Notas de aula - ENG 114

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 - HIPERESTÁTICA
NOTAS DE AULA 
Slides 
A bibliografia desse curso, na qual são baseadas essas notas de aula, é a seguinte: 
MACHADO JÚNIOR. E. F. Introdução à Isostática. São Carlos: EESC-USP, 1999. 
MORI, D. D. Exercícios propostos de resistência dos materiais – Fascículo I. São Carlos: 
EESC-USP, 1978. 
MORI, D. D.: CORRÊA, M. R. S. Exercícios resolvidos de resistência dos materiais – 
Fascículo I. São Carlos: EESC-USP, 1979. 
SORIANO, H. L.; LIMA, S.S. Análise de Estruturas: Método das Forças e Métodos dos 
Deslocamentos. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2006. 
SORIANO, H. L. Estática das Estruturas. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna, 2007. 
SOUZA, J. C. A. O.; ANTUNES, H. M. C. C. Processos Gerais da Hiperestática Clássica. São 
Carlos: EESC-USP, 1995. 
SOUZA, J. C. A. O.; ANTUNES, H. M. C. C. Processo de Cross. São Carlos: EESC-USP, 1988. 
SUSSEKIND, J. C. Curso de Análise Estrutural. Vols. 1, 2 e 3. Editora Globo, Rio de Janeiro. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 - HIPERESTÁTICA
1ª. UNIDADE 
Estruturas Isostáticas 
Slides 
ENG 114 Hiperestática Introdução 1 
1 EELLEEMMEENNTTOOSS FFUUNNDDAAMMEENNTTAAIISS DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS
1.1 INTRODUÇÃO 
�As estruturas são constituídas de um elemento ou de um conjunto de elementos ligados entre si e 
externamente ao solo, de tal forma que o sistema assim formado seja estável. A estrutura é, portanto, um 
sistema adequado para receber solicitações externas e encaminhá-las até seus vínculos externos�. 
Os elementos que constituem uma estrutura são chamados elementos estruturais. 
1.2 CLASSIFICAÇÃO DOS ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
Classificação de acordo com as dimensões principais dos elementos. 
1.2.1 ELEMENTO DE BARRA 
Quando duas dimensões são pequenas em relação à terceira. 
l
h
b
1.2.2 ELEMENTO DE SUPERFÍCIE 
Quando uma dimensão é muito menor que as outras duas. 
l
h
b
Os elementos de superfície são divididos em: 
• Placa: as ações atuam perpendicularmente ao plano da superfície. 
b ≅ h < l
b ≅ l > h 
ENG 114 Hiperestática Introdução 2 
• Chapa: as ações atuam paralelamente ao plano da superfície. 
• Casca: elemento de superfície com curvatura não nula de seu plano 
1.2.3 ELEMENTO DE BLOCO 
Não há dimensão preponderante sobre as outras. 
b
l
h
1.3 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS 
Função dos elementos que a compõem. 
1.3.1 ESTRUTURAS LINEARES 
São aquelas formadas por elementos de barras. Podem ser planas ou espaciais. 
b ≅ h ≅ l
ENG 114 Hiperestática Introdução 3 
1.3.2 ESTRUTURAS DE SUPERFÍCIE 
Formadas por elementos de superfície. 
1.3.3 ESTRUTURAS DE VOLUME 
Formadas por elementos de bloco. 
1.4 ESTRUTURAS LINEARES PLANAS 
São aquelas formadas por barras cujos eixos estão situados no mesmo plano. 
Alguns exemplos: 
� Vigas 
� Pórticos 
� Treliças 
� Grelhas 
� Arcos 
OBS: 
O elemento de barra pode apresentar desempenhos distintos no conjunto da estrutura: 
� Ele pode suportar ações transversais ao seu eixo, e, com isso, transmitir momentos fletores e esforços 
cortantes, sendo chamado, neste caso, de chapa. 
� Ele pode transmitir apenas esforços axiais, sendo chamado, neste caso, de barra simples, ou 
simplesmente barra
ENG 114 Hiperestática Introdução 4 
12
3
4
i
c
2 VVIINNCCUULLAAÇÇÃÃOO DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS LLIINNEEAARREESS PPLLAANNAASS
2.1 INTRODUÇÃO 
Como as estruturas podem ser formadas por vários elementos ligados entre si e exteriormente com o solo, 
essas ligações são chamadas vínculos. 
Podem ser distinguidos três tipos de vínculos: 
� Articulação entre chapas : ligação interna que une as chapas. 
� Articulação entre barras : ligação interna que une as barras (nó). 
� Apoios : ligação entre a estrutura e o solo (vínculos externos). 
Os elementos estruturais mais os vínculos devem formar um conjunto estável, sendo os vínculos 
responsáveis por restringir o movimento da estrutura. 
São três os movimentos possíveis nas estruturas lineares planas (graus de liberdade ): 
� Uma rotação 
� Duas translações 
2.2 REPRESENTAÇÃO DOS TIPOS DE VÍNCULOS 
Os vínculos são caracterizados pelo número de graus de liberdade retirados da estrutura. 
2.2.1 APOIO MÓVEL 
Permite a rotação e uma translação, retirando, portanto, um grau de liberdade da estrutura. 
2.2.2 APOIO FIXO 
Permite somente a rotação, restringindo, portanto, as duas translações. 
2.2.3 ARTICULAÇÃO ENTRE CHAPAS 
Restringe deslocamentos entre as chapas, permitindo rotações relativas entre elas. 
Seja uma articulação onde c chapas se encontram. Supondo-se uma das chapas 
fixa, a articulação retira dois graus de liberdade de cada uma das (c-1) chapas, 
em relação àquela suposta fixa. O número total de graus de liberdade retirados 
da estrutura por esse tipo de vínculo é, então, igual a 2(c-1). 
ENG 114 Hiperestática Introdução 5 
2.2.4 ENGASTE FIXO 
Impede todos os movimentos no plano, retirando três graus de liberdade da estrutura. 
2.2.5 ENGASTE MÓVEL 
Impede o giro e um movimento, retirando, assim, dois graus de liberdade da estrutura. 
3 DDEETTEERRMMIINNAAÇÇÃÃOO GGEEOOMMÉÉTTRRIICCAA DDAASS EESSTTRRUUTTUURRAASS
3.1 INTRODUÇÃO 
As relações entre o número de vínculos e o número de elementos que constituem uma estrutura devem 
satisfazer certas condições para que esta tenha sua posição determinada no plano. O estudo dessas relações 
denomina-se determinação geométrica. 
As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista geométrico, da seguinte forma: 
 Se be = bn → a estrutura é geometricamente determinada. 
Se be > bn → a estrutura é geometricamente superdeterminada. 
Se be < bn → a estrutura é geometricamente indeterminada ou móvel. 
Sendo: 
be = número de barras simples e de barras vinculares existentes na estrutura; 
c = número de chapas (ou barras gerais); 
n = número de nós 
bn = número de barras necessárias para que a estrutura em estudo seja determinada. 
3.2 DEFINIÇÕES 
São apresentadas a seguir algumas definições necessárias à determinação geométrica das estruturas lineares 
planas. 
3.2.1 CHAPAS (BARRAS GERAIS) 
Função geométrica: definir distâncias entre todos os seus pontos: 
ENG 114 Hiperestática Introdução 6 
l
l
l
l
1
2
3
Função estática: transmitir todos os esforços. 
3.2.2 BARRAS SIMPLES (BARRAS) 
Função geométrica: definir a distância entre seus pontos extremos: 
l
Função estática: transmitir apenas esforços axiais. 
3.2.3 NÓS 
Encontro de barras simples 
Nó
b
b b
3.2.4 ARTICULAÇÃO 
Encontro de barras e chapas ou só de chapas 
Articulação
c
b b c
c
Articulação
c
3.2.5 BARRAS VINCULARES 
Correspondem aos graus de liberdade impedidos pelos vínculos internos e externos. 
a) Engaste fixo 
Corresponde a três barras vinculares 
ENG 114 Hiperestática Introdução 7 
b) Apoio fixo 
Correspondea duas barras vinculares 
c) Apoio móvel 
Corresponde a uma barra vincular 
d) Engaste móvel 
Corresponde a duas barras vinculares 
3.2.6 CHAPA TERRA 
Apoio de todas as estruturas 
3.3 ESTRUTURAS ELEMENTARES 
3.4 2.1 TRELIÇA 
Estrutura composta apenas de barras simples e nós, com carga aplicada somente nos nós. 
→ bn = 2n
Exemplo: Tem-se: 
� Barras efetivamente existentes 
be = 11 + 4 = 15 n = 7 bn = 2 x 7 = 14 
� Barras vinculares 
be = 15 > bn = 14 → Treliça superdeterminada 
Grau: 
g = be � bn = 15 � 14 = 1 → 1 x superdeterminada 
ENG 114 Hiperestática Introdução 8 
3.4.1 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS E CHAPAS 
Transmitem todos os esforços 
→ bn = 3c
Exemplo: 
Tem-se: 
 be = 5 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 x 1 = 3 
be = 5 > bn = 3 → Estrutura superdeterminada 
Grau: 
g = be � bn = 5 � 3 = 2 → Estrutura 2 x superdeterminada 
3.4.2 ESTRUTURAS COMPOSTAS DE APOIOS, BARRAS, CHAPAS E NÓS 
→ bn = 3c + 2n 
Exemplo 1 
Tem-se: 
be = 2 + 3 = 5 c = 1 n = 1 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 1 = 5 
be = bn = 5 → Estrutura determinada 
ENG 114 Hiperestática Introdução 9 
Exemplo 2 
Tem-se: 
be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 2 + 2 x 0 = 6 
be = bn = 6 → Estrutura determinada 
OBS.: 
� Articulação entre duas chapas → 2 barras vinculares 
� Articulação entre c chapas → 2 (c � 1) barras vinculares 
Voltando ao exemplo anterior, tem-se: 
be = 9 c = 3 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 3 + 2 x 0 = 9 
be = bn = 9 → Estrutura determinada 
Exemplo 3: 
be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3 
be = bn = 3 → Estrutura determinada 
ENG 114 Hiperestática Introdução 10 
Exemplo 4: 
be = 6 c = 1 n = 0 bn = 3c + 2n = 3 x 1 + 2 x 0 = 3 
be = 6 > bn = 3 → Estrutura superdeterminada 
Grau: 
gh = be � bn = 6 � 3 = 3 → Estrutura 3 x superdeterminada 
3.5 CASOS EXCEPCIONAIS 
3.5.1 BARRAS VINCULARES PARALELAS 
Móvel
 be = 3 c = 1 n = 0 bn = 3c = 3 
 be = bn = 3 → Estrutura determinada 
⇒ A estrutura é móvel 
ENG 114 Hiperestática Introdução 11 
3.5.2 DIREÇÃO DAS BARRAS VINCULARES PASSANDO POR UM PONTO 
Móvel
 be = 9 + 3 = 12 c = 0 n = 6 bn = 2n = 12 
 be = bn = 12 → Estrutura determinada 
⇒ A estrutura é móvel 
3.6 DETERMINAÇÃO ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS 
As estruturas podem ser classificadas, do ponto de vista estático, da seguinte forma: 
 Se be = bn → a estrutura é isostática. 
Se be > bn → a estrutura é hiperestática. 
Se be < bn → a estrutura é hipostática. 
4 TTEEOORRIIAA LLIINNEEAARR DDAA EELLAASSTTIICCIIDDAADDEE DDEE 11aa OORRDDEEMM
((MMÉÉTTOODDOO CCLLÁÁSSSSIICCOO))
Admite-se que os deslocamentos da estrutura são muito pequenos e, até um certo nível de solicitação, os 
materiais tenham comportamento elástico e sem fenômenos significativos de ruptura. Com essas hipóteses, 
tem-se como conseqüência, a proporcionalidade entre causa e efeito, implicando na superposição de efeitos. 
4.1 HIPÓTESES GERAIS DO MÉTODO CLÁSSICO 
a) Validade da Lei de Hooke 
� O material é considerado elástico e linear. 
� As tensões (σ ou τ) são diretamente proporcionais às deformações específicas. 
ε=σ E
γ=τ G
b) Validade das hipóteses de Bernouilli 
� As seções transversais planas permanecem planas após a deformação. 
ENG 114 Hiperestática Introdução 12 
� As tensões em uma determinada seção transversal podem ser substituídas por suas resultantes 
(esforços internos). 
� As tensões são diretamente proporcionais aos esforços internos. 
Flexão simples: M
I
y=σ
Cisalhamento devido à flexão: V
Ib
sM=τ
Compressão ou tração: N
S
1=σ
c) Continuidade da estrutura com a deformação 
� Em um ponto β qualquer, a tangente à sua esquerda coincide com a tangente à sua direita. 
� Os nós contínuos são supostos indeformáveis; os ângulos entre as barras se mantêm na estrutura 
deformada 
A B C
D E
φA
Aφ
φB
Bφ
Bφ
β
d) As condições de equilíbrio são computadas na posição indeformada 
B
A
C
A
B
Q
C
Q
l δ (Q)l
M = QlA M = Q [l + δ(Q)]A
Nas estruturas usuais δ (Q) é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto, MA = Q l
e) Os esforços internos são sempre diretamente proporcionais às ações externas 
ENG 114 Hiperestática Introdução 13 
4.2 SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 
A proporcionalidade entre o efeito E e sua causa C implica diretamente na validade da superposição dos 
efeitos, isto é, para diversas causas C1, C2, C3, ... , Cn, tem-se: 
)C(E)C(E)C(E)C(E)CCCC(E n321n321 +⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++
ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 1 
1 CCÁÁLLCCUULLOO DDEE RREEAAÇÇÕÕEESS
1.1 REAÇÕES EXTERNAS E INTERNAS 
As reações externas, existentes nos apoios (esforços nas barras vinculares), bem como as reações internas, 
existentes nas ligações (vínculos), e barras simples dessa estrutura, são necessários à determinação dos 
esforços solicitantes nos elementos que compõem a estrutura. 
Tais reações externas e internas são calculadas utilizando-se as equações de equilíbrio da Estática: 
0FH =∑
0FV =∑
0M =∑
Seja a estrutura apresentada a seguir. 
d
0,5a
cb
0,5a
2d
0,5c
P
p1
p2
Q = p c1 1
2Q = 
p d2
2
3
d
3
A
B
D
C
E
Fazendo a determinação geométrica, tem-se: 
be = 1 + 5 = 6 c = 2 n = 0 bn = 3c = 6 
⇒ be = bn 
Logo, a estrutura é determinada ou isostática, sendo o número de incógnitas igual ao número de equações de 
equilíbrio. Desta forma, o número de reações a serem calculadas é igual a seis, que é o número total de barras 
existentes na estrutura. Dessas barras, três são externas (barras vinculares) e três são internas (barras da 
articulação entre as chapas ABC e BCD, mais a barra simples AD). Portanto, devem ser calculadas seis 
reações, sendo três externas e três internas. 
ENG 114 Hiperestática Cálculo de Reações 2 
1.2 RECOMENDAÇÕES PARA O CÁLCULO DAS REAÇÕES 
� As cargas distribuídas podem ser substituídas por suas respectivas cargas concentradas equivalentes 
(Q1 e Q2, da figura anterior), cujos valores são numericamente iguais às �áreas das superfícies de 
carregamento� e os pontos de aplicação estão situados nos centros de gravidades dessas superfícies. 
� Sempre que possível, as reações externas devem ser calculadas em primeiro lugar. 
� Somente após terem sido esgotadas as possibilidades de cálculo das reações externas, é que as chapas 
da estrutura devem ser separadas entre si, para o cálculo das reações internas e das possíveis reações 
externas ainda não calculadas. 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 1
1 EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM EESSTTRRUUTTUURRAASS PPLLAANNAASS
1.1 INTRODUÇÃO 
Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços solicitantes que atuam em uma seção qualquer, equilibram as 
ações externas queagem à esquerda ou à direita desta seção, conforme indicado na figura abaixo. Nas 
estruturas planas, com carregamento agindo no seu plano, são três os esforços solicitantes: 
� Momento fletor (M) 
� Esforço cortante (V) 
� Esforço normal (N) 
R2 3R
M
N
V
S
R1
S
R2
R1
R3
S
N
M
V
1.2 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 
1.2.1 CONVENÇÃO DE SINAIS 
a) Esforço Normal 
Considera-se positivo o esforço normal que provoca tração no trecho que atua. 
Tração ⇒ N(+)
Compressão ⇒ N(-)
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 2
b) Momento Fletor 
O diagrama de momentos fletores deve ser desenhado com as cotas marcadas do lado das fibras 
tracionadas, em relação ao eixo longitudinal de cada trecho. 
Compressão
Tração
Tração nas fibras inferiores
M Tração nas fibras superiores
M
Compressão
Tração
Costuma-se considerar positivo o momento que traciona as fibras inferiores, e negativo o momento 
que traciona as fibras superiores. 
c) Esforço Cortante 
É considerado positivo o esforço cortante que provoca, junto com a resultante das ações atuantes à 
direita ou à esquerda de uma seção, um binário no sentido horário. 
R = P/21
V
S
l
P
l/2
P
V
R = P/22
V
R = P/21
l/2
R = P/22
l
V
P
S
P
V
R = P/21 R = P/22 R = P/21 R = P/22
V
V
V
P P
V(-)V(+)
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 3
1.2.2 RELAÇÕES ENTRE CARGA, ESFORÇO CORTANTE E MOMENTO FLETOR 
Sendo a carga, o esforço cortante e o momento fletor funções de x, abscissa ao longo da estrutura, para 
um elemento de comprimento infinitesimal dx, em equilíbrio sob o efeito da carga p = p(x), e dos 
esforços solicitantes M = M(x) e V = V(x), pode-se estabelecer: 
p = p(x)
x
l
x + dx
M(x)
V(x) V(x) + dV(x)
p = p(x)
M(x) + dM(x)
dx
P = p(x) dx
O
∑ = 0Fv
0dV(x)][V(x)dx)x(p)x(V =−−−
0)x(dVdx )x(p =−−
⇒
dx
)x(dV)x(p =− (1) 
∑ = 0MO
0)]x(dM)x(M[
2
dxdx )x(pdx )x(V)x(M =+−−+
Desprezando-se os infinitesimais de segunda ordem: 
0)x(dM)x(V =−
⇒
dx
)x(dM)x(V = (2) 
 Derivando a eq.(2) em relação a x, tem-se 
2
2
dx
)x(Md
dx
)x(dV = (3) 
 E, substituindo-se a eq.(3) na eq.(1), obtém-se: 
2
2
dx
)x(Md)x(p =− (4) 
Portanto, sempre que se conhecer a função p(x), a eq.(4) pode ser resolvida para M(x), e, por 
diferenciação, o esforço cortante V(x) pode ser determinado. 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 4
1.2.3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DOS MOMENTOS FLETORES 
Integrando-se a eq.(4) duas vezes, encontra-se: 
1C x)x(pdx
)x(dM +−= (5) 
21
2
Cx C
2
x )x(p)x(M ++−= (6) 
As constantes de integração C1 e C2 podem ser determinadas através das condições de apoio. Vale 
lembrar que a eq.(4) só é válida nos trechos sem carga concentrada aplicada. 
Considerando-se p(x) = constante = p, de acordo com as eqs (5) e (2), tem-se: 
1Cx pdx
)x(dM +−=
1Cx p)x(V +−= → Equação de uma reta (7) 
E, a partir da eq.(6), encontra-se: 
21
2
Cx C
2
x p)x(M ++−= → Equação de uma parábola do 2° grau (8) 
A análise das equações (7) e (8) permite que se possam prever as formas que os diagramas dos 
esforços M e V irão assumir, conforme tabela abaixo: 
Forma do Diagrama 
Tipo de Carga 
Esforço Cortante V(x) Momento Fletor M(x) 
p(x) = 0
Constante Linear 
p(x) = constante
Linear Parábola de 2º grau 
p(x) = a x + b
Parábola de 2º grau Parábola cúbica 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Estruturas Planas 5
OBSERVAÇÕES: 
1) Essa análise é válida nos trechos onde a carga p é contínua. Havendo cargas concentradas, que 
representam descontinuidades de carregamento, essa análise só é válida nos trechos 
compreendidos entre essas cargas. 
2) Pela eq.(2) observa-se que quando o esforço cortante se anula, a função momento passa por um 
extremo, que é de máximo, já que a derivada segunda dessa função é negativa. 
0
dx
)x(dM)x(V ==
)x(p
dx
)x(Md
2
2
−=
3) É válida a superposição de efeitos, e, portanto, de seus diagramas nos trechos sujeitos à ação de 
cargas concentradas. 
4) Tudo que é válido para o esforço cortante também o é para o esforço normal. 
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 1
EESSFFOORRÇÇOOSS SSOOLLIICCIITTAANNTTEESS EEMM CCHHAAPPAASS IINNCCLLIINNAADDAASS
Em uma chapa (barra geral) inclinada podem atuar carregamentos em direções diversas. Também neste caso, a 
variação dos esforços solicitantes pode ser indicada em diagramas, utilizando como eixo das abscissas o 
próprio eixo da chapa, e representando segundo o eixo das ordenadas, a intensidade dos esforços, seção por 
seção. São apresentados a seguir, os diagramas de esforços solicitantes para os principais tipos de 
carregamento uniformemente distribuído que podem atuar nas estruturas. 
1. CARGA ACIDENTAL 
p
L
h
l
α α
α
p l
pl
cos
α p ls
en α
pl
2
pl
2
pl
2
cos
α
cos
α
p l
2
sen
α
pl
2
sen
α
2p
l α
α
pl 
cos
α
l /c
os
α
pco
s α
=
2
=
p l 
sen
α
l/ c
os
α
pco
s α
sen
α
8
pl
M =max
2
cos αpl2
cosα2
pl (+)
(-)V
M
pl senα
2
N
(+)
(-)
senα
2
pl
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 2
2. AÇÃO DO VENTO 
p
L
h



ph
2
sen

sen

2
ph
8
p h
M =max
2
senp h
2
sen
2
ph (+)
(-)V
M
N
(+)
ph
sen


p h

ph
cos

p h
2
ph
2
2p h
2
ph
sen

ph
cos

sen

2
ph
2
sen
)
2
h
ph
(co
s
+
h
ph
(co
s
+
sen
)
2
ph
2
2 sen

sen
c
os

ph
cos

ph

2
ENG 114 - Hiperestática Esforços Solicitantes em Chapas Inclinadas 3
3. PESO PRÓPRIO 
p
L
h
l
α α
α
pl
pl
pl
pl
2
tgαpl
2
tg α
2
pl α
α
pco
s α
pse
n α
8cosα
pl
M =max
2
pl
2
2
pl (+)
(-)V
M
pl tgα
2
N
(+)
(-)
tgα
2
pl
cosα sen
α
cos
α
2cosα
pl
2cosα
pl
2
pl
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 1
1 PPRRIINNCCÍÍPPIIOO DDOOSS TTRRAABBAALLHHOOSS VVIIRRTTUUAAIISS
1.1 INTRODUÇÃO 
Seja uma estrutura linear qualquer com suas vinculações definidas. 
Seja um estado de forças (a) agindo nessa estrutura, com forças externas em equilíbrio com os esforços 
internos. 
F1
F2 F3 F4
F5
l
(a)
Seja um estado de deslocamentos (b) sobre a mesma estrutura, com deslocamentos e deformações virtuais 
(isto é, hipotéticos e infinitesimais), geometricamente compatíveis com as vinculações, mas sem qualquer 
relação obrigatória com o estado de forças (a). 
l
(b)
∆l
Pelo PTV: 
O trabalho virtual externo, das forças externas de (a), com os deslocamentos de (b), é igual ao trabalho 
virtual interno realizado pelos esforços internos de (a) com as deformações de (b), ou seja: 
∑ ∑= INTEXT TT
1.2 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS 
Seja um estado de deslocamento (b) real, mas com deslocamentos pequenos o suficiente para que em estados 
de forças que venham a ser criados sobre a estrutura, possam ser considerados na posição inicial. 
(b)
s
ds
B δ = ?B
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 2
 As deformações que surgem na seção transversal deum elemento ds da estrutura são: 
ds
dub
dvb
dφb
Para se calcular o deslocamento δB cria-se um estado de forças (a), conveniente, com uma força externa 
unitária na direção de δB e com um sentido assumido para ele. 
(a)
s
B
P = 1
Em s os esforços solicitantes causados pela força unitária são Na, Va e Ma.
Impondo-se, então, o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), tem-se, pelo Princípio dos 
Trabalhos Virtuais (∑ ∑= INTEXT TT ) 
∫ ∫∫ φ++=δ⋅
est
b
est
ab
est
abaB d Mdv Vdu N1
1.3 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM TRELIÇAS PLANAS 
1.3.1 INTRODUÇÃO 
Para a resolução de uma treliça deve-se: 
� Calcular as reações de apoio 
� Calcular os esforços normais nas barras, utilizando-se: 
• Equilíbrio de nó 
• Processo de Ritter 
• Processo gráfico Carmona 
Em algumas treliças não é possível o cálculo das reações de apoio sem que antes seja aplicado o equilíbrio de 
nó ou o processo de Ritter. 
dub = deformação por esforço normal 
dvb = deformação por esforço cortante 
dφ b = deformação por momento fletor (rotação) 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 3
Com o intuito de facilitar a determinação dos esforços normais nas barras de uma treliça, apresentam-se, a 
seguir, características da geometria e do carregamento que permitem a obtenção direta destes esforços. 
Sendo Pi as cargas externas aplicadas nos nós e Fi os esforços normais nas barras, têm-se: 
1º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, sem carregamento externo e com α assumindo qualquer 
valor:
α
1
2
F1
F2
2º. Nó Característico: Nó formado por duas barras, com carregamento externo na direção de uma ou das 
duas barras e com α assumindo qualquer valor:
α
1
2
F1
F2P1
2P
α
3º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, sem carregamento externo 
e com α assumindo qualquer valor: 
1
3
F1
2F F32
α
4º. Nó Característico: Nó formado por três barras, sendo duas na mesma direção, com carregamento externo 
na direção da barra (1) e com α assumindo qualquer valor:
α
1
3
F1
P1
2F F3
2 α
F1 = 0
F2 = 0 
Para α = π ⇒ F1 = F2
F1 = P1
F2 = P2
F1 = 0
F2 = F3
F1 = P1
F2 = F3
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 4
1.3.2 CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS 
Treliça plana é uma estrutura formada por barras articuladas em suas extremidades, com cargas externas 
agindo no plano da estrutura e aplicadas em seus nós. 
• Esforços solicitantes: somente N (M e V = 0) 
• Deformações: somente du (dv e dφ = 0) 
Portanto, pelo PTV: 
∫=
est
baEXT du NT
onde: 
Na = esforço axial causado pela força unitária (estado de forças) 
dub = deformação axial causada pelo agente externo (estado de deslocamentos) 
Sendo a força axial Na constante por barra, tem-se: 
∫∑=
i
ii
0
b
i
aEXT duNT
l
ii b
i
aEXT NT l∆=∑
sendo que 
ibl∆ pode ser causado por qualquer agente externo (carga, variação de temperatura, etc). 
Para a situação muito freqüente, de se ter o estado de deslocamento (b) provocado por cargas, 
ibl∆ pode 
ser calculado pela Lei de Hooke, e em função do esforço axial: 
S E
N
 E
S
N
 E
ii
ib
b
i
b
i
i
b i
i
ii
l
l
l
l
=∆⇒
∆
=⇒ε=σ
onde: 
ibN = esforço axial atuante em cada barra, e causado pelo agente externo 
il = comprimento da barra 
iE = módulo de deformação longitudinal 
iS = área da seção transversal da cada barra 
Tem-se, então, pelo PTV: 
∑=
i ii
i
baEXT S E
NNT
ii
l
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 27
No caso do estado de deslocamento (b) ser provocado por uma variação uniforme de temperatura T, o valor 
de 
ib pode ser obtido a partir de: 
 T ibi  
E, pelo PTV, tem-se então: 
iii
i
aEXT T NT i  
1.4 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS 
Estruturas Fletidas Usuais: 
 Carregamento contido no plano da estrutura 
 Esforços solicitantes: N, V e M 
 Deformações: dub, dvb, b
Exemplos: Vigas, pórticos, arcos, etc 
Pelo PTV, tem-se: 
  
est
b
est
ab
est
abaext d Mdv Vdu NT
Pela Resistência dos Materiais sabe-se: 
ds
dub
dvb
db
Nb
Vb
bM
Portanto, pelo PTV, obtém-se: 
  
est est
ba
est
baba
ext ds EI
MMds 
GS
VV cds 
ES
NNT
ds
ES
Ndu bb 
ds
GS
cVdv bb
ds
EI
Md bb 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 6
1.5 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS FLETIDAS 
CAUSADOS POR VARIAÇÃO DA TEMPERATURA 
Nas estruturas isostáticas, a variação de temperatura não provoca esforços solicitantes, já que a estrutura 
pode se expandir sem restrição. 
Seja a barra reta, representada abaixo, submetida a uma variação de temperatura ∆Ts, na sua face superior, e 
∆Ti, na face inferior, com ∆Ti > ∆Ts, e variação linear ao longo da altura h da seção transversal. Logo, no 
eixo x, que passa pelos centróides das seções transversais, tem-se a variação de temperatura ∆T. 
l
ds
h
x
Considerando a barra livre e sem vínculos externos, ela se expande longitudinalmente e flete com curvatura 
voltada para cima. A deformação transversal não é relevante. 
∆T
∆T
s
i
Sendo α o coeficiente de dilatação térmica, a deformação de um trecho de comprimento infinitesimal ds é 
ilustrada a seguir. 
du
ds α ∆T dsi
α∆T dss
b
dφb
h
2
h
2
Esta deformação se deve ao deslocamento na direção do eixo longitudinal dub, e a rotação das seções 
transversais dφ b, que valem: 
( )
2
ds T ds T 
ds T du sisb
∆α−∆α
+∆α=
( )ds TT 
2
du sib ∆+∆
α
=⇒
 ou, 
ds T du b ∆α=
 com, 
( )
2
TT
T si
∆+∆
=∆
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 7
 E, para a flexão, tem-se: 
( )
2
h
2
ds T ds T 
d
si
b
∆α−∆α
=φ
( )ds T T 
h
d sib ∆−∆
α
=φ⇒
Assim, seja um estado de deslocamento (b) real, causado por variação de temperatura. 
(b)
s
ds
B δ = ?B
Seja um estado de força conveniente (a), para o cálculo de δB
(a)
s
B
P = 1
Impondo-se o estado de deslocamento (b) ao estado de forças (a), pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais 
(∑ ∑= INTEXT TT ), tem-se: 
∫ ∫∫ φ++=δ
est
b
est
ab
est
abaB d Mdv Vdu N
( ) ( )∫ ∫∫ 


 ∆−∆α+⋅+


 ∆+∆α=δ
est
si
est
a
est
asiaB ds TTh
 M0 Vds TT
2
 N
( ) ( )∫ ∫∆−∆
α
+∆+∆
α
=δ⇒
est est
asiasiB dsM TT h
 dsN TT 
2
Sendo ∫ dsNa e ∫ dsMa as áreas dos diagramas de esforços normais e de momentos fletores, 
respectivamente, devidos ao estado de força conveniente. 
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 8
1.6 CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM PÓRTICOS COM BARRAS 
SIMPLES (ATIRANTADOS) 
Para pórticos com barras simples as parcelas dos deslocamentos correspondentes aos esforços normais e 
cortantes só serão desprezadas na parte da estrutura submetida à flexão. Na parte submetida a esforços 
normais não é prudente desprezar a contribuição deste esforço. Logo, pelo PTV, tem-se: 
∫ ∫ φ+=
flexão sem
b
flexão com
abaEXT d Mdu NT
Assim, para os pórticos com barras simples submetidos a forças externas, de acordo com o exposto 
anteriormente, tem-se: 
∫∫ +=
flexão sem
ba
flexão com
ba
ext ds ES
NN
 ds 
EI
MM
T
Exemplo : Calcular o deslocamento vertical da articulação B do pórtico apresentado a seguir. 
 Dados: E = 2000 kN/cm2 Et = 21000 kN/cm2
 I = 50000cm4 St = 3 cm2
A
10 kN/m
C
4 m3 m 4 m 3 m
1 m
2 m
B
E, I
E , St t
E, I
a) Determinação geométrica 
be = 2 + 2 + 1 +1 = 6 
c = 2 be = bn ? Estruturaisostática 
bn = 3c + 2n = 3 × 2 = 6 
b) Estado de deslocamento (b)
Reações: 
AV = 52,5 kN
30 kN
40 kN
CV = 17,5 kN
BV = 17,5 kN
V = 17,5 kNB
AH = 0
H = 40,83 kNB
BH = 40,83 kN
N = 40,83 kNt N = 40,83 kNtNt
Nt
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 9
C
B
30,8
4
29,16
20
11,25
M (kNm)b
N (kN)b + 40,83
A
c) Estado de força conveniente (a)
A
1
C
B
Reações: 
C
AV = 0,5 CV = 0,5
V = 0,5B
AH = 0
BH = 1,167
N = 1,167t N = 1,167tNt
Nt
1
H = 1,167B
BV = 0,5
A C
B
0,833
0,83
3
M (m)a
N a 1,167
ENG 114 Hiperestática Princípio dos Trabalhos Virtuais - PTV 10
d) Cálculo de δVB
tt
tba
i 0
baB SE
 NN
 ds MM 
EI
1V
i l
l
+=δ ∑ ∫
Parcela da flexão: 
( ) ( ) +


 −⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅=δ 833,025,11
3
1
606,3833,084,30
3
1
3,606V EI 'B
( ) ( )


 −⋅⋅⋅+−⋅⋅⋅+ 833,020
3
1
123,4833,084,30
3
1
123,4 



 ⋅⋅⋅+


 ⋅⋅⋅+ 833,016,29
3
1
606,3833,016,29
3
1
123,4 
( ) cm 0,378m 00378,0
100,51020
766,37V 47
'
B −=−=⋅⋅⋅
−=δ
Parcela do esforço normal: 
cm 059,1m 01059,0
100,3101,2
1483,40167,1V 48
''
B ==⋅⋅⋅
⋅⋅=δ
−
Deslocamento vertical da articulação B: 
0,681cm 1,059 378,0VVV ''B
'
BB =+−=δ+δ=δ
Exercícios Resolvidos 
Cálculo de Reações e Cálculo e Traçado de 
Diagramas dos Esforços Solicitantes 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 � HIPERESTÁTICA 
Exercícios Resolvidos
Para as estruturas apresentadas a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes (momentos fletores, 
esforços cortantes e esforços normais). 
1.
A B
15 kN/m
E G
4 m 2 m
3 m
D
3 m
F
C
50 kN
1,5 m
3 m
60 kNm
2 m
1/27
2/27
3/27
4/27
2.
20 kN/m
B
15
 k
N
/m
80 kN
2 m4 m 2 m
3 m
6 m
60°
A
C ED
F
5/27
6/27
7/27
8/27
3.
3 m3 m 3 m
2 m
4 m
A
C ED
20 kN/m
F G
20 kN/m
B
15 kN
/m
9/27
10/27
11/27
12/27
4.
3 m4 m
2,5 m
4,5 m
A
B
D
E
C
F
90 kN
1,5 m
15
 k
N
/m
50 kN
30 kN
/m
3 m
3 m
13/27
14/27
15/27
16/27
17/27
5.
15 kN/m
E G
4 m 2 m
3 m
D
3 m
F
C
50 kN
1,5 m
3 m
60 kNm
2 m
A
B
18/27
19/27
20/27
monicaguarda
Line
monicaguarda
Text Box
167,64
21/27
6.
3 m3 m
3 m
4 m
A B
D
E
C
F
18 kN/m
2 m
2 m
1,5 m1,5 m
10 kN
10 kN
15 kN/m
30 kNm
15 kN
22/27
23/27
24/27
25/27
26/27
27/27
Exercícios Resolvidos 
Princípio dos Trabalhos Virtuais 
 1 of 18
 2 of 18
 3 of 18
 4 of 18
 5 of 18
 6 of 18
 7 of 18
 8 of 18
 9 of 18
Monica
Lápis
Monica
Lápis
 10 of 18
 11 of 18
 12 of 18
 13 of 18
 14 of 18
 15 of 18
 16 of 18
 17 of 18
 18 of 18
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 - HIPERESTÁTICA
2ª. UNIDADE
Processo dos Esforços 1 
PROCESSO DOS ESFORÇOS 
1 INTRODUÇÃO 
Em uma estrutura hiperestática, as condições de equilíbrio não são suficientes para a determinação 
dos esforços internos e das reações de apoio. Existem infinitas possibilidades de se obter o equilíbrio, daí a 
necessidade de se gerar equações adicionais (condições de compatibilidade ou de coerência de 
deslocamentos) para resolver o problema. 
O Processo dos Esforços se caracteriza por procurar determinar esforços em número igual ao grau de 
hiperestaticidade da estrutura. Conhecidos esses esforços, chamados de incógnitas hiperestáticas, a partir das 
condições de equilíbrio, se determinam os esforços internos e as reações de apoio. 
2 DESENVOLVIMENTO 
Seja uma estrutura com grau de hiperestaticidade igual a n e submetida a uma ação externa qualquer 
(problema real). Pelo Processo dos Esforços, retira-se n vínculos para se obter uma estrutura isostática. 
Como o problema real não pode alterado, devem ser adicionados os esforços correspondentes aos vínculos 
retirados F1, F2, ... , Fj, ... , Fn, que são as incógnitas hiperestáticas. 
O problema real (r) é agora um conjunto de ações em uma estrutura isostática (ação externa qualquer 
mais cada uma das incógnitas hiperestáticas Fj). Pela superposição de efeitos, esse problema real pode ser a 
soma da ação externa (problema 0), mais a superposição dos problemas correspondentes à aplicação de cada 
um dos Fj separadamente (problema 1, problema 2, ... , problema j, ..., problema n). 
1 j n
1F jF nF
O valor de Fj pode ser colocado em evidência e superposto a um problema (j) correspondente a uma 
força unitária na direção e sentido de Fj. 
Processo dos Esforços 2 
1
j n
1
1
n
1 j
1
F1 jF nF
X F1
jX F
nX F
(1)
(0)
(r)
(j)
(n)
≅
+
+
+
+
+
Assim, 
)n(F)j(F)1(F)0()r( nj1 +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++= (1)
e, 
)n(EF)j(EF)1(EF)0(EE nj1 +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+⋅+= (2)
Sabe-se do problema real (r) que os vínculos retirados existem, isto é, os deslocamentos na direção 
dos vínculos retirados são conhecidos, nulos ou não. 
Sendo δ jk o deslocamento na direção e sentido de Fj no problema (k) qualquer, pelas condições de 
compatibilidade ou de coerência de deslocamentos, tem-se: 









δ+⋅⋅⋅+δ+⋅⋅⋅+δ+δ=δ
δ+⋅⋅⋅+δ+⋅⋅⋅+δ+δ=δ
δ+⋅⋅⋅+δ+⋅⋅⋅+δ+δ=δ
nnnnjj1n10nnr
jnnjjj1j10jjr
n1nj1j11110r1
FFF
FFF
FFF
M
M
(3)
Pelo Teorema da Reciprocidade dos Deslocamentos (ou Teorema de Maxwell), sabe-se que: 
kjjk δ=δ
Processo dos Esforços 3 
Os deslocamentos δ jr são definidos no problema real (r) e conhecidos δ jk podem ser determinados 
pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais. Portanto, pode-se resolver o sistema de equações (Eq.3) e determinar 
as incógnitas hiperestáticas F1, ..., Fj, ... ,Fn. E com a solução do problema real (r), que consiste na solução 
de uma estrutura isostática, obtém-se os esforços internos e as reações de apoio da estrutura hiperestática, 
utilizando-se a eq.(2) 
Exemplo: Resolver a viga da figura abaixo, com grau de hiperestaticidade igual a 2. 
p
Retirando-se os vínculos internos correspondentes à força vertical, tem-se: 
1
1
F1 2F
X F1
2X F
(1)
(0)
(r)
(2)
≅
+
p
δ10 20δ
δ2111δ
δ2212δ
≅
+
De acordo com os vínculos retirados, as condições de compatibilidade de deslocamentos são: 



=δ
=δ
0
0
r2
r1 ⇒



=δ+δ+δ=δ
=δ+δ+δ=δ
0FF
0FF
22221120r2
12211110r1
Calculando-se os δ jk utilizando-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais e resolvendo-se o sistema de 
equações determinam-se as incógnitas hiperestáticas F1 e F2. Então, a partir da eq.(2), podem ser obtidos os 
esforços internos e as reações de apoio da estrutura hiperestática. 
Estruturas Sobre Apoios Elásticos 1 
ESTRUTURAS SOBRE APOIOS ELÁSTICOS 
1 APOIOS ELÁSTICOS DISCRETOS 
a) APOIO EM MOLA (Equivale estaticamente a um apoio móvel) 
 Um apoio é dito elástico quando, sob a ação de uma força F, sofre um deslocamento δ na direção 
desta força. 
P
l
A BO apoio em mola, representado pelo apoio B da figura acima, é definido numericamente pela 
constante r (constante de mola), que representa a razão entre a força aplicada na mola e o deslocamento 
nela produzido por esta força. r é constante, por se considerar comportamento linear, e é chamado de 
rigidez da mola. 
δ
= Fr (1) 
 na qual, F é a força absorvida pelo apoio e δ é o deslocamento sofrido pelo apoio 
b) ENGASTE ELÁSTICO (Equivale estaticamente a um engaste perfeito) 
 Um engaste é dito elástico quando, sob a ação de um momento M, sofre uma rotação ? . Ele é 
representado como indicado no apoio B da figura abaixo. 
P
l
A B
 O engaste elástico é definido pela constante de engastamento elástico R, ou rigidez da mola. R é 
dado por: 
θ
= MR (2) 
 na qual, M é o momento absorvido pelo engaste e θ é a rotação sofrida pelo engaste. 
2 TRABALHO INTERNO DOS APOIOS ELÁSTICOS 
a) APOIO EM MOLA
 Seja Fa uma força virtual (estado de força conveniente) e δ b um deslocamento real (estado de 
deslocamento) de um apoio em mola. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, o trabalho interno é dado 
por: 
r
FFFW baba =δ=
Estruturas Sobre Apoios Elásticos 2 
Já que, a partir de (1), tem-se que: 
r
Fb
b =δ
b) ENGASTE ELÁSTICO
 Seja Ma um momento virtual (estado de força conveniente) e θb uma rotação real (estado de 
deslocamento) de um engaste elástico. Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais, o trabalho interno é dado 
por: 
R
MMMW baba =θ=
Já que, a partir de (2), tem-se que: 
R
Mb
b =θ
OBSERVAÇÕES 
a) O apoio elástico estaticamente equivalente ao apoio fixo é resultante da associação de duas molas 
P
l
A B
b) Pode-se ter um apoio totalmente elástico 
P
l
A B
c) Associação entre apoio rígido e apoio elástico 
Apoio Rígido Apoio Elástico 
Simplificações Devidas à Simetria 1 
SIMPLIFICAÇÕES DEVIDAS À SIMETRIA 
1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 
 No caso de estruturas simétricas, com carregamento simétrico ou antimétrico, é possível se fazer 
algumas simplificações que podem implicar na diminuição do número de incógnitas hiperestáticas, ou 
mesmo reduzir a estrutura de tal forma que se possa calcular uma estrutura muito menor que a original. 
1.1 Estrutura Simétrica com Carregamento Simétrico 
l1 2l 1l
q
q
l1l 2 l1
F1 F1
≅
≅
l
q
l1 2
≅
q
l1
F1
/ 2
/ 2l2
(r)
(r)
(s)
(s)
Simplificações Devidas à Simetria 2 
1.2 Estrutura Simétrica com Carregamento Antimétrico 
1l
q
F1
F1
≅
≅
ll1 2
≅
l1
F1
/ 2
/ 2l2
(r)
(r)
(a)
(a)
l / 22
l1 l2 / 2
q
q
q
l l/ 22 1
l1 l / 22
q
q
1.3 Estrutura Simétrica com Carregamento Qualquer 
 O carregamento real (r) de uma estrutura simétrica pode ser colocado como a soma de um 
carregamento simétrico (s) e um carregamento antimétrico (a) 
q
(r)
P P
M
M
P/2 q
P
M/2
(s)
M/2
P/2
q/2 q/2
P/2q/2
M/2
q/2P/2
M/2
(a)
M
=
+
Simplificações Devidas à Simetria 3 
2 ALGUMAS REGRAS PARA A REDUÇÃO DA ESTRUTURA 
2.1 Plano de Simetria Perpendicular a uma Barra 
 Os esforços internos, no plano de simetria, podem ser classificados como simétricos e antimétricos. 
Esforços simétricos: M e N 
Esforços antimétricos: V 
M
V
N
M
N
V
 Regras: 
• No problema simétrico são nulos os esforços antimétricos no plano de simetria. 
• No problema antimétrico são nulos os esforços simétricos no plano de simetria. 
• No plano de simetria são nulos os deslocamentos correspondentes aos esforços não nulos do 
problema simétrico ou antimétrico: 
 Problema Esforços não nulos Deslocamentos nulos Apoio Equivalente 
 Simétrico M e N φ e δH Engaste móvel 
 Antimétrico V δV Apoio móvel 
2.2 Plano de Simetria Contendo o Eixo de uma Barra 
Estrutura espacial 
2.3 Grau de Hiperestaticidade das Estruturas Reduzidas 
 Numa estrutura simétrica submetida a um carregamento qualquer, a soma dos graus de 
hiperestaticidade da estrutura simétrica reduzida com o grau de hiperestaticidade da estrutura antimétrica 
reduzida é igual ao grau de hiperestaticidade da estrutura original. 
3 EXEMPLO 
Traçar o diagrama de momentos fletores para o pórtico abaixo. EI = cte. 
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
20 kN/m
(r)
Simplificações Devidas à Simetria 4 
 Esquema de solução: 
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
4,0 m 4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
20 kN/m
10 kN/m
10 kN/m
10 kN/m
(r)
(s)
(a)
=
+
Simplificações Devidas à Simetria 5 
a) Parte Simétrica 
4,0 m
3,
0 
m
3,
0 
m
10 kN/m
• Estrutura básica e esquema da solução: 
10 kN/m
F1
2F
(r)
(0)
10 kN/m
=
1
x F (1)+
1
+1 x F (2)2



=
−=
kNm 80,0F
kNm 6,25F
2
1
Simplificações Devidas à Simetria 6 
b) Parte Antimétrica 
10 kN/m
3,
0 
m
3,
0 
m
4,0 m
• Estrutura básica e esquema da solução: 
10 kN/m
F1
(r) (0)
10 kN/m
=
1
x F (1)+ 1
kNm 1,7F1 =
• Diagramas de momentos fletores: 
Parte simétrica (kNm) 
26,8
25,6
20
25,6
26,8
0,8
20
Simplificações Devidas à Simetria 7 
Parte antimétrica (kNm) 
7,1
7,1
20
7,1
7,1
7,1
7,1
20
Diagrama final (kNm) 
33,9
18,5
40
32,7
19,7
0,8
Exercícios Resolvidos 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 � HIPERESTÁTICA 
EXERCÍCIO
Para a estrutura apresentada na figura a seguir, traçar os diagramas dos esforços solicitantes. 
Dados: Chapas: E = 2500 kN/cm2
 I = 324000 cm4
Barra simples: E = 20500 kN/cm2
 S = 29 cm2
3 m3 m
2 m
4 m
50 kN/m
60 kN
A
B
D
E
C
2 m
F G
20 kN/m
 1 of 26
 2 of 26
 3 of 26
 4 of 26
 5 of 26
 6 of 26
 7 of 26
 8 of 26
 9 of 26
 10 of 26
 11 of 26
 12 of 26
 13 of 26
 14 of 26
 15 of 26
 16 of 26
 17 of 26
 18 of 26
 19 of 26
 20 of 26
 21 of 26
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA - ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS ENG 114 � HIPERESTÁTICA 
EXERCÍCIO 
Para a estrutura abaixo, traçar o diagrama dos momentos fletores. Dados: 
Trecho AC, BC e BD: E = 2500 kN/cm2  = 1,0×10-5/ºC I = 270000 cm4 h = 60cm 
Trecho CE: E = 21000 kN/cm2  = 1,2×10-5/ºC  = 75 mm 
Apoios elásticos: r = 3500 kN/m 
15 kN/m
50 kN
75 kN
T = 15 Ci o
T = 45 Cos
T
=
45
C
T
=
15
Co
i
s
o
T
=
45
C
T
=
15
Co
i
s
o
T
=
45
C
T
 =
 4
5
Co
i
s
o
2 m 2 m2 m 1 m 1 m
3 m
2 m
2 m
A
B C
D E
 22 of 26
 23 of 26
 24 of 26
 25 of 26
 26 of 26monicaguarda
Pencil
 1 of 10
 2 of 10
 3 of 10
 4 of 10
 5 of 10
 6 of 10
 7 of 10
 8 of 10
 9 of 10
 10 of 10
Para a estrutura apresentada na figura a seguir, traçar o diagrama dos momentos fletores. Observar 
que, além do carregamento indicado na figura, o trecho CD sofre uma variação de temperatura de 
18ºC nas fibras inferiores e de 48ºC nas fibras superiores. 
Dados: Chapas: E = 2500 kN/cm2  = 1,0×10-5/ºC 
 I = 270000 cm4 h = 60 cm 
 Apoio elástico: r = 3800 kN/m 
15 kN/m
50 kN
A B
C D
E
20 kN/m
5 m3 m
4 m
4 m
4 m
Ts = 48°C
Ti = 18°C
Para a estrutura apresentada na figura a seguir, traçar o diagrama dos momentos 
fletores e calcular o deslocamento vertical do Ponto C. Sabe-se que, além do 
carregamento indicado na figura, o apoio A sofre um recalque vertical de 0,8 cm, para 
baixo, e o apoio B sofre um recalque rotacional de 8,5 × 10-3 rad, no sentido anti-horário. 
Dados: E = 2500 kN/cm2 I = 432000 cm4
50 kN
DC
B
E
A
6 m1,5 m
3,0 m
2,0 m
26 kN/m
3 m
monic
momentos fletores 
Para a estrutura apresentada na figura a seguir, traçar o diagrama dos momentos 
fletores e calcular o deslocamento horizontal do Ponto C. Sabe-se que, além do 
carregamento indicado na figura, ela está submetida a uma variação de temperatura de 
18ºC, nas fibras internas e inferiores, e de 45ºC, nas fibras externas e superiores. 
Dados: E = 2500 kN/cm2 I = 360000 cm4  = 10-5/ºC h = 60 cm 
40 kN
D
C
B
E
A
2 m3 m
20 kN/m
2,5 m
1,5 m
2 m
50 kN
monic
horizontal do Ponto C. 
monic
momentos fletores 
Para a estrutura apresentada na figura a seguir, traçar o diagrama dos momentos 
fletores e calcular o deslocamento vertical do Ponto D. 
Dados: E = 2500 kN/cm2 I = 343281,25 cm4
r =7,4×104 kN/m R = 9,8×104 kNm/rad 
DC
BA
2 m4 m
24 kN/m
5 m
50 kN
15 kN/m
monic
momentos fletores 
monic
vertical do Ponto D. 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
ENG 114 - HIPERESTÁTICA
3ª. UNIDADE 
Estruturas Hiperestáticas 
Processo dos Deslocamentos 
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 1 
Processo dos Deslocamentos 
PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS 
1 CONCEITOS BÁSICOS 
1.1 DESLOCABILIDADE 
Para as estruturas planas, cada nó pode apresentar: 
• Dois deslocamentos lineares 
• Um deslocamento angular (rotação) 
1.1.1 Deslocabilidade Interna 
Para a estrutura apresentada na figura, são desconhecidos os deslocamentos dos nós B e C. 
A
B C D
Para o nó C, sabe-se que: 
• Não apresenta deslocamento vertical, impedido pelo apoio móvel; 
• Não apresenta deslocamento linear horizontal, impedido pelo engaste em D (desprezam-
se as deformações axiais das barras). 
⇒ Única incógnita = rotação 
Para o nó B, sabe-se que: 
• Não apresenta deslocamento vertical, impedido pelo engaste em A; 
• Não apresenta deslocamento linear horizontal, impedido pelo engaste em D. 
⇒ Única incógnita = rotação 
Portanto, a estrutura apresenta duas deslocabilidades internas que são as rotações dos B e C. 
Número igual ao de nós internos rígidos (não rotulados). 
Assim, o número de deslocabilidade interna, di, de uma estrutura, é igual ao número 
de nós internos rígidos que ela possui. 
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 2 
Processo dos Deslocamentos 
1.1.2 Deslocabilidade Externa 
Seja a estrutura apresentada a seguir. 
A
D E
B
F
G
C
Ela não possui nós internos rígidos, logo não existem deslocabilidades internas. 
Para o nó D, sabe-se que: 
• Não apresenta deslocamento linear vertical, impedido pelo engaste em A. 
⇒ Única incógnita = deslocamento linear horizontal 
Para o nó G, sabe-se que: 
• Não apresenta deslocamento linear vertical, impedido pelo engaste em C. 
⇒ Única incógnita = deslocamento linear horizontal 
Admitindo a existência de apoios adicionais do 1o gênero nesses nós, eles se tornariam 
linearmente indeslocáveis, o que acarretaria, também a indeslocabilidade linear dos nós E e F. 
A
D E
B
F
G
C
Assim, o número de deslocabilidade externa, de, de uma estrutura é igual ao número de 
apoios do 1o gênero que nela precisam ser adicionados, para que todos os seus nós tornem-se 
indeslocáveis. 
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 3 
Processo dos Deslocamentos 
As estruturas que possuem deslocabilidades externas são chamadas de estruturas 
deslocáveis, e aquelas que não as possuem, mesmo apresentando deslocabilidade internas, são 
chamadas estruturas indeslocáveis. 
1.1.3 Número Total de Deslocabilidades 
O número total de deslocabilidades, d, de uma estrutura, é dado pela soma do número de 
deslocabilidade interna, di, e externas, de. Assim, 
ei ddd +=
1.1.4 Exemplos 
ei ddd +=
523d =+=
ei ddd +=
523d =+=
ei ddd +=
303d =+=
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 4 
Processo dos Deslocamentos 
ei ddd +=
734d =+=
ei ddd +=
514d =+=
ei ddd +=
312d =+=
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 5 
Processo dos Deslocamentos 
1.2 RIGIDEZ DE UMA BARRA 
A rigidez de uma barra, em um nó, corresponde ao momento fletor que, aplicado neste nó, 
suposto livre para girar, provoca uma rotação unitária do mesmo. 
1.2.1 Barra Biengastada 
Resolvendo a viga abaixo, admitindo-se que em A é imposta uma rotação unitária, tem-se 
l
A B
a) Estrutura básica e esquema de solução 
A B
φ = 1
(r)
A
φ = 1
(r)
B
F1 F2
A B
(0)
A
(1)
B
1
x F1
1(2)
A B
x F2
b) Equações de compatibilidade de deslocamentos 



=φ
=φ
0
1
r2
r1 ⇒



=φ+φ+φ
=φ+φ+φ
0FF
1FF
22212120
21211110
c) Cálculo das rotações 
M(0) = 0 
M(1) M(2) 
1 1
0EI 10 =φ 0EI 20 =φ
3
11
3
1EI 11
l
l =⋅⋅⋅=φ
3
11
3
1EI 22
l
l =⋅⋅⋅=φ
6
11
6
1EIEI 2112
l
l =⋅⋅⋅=φ=φ
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 6 
Processo dos Deslocamentos 
d) Solução do sistema de equações 



=φ
=φ
0EI
EIEI
r2
r1 ⇒






=++
=++
0F
3
F
6
0
EIF
6
F
3
0
21
21
ll
ll
⇒






−=
=
l
l
EI2F
EI4F
2
1
e) Diagrama de momentos fletores 
4EI
l
l
2EI
f) Conclusões 
Assim, para uma barra biengastada, com EI = cte, sua rigidez em um nó de sua 
extremidade é: 
l
EI4k =
Pode-se observar que em conseqüência do surgimento do momento fletor igual a 
l
EI4
, 
na extremidade que sofreu a rotação unitária, apareceu um momento fletor igual à metade de seu 
valor, 
l
EI2
, na outra extremidade da barra, e de mesmo sentido vetorial que a rotação unitária e 
do momento que o provocou. Portanto, o coeficiente de transmissão de momentos, t, de um nó 
engastado para outro nó também engastado, em uma barra com EI = cte, é dado por: 
5,0
EI4
EI2
M
M
t
A
B
AB ===
l
l
g) Resumindo, para uma barra biengastada tem-se 
Rigidez de um nó engastado: 
l
EI4k =
Coeficiente de transmissão de momentos para nós engastados: t = 0,5 
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 7 
Processo dos Deslocamentos 
1.2.2 Barra Engastada e Apoiada 
Seja a viga a seguir, para a qual, no nó A, é imposta uma rotação unitária. Tem-se, então: 
l
A B
a) Estrutura básica e esquema de solução 
A B
φ= 1
(r) (0)
B
F1
A
(1)
A B
x F1
1
b) Equação de compatibilidade de deslocamentos 
1r1 =φ ⇒ 1F11110 =φ+φ
c) Cálculo das rotações 
M(0) = 0 M(1) 
1
0EI 10 =φ
3
11
3
1EI 11
l
l =⋅⋅⋅=φ
d) Solução do sistema de equações 
EIEI r1 =φ ⇒ EIF3
0 1 =+
l
⇒
l
EI3F1 =
e) Diagrama de momentos fletores 
3EI
l
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 8 
Processo dos Deslocamentos 
f) Conclusões 
Assim, para o nó engastado de uma barra engastada e rotulada, com EI = cte, sua rigidez 
é: 
l
EI3k =
1.3 MOMENTOS FLETORES DEVIDOSA DESLOCAMENTOS ORTOGONAIS 
1.3.1 Barra Biengastada 
Seja a viga biengastada, apresentada na figura a seguir. Considerando que o apoio em B 
sofre um deslocamento vertical unitário, para baixo, tem-se 
l
A B
1
a) Estrutura básica e esquema de solução 
(r)
B 1
A A
1
(r) B
F1
F2
A
1
(0) B
F1
x F 1
(1)
A
1
(2)
Aφ10
φ20
1
2x FB B
b) Equações de compatibilidade de deslocamentos 



=φ
=φ
0
0
r2
r1 ⇒



=φ+φ+φ
=φ+φ+φ
0FF
0FF
22212120
21211110
c) Cálculo das rotações 
M(0) = 0 M(1) M(2) 
1 1
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 9 
Processo dos Deslocamentos 
l
1
10 −=φ ⇒
l
EIEI 10 −=φ
l
1
20 =φ ⇒
l
EIEI 20 =φ
3
11
3
1EI 11
l
l =⋅⋅⋅=φ
3
11
3
1EI 22
l
l =⋅⋅⋅=φ
6
11
6
1EIEI 2112
l
l =⋅⋅⋅=φ=φ
d) Solução do sistema de equações 



=φ
=φ
0EI
0EI
r2
r1 ⇒






=++
=++−
0F
3
F
6
EI
0F
6
F
3
EI
21
21
ll
l
ll
l ⇒






−=
=
22
21
EI 6F
EI 6F
l
l
e) Diagrama de momentos 
6EI
l
6EI
2
2
l
1.3.2 Barra Engastada e Rotulada 
Seja a viga, apresentada na figura a seguir. Considerando que o apoio em B sofre um 
deslocamento vertical unitário, para baixo, tem-se 
l
A B
1
a) Estrutura básica e esquema de solução 
A
B
1
(r)
A
1
(0)
B
F1
φ10
B
A
1
x F1
(1)
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 10 
Processo dos Deslocamentos 
b) Equação de compatibilidade de deslocamentos 
0r1 =φ ⇒ 0F11110 =φ+φ
c) Cálculo das rotações 
M(0) = 0 M(1) 
1
l
1
10 −=φ ⇒
l
EIEI 10 −=φ
3
11
3
1EI 11
l
l =⋅⋅⋅=φ
d) Solução do sistema de equações 
0EI r1 =φ ⇒ 0F3
EI
1 =+−
l
l
⇒
21
EI3F
l
=
e) Diagrama de momentos fletores 
3EI
l 2
2 O PROCESSO DOS DESLOCAMENTOS 
É semelhante ao processo dos esforços, trocando-se: 
• Retirada de vínculos por introdução de vínculos; 
• Esforços por deslocamentos; 
• Compatibilidade de deslocamentos por compatibilidade de esforços 
• Estrutura básica estaticamente determinada por estrutura básica geometricamente 
determinada 
A idéia básica do processo dos deslocamentos é adicionar vínculos para se recair em uma 
estrutura básica geometricamente determinada, com grau de hiperestaticidade maior do que a 
estrutura real, mas mais simples de se resolver. 
O número de vínculos que devem ser adicionados é igual ao número total de 
deslocabilidades, d
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 11 
Processo dos Deslocamentos 
Seja o caso de se resolver uma estrutura com número total de deslocabilidades igual a n, 
submetida a uma solicitação qualquer. 
Adicionam-se n vínculos de forma que a estrutura real r se torne geometricamente 
determinada. O problema real r não se altera desde que os vínculos imponham exatamente os 
mesmos deslocamentos ∆1, ∆2, ..., ∆n impedidos. Esses deslocamentos são inicialmente 
desconhecidos 
1
1
∆1 n∆
x ∆1
nx ∆
(1)
(0)
(r)
(n)
≅
+
p
f10 n0f
f n111f
f n212f
≅
+
...
...
...
...
...
p
p
f nr1r
f
... ..
.
+
Valendo a superposição de efeitos e a proporcionalidade entre causa e efeito, o problema 
real (r) pode ser expandido numa soma de problema, (0), (1), (2), ..., (j), ..., (n), sobre a mesma 
estrutura básica, cada uma correspondente a uma solicitação, ou seja: 
(r) = (0) + (1) ∆1 + (2) ∆2 + ... + (j) ∆j + ... + (n) ∆n (A) 
Qualquer efeito E(r), então, pode ser determinado a partir de: 
E(r) = E(0) + E(1) ∆1 + E(2) ∆2 + ... + E(j) ∆j + ... +E (n) ∆n (B) 
ENG � 114 HIPERESTÁTICA 12 
Processo dos Deslocamentos 
Sendo fjk a força na direção e sentido de ∆j no problema (k), tem-se que: 









∆++∆++∆+=
∆++∆++∆+=
∆++∆++∆+=
nnnjnj11n0nnr
njnjjj11j0jjr
n1nj1j11110r1
 f f fff
 f f fff
 f f fff
LL
M
LL
M
LL
 (C) 
Sendo as forças fjr definidas, geralmente nulas, e as forças fjn, as forças de bloqueio dos 
deslocamentos impostos na estrutura básica (reações nos vínculos adicionados), a solução do 
sistema de equações (C), permite calcular os deslocamentos ∆j, e com a equação (B), resolver o 
problema. 
Processo de Cross 1 
PROCESSO DE CROSS 
1 INTRODUÇÃO 
Seja o nó D da estrutura indeslocável abaixo, submetido a um momento M. 
A
B
CD 1
2
3
M
O nó D irá girar de um ângulo φ, aparecendo, então, nas extremidades das barras os momentos M1, M2 e M3. 
A
B
CD 1
2
3
M1
2M
M 3
φ
φ
φ
Pela definição de rigidez: 
φ= D11 KM φ=
D
22 KM φ=
D
33 KM (A) 
Por compatibilidade estática: 
MMMM 321 =++
ou, 
( ) M KKK D3D2D1 =φ++
logo, 
∑ =φ MKDi
Assim, 
∑
=φ D
iK
M
 (B) 
Processo de Cross 2 
Substituindo-se (B) em (A), tem-se: 
M
K
KM D
i
D
1
1 ∑
= M
K
KM D
i
D
2
2 ∑
= M
K
KM D
i
D
3
3 ∑
=
Portanto, de uma maneira geral, pode-se escrever: 
M
K
KM
i
i
i ∑
=
Portanto, uma carga momento, aplicada em um nó de uma estrutura indeslocável, irá se distribuir entre as 
diversas barras concorrentes neste nó segundo parcelas proporcionais à rigidez, neste nó, da cada uma das 
barras. 
Chamando-se de coeficiente de distribuição de momentos, a relação entre a rigidez de uma barra em um nó e 
o somatório de todas as rigidezes das barras concorrentes neste nó, ou seja: 
∑
=
i
i
i K
Kd
tem-se, desta forma: 
MdM ii =
OBSERVAÇÕES: 
1. A soma dos coeficientes de distribuição de momentos di, em torno de um nó, é sempre igual a 1. 
2. Com M no sentido anti-horário, para que haja equilíbrio M1, M2 e M3, no nó D, têm sentido horário, 
conseqüentemente, M1, M2 e M3, nas barras 1, 2 e 3, respectivamente, têm sentido anti-horário. Portanto, 
os momentos equilibrantes em torno de um nó têm sinais opostos ao do momento atuante no nó, sendo 
seus módulos dados por: 
MdM ii =
1
2
3
M1
2M
M 3
M 2
1M
M 3
M
D
Processo de Cross 3 
2 DESENVOLVIMENTO 
O procedimento descrito a seguir só é válido para estruturas indeslocáveis. 
Resolver o seguinte pórtico para o qual EI = constante 
B
CD1 2
3
q
ll1 2
3l
A
O pórtico possui uma deslocabilidade interna no nó D. Assim, colocando-se uma chapa neste nó, obtem-se: 
A
B
C
D q l
2
12
q l
12
2
2 2
Liberando-se a rotação da chapa, o nó D funcionará como tendo uma carga momento igual a 
12
qM
2l= , no 
sentido horário, (ação da barra 2 sobre o nó A). Assim, para que haja equilíbrio surgem os momentos d1M, 
d2M e d3M, no nó D, no nó D, e, conseqüentemente d1M, d2M e d3M, nas barras 1, 2 e 3, respectivamente. 
D
q l2
12
2M =
d M2
d M2
3d M
d M1
d M1
d M3
Processo de Cross 4 
Assim, obtêm-se os seguintes momentos nas extremidades das barras: 
A
B
CD
q l2
12
q l
12
2
2 2= M = - M 
-d M2
1-d M
3-d M
-d M3
2-d M
-d M1
2
2
2
E, a estrutura está, assim, resolvida, sendo os momentos nos nós apresentados a seguir. 
A
B
CD
1-d M
3-d M
-d M3
- M 1 + 
-d M1
2
2
d 2
2
2M(1- d )
E o diagrama de momentos fletores assume a seguinte forma: 
1-d M
3-d M
-d M3
- M 1 + 
-d M1
2
2
d 2
2
2M(1- d )
Exercícios Resolvidos 
Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 1 
Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 2 
Processo dos Deslocamentos - Exercício Página 3 
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