APOSTILA_7_TRABALHO

Prévia do material em texto

1 
PUC-Rio – Departamento de Artes e Design 
DSG1111 - FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA 
Profa Alessandra Carusi 
 
Circunferência 
 
A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas: 
- é a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente; 
- é a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. 
 
DEFINIÇÃO: 
É o conjunto de pontos, pertencentes a um plano, equidistantes de um único ponto, chamado centro. 
Circunferência é uma linha curva, plana e fechada. 
 
CÍRCULO: 
É a porção do plano limitada por uma circunferência. 
O círculo é uma superfície. 
A circunferência é o contorno do círculo. 
 
LINHAS DA CIRCUNFERÊNCIA: 
a) Raio (AO): 
É o segmento de reta que une o centro a qualquer ponto da circunferência. 
Os raios são todos iguais. 
 
b) Secante (s): 
É a reta que seca (corta) a circunferência em dois de seus pontos. 
 
c) Corda(BC): 
É o segmento de reta que une dois pontos de uma circunferência e tem a secante como reta suporte. 
 
d) Diâmetro(DE): 
É a corda que passa pelo centro da circunferência. 
O diâmetro é a maior corda e é constituído por dois raios opostos. 
O diâmetro é o dobro do raio. 
O diâmetro divide a circunferência em duas partes iguais denominadas semi-circunferências. O círculo pode ser dividido em dois semicírculos. 
 
e) Arco (BC), (BG), (CE), (AD), etc : 
É uma parte qualquer da circunferência, compreendida entre dois de seus pontos. A toda corda corresponde um arco e vice-versa. 
 
f) Flecha (FG) : 
É o trecho do raio perpendicular a uma corda e limitado pela mesma corda e o arco que lhe corresponde. 
 
g) Tangente (t) : 
É a reta que toca a circunferência em um só ponto e é perpendicular ao raio que passa por esse ponto. 
 Este ponto chama-se ponto de tangência. 
 
Propriedades das secantes e tangentes 
 
1- Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se 
M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s. 
 
2- Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. 
 
3- Duas circunferências são tangentes num ponto T, quando admitem uma reta tangente comum. Nesse caso, os centros das 
duas circunferências e o ponto de tangência T pertencem à mesma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2 
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS: 
 
1) Não secantes: quando não têm ponto comum. Podem ser: 
 
a) Exteriores b) Interiores c) Concêntricas: quando têm o mesmo centro. 
 
 
2) Secantes: quando têm dois pontos comuns. 
 
3) Tangentes: quando têm um ponto comum. Podem ser: 
 
a) Tangentes internas b) Tangentes externas 
 
 
As circunferências são tangentes externas umas às outras se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes 
internas umas às outras se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum. 
 
Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses 
segmentos AP e BP são congruentes. 
 
 
 
Propriedades de arcos e cordas 
 
- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem 
cordas congruentes. (Situação 1). 
 
- Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2). 
 
- Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3). 
 
Situação 1 Situação 2 Situação 3 
 
 
 
Polígonos circunscritos 
 
Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência 
está inscrita no polígono. 
 
Quadrilátero circunscrito Triângulo circunscrito 
 
 
 
Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma 
dos outros dois lados. 
 
 
 
 
 
 3 
ÂNGULOS DA CIRCUNFERÊNCIA: 
 
a) Ângulo central: 
É aquele que tem o vértice no centro da circunferência e os lados são raios. 
 
 
Arco de circunferência e ângulo central: 
Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um 
ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB. 
 
 
Semicircunferência: é um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos 
lados do diâmetro. 
 
A medida de um arco de circunferência é a medida do ângulo central que o subentende. 
 
De acordo com essa definição, as unidades de medida de arcos são unidades de medida de ângulos e não de comprimento. 
 
Observação: Medir um arco, assim, tem o caráter de verificar que parte da circunferência ele representa. Por exemplo, como a 
circunferência tem 360°, um arco de 60° é sempre a sexta parte da circunferência, embora o comprimento dele possa variar de 
acordo com o raio dessa circunferência. 
 
Na figura, os arcos AB e A1B1 têm a mesma medida, embora seus comprimentos dependam do raio da circunferência que eles 
pertencem. 
 
 
b) Ângulo inscrito: 
O vértice é um ponto da circunferência e os lados são cordas. 
Na figura ao lado, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente. 
 
Medida do ângulo inscrito: 
A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, 
ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é: m = n/2 
 
Ângulo reto inscrito na circunferência: 
O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. 
Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo 
 e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo. 
 
 
Um ângulo inscrito em um círculo é reto, se o seu arco correspondente for uma semi-circunferência. 
 
 
c) Ângulo circunscrito: 
O vértice está fora da circunferência e os lados são tangentes à mesma. 
 
 
d) Ângulo de segmento: 
Quando um dos lados for uma corda e o outro tangente à circunferência. 
O ponto de contato do lado tangente é o vértice do ângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 4 
 
PUC-Rio – Departamento de Artes e Design 
DSG1111 - FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA 
Profa Alessandra Carusi 
 
Trabalho 3 
 
CIRCUNFERÊNCIA 
 
1) Trace uma circunferência com raio 2 cm, por dois pontos A e B 
dados sobre uma reta. Sendo que AB=3,5 cm. 
Resolução: 
Trace a mediatriz (MN) do segmento AB; 
com a abertura do compasso igual a 2 cm, marca-se a partir de B, na reta MN, 
o ponto O (centro da circunferência). 
 
 
2) Traçar uma circunferência que passe por três pontos não alinhados. 
Resolução: 
Três pontos não alinhados formam um triângulo. Sabemos que todo triângulo é 
inscritível numa circunferência porque o centro da mesma é eqüidistante dos 
vértices e chama-se circuncentro, ponto de cruzamento das mediatrizes dos 
lados do triângulo. Cada lado do triângulo formado é uma corda da 
circunferência. Toda mediatriz de uma corda, portanto, passa pelo centro da 
curva. Assim, traçando-se as mediatrizes de ceda lado do triângulo, 
encontramos o centro e descrevemos a circunferência. 
 	
  
3) Determinar o centro de uma circunferência já traçada. 
Resolução: 
Pelo mesmo raciocínio do exercício anterior, traçamos duas cordas quaisquer 
e suas mediatrizes, que determinarão o centro da curva. 
 
 
 
4) Dividir uma circunferência de raio 3 cm em 7 partes iguais. 
Resolução: 
DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM PARTES IGUAIS (MÉTODO GERAL DE BION): 
a) Descreve-se a circunferência e traça-se seu diâmetro. 
b) Divide-se o diâmetro, pelo processo de deslizamento de esquadros, 
no número de vezes em que se quer dividir a circunferência. 
c)Centro em cada extremidade do diâmetro, com abertura igual ao 
próprio diâmetro, faz-se o cruzamento dos arcos, determinando o 
ponto P. 
d) Traça-se a reta que passa pelos pontos P e 2, da divisão do 
diâmetro. 
e) Esta reta corta a circunferência no ponto B. 
f) O arco AB corresponde a divisão da circunferência no número de 
vezes pretendido. Tal medida deve, portanto, ser aplicada sucessivas 
vezes sobre a curva, dividindo-a. 
Obs: A aplicação mais comum da divisão de uma circunferência em 
partes iguais é a construção do polígono regular inscrito 
correspondente ao número de lados. 
 
 
 
 
 5 
 
5) Retificar a circunferência anterior. 
Resolução: 
RETIFICAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA: 
Retificar uma circunferência é o mesmo que traçar o segmento de reta que corresponde à medida de seu 
comprimento. A fórmula para tal resolução é c=3D+D/7, (sendo c= comprimento do segmento e D, a medida do 
diâmetro) . Deste modo, conclui-se que o comprimento de uma circunferência é, aproximadamente, o triplo mais um 
sétimo do diâmetro. Então: dividindo-se o diâmetro de uma circunferência em sete partes iguais e aplicando-se este 
valor mais três vezes a medida do diâmetro sobre uma reta, obtém-se o segmento de reta que corresponde ao 
comprimento da curva. 
No exemplo abaixo temos que: AH é o diâmetro da circunferência. Este diâmetro foi dividido em 7 partes iguais. A 
circunferência retificada corresponde, portanto, a 3 vezes a medida AH mais uma das 7 partes ( AB, por exemplo). 
 
6) Traçar uma circunferência de raio 3 cm, tangente a uma reta num ponto dado. 
Resolução: 
Para que haja tangência, é necessário que o raio que contém o ponto de tangência seja perpendicular à reta. Assim, 
traçamos a reta e, por um ponto qualquer, levantamos uma perpendicular, medindo-se sobre esta, a partir do ponto, 
a medida do raio, definindo-se o centro. Descrevemos então a circunferência. 
 
 
 
7) Traçar uma circunferência tangente a uma reta num ponto dado 
e que passe por outro ponto fora da reta. 
Resolução: 
Pelo ponto dado, levanta-se uma perpendicular. Unindo-se o ponto da reta 
ao ponto fora da mesma, temos um segmento de reta que é uma corda da 
circunferência a ser traçada. Traçamos, então, a mediatriz deste segmento 
que, ao cruzar com a perpendicular, define o centro da curva. 
 
 
 
 
8) Traçar duas circunferências de raios 2,5 e 3 cm, que possuem uma corda comum igual a 2 cm. 
Resolução: 
Traça-se o segmento de reta que corresponde à corda. Com centro em cada extremidade e abertura igual ao raio de 
uma das circunferências, definimos, pelo cruzamento dos mesmos, o centro desta curva. Procedendo da mesma 
maneira, com o raio da outra curva, determinamos o centro desta outra. 
Traçamos então as duas curvas. 
 
A corda AB tem 2cm. Com centro em A e B, raio 2,5 cm, determinamos o 
ponto O e traçamos a primeira circunferência. A mesma operação é feita, 
agora com raio 3 cm, para determinar o ponto P e o traçado da segunda 
curva. 
 
 
 
 
9) Traçar tangentes a uma circunferência de raio 2 cm, sendo que elas passem por um ponto C 
fora da circunferência. 
 Resolução: 
- Liga-se o ponto C ao centro O da circunferência; 
- Acha-se o meio de CO, em A 
- Com o centro em A e raio AO, descreve-se um arco que corte a circunferência nos pontos E e F; 
- ligam-se os pontos E e F a C. E e F são pontos de tangência. 
 
 
 
 6 
10) Traçar três circunferências tangentes umas às outras e, ao mesmo tempo, aos lados de 
um ângulo ABC de 300. 
Resolução: 
- traça-se a bissetriz BD do ângulo dado; 
- sobre BD, marca-se o ponto O; 
- do ponto O, traça-se OE, perpendicular à BC; 
- com o centro em O e raio OE, descreve-se a primeira circunferência; 
- do ponto M, contato desta circunferência com a reta BD, traça-se MN, 
perpendicular à BD; 
- do ponto N, sobre o lado BC, descreve-se o arco ME’; 
- do ponto E’, levanta-se a perpendicular à reta BC, encontrando o centro O’; 
- com o raio O’E’, descreve-se a segunda circunferência, e assim por diante. 
 
11) Traçar três circunferências tangentes umas às outras, sendo dados 
os respectivos raios: 
R = 2 cm; R’ = 2,5 cm e R” = 3 cm. 
Resolução: 
- Construir um triângulo com os lados R + R’; R’+R” e R”+ R; 
- têm-se assim, os pontos O, O’ e O” que são os centros das três circunferências, 
tangentes umas às outras.