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Professor: Fábio M. Mendes
Primeira lista de exercícios de Cálculo 3
1. Qual é o domínio da função f(x, y) =
√
x− y2
a) pontos à esquerda de x = 0, incluindo a
curva.
b) pontos à direita de x = y2, incluindo a
curva.
c) pontos à direita de x = y2, excluindo a
curva.
d) todos pontos do plano xy.
e) pontos à esquerda de x = y2, incluindo a
curva.
f) pontos à esquerda de x = 0, excluindo a
curva.
g) pontos à esquerda de x = y2, excluindo a
curva.
2. Avalie o limite lim(x,y)→(0,0)
x2−y2
x+y
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) @
3. Avalie o limite lim(x,y)→(0,0) x sin(y)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) @
4. Avalie o limite lim(x,y)→(0,0) xsin(y)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) @
5. Avalie o limite lim(x,y)→(0,0)
tan(x−y)
x−y
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) @
6. Avalie o limite lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2+y2
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) @
7. Avalie o limite lim(x,y)→(0,0)
xy
x2+xy+y2
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) @
8. Avalie o limite lim(x,y)→(0,0)
x2−y2
x2+y2
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 f) 5 g) 6 h) @
9. Utilize coordenadas polares para avaliar o limite
lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y2
.
[ Obs.: realize a mudança de coordenadas (x, y) = (r cos θ, r sin θ) ]
a) −3 b) −2 c) −1 d) 0 e) 1 f) 2 g) 3 h) @
10. É possível determinar se o limite
lim
(x,y)→(1,1)
x3 − x2y − y2x+ y3
x2 + y2 − 2xy
existe convertendo-o para coordenadas polares e avaliando o comportamento da função para r → 0 .
Determine as transformações de coordenadas que permitem executar esta técnica.
a) x = 1− r cos θ; y = 1− r sin θ b) x = r cos θ − 1; y = r sin θ − 1
c) x = r cos θ; y = r sin θ d) x = 1 + r cos θ; y = 1 + r sin θ
e) x = (r + 1) cos θ; y = (r + 1) sin θ f) x = (r − 1) cos θ; y = (r − 1) sin θ
Determine o valor do limite.
a) @, pois é indeterminação 0/0. b) 0
c) @, pois resultado depende de θ. d) 2
11. Seja f(x, y) = sin(2x+ y) . Encontre a derivada parcial fxy(pi, pi/2) .
a)
√
2 b) -
√
2 c) 2
√
2 d) −2√2 e) √2/2 f) 2 g) −2 h) 0
12. Seja f(x, y) = e2x+y
2
. Encontre a derivada parcial fxyy(0, 0) .
a) 1 b) 2 c) 4 d) 2e e) 4e f) e2 g) 2e2 h) 4e2
13. Seja f(x, y) = tan−1 (x/y) . Encontre a derivada parcial fy(1, 2) .
a) −1 b) −1/2 c) −1/3 d) −1/5 e) 1/5 f) 1/3 g) 1/2 h) 1
14. Seja f(x, y) = xyz . Encontre a derivada parcial fx(2, 3, 0) .
a) 0 b) 2 c) 3 d) 8 e) ln 2 f) ln 3 g) ln 4 h) ln 8
15. Seja f(x, y) = zxy . Encontre a derivada parcial fx(2, 1, e) .
a) 0 b) 1 c) e d) 2e e) 2e2 f) 1/2 g) ln 2 h) 2
16. Seja f(x, y) =
´ y
x dt ln sin t . Encontre a derivada parcial fx(pi/6, pi/6) .
a) 0 b) 1 c) ln 2 d) − ln 2 e) 12 ln 2 f) −12 ln 2 g)
√
3 h) −√3
17. Seja f(x, y) =
(
x3 − y4)5 . Encontre o valor de fxy − fyx no ponto (1, 2) .
a) −32 b) −16 c) −8 d) −4 e) 0 f) 4 g) 8 h) 16
18. Quantas derivadas parciais de terceira ordem tem a função f(x, y) ?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 f) 8 g) 9 h) 10
Se f(x, y) e suas derivadas forem contínuas, qual é o maior número possível de derivadas parciais de
terceira ordem distintas ?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 f) 6 g) 7 h) 8
19. Qual é a equação do plano tangente à superfície z = x2 no ponto (1, 2, 1) ?
a) z = 2x− 2y + 3 b) z = 2x− y + 1 c) z = x+ 2y − 5
d) z = x e) z = 2x− 1 f) z = x+ 2y − 4
g) z = 2x+ y − 3 h) z = x+ y − 1
20. Qual é a equação do plano tangente à superfície z = x2 + y2 no ponto (1, 1, 2) ?
a) z = x+ 1 b) z = 2x− 2y + 2 c) z = x+ y
d) z = x+ 2y − 1 e) z = 2x f) z = 2x+ 2y − 2
g) z = 2x− y + 1 h) z = 2x+ y − 1
21. Qual é a equação do plano tangente à superfície z = ex+y no ponto (0, 0, 1) ?
a) z = e2x+ e2y − 2e2 + 1 b) z = ex+ ey − 2e+ 1 c) z = 4x+ 4y − 7
d) z = 4ex− 4ey − 8e+ 1 e) z = x+ y + 1 f) z = 2ex+ 2ey − 4e+ 1
g) z = 2x+ 2y + 1 h) z = 2e2x+ 2e2y − 4e2 + 1
22. Qual é a equação do plano tangente à superfície z = tan−1(y/x) no ponto (−2, 2,−pi/4) ?
a) 2x− 2y + 4z = pi b) x+ 2y − 4z = 2 + pi c) 2x− 2y + z = pi/4
d) x+ y + 4z + pi = 0 e) 4x− 2y − z + pi = 0 f) 4x+ 4y + z + pi = 0
g) x+ 2y + 4z = 2− pi h) x+ y + z = pi
23. Encontre a derivada direcional da função f(x, y, z) =
√
xyz no ponto (2, 4, 2) e na direção (4, 2,−4) .
a) −1/6 b) −1/4
c) −1/2 d) 0
e) 1/2 f) 1/4
g) 1/6 h) 1/8