑓(𝑥):
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑙𝑛(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 𝑥−1
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 𝑥
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑙𝑛(𝑥)
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 𝑥 + 𝑙𝑛 (𝑥𝑥)
RESPOSTA CORRETA:
𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 𝑥 + 𝑥 𝑥 𝑙𝑛𝑥
JUSTIFICATIVA:
Note que podemos reescrever a função 𝑓(𝑥) da seguinte forma .
Sendo assim, podemos pensar na função 𝑓(𝑥) como uma função composta, 𝑓(𝑥) =
1,25 em 1,25 pontos
1,25 em 1,25 pontos
Segunda-feira, 23 de Maio de 2022 15h19min24s BRT
𝑔(ℎ(𝑥)), onde 𝑔(𝑥) = 𝑒𝑥 e ℎ(𝑥) = 𝑥𝑙𝑛(𝑥), e calcular sua derivada utilizando a regra da
cadeia: 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑔 ′ (ℎ(𝑥))ℎ ′ (𝑥). Das derivadas de funções elementares, sabemos que 𝑔 ′
(𝑥) = 𝑒𝑥 . Utilizando a regra do produto, sabemos que ℎ ′ (𝑥) = (𝑥) ′𝑙𝑛(𝑥) + 𝑥(𝑙𝑛(𝑥)) ′ =
𝑙𝑛(𝑥) + = 1 + 𝑙𝑛(𝑥). Portanto, 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑒𝑥𝑙𝑛(𝑥) (1 + 𝑙𝑛(𝑥)) = 𝑥𝑥 (1 + 𝑙𝑛(𝑥)) = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥
𝑙𝑛(𝑥).
← OK