APOSTILA_HOMOTETIA

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PUC-Rio – Departamento de Artes e Design 
DSG1111 - FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA 
Profa Alessandra Carusi 
 
Semelhança de figuras planas /Transformações das figuras geométricas: homotetias 
 
DEFINIÇÃO: 
Duas figuras são semelhantes quando possuem ângulos correspondentes iguais e lados homólogos proporcionais. Dois lados homólogos consecutivos 
formam ângulos iguais. 
 
Duas figuras planas são semelhantes se uma puder ser obtida como ampliação ou redução da outra. 
 
Por exemplo, a figura A' é semelhante à figura A, enquanto a figura A" não é semelhante à figura A. Embora A" seja um hexágono como a figura A, 
vê-se claramente que as medidas dos lados correspondentes de A e A" não guardam entre si a mesma razão, e que os ângulos correspondentes não 
são congruentes. 
 
RAZÃO DE SEMELHANÇA: 
É o número que exprime a proporção entre os lados homólogos. 
 
 
 
No triângulo ABC temos que o ângulo A é igual ao ângulo A’, o B igual ao B’ e o C igual ao C’. O lado AB e o lado A’B’ são proporcionais na razão de 
1:2, assim como os lados BC e B’C’ e; AC e A’C’. 
O lado A’B’ foi traçado com o dobro do tamanho de AB. 
 
Exercícios: 
1) Considere a figura abaixo, desenhada numa malha quadriculada de 0,5 cm. Usando a mesma malha, reduza essa figura a uma outra, cujas 
dimensões sejam a metade da dimensão correspondente. 
 
 
 
 
2) Considere o pentágono ABCDE. Construa um pentágono com os ângulos respectivamente congruentes aos de ABCDE; mas que não seja 
semelhante a ele. 
 
 
 
 
3) Construa um polígono cujos lados sejam respectivamente proporcionais aos do quadrado abaixo, mas de modo que os dois polígonos não sejam 
semelhantes. 
 
 
 
 
 
Dois polígonos são semelhantes quando têm: 
- os ângulos respectivamente congruentes; 
- as medidas dos lados correspondentes proporcionais. 
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4) Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas. 
a) Dois polígonos regulares com o mesmo número de lados são sempre semelhantes. 
b) Dois quadriláteros cujos ângulos são respectivamente congruentes são semelhantes. 
 
 
5) As três fotografias, a seguir, têm a mesma imagem, mas são de tamanhos distintos: 
 
a) Determine as razões entre as duas dimensões de cada foto. Qual a relação entre essas razões? 
 
b) Uma outra ampliação qualquer da foto 3 x 4 pode ter que dimensões? 
 
 
Homotetia 
Tipo de transformação geométrica que não é uma isometria, isto é, não preserva medidas. 
Figuras homotéticas são figuras semelhantes dispostas de maneira que os lados homólogos fiquem paralelos. 
 
O conceito de semelhança está relacionado com a homotetia, assim como o conceito de congruência está relacionado com as isometrias. 
 
A homotetia pode ser direta ou inversa, conforme a posição dos elementos da figura. 
O centro de homotetia direta ou inversa é o ponto que usamos como referência para o traçado da figura. 
 
 
Homotetia direta: 
Considere um ponto O e os pontos A, B e C. Construímos os pontos correspondentes A', B' e C' de tal modo que: 
 
- os pontos: O, A e A'; 
 O, B e B'; 
O, C e C' estejam alinhados. 
- as razões entre as distâncias sejam iguais: O A’ = O B’ = O C’ = k. No exemplo, a razão é de 1:4. 
 O A O B O C 
 
 
As duas características acima devem ser satisfeitas por todos os pontos das figuras. 
 
 
 
 
A associação dos pontos A - A', B - B', C - C',... etc e que transforma a figura F na figura F' chama-se HOMOTETIA de centro O e razão k. 
 
Se O < k < 1 obtém-se uma redução, e se k > 1 obtém-se uma ampliação. No caso de k = 1, a figura F' coincide com a figura F. 
 
 
Uma homotetia fica bem definida quando se conhece seu centro e sua razão. 
 
 
 
Homotetia inversa: 
 
Dado o quadrilátero ABCD, posicionamos o centro de homotetia (O) e traçamos as 
retas, procedendo como no caso anterior. Note que o centro está posicionado entre 
as duas figuras, fazendo com que as figuras apresentem-se invertidas, uma em 
relação à outra. Observe também que, mesmo invertidos, os lados correspondentes 
são sempre paralelos. 
 
 
 
 
 
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Exercícios: 
 
6) Desenhe um triângulo ABC cujos lados medem 7cm, 5cm e 4cm. 
A partir de um ponto O fora do triângulo trace semi-retas partindo de O e passando pelos vértices do triângulo. 
Em cada semi-reta, marque outro ponto cuja distância ao ponto O seja o dobro da distância do vértice do triângulo. Ligue esses “novos pontos”; 
obtendo um outro triângulo. 
 
7) Considere o retângulo ABCD ao lado. Determine sua imagem A’B’C’D’ por uma homotetia de centro A e razão 1,5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Verifique se em cada item, as figuras A e A’ são homotéticas. Em caso afirmativo, determine o centro.