Aula 07 03

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Ângulos. Paralelismo. Perpendicularidade. Teorema de Tales 
 
Ângulos 
È uma figura plana formada por duas semirretas de mesma origem junto com 
sua região interna. Observe a ilustração a seguir: 
 
Esse ângulo pode ser designado por ângulo AOB, BOA, BBOA ou ABOB. Como é possível 
observar na figura, existem pontos que estão na região interna do ângulo, como o ponto M, e 
pontos que participam da região externa do ângulo, como o ponto N. 
Medição de ângulos 
 Assim como no relógio, um ângulo é medido utilizando-se o sistema de base sexagesimal. 
Isso se deve aos babilônios, que utilizavam essa base para estudos astronômicos. Eles 
dividiam o círculo em seis partes iguais, e cada uma delas era subdividida em outras 60, o 
que resultava na divisão do círculo em 360 partes iguais. Desse modo, 1° (lê-se um grau) 
corresponde a cada uma dessas partes. Cada grau, por sua vez, é dividido em 60’ (lê-se 
sessenta minutos) e cada minuto, em 60’’ (lê-se sessenta segundos) 
 
Dois ângulos são considerados congruentes quando possuem medidas iguais, ou seja, 
coincidem quando são sobrepostos (colocados um sobre o outro de forma perfeita). 
 
Classificação de ângulos 
Os ângulos podem ser classificados de acordo com sua medida. Um ângulo agudo é aquele 
cuja medida está compreendida entre 0° e 90°. Quando medir 90°, é chamado de ângulo reto 
e, quando medir 0°, ângulo nulo. Caso a medida de um ângulo seja maior que 90° e menor 
que 180°, ele é denominado ângulo obtuso. Também podemos classificar os ângulos em 
 
 convexo, quando sua medida for um valor entre 0° e 180°, e não convexo (ou côncavo), 
quando sua medida for um valor entre 180° e 360°. Um ângulo de medida 180° é denominado 
ângulo raso. 
 
Ângulos opostos pelo vértice (OPV) 
Considere duas retas concorrentes, r e s, cujo ponto de intersecção é o ponto O, conforme a 
figura a seguir. Elas determinam quatro ângulos cujo vértice é o ponto O. Os ângulos não 
adjacentes são chamados opostos pelo vértice (OPV) e são congruentes entre si. 
 
Note que as semirretas que formam os pares de ângulos opostos pelo vértice são opostas em 
relação ao vértice comum. 
Demonstração 
Note que BA 1 BC 5 180°e que BB 1 BC 5 180°. Assim, segue que: BA5 180° 2 BC e BB 5 
180° 2 BC Portanto, segue que BA 5 BB. De forma análoga pode-se demonstrar que BC 5 
BD. 
Paralelismo 
Paralelismo é um estudo a respeito de posições relativas entre retas e planos com foco nas 
propriedades resultantes dessas posições e das interações entre esses elementos. 
Considere duas retas, r e s, coplanares. Quando não possuem pontos em comum, elas são 
chamadas de retas paralelas distintas; caso elas possuam infinitos pontos em comum, são 
chamadas de retas paralelas coincidentes. 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/posicao-relativa-entre-planos.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/posicoes-relativas-entre-reta-plano.htm
 
Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal 
Na figura a seguir temos duas retas, r e s, paralelas entre si e uma transversal t, cortando as 
duas retas paralelas. São formados quatro ângulos em cada reta paralela. Os ângulos que estão 
na região interior das retas paralelas são chamados internos; os que estão fora dessa região são 
chamados externos. 
 
Retas perpendiculares 
Duas retas são classificadas como perpendiculares quando são concorrentes, e os ângulos 
formados por elas são suplementares e congruentes, ou seja, cada um deles deve medir 90°. 
 
Um dos teoremas mais importantes e discutidos desde a Antiguidade é o que afirma que “dados 
uma reta e um ponto não pertencente a ela, há uma única reta perpendicular à reta dada 
passando por esse ponto”; também se pode notar que por um ponto pertencente a uma reta dada 
passa uma única perpendicular. 
 
 
Para casa 
1. (CPS) Para melhorar a qualidade do solo, aumentando a produtividade do milho e da soja, 
em uma fazenda é feito o rodízio entre essas culturas e a área destinada ao pasto. Com essa 
finalidade, a área produtiva da fazenda foi dividida em três partes conforme a figura. 
 
 
Primeiro deve ser feita a soma de AD: 
AD = AB + BC + CD 
AD = 500 + 600 + 700 
AD = 1800 
 
Agora é só correlacionar os segmentos: 
GF/BC = HE/AD 
GF/600=1980/1800 
GF . 1800 = 1188000 
GF = 1188000/1800 
GF = 660 
2. O ponto P é interior a um segmento de reta, cuja medida é x 5 2 m, e o divide em dois 
segmentos cujas medidas são y e z e satisfazem a relação y2 5 xz. A razão x y (denominada de 
número de ouro ou razão áurea) é igual a: 
 
z = x - y 
 
y² = x*(x - y) 
 
x² - xy - y² = 0 (divide poe y²) 
 
(x/y)² - (x/y) - 1 = 0 
 
fazendo t = x/y 
 
t² - t - 1 = 0 
 
delta 
d² = 1 + 4 = 5 
d = √5 
t = (1 + √5)/2 o numero de ouro 
 
 
 
 
 
 
a = 2 (menor primo) 
b = 3 (50% maior que a, 50% de a é 1) 
Aplicando o teorema de Tales na figura, temos: 
x-2/2 = x/3 
Agora é só resolver 
3x - 6 = 2x 
3x - 2x = 6 
x = 6 
 
5. (UFRN) A figura abaixo é a representação de seis ruas de uma cidade. As ruas R1 , R2 e R3 
são paralelas entre si. 
 
Paulo encontra-se na posição A da rua R1 e quer ir para a rua R2 até a posição B. Se a escala 
de representação for de 1:50000, a distância, em metros, que Paulo vai percorrer será de, 
aproximadamente, 
a) 1333. b) 750. c) 945. d) 3000. 
 
PROPORÇÃO 
 4 3 
 ------------ = ---------- ( só cruzar) 
 x 2 
3(x) = 4(2) 
3x = 8 
x = 8/3 
x = 2,666... 
 
 
 
assim 
escala = 1 : 50.000 mesmo que 
 
1 : 50.000 = _____1___ 
 50.000 
 
 REGRA de TRÊS SIMPLES 
 1 -----------> 50.000 
2,666... ---------> x ( sõ cruzar) 
1(x) = 2,666..(50.000) 
1x = 133.333,333.. cm APROXIMADO 
x = 133.333 cm 
 
Se a razão entre os ângulos é 13/17 podemos multiplicá-los por "n" os dois para encontrarmos 
dois números aos quais sua soma resulta 90 (ângulos complementares). 
n=3 
Logo o primeiro número seria 39 e o segundo 51. 
Como A < B... A=39° e B=51° 
O suplemento sendo "o que falta para completar 180°", temos: 
Suplemento de A= 141° e Suplemento de B=129° 
Assim, a razão entre o suplemento de A / suplemento de B= 141/129 
Simplificando tudo por 3 temos: 47/43 
Letra E 
 
 
 
6. Pedro está construindo uma fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe que a soma 
de x com y é 42 e que as retas r, s e t são paralelas 
 
 
Como as retas r, s e t são paralelas e existem duas retas transversais, então podemos utilizar 
o Teorema de Tales, que diz: 
"Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois 
segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes da 
outra.". 
Sendo assim, é válido afirmar que: 
 
. 
Além disso, temos a informação de que a soma de x com y é 42, ou seja, x + y = 42. 
Como , então temos que: 
 
4y + 3y = 126 
7y = 126 
y = 18. 
Assim, concluímos que x = 24. 
Portanto, x - y = 24 - 18 = 6. 
 
 
Quando dizemos que dois ângulos são congruentes dizemos que eles têm a mesma medida. 
Então, basta igualar o valor dos ângulos A e B e assim resolver a equação. 
2x + 15° = 5x - 9° ⇒ 
2x - 5x = -9° - 15° ⇒ 
-3x = -24° 
x = -24°/-3° ⇒ 
x = 8° letra b) 
8. (Ifsul-RS) Duas retas paralelas r e s cortadas por uma transversal t, formam ângulos 
colaterais internos, dos quais um excede o outro em 20°. O ângulo colateral interno agudo mede 
 
a) 20° b) 35° c) 55° d) 80° 
Dois ângulos colaterais internos tem a propriedade de serem suplementares, ou seja, a soma 
de suas medidas é sempre igual a 180°. 
Desta forma, chamando de x o ângulo obtuso e y o ângulo agudo, sabemos do enunciado que 
x = y + 20°. Podemos calcular o valor de y da seguinte forma: 
x + y = 180° 
(y + 20°) + y = 180° 
2y + 20° = 180°Isolando y: 
2y = 160° 
y = 80° 
9. (IFMG) Na figura a seguir, as retas r, s, t e w são paralelas e a, b, e c representam medidas 
dos segmentos tais que a + b + c = 100. 
Primeiramente, observe o que diz o Teorema de Tales: 
• Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois 
segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os segmentos correspondentes 
da outra. 
Com as informações dadas no enunciado, vamos utilizar o Teorema de Tales para calcular os 
valores de a, b e c. 
Dito isso, temos que: 
a/18 = b/24 = c/33 = (a + b + c)/(18 + 24 + 33) 
a/18 = b/24 = c/33 = 100/75. 
Da igualdade a/18 = 100/75, podemos afirmar que o valor de a é: 
a = 18.100/75 
a = 1800/75 
a = 24. 
Da mesma forma, de b/24 = 100/75, podemos afirmar que o valor de b é: 
b = 24.100/75 
b = 2400/75 
b = 32. 
Por fim, de c/33 = 100/75, podemos afirmar que o valor de c é: 
c = 33.100/75 
c = 3300/75 
c = 44.